2020年高中数学必修第一册： 基本不等式 学案(北师大版)
高中数学第1章预备知识3不等式3.2第2课时基本不等式的综合应用学案含解析北师大版第一册
第2课时基本不等式的综合应用学习目标核心素养1.会用基本不等式求函数的最大(小）值问题．（重点）2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点)1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝s(和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值错误!；（2）若xy＝p（积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2错误!。
上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小．思考：(1）两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？（2)两个非负数的和为定值,它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？提示:(1)不一定，例如a2＋2与错误!,它们的积为定值,但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值．(2）不一定，例如1＋a2与1－a2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值．1．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是（）A．2B．a C．错误!D．3D［∵a＞1,∴a－1＞0，∴a＋错误!＝a－1＋错误!＋1≥2 错误!＋1＝3.当且仅当a－1＝错误!，即a＝2时，等号成立．] 2．设x＞0，则y＝3－3x－错误!的最大值是()A．3 B．－3错误!C．3－2错误!D．－1C［∵x＞0，∴y＝3－错误!≤3－2错误!＝3－2错误!。
当且仅当3x＝错误!，且x＞0,即x＝33时，等号成立．］3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．5[依题意得y1＝错误!,y2＝错误!x为仓库与车站的距离，∴y1＋y2＝错误!＋错误!≥2错误!＝8,当且仅当x＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．]4．当x<32时，求函数y＝x＋错误!的最大值．[解]y＝错误!（2x－3)＋错误!＋错误!＝－错误!＋错误!，∵当x〈错误!时，3－2x>0，∴3－2x2＋错误!≥2错误!＝4，当且仅当错误!＝错误!，即x＝－错误!时取等号．于是y≤－4＋错误!＝－错误!，故函数有最大值－错误!。
高考数学一轮复习统考 第7章 不等式 第4讲 基本不等式学案(含解析)北师大版-北师大版高三全册数学
第4讲 基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥012ab (a ，b ∈R )(当且仅当02a ＝b 时等号成立)．2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：03a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当04a ＝b 时等号成立； (3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的06几何平均数．3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当07x ＝y 时，x ＋y 有08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当09x ＝y 时，xy 有10最大值S 24.(简记：“和定积最大”)1．常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 2．利用基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若ax ＋by ＝1，则有1x ＋1y＝(ax ＋by )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝a ＋b ＋by x ＋ax y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.(2)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若a x ＋b y＝1，则有x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.14 C.12 D.22答案 B解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，即ab的最大值为14.故选B.2．已知a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 ∵a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，则显然有a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab .下面比较a 2＋b 2与a ＋b 的大小．由于a ，b ∈(0,1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b .故各式中最大的是a ＋b .3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)C ．y ＝4e x＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析 A 中x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中若y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)取得最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立；D 中由0<x <1，则log 3x ∈(－∞，0)，y ＝log 3x ＋log x 3＝log 3x ＋1log 3x 没有最小值；C 中y ＝4e x ＋e －x ＝4e x ＋1e x ≥4，当且仅当4e x ＝e －x，即x ＝－ln 2时，函数的最小值为4.故选C.4．(2019·山西晋城模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4C.92 D ．5答案 C解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C.5．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3B.72 C ．4 D.92答案 C解析 原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝22时取“＝”号，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是4. 6.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为________．答案 92解析 当a ＝－6或a ＝3时，3－aa ＋6＝0；当－6<a <3时，3－a a ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．故3－aa ＋b (－6≤a ≤3)的最大值为92.核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x )取得最大值．故选B.(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．[即时训练] 1.设a ，b 均大于0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2解析 ∵(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋ 2a ＋1b ＋3＝9＋2a ＋1b ＋3，又2a ＋1b ＋3≤a ＋1＋b ＋3＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时取“＝”， ∴(a ＋1＋b ＋3)2≤18， ∴a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.角度2 利用常数代换法求最值 例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D. (2)已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则2a －1＋1b的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8答案 D解析 因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2，所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1＋1b ·[(a －1)＋2b ]＝4＋4b a －1＋a －1b ≥4＋24b a －1·a －1b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1b，即a ＝32，b ＝14时取等号，所以2a －1＋1b的最小值是8，故选D.常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．运用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值．[即时训练] 2.(2020·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb2的最大值为( )A ．8B ．2 C.18 D.16答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·ca＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立，即acb 2的最大值为18.故选C.(2)已知x >54，则函数y ＝16x 2－28x ＋114x －5的最小值为________．答案 5解析 令4x －5＝t ，则x ＝t ＋54(t >0)，∴y ＝t 2＋3t ＋1t ＝t ＋1t ＋3(t >0)，又t ＋1t≥2(当且仅当t ＝1时，取“＝”)，∴y 的最小值为5.通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．[即时训练] 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3ba的最小值为________． 答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b ＋3ba 的最小值是6.考向二 求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西长治模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴(a ＋1)2≥9.∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.故选B.(2)当0<m <12时，若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2,0)∪(0,4]B ．[－4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]答案 D解析 因为0<m <12，所以m (1－2m )＝12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋1－2m 22＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m 1－2m ≥8.又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.(1)要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活地进行转化． (2)利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或取值范围．[即时训练] 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－a ＋b 2ab，又a ＋b 2ab＝a b ＋b a＋2≥4(当且仅当a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.故x ＋3y 的最小值为6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)(xy －3)≤0，∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.故选C. 考向三 基本不等式的实际应用例5 (2019·辽宁沈阳质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1450.每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品的销售额为0.05×1000x 万元，依题意得，当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝⎛⎭⎪⎫51x ＋10000x－1450－250＝1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.则当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝10000x，即x ＝100时取等号，则当x ＝100时，L (x )取得最大值1000万元．由于950<1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[即时训练] 6.某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________． 答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab， 由于ab >0，∴4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4. 答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练已知a >b >0，求a 2＋16b a －b的最小值． 解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2＋16ba －b ≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16. 当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16b a －b 的最小值为16.。
基本不等式 高中数学北师大版必修第一册
等号成立,此时取得最小值为 4.
答案(1)A
(2)4
延伸探究例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最大值.
解∵a>0,b>0,4=a+4b≥2 4=4 ,
1
解得 ab≤1,当且仅当 a=4b=2,即 a=2,b=2时,等号成立.此时 ab 取得最大值 1.
素养形成
因此基本不等式又称为均值不等式.
2.基本不等式可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的
几何平均值.
3.基本不等式的几何解释:同一个半圆中,半径大于或等于半弦.
名师点析 1.基本不等式的条件是 a,b 都是非负实数,当且仅当 a=b 时,等号成立,
a+b
即“a=b”是“
2
= ab”的充要条件.
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第一章
预备知识/1
3 . 2 基本不等式
第1课时
基本不等式
课标阐释
1.理解基本不等式 a + b ≥ ab
2
(a≥0,b≥0).(数学抽象)
2. 结合具体实例,能用基本不等式
解决简单的求最大值或最小值的
问题.(数学运算)
3. 能运用基本不等式证明不等式
及解决简单的实际问题.
