2020年高中数学必修第一册： 基本不等式 学案(北师大版)

第一章 预备知识

第三章 不等式

3.2 基本不等式 导学案

1．通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2． 借助基本不等式解决简单的最值问题，

1. 两个非负实数的算术平均值________它们的几何平均值

2. 若a≥0,b≥0,取,x a y b ==，则：,2

a b ab +≥当且仅当a=b 时，等号成立 这个不等式称为__________

3. 当x,y 均为正数时,下面的命题均成立：

（1） 若x+y = s （s 为定值）则当且仅当x =y 时,xy 取得

最大值________

（2） 若x y =p(p 为定值）则当且仅当x=y 时,x+y 取得最小值_____

1.《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过

这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交圆周于D ，连接OD ．作CE ⊥OD 交OD 于E ．由CD ≥DE 可以证明的不等式为（ ）

A ．≥（a ＞0，b ＞0）

B ．（a ＞0，b ＞0）

C．≥（a＞0，b＞0）D．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）

2．若a，b＞0，ab+2a+b＝4，则a+b的最小值为（）

A．2 B．﹣1 C．2﹣2 D．2﹣3

3．若矩形ABCD的周长1为定值，则该矩形的面积的最大值是（）A．B．C．D．

4．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥4恒成立，则m的取值范围是（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（0，] D．（，2]

1．下列命题中正确的是（）

A．若a，b∈R，则

B．若x＞0，则

C．若x＜0，则

D．若x∈R，则

2．下列函数中，最小值是2的是（）

A．y＝B．y＝

C．y＝7x+7﹣x D．y＝x2（x＞0）

3．函数的最小值为（）

A．6 B．7 C．8 D．9

4．已知实数a，b∈R+，且a+b＝2，则的最小值为（）

A．9 B．C．5 D．4

5．已知x＞0，则y＝x+的最小值为（）

A．4 B．16 C．8 D．10

6．若正数a，b满足＝，则当ab取最小值时，b的值为（）

A．B．C．D．

7．已知x，y＞0，，则x+2y的最小值为（）

A．9 B．12 C．15 D．

8．已知正实数满足a+2b＝1，则+最小值为（）

A．8 B．9 C．10 D．11

9．（1）设0＜x＜，求函数y＝x（3﹣2x）的最大值；

（2）解关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0．

10．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm．

（1）求广告牌的面积关于x的函数S（x）；

（2）求广告牌的面积的最小值．

【答案】：

【实践研究】

1.【解析】解：由射影定理可知CD2＝DE•OD，即DE＝＝，

由DC≥DE得≥，

故选：A．

2．【解析】解：∵a，b＝R*，ab+2a+b＝4，

∴b（a+1）＝4﹣2a，

∴b＝＝﹣＝﹣＝﹣2+，

∴a+b＝a﹣2+＝a+1+﹣3

∵a＞0，b＞0，

∴a+b≥2＝2，

当且仅当a+1＝即a＝时″＝″，

故选：D．

3．【解析】解：设矩形ABCD的长为x，宽为y，则其周长1＝2x+2y为定值，

即x+y＝；

所以该矩形的面积为

S＝xy≤＝＝＝，

当且仅当x＝y＝时S取得最大值是．

故选：C．

4【解答】解：∵m＞0，xy＞0，x+y＝2，

∴＝＝

≥

＝，

∵不等式≥4恒成立，∴≥4，

整理得，解得，即m≥2，

∴m的取值范围为[2，+∞）．

故选：B．

【课后巩固】

1. D

2. C

3. C

4. B

5. C

6. A

7. D

8. B

9【解析】解：（1）设0＜x＜，∵函数y＝x（3﹣2x）＝﹣2，故当x＝时，函数取得最大值为．

（2）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0．

当a＝1时，不等式即（x﹣1）2＜0，不等式无解；

当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}；

当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．

综上可得，当a＝1时，不等式的解集为∅，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．

10．【解析】解：（1）依题意广告牌的高为tm，则（x﹣1）（t﹣1.25）＝45，

所以，且x＞1，

所以广告牌的面积s（x）＝tx＝（x＞1）．

（2）由（1）知，s（x）＝tx＝

＝+46.25＝61.25，

当且仅当，即x＝7号成立．

所以s（x）min＝s（7）＝61.25，

广告牌的面积的最小值为61.25．