2 2
(3)( ) ≥ -1(b≠0)
微练习
已知 ab>0,求证 + ≥2,并推导出式中等号成立的条件
证明因为 ab>0,所以 >0, >0.
由均值不等式,
得 + ≥2
高中数学 第3章 不等式 3.1 不等式的基本性质教学案(含解析)高一第一册数学教学案
3.1 不等式的基本性质(1)不等式的定义用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，这些含有这些不等号的式子叫做不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．(3)不等式中常用符号语言2(1)如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0⇔a>b；(2)如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0⇔a＝b；(3)如果a－b是负数，那么a<b，即a－b<0⇔a<b．3．不等式的基本性质性质1: 若a>b，则b<a；(自反性)，a>b⇔b<a．性质2：若a>b，b>c，则a>c；(传递性)性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性)性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)若a>b，c<0，则ac<bc；(乘负改号性)性质5：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性)性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；(全正可乘性)性质7：如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N*)．(拓展)提醒：不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．(2)要注意每条性质是否具有可逆性．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若ac>bc，则a>b．( )(2)若a＋c >b＋d，则a>b，c>d．( )(3)若a >b ，则1a <1b．( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知a 1，a 2∈()0，1，记M ＝a 1a 2, N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定B [由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝()a 1－1()a 2－1>0，故M >N ．故选B ．]3．若x ＞y ，且x ＋y ＝2，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2＜y 2B ．1x ＜1yC ．x 2＞1D ．y 2＜1C [因为x ＞y ，且x ＋y ＝2，所以2x ＞x ＋y ＝2，即x ＞1，则x 2＞1，故选C ．]利用不等式的性质判断和解不等式①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ③若a >b ，则a 2>b 2；④若a <b <0，则a b >ba．其中正确命题的序号是 ．(2)求解关于x 的不等式ax ＋1>0(a ∈R )，并用不等式的性质说明理由．(1)②④ [对于①∵c 2≥0，∴只有c ≠0时才成立，①不正确； 对于②，a <b <0⇒a 2>ab ；a <b <0⇒ab >b 2，∴②正确；对于③，若0>a >b ，则a 2<b 2，如－1>－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；对于④，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2．又∵ab >0，∴1ab >0，∴a 2·1ab >b 2·1ab ，∴a b >ba，④正确．所以正确答案的序号是②④．](2)[解] 不等式ax ＋1>0(a ∈R )两边同时加上－1得ax >－1 (不等式性质3)，当a ＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x ∈R ， 当a >0时，不等式两边同时除以a 得 x >－1a(不等式性质4)，当a <0时，不等式两边同时除以a 得 x <－1a(不等式性质4)．综上：当a ＝0时，不等式的解集为R ，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ．1．利用不等式判断正误的两种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集．[跟进训练]1．已知a ＜b ＜c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＜b 2＜c 2B ．ab 2＜cb 2C ．ac ＜bcD ．ab ＜acC [∵a ＋b ＋c ＝0且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜bc ，故选C ．]2．若关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，2)，则不等式bx －a >0的解集为 ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ [因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，2)，所以a <0，且x ＝2是方程ax ＋b ＝0的实数根，所以2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，由bx －a >0得－2ax －a >0，因为a <0，所以x >－12，即不等式bx －a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞．]利用不等式的性质比较代数式的大小[探究问题]1．如果a ，b 之间的大小关系分别为a >b ，a ＝b ，a <b ，那么a －b 分别与0的关系？反之呢？[提示] 若a >b ，则a －b >0，反之也成立； 若a ＝b ，则a －b ＝0，反之也成立； 若a <b ，则a －b <0，反之也成立．2．若a >b ，则ab >1吗？反之呢？[提示] 若a >b ，当b <0时，ab<1，即a >bab >1；若a b >1，则a b －1>0，即a －b b>0， ∴a －b >0，b >0或a －b <0，b <0，即a b >1a >b ，反之也不成立．【例2】 已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[思路点拨] 作差―→因式分解――→x <1判号―→下结论[解] x 3－1－(2x 2－2x ) ＝x 3－2x 2＋2x －1＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， ∵x <1，∴x －1<0，又∵⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， ∴(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0， ∴x 3－1<2x 2－2x ．1．(变条件)本例条件“x <1”变为“x ≥1”，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[解] x 3－1－(2x 2－2x )＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， ∵x ≥1，∴x －1≥0，又⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， ∴(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥0， ∴x 3－1≥2x 2－2x ．2．(变题)已知：a >0, b >0, 比较1a ＋1b 与1a ＋b 的大小．[解](作差法)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －1a ＋b＝ab ＋b 2＋a 2＋ab －abab a ＋b＝a 2＋ab ＋b 2ab a ＋b， 因为a >0, b >0，所以a 2＋ab ＋b 2ab a ＋b>0，所以1a ＋1b >1a ＋b．(作商法)因为a >0, b >0，所以1a ＋1b 与1a ＋b同为正数，所以1a ＋1b1a ＋b ＝a ＋b2ab ，所以a ＋b 2ab －1＝a 2＋ab ＋b 2ab>0，即a ＋b 2ab>1，因为1a ＋b >0，所以1a ＋1b >1a ＋b．(综合法)因为a >0, b >0，所以a ＋b >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b >1，所以1a ＋1b >1a ＋b．1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；⑤分类讨论．2．作商法比较大小的三个步骤 (1)作商变形； (2)与1比较大小； (3)得出结论．提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数．3．综合法需要结合具体的式子的特征实施，本题思路为：A >B >0⇔A ·1B>1．[跟进训练]3．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >bA [∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ． 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a ．故选A ．] 4．已知a ，b ∈R ，试比较a 2－ab 与3ab －4b 2的大小．[解] 因为a ，b ∈R ，所以(a 2－ab )－(3ab －4b 2)＝a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b )2，当a ＝2b 时，a 2－ab ＝ 3ab －4b 2， 当a ≠2b 时，a 2－ab > 3ab －4b 2．证明不等式【例3】 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc ． (2)已知a > b >0, m >0，求证：b a <b ＋ma ＋m．[证明] (1)∵a >b ，c >0，∴ac >bc ． ∴－ac <－bc ，∵f <e ，∴f －ac <e －bc ．(2)(作差法)因为a > b >0, m >0，所以b －a <0，a ＋m >0，所以b a －b ＋m a ＋m ＝b a ＋m －a b ＋m a a ＋m ＝m b －a a a ＋m <0，所以b a <b ＋m a ＋m；(不等式的性质)因为a > b >0, m >0， 所以am > bm, a ＋m >0，ab >0，所以am ＋ab >ab ＋bm ，即a (b ＋m )>b (a ＋m )，所以b a <b ＋m a ＋m．1．利用不等式的性质证明不等式(综合法)的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．2．作差法也可以应用于证明不等式．3．第二题的结论源于生活背景的提炼：在含糖b 克的a 克糖水中放入m 克的糖，结果糖水变甜了．本质上是浓度变大了．[跟进训练]5．若bc －ad ≥0，bd >0．求证：a ＋b b ≤c ＋d d．[证明] ∵bc －ad ≥0，∴ad ≤bc ，bd >0，∴a b ≤c d ，∴a b ＋1≤c d ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋dd ． 6．已知a >b >m >0，求证：a b <a －m b －m．[证明] (作差法)因为a >b >m >0， 所以b －a <0，b －m >0，所以a b －a －m b －m ＝a b －m －b a －m b b －m ＝m b －a b b －m <0，所以a b <a －m b －m；(不等式的性质)因为a >b >m >0，所以am >bm ，b －m >0， 所以－bm >－am ，所以ab －bm >ab －am ，即b (a －m )>a (b －m )，所以a b <a －m b －m．不算式性质的应用[思路点拨] 欲求a －b 的范围，应先求－b 的范围，再利用不等式的性质求解．[解]∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24，∴8<2a＋3b<32．∵2<b<8，∴－8<－b<－2，又∵1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)，即－7<a－b<2，故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2．即2a＋3b的取值范围为(8,32)，a－b的取值范围为(－7,2)．相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．2．已知两个二元一次代数式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式．[跟进训练]7．已知－12≤α<β≤12，求α＋β2，α－β3的取值范围．[解] ∵－12≤α<β≤12，∴－14≤α2<14，－14<β2≤14．两式相加得－12<α＋β2<12．∵－16≤α3<16，－16≤－β3<16，两式相加得－13≤α－β3<13．又∵α<β，∴α－β3<0，∴－13≤α－β3<0．8．已知－4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5，求9a －c 的范围．[解]令⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝x ，4a －c ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13y －x ，c ＝13y －4x ，∴9a －c ＝83y －53x ，∵－4≤x ≤－1，∴53≤－53x ≤203，①∵－1≤y ≤5，∴－83≤83y ≤403，②①和②相加，得－1≤83y －53x ≤20，∴－1≤9a －c ≤20．1．作差法比较大小的三个步骤作差、变形、定号，概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．2．利用不等式的性质可以判定不等式的正确性、也证明一些不等式还可以求相关量的取值范围．必须熟记不等式的性质，不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．3．不等式的证明可以用比较法(作差或作商法)、也可以利用不等式的性质(综合法)，注意方法的灵活应用．1．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋bC ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－bB [选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以，否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B ．]2．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( )A．a＞b B．a＜bC．a≥b D．a≤bC[a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b．]3．已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是．(－π，2π)[结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．]4．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠) ．(在横线上填甲或乙即可)乙[由题意得甲购买产品的平均单价为3a＋3b6＝a＋b2，乙购买产品的平均单价为2010a＋10b＝2aba＋b，由条件得a≠b．∵a＋b2－2aba＋b＝a－b22a＋b>0，∴a＋b2>2aba＋b，即乙的购买方式更优惠．]5．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：ea－c2>e(b－d)2．[证明]∵c<d<0，∴－c>－d>0，又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即1a－c2<1(b－d)2．又e<0，∴ea－c2>e(b－d)2．。
高中数学第一章不等关系与基本不等式3平均值不等式教学案北师大版
§3平均值不等式[对应学生用书P12][自主学习]1．定理1对任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”号． 2．定理2(两个正数的平均值不等式)对任意两个正数a ，b a ＝b 时取“＝”号．我们称a ＋b2为正数a 与b 的算术平均值，ab 为正数a 与b 的几何平均值；因此定理2又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．3．定理3对任意三个正数a ，b ，c ，有a 3＋b 3＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号． 4．定理4(三个正数的平均值不等式) 对任意三个正数a ，b ，c ，有a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号．这个定理可以叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值． 5．定理2,4的推广一般地，对n 个正数a 1，a 2，…，a n (n ≥2)，数值a 1＋a 2＋…＋a n n，na 1a 2…a n ，分别称为这n 个正数的算术平均值与几何平均值．且有：a 1＋a 2＋…＋a n n≥ na 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，取“＝”号，即n 个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．[合作探究]1．如何利用求差法证明定理2? 提示：因为a ＋b2－ab ＝a －b22≥0，所以a ＋b2≥ab .2．由定理1与定理2能得到以下结论吗？ (1)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(2)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．提示：可以．3．利用定理2,4求最值需满足什么条件？ 提示：“一正二定三相等”．[对应学生用书P13][例1] (1)(2)设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .[思路点拨] 本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力．解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明．[精解详析] (1)a 4＋b 4≥2a 2b 2， 同理a 4＋c 4≥2a 2c 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2， 将以上三个不等式相加得：a 4＋b 4＋a 4＋c 4＋b 4＋c 4≥2a 2b 2＋2a 2c 2＋2b 2c 2，即：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋a 2c 2＋b 2c 2. (2)∵当a ＞0，b ＞0时，a ＋b ≥2ab ， ∴bc a ＋ac b ≥2 bc a ·acb＝2c . 同理：bc a ＋ab c≥2bc a ·abc＝2b ， ac b ＋ab c ≥2ac b ·abc＝2a . 将以上三个不等式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a＋ac b＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， ∴bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点．但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致．若将本例(1)中a ，b ，c ∈R ，变为a ，b ，c ∈R ＋， 求证：a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca . 证明：∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca . 由上面三式相加可得(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .1．已知实数a ，b ，c ，d 满足a >b >c >d ，求证： 1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d . 证明：因为a >b >c >d ， 所以a －b >0，b －c >0，c －d >0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d [(a －b )＋(b －c )＋(c －d )]≥331a －b ·1b －c ·1c －d×33a －b b －c c －d ＝9.即1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d.[例2] (1)已知x >0，y >0，且x ＋y＝1，求x ＋y 的最小值．(2)求函数y ＝x 2(1－5x )⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤15的最大值．[思路点拨] 本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的能力．解答此题(1)可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用平均值不等式求得和的最小值；而解答题(2)需要将两项积x 2(1－5x )改变成三项积52x ·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x ，再对它使用平均值不等式，即可获得所求．[精解详析] (1)法一：∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16.当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 法二：由1x ＋9y＝1得(x －1)(y －9)＝9(定值)，可知x >1，y >9，而x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2x －y －＋10＝16.所以当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. (2)y ＝52x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x ＝52x ·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x ， ∵0≤x ≤15，∴25－2x ≥0.∴y ≤52⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x 33＝4675. 当且仅当x ＝x ＝25－2x ，即x ＝215时，y max ＝4675.利用平均值不等式求最值，一般按以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取“－1”变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．切记利用平均值不等式求最值时的三个条件：“一正二定三相等”必须同时满足，函数方可取得最值，否则不可以．2．(新课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 3．已知x ∈R ＋，求函数y ＝x 2·(1－x )的最大值． 解：y ＝x 2(1－x )＝x ·x (1－x ) ＝x ·x ·(2－2x )×12≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2－2x 33＝12×827＝427. 当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时取等号．此时，y max ＝427.本课时平均值不等式是高考的一个非常重要的考点，在高考和模拟中考查其在求最值方面的应用，有时亦以解答题的形式考查其在证明不等式方面的应用，考查学生利用不等式的性质等知识分析、解决问题的能力．[考题印证]1．(浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C ．5D ．6[命题立意]本题考查利用平均值不等式求最小值，考查了分析、解决问题的能力． [自主尝试] ∵x ＋3y ＝5xy ， ∴1y ＋3x＝5，∵x >0，y >0，∴(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝3x y＋12yx＋9＋4≥23xy·12yx＋13＝25，∴5(3x ＋4y )≥25，∴3x ＋4y ≥5，当且仅当x ＝2y 时取等号． ∴3x ＋4y 的最小值是5. [答案] C2．(新课标卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1. 证明：(1) ab ＋bc ＋ca ≤13；(2) a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.[命题立意]本题主要考查重要不等式、均值不等式的应用以及整体代换的思想、考查考生转化与化归思想和逻辑思维能力．[自主尝试](1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13，当且仅当“a ＝b ＝c ”时等号成立．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，当且仅当“a 2＝b 2＝c 2”时等号成立．故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即 a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.[对应学生用书P15]一、选择题1．设0＜a ＜b ，a ＋b ＝1，则下列不等式正确的是( )A．b＜2ab＜a2＋b2＜a2＋b2B．2ab＜b＜a2＋b2＜a2＋b2C．2ab＜a2＋b2＜b＜a2＋b2D．2ab＜a2＋b2＜a2＋b2＜b解析：∵0＜a＜b，且a＋b＝1，∴0＜a＜b＜1，∴a2＋b2＞2ab，b＞a2＋b2，且a2＋b2＞b. 故2ab＜a2＋b2＜b＜a2＋b2.答案：C2．设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“1a＋1b＋1c≤a＋b＋c”的( )A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件解析：当a＝b＝c＝2时，有1a＋1b＋1c≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，1a＋1b＋1c＝bc＋ac＋ababc＝bc＋ac＋ab，a＋b＋c＝a ＋b＋b＋c＋a＋c2≥ab＋bc＋ac，所以充分性成立，故“abc＝1”是“1a＋1b＋1c≤a＋b＋c”的充分不必要条件．答案：A3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( ) A．3 B．4C.92D.112解析：∵2xy＝x·(2y)≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22，∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22，即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.又x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4.当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.4．对于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式1sin 2x ＋p cos 2x ≥16恒成立，则正数p 的取值范围为( ) A ．(－∞，－9] B ．(－9,9] C ．(－∞，9]D ．[9，＋∞)解析：令t ＝sin 2x ，则cos 2x ＝1－t .又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴t ∈(0,1)．不等式1sin 2x ＋p cos 2x ≥16可化为p ≥⎝⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )， 而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋16t ≤17－2 1t·16t ＝9，当1t ＝16t ，即t ＝14时取等号， 因此原不等式恒成立，只需p ≥9. 答案：D 二、填空题5．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是________．解析：原式＝x 2＋14x 2＋y 2＋14y 2＋x y ＋y x .∵x ＞0，y ＞0，∴原式≥2·12＋2·12＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22时，等号成立． 答案：46．已知a ，b ∈R ＋，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋ac ≥________. 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c＝3＋bc a 2＋ac b 2＋ab c 2＋a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab≥3＋6 6bc a 2·ac b 2·ab c 2·a 2bc ·b 2ca ·c 2ab＝9.7．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为________．解析：∵f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)， ∴a >0.∴c －1a ＝0.∴c ＝1a.∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a 2＋a ＋1a 2＋1a≥2a 2·1a2＋2a ·1a＝4， 当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号． 答案：48．x ，y >0，x ＋y ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ， 因为x ，y >0，且x ＋y ＝1⇒xy ≤14.(当且仅当x ＝y ＝12时取等号)以xy 为整体，xy ＋1xy 在(0，14]上单调递减，故xy ＝14，⎝ ⎛⎭⎪⎫xy ＋1xy min ＝174，当且仅当x ＝y ＝12时取得，对y x ＋xy ≥2y x ·x y ＝2，当且仅当x ＝y ＝12时取得， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为254.答案：254三、解答题9．设a ，b ，x ，y ∈R ，且有a 2＋b 2＝3，x 2＋y 2＝6，求ax ＋by 的最大值． 解：∵a 2y 2＋b 2x 2≥2aybx ， ∴(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)≥(ax ＋by )2， 当且仅当ay ＝bx 时取等号． ∴ax ＋by ≤3×6＝32，当且仅当ax ＝by 且a 2＋b 2＝3且x 2＋y 2＝6时，等号成立． 10．(江苏高考)已知x >0，y >0， 证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy .解：因为x >0，y >0， 所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0， 1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .11．x ，y ，a ，b 均为正实数，x ，y 为变数，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解：∵x ＋y >0，a >0，b >0且a x ＋b y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2bx y ·ayx＝a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.当且仅当bx y ＝ayx时取等号， 此时(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18. 即a ＋b ＋2ab ＝18. 又a ＋b ＝10， 联立⎩⎨⎧a ＋b ＋2ab ＝18，a ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.。
《基本不等式(2)》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《基本不等式（2）》教学设计1．熟练掌握基本不等式及变形的应用．2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 3．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．重点：会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 难点：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．一、新课导入情境1：在一次创意比赛中，有一件作品里，需要把一些长为16cm 的铁丝弯成不同矩形去点缀，请同学们设计一些样式方案 ．方案 长/cm 宽/cm 面积/cm 2方案1 2 6 12 方案2 3 5 15 方案34416⋯⋯思考：从这些方案给出的数据来看，我们可以得到哪些规律？答：矩形的周长是定值；矩形的面积在变化；矩形两边越接近，面积越大． 设矩形长x cm 宽y cm ，依照题意2x +2y =16，x +y =8.根据基本不等式，x+y 2⩾√xy ，得xy ⩽16， 当且仅当x =y =4，等号成立．边长为4cm 的正方形的面积最大．情境2：在另一件作品里，需要一些面积都为16 cm 2的不同矩形去点缀，请同学们设计一些样式方案 ．方案 长/cm 宽/cm 面积/cm 2方案1 1 16 16 方案2 2 8 16 方案34416⋯⋯思考：从这些方案给出的数据来看，我们又可以得到哪些规律？答：矩形的面积是定值；矩形的周长在变化；矩形两边越接近，周长越小． 设矩形长x cm 宽y cm ，依照题意xy =16.根据基本不等式，x+y 2⩾√xy ，得x +y ⩾8，当且仅当x =y =4，等号成立．边长为4cm 的正方形的周长最小．注意：◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程 ◆矩形周长16cm ，即两边之和的2倍16 cm ，面积最大为16cm 2;矩形面积16cm 2，即两边之积16 cm 2，周长最小16cm.两个正数的和为定值，它们的积有最大值; 两个正数的积为定值，它们的和有最小值．二、新知探究问题1：两个正数的和为定值，它们的积有最大值;两个正数的积为定值，它们的和有最小值．这是一种定性描述.我们能否通过基本不等式，得到确定的结论呢?分析：先得把定性描述，转化成数学语言的表达．即设x >0，y >0，①x +y =s （s 为定值），求xy 最大; ②xy =p （p 为定值），求x +y 最小．答：结论已知x ，y 均为正数时，下面的命题均成立：（1）若x +y =s （和为定值），则当且仅当x =y 时，xy 取得最大值s 24．（2）若xy =p （积为定值），则当且仅当x =y 时，x +y 取得最小值2√p ． 注意：这个结论给出了利用基本不等式解决问题的两个数学模型． 两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，它们的积有最大值． 两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，它们的和有最小值．对这两个模型，在利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”. 问题2：已知函数y =x(1−x)(0<x <1)该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？答：0<x <1，得0<1−x <1，而x +(1−x)=1.根据基本不等式，x (1−x )⩽(x +1−x 2)2=14当且仅当x =1−x ，即x =12时，等号可取.故最大值为14.在解的过程中，先保证了x 与1−x 都是正数，再保证x +(1−x)=1，即和是定值，再保证了等号成立时x =12可以满足.从而确定有最大值14.问题3：基本不等式在和运算与积运算之间建立了桥梁．前面的学习，我们得到了利用基本不等式求最值的两个重要数学模型．大家能不能想出其它能利用基本不等式求最值的模型呢？分析：基本不等式在和运算与积运算之间建立了桥梁,那么如果我们知道两个数的“和”与其“积”的关系式，就能利用基本不等式建立有关“和”或“积”不等式.比如：设x >0，y >0，③x +y =txy (t 为定值t >0) ，求x +y 、xy 的最值.答：结论已知x，y均为正数时，下面的命题均成立：（1）x+y=txy (t为定值),则当且仅当x=y时，xy取得最小值4t2．（2）x+y=txy (t为定值),则当且仅当x=y时，x+y取得最小值4t．事实上，当两正数x，y，它们的和x+y与它们的积xy之间有一个恒等关系，就可以结合基本不等式，将这个恒等式变成不等式．从而得到有关和x+y或积xy的不等式．解不等式得出和x+y或积xy的范围，根据基本不等式使用条件得到取得最值的条件，从而求出和x+y或积xy的最值．三、应用举例例1动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（接头处不计）（1）现有可围36m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？（2）若使每间禽舍面积为24m2，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？解：（1）设每间禽舍的长为x m，宽为y m，则4x+6y=36，即2x+3y=18．设S=xy(0<x<9，0<y<6)，应用基本不等式，有2x+3y⩾2√2x·3y，即2√6·√S⩽18．所以S⩽13.5．当且仅当2x=3y时，不等式中的等号成立，此时{2x=3y，2x+3y=18，解得{x=4.5，y=3．因此当每间禽舍的长、宽各设计为4.5m和3m时，可使每间禽舍面积为13.5m2．（2）设周长C=4x+6y，xy=24，应用基本不等式，有4x+6y2⩾√4x∙6y，即C 2⩾24.所以C ⩾48.当且仅当4x =6y 时，等号成立，此时{4x =6y ，xy =24，解得{x =6，y =4．因此当每间禽舍的长、宽各设计为6m 和4m 时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小为48m ．例2 若x >0， y >0 ，2x +y =4xy ，求 （1）2x +y 的最小值；（2） xy 的最小值解：x ，y 均为正数，等式 2x +y =4xy 给出了x ，y 的线性和与其积之间的恒等关系，在运用基本不等式时，需要注意形式结构的变化．(1)2x +y =4xy =2×2x ∙y ⩽2×(2x+y 2)2⟹2x +y ⩾2当且仅当2x =y ，等号成立，此时{2x =y 2x +y =2 ⟹{x =12y =1，2x +y 的最小值为2．(2)4xy =2x +y ⩾2√2xy ⟹xy ⩾2当且仅当2x =y ，等号成立，此时{2x =y xy =2 ⟹{x =12y =1，xy 的最小值为2．例3 已知正数x ，y ，满足x +2y =1，求1x +1y 的最小值．解：x ，y 均为正数， x +2y =1是和形式，1x +1y 是倒数和形式，不能直接运用基本不等式．多变量或参数时，常见的想法是减元或消参．因为x +2y =1(0<x <1) ⟹y =1−x 2⟹1x+1y=1x+21−x=1+x x−x 2，令1+x =t ，1<t <2，则x =t −1⟹1x +1y =tt−1−(t−1)2=t3t−(t 2+2)=13−(t+2t)，而t +2t ⩾2√t ∙2t =2√2⟹1x +1y ⩾3−2√2=3+2√2，当且仅当t =2t，等号成立．此时t =√2，从而x =√2−1，y =1−√22. 1x+1y的最小值为3+2√2．另解：可将分子中的1用x +2y 代替，灵活应用“1”的代换． 因为x ，y 为正数，且x +2y =1． 所以1x +1y =(x +2y )(1x +1y )=3+2y x+xy≥3+2√2，当且仅当2y x=x y，即当x =√2−1，y =1−√22时等号成立． 所以1x +1y 的最小值为3+2√2．四、课堂练习1．当x >1，当x +81x−1的值最小时，求x 的值．2． 某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少千米处．参考答案：1.10解析：因为x>1，所以x+81x−1=x−1+81x−1+1≥2√(x−1)·81(x−1)+1=19，当且仅当x−1=81x−1，即x=10时等号成立．2. 5解析：设仓库到车站的距离为x千米，由题意，y1=k1x，y2=k2x．由x=10时，y1=2，y2=8．得k1=20，k2=45．y1+y2=20x+45x⩾2√20x∙45x=8，当且仅当20x=45x，即x=5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．五、课堂小结本节课，利用情境1和情境2，得到两个定性描述：●两个正数的和为定值，它们的积有最大值;●两个正数的积为定值，它们的和有最小值．从而抽象概括出了，利用基本不等式求最值的两种重要模型：（1）若x+y=s（和为定值），则当且仅当x=y时，xy取得最大值s 24．（2）若xy=p（积为定值），则当且仅当x=y时，x+y取得最小值2√p．再结合两个正数的和与积之间的等式关系，得到新的最值模型：（1）x+y=txy (t为定值),则当且仅当x=y时，xy取得最小值4t2．（2）x+y=txy (t为定值),则当且仅当x=y时，x+y取得最小值4t．六、布置作业教材第30页练习1、2、3、4题．。
2020年高中数学 新北师大版 必修第一册 1.3.2 基本不等式 学案
基本不等式【学习目标】1．通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．借助基本不等式解决简单的最值问题，【学习难点】1．基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）； 2．利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
【学习重点】应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
【学习过程】一、自主预习1．两个非负实数的算术平均值________它们的几何平均值2．若0a ≥，取0b ≥，x y =，则：2a b+≥当且仅当a b =时，等号成立这个不等式称为__________3．当x ，y 均为正数时，下面的命题均成立：（1）若x y s +=（s 为定值）则当且仅当x y =时，xy 取得最大值________ （2）若xy p =(p 为定值）则当且仅当x y =时，x y +取得最小值_____ 二、例题探究1．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC a =，BC b =，过点C 作CD AB ⊥交圆周于D ，连接OD ．作CE OD ⊥交OD 于E ．由CD DE ≥可以证明的不等式为（ ）A ．2(0,0)aba b a b+＞＞B ．0,0)2a ba b +＞＞C (0,0)2a ba b +＞＞D ．2220,0a b ab a b +≥（＞＞）2．若,0a b ＞，24ab a b ++=，则a b +的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2D ．3-3．若矩形ABCD 的周长1为定值，则该矩形的面积的最大值是（ ）A ．116 B ．14C ．2116D ．2144．已知0m ＞，0xy ＞，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．[2,)+∞C ．D ．【课后巩固】1．下列命题中正确的是（ ）A ．若,a b ∈R ，则2b a ab+≥ B ．若0x ＞，则12x x+＞C ．若0x ＜，则44x x+≥-- D ．若x ∈R ，则222222x x x --+⋅= 2．下列函数中，最小值是2的是（ ） A ．22x y x=+B ．yC ．77x x y -=+D ．28(0)y x x x=+＞3．函数16(0)y x x x =++＞的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．已知实数a b ∈+R ，，且2a b +=，则的最小值为（ ）A ．9B ．92C ．5D ．45．已知0x ＞，则16y x x=+的最小值为（ ） A ．4B ．16C ．8D ．106．若正数a ，b 满足12ab+=ab 取最小值时，b 的值为（ ） A ．BC ．D7．已知,0x y ＞，33122x y +=++，则2x y +的最小值为（ ） A ．9 B ．12 C ．15 D．3+8．已知正实数满足21a b +=，则12a b+最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．119．（1）设302x ＜＜，求函数32y x x =-（）的最大值； （2）解关于x 的不等式210x a x a -++（）＜．10．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为245 m ，四周空白的宽度为0.5 m ，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25 m ，设广告牌的高为 m x ．（1）求广告牌的面积关于x 的函数S x （）； （2）求广告牌的面积的最小值．【答案解析】1．【解析】解：由射影定理可知2CD DE OD =⋅，即222DC ab abDE a b OD a b =⋅=++，由DC DE ≥2aba b=+，2．【解析】解：∵ ,a b =*R ，24ab a b ++=，∴142b a a +=-（）， ∴42242(1)6621111a a ab a a a a --+-=--=-+++++， ∴6621311a b a a a a +=-+=++-++ ∵0a ＞，0b ＞，∴3a b +≥， 当且仅当611a a +=+即1a =时取“=”， 故选：D ．3．【解析】解：设矩形ABCD 的长为x ，宽为y ，则其周长122x y =+为定值，即12x y +=；所以该矩形的面积为2221()1224416x y x y S xy ⎛⎫⎪++⎛⎫⎝⎭=≤=== ⎪⎝⎭， 当且仅当14x y ==时S 取得最大值是2116．故选：C ．4．【解答】解：∵0m ＞，0xy ＞，2x y +=，∴211212()222m m y mx x y m xy x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1(22m ≥++1(22m =++， ∵不等式24m x y +≥恒成立，∴1(242m ++≥，整理得0+≥2m ≥， ∴m 的取值范围为[2+∞，）．【课后巩固答案解析】1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B9．【解析】解：（1）设302x ＜＜，∵函数293(32)284y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，故当34x =时，函数取得最大值为98．（2）关于x 的不等式210x a x a -++（）＜，即()()10x x a --＜．当1a =时，不等式即210x -（）＜，不等式无解；当1a ＞时，不等式的解集为{|}1x x a ＜＜； 当1a ＜时，不等式的解集为1{|}x a x ＜＜． 综上可得，当1a =时，不等式的解集为∅，当1a ＞时，不等式的解集为{|}1x x a ＜＜，当1a ＜时，不等式的解集为1{|}x a x ＜＜． 10．【解析】解：（1）依题意广告牌的高为 m t ，则()112545x t --=（）．， 所以451.251t x =+-，且1x ＞， 所以广告牌的面积45() 1.25(1)1s x tx x x x ⎛⎫==+⎪-⎝⎭＞． （2）由（1）知，45() 1.251s x tx x x ⎛⎫==+⎪-⎝⎭451.25(1)46.252 1.25(46.2561.251x x x =-++=-，当且仅当451.25(1)1x x -=-，即7x =号成立． 所以76125min s x s ==（）（）.， 广告牌的面积的最小值为61.25．。
北师大版高中必修53.1基本不等式课程设计 (2)
北师大版高中必修53.1基本不等式课程设计课程目标通过本课程的学习，学生将掌握基本不等式的概念及基本性质，熟练掌握基本不等式的证明方法，并能运用基本不等式解决实际问题。
同时，学生还将能够了解到基本不等式在其他数学领域的应用。
教学重点1.基本不等式的概念及基本性质；2.基本不等式的证明方法；3.基本不等式的应用。
教学难点1.基本不等式的证明方法；2.基本不等式的应用。
教学方法本课程采用讲授与练习相结合的教学方法，同时引导学生通过数学建模、探究等方式加强对所学知识的理解和应用。
教学内容与安排第一节：基本不等式的定义与性质1.1 基本不等式的定义基本不等式是指对于任意正整数n，恒有：$$1+n+\\frac{n^2}{2}+\\frac{n^3}{3}+\\cdots+\\frac{n^{n-1}}{n-1}>n^n$$1.2 基本不等式的性质基本不等式具有以下性质：•左侧是单调递增的；•右侧是单调递增的；•右侧下面的n^n是一个底为n的幂。
第二节：基本不等式的证明方法2.1 直接证明法采用数学归纳法证明基本不等式。
2.2 间接证明法采用反证法证明基本不等式。
2.3 另类证明法采用对数函数的 monotone 的性质来证明基本不等式。
第三节：基本不等式的应用3.1 基本不等式的一般形式$$a_1^p+a_2^p+\\cdots+a_n^p\\geq\\frac{(a_1+a_2+\\cdots+a_n)^p}{n^{p -1}},p\\geq1$$3.2 基本不等式在不等式证明中的应用通过基本不等式的应用，可以解决很多有趣的不等式问题。
3.3 基本不等式在其他数学领域的应用基本不等式还可以应用在求导、积分、概率和数学统计等领域。
教学评价与反思通过本课程的学习，学生们对基本不等式有了更深入的理解和认识，同时加强了对数学证明的能力和数学建模的应用能力。
在未来的学习和工作中，这些能力都是非常宝贵的。
在教学中，我们需要注重引导学生主动学习，通过演练和实践加深对知识的理解和应用。
1.3.2 基本不等式第1课时基本不等式 导学案(含答案)(2024)高一上学期北师大版必修 第一册
3.2 基本不等式第1课时 基本不等式【学习目标】1.掌握基本不等式,从代数结构、几何直观、数量关系、实际意义等角度分析、理解基本不等式.2.初步运用基本不等式解决简单的证明问题,发展数学运算素养和逻辑推理素养,培养发现问题、提出问题的意识与能力.◆ 知识点 基本不等式1.基本不等式:a+b2≥√ab (a ≥0,b ≥0),当且仅当 时,等号成立.2.算术平均值与几何平均值:设a ≥0,b ≥0,则 称为a ,b 的算术平均值, 称为a ,b 的几何平均值.3.基本不等式又称为均值不等式,也可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.当且仅当a ,b 两数相等时两者相等. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ab ≥0,则a+b2≥√ab . ( )(2)当x ≠0时,有x+4x ≥4. ( )◆ 探究点一 正确理解基本不等式例1 (1)(多选题)下列说法正确的是( )A .若a>0,b>0且a ≠b ,则a+b>2√abB .若a>0,b>0,则ab ≤(a+b 2)2C .对任意的a ,b ∈R,a 2+b 2≥2ab ,a+b ≥2√ab 均成立D .若a ≠0,则a+1a ≥2√a ·1a =2(2)设0<a<b ,则下列不等式中成立的是( )A .a<b<√ab <a+b2B .a<√ab <a+b2<b C .a<√ab <b<a+b2D .√ab <a<a+b 2<b 变式 (多选题)[2024·石家庄联邦外国语中学高一期中] 下列不等式中恒成立的是( )A .a 2+1>2aB .|x +1x |≥2C .x 2+1x 2+1≥1D .√ab≤2 [素养小结]基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化,当题目中不等号的一端是“和式”而另一端是“积式”时,就可以考虑利用基本不等式来解决.在应用基本不等式的过程中要注意“一正、二定、三相等”.◆ 探究点二 利用基本不等式求最值例2 (1)已知函数y=9x+1x -2,当x>0时,( )A .y 有最大值4B .y 有最小值4C .y 有最小值8D .y 有最大值8(2)若x>2,则x+1x -2的最小值为 ( ) A .2 B .3 C .4D .5变式 (1)已知x>0,则4-2x-2x 的最大值为( )A .-2B .-1C .0D .2(2)已知x>0,则x 2-x+4x 的最小值为( )A .5B .3C .-5D .-3[素养小结]利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时,需满足(1)a ,b 必须都是正数(一正);(2)当a+b 为定值时,可以知道ab 的最大值,当ab 为定值时,可以知道a+b 的最小值(二定);(3)当且仅当a=b 时,等号成立(三相等).◆ 探究点三 利用基本不等式比较大小例3 已知a ,b ∈(0,+∞),且a+b=1,试比较1a +1b ,2a 2+b 2,4的大小.变式 已知a>1,则a+12,√a ,2aa+1三个数的大小关系是 ( )A .a+12<√a <2aa+1B .√a <a+12<2aa+1 C .2a a+1<√a <a+12D .√a <2a a+1<a+12[素养小结]应用基本不等式比较大小,一般有两种思路:(1)结合基本不等式,确定每个式子的范围,用不等式的传递性比较大小;(2)观察待比较式子的结构特征,合理选取基本不等式或其变式,利用不等式的性质比较大小.◆ 探究点四 利用基本不等式证明不等式[提问] 要证明不等式x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx ,你会联想到哪些不等式?通过怎样的方式求证呢?例4 设a ,b ,c 都是正数,求证:bc a +ca b +abc ≥a+b+c.变式 [2024·福建将乐一中高一月考] 已知a>0,b>0,且a+b=2,证明:√a +1+√b +1≤2√2.[素养小结]要证明的不等式具有一边或两边是三个式子相加或相乘的形式时,通常先用基本不等式两两结合,再用同向不等式相加或相乘的性质来证明.拓展 已知a ,b ,c 都是正实数,且a+b+c=1.求证:(1-a )(1-b )(1-c )≥8abc.3.2 基本不等式第1课时 基本不等式【课前预习】知识点1.a=b2.a+b 2√ab诊断分析(1)× (2)× [解析] (1)在基本不等式中,要求a ,b 都是非负数,故(1)错误.(2)没有考虑x 的正负,当x>0时,x+4x≥2√x ·4x=4(当且仅当x=2时,等号成立);当x<0时,x+4x =-(-x -4x )≤-2√(-x )·4-x =-4(当且仅当x=-2时,等号成立),故(2)错误. 【课中探究】探究点一例1 (1)AB (2)B [解析] (1)由基本不等式可知A,B 正确;当a ≥0,b ≥0时,a+b ≥2√ab 成立(当且仅当a=b 时,等号成立),故C 错误;而D 中,当a<0时,该不等式不成立.故选AB . (2)因为b>a>0,所以a+b 2>√ab ,ab>a 2,2b>b+a ,所以b>a+b 2,√ab >a ,所以a<√ab <a+b 2<b.故选B .变式 BC [解析] 对于A,当a=1时, a 2+1=2a=2,故A 错误.对于B,由题意可知 x ≠0,所以 |x|>0,1|x |>0,所以|x +1x|=|x|+1|x |≥2√|x |·1|x |=2,当且仅当|x|=1|x |,即x=±1时取等号,故B 正确.对于C,因为x 2+1>0,所以x 2+1x 2+1=x 2+1+1x 2+1-1≥2√(x 2+1)·1x 2+1-1=1,当且仅当x 2+1=1x 2+1,即x=0时取等号,故C 正确.对于D,当a=1,b=4时,√ab=√4=52>2,故D 错误.故选BC .探究点二例2 (1)B (2)C [解析] (1)由x>0,得y=9x+1x-2≥2√9x ·1x-2=4,当且仅当9x=1x,即x=13时,等号成立,所以当x>0时,函数y=9x+1x-2有最小值4.故选B .(2)由x>2,得x-2>0,所以x+1x -2=x-2+1x -2+2≥2√(x -2)·1x -2+2=4,当且仅当x-2=1x -2,即x=3时,等号成立,所以x+1x -2的最小值为4.故选C .变式 (1)C (2)B [解析] (1)因为x>0,所以4-2x-2x =4-(2x +2x )≤4-2√2x ·2x =4-4=0,当且仅当2x=2x,即x=1时,等号成立,所以4-2x-2x的最大值是0.故选C .(2)由x>0,得x 2-x+4x=x+4x -1≥2√x ·4x -1=3,当且仅当x=4x ,即x=2时等号成立,所以x 2-x+4x的最小值为3,故选B .探究点三例3 解:∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab ≤(a+b 2)2=14,当且仅当a=b=12时,等号成立.∴1a +1b =a+b ab =1ab ≥4,a 2+b 22=(a+b )2-2ab 2=12-ab ≥12-14=14,即2a 2+b 2≤4.故1a +1b ≥4≥2a 2+b 2.变式 C [解析] 易知当a ,b 是正数时,2aba+b ≤√ab ≤a+b 2(当且仅当a=b 时,等号同时成立),令b=1,得2aa+1≤√a ≤a+12(当且仅当a=1时,等号同时成立).又a>1,所以2aa+1<√a <a+12,故选C .探究点四提问 解:联想到不等式x 2+y 2≥2xy ,y 2+z 2≥2yz ,z 2+x 2≥2zx (当且仅当x=y=z 时,三式中的等号同时成立),将它们相加再化简即可.例4 证明:∵a ,b ,c 都是正数,∴bc a ,ca b ,abc 也都是正数,∴bc a +ca b ≥2c ,ca b +ab c ≥2a ,bc a +abc ≥2b ,当且仅当a=b=c 时,三式中的等号同时成立,三式相加得2(bca +ca b+abc)≥2(a+b+c ),即bc a +ca b +abc ≥a+b+c. 变式 证明:因为√2×√a +1≤a+32,当且仅当a=1时等号成立,√2×√b +1≤b+32,当且仅当b=1时等号成立,所以√2×√a +1+√2×√b +1≤a+32+b+32=4,当且仅当a=b=1时,等号成立,则√2(√a +1+√b +1)≤4,即√a +1+√b +1≤2√2,故得证.拓展证明:∵a+b+c=1,∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b).又∵a,b,c都是正实数,∴a+b2≥√ab>0,b+c2≥√bc>0,a+c2≥√ac>0,当且仅当a=b=c=13时,三式中的等号同时成立.∴(a+b)(b+c)(a+c)8≥abc, ∴(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.。
高中数学 基本不等式(一)教案 北师大版
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
北师大版高中必修53.1基本不等式课程设计
北师大版高中必修53.1基本不等式课程设计一、课程简介本课程是北师大版高中数学必修课程中的第五章第三节：基本不等式，旨在帮助学生掌握不等式的基本概念、性质和运用基本不等式解决实际问题的能力。
二、课程目标1.了解不等式的基本概念和性质；2.掌握基本不等式及其推论的证明方法；3.能够将问题转化为数学模型并应用基本不等式解决实际问题。
三、教学内容1. 不等式的基本概念和性质•不等式的定义和解释；•不等式的基本性质；•不等式的基本类型与分类。
2. 基本不等式•基本不等式的定义和形式；•基本不等式的推论；•基本不等式的证明方法。
3. 应用示例•利用基本不等式解决实际问题。
本课程采取讲授、实验、案例分析等多种教学方法，以提高学生的学习兴趣和参与度。
其中，讲授环节以讲解基本概念、性质和推论为主，实验环节以让学生练习基本不等式证明和应用为主，案例分析则以现实问题为背景，让学生理解和掌握如何将数学模型应用于解决实际问题。
五、教学评价本课程采用考试、作业、小组讨论等多种教学评价方式，以全面评价学生的学习效果。
其中，考试环节主要考查学生掌握不等式的基本概念、性质和基本不等式证明等知识点；作业环节主要考查学生应用基本不等式解决实际问题的能力；小组讨论则可提高学生思维、表达和合作等综合能力。
六、教学资源为保障教学质量，本课程教师应提供以下教学资源：•教材、参考书目；•讲义、PPT；•实验器材、工具；•真实案例数据等。
七、教学进度本课程教学进度如下：教学环节授课时数不等式的基本概念和性质 2基本不等式 3应用示例 2本课程教师应定期反思教学设计和教学进度，以不断完善教学方案，提高教学质量。
同时，学生也应定期反思学习情况，及时调整学习方法和策略，提高学习效果。
北师大版高中数学必修第一册1.3.2.1基本不等式课件
题型2 利用基本不等式比较大小——师生共研 ①取特值可判断大小； ②借助基本不等式和重要不等式变形寻求判断方法．
答案：D
跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(1－ a)(1－b)(1－c)≥8abc.
答案：ABC
易错警示 易错原因 易忽视基本不等式成立的前提是为正数而误认为D也正确，误选 ABCD. 纠错心得 使用基本不等式时一定不要忘记使用条件“一正、二定、三相 等”．
第1课时 基本不等式
均值不等式 大于或等于
非负
状元随笔 应用基本不等式时应注意的问题： (1)注意基本不等式成立的条件； (2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立．
× √ ×
×
答案：D
答案：ACD
答案：2
答案：B
答案：D
状元随笔 对于基本不等式，要注意抓住其结构特征及成立的前提条件，这样 才能正确地解决问题．
答案：B
答案：C
答案：A
答案：ห้องสมุดไป่ตู้D
答案：①②③
7．(6分)[多选题](数学文化)《九章算术》中“勾股容方”问题： “今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽 在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法： 如图(1)，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形， 每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、 青)．将三种颜色的图形进行重组，得到如图(2)所示的矩形，该矩形 长为a＋b，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多 重要的结论，
如图(3)，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的 对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，
答案：BCD
北师版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第1章 预备知识 第2课时 习题课 基本不等式的应用
2
值是2.
1 2 3 4 5
1 2
2.已知实数m,n满足2m+n=2,其中mn>0,则 + 的最小值为( D )
A.12
B.8
C.6
D.4
解析 由已知 2m+n=2,mn>0,所以 m>0,n>0.
1
2
+
=
1
1
2 1
4
(2m+n)( + )= (4+ + )≥4,
的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25
(x∈N+),则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是 8 万元.
解析 每台机器运转 x
25
年的年平均利润为=18-(x+ ),而
x>0,故
≤18-2 25=8,当且仅当 x=5 时,等号成立,此时每台机器为该公司创造的年
内,求函数的最值时,一般先考虑用基本不等式,当用基本不等式求最值的
条件不具备时,再考虑函数的单调性(单调性在第二章学习).(4)正确写出
答案.
变式训练2[2024北京房山高一期末]某养殖场要建造一个长方体无盖养殖
水池,其容积为3 200 m3,深为2 m.已知池底每平方米的造价为15元,池壁每
平方米的造价为12元,那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是
规律方法
含有多个变量的条件最值问题,一般方法是采取减少变量的个
数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决;如果条件等
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第一章 预备知识
第三章 不等式
3.2 基本不等式 导学案
1．通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；
2． 借助基本不等式解决简单的最值问题，
1. 两个非负实数的算术平均值________它们的几何平均值
2. 若a≥0,b≥0,取,x a y b ==，则：,2
a b ab +≥当且仅当a=b 时，等号成立 这个不等式称为__________
3. 当x,y 均为正数时,下面的命题均成立：
（1） 若x+y = s （s 为定值）则当且仅当x =y 时,xy 取得
最大值________
（2） 若x y =p(p 为定值）则当且仅当x=y 时,x+y 取得最小值_____
1.《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过
这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交圆周于D ，连接OD ．作CE ⊥OD 交OD 于E ．由CD ≥DE 可以证明的不等式为（ ）
A ．≥（a ＞0，b ＞0）
B ．（a ＞0，b ＞0）
C．≥（a＞0，b＞0）D．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）
2．若a，b＞0，ab+2a+b＝4，则a+b的最小值为（）
A．2 B．﹣1 C．2﹣2 D．2﹣3
3．若矩形ABCD的周长1为定值，则该矩形的面积的最大值是（）A．B．C．D．
4．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥4恒成立，则m的取值范围是（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（0，] D．（，2]
1．下列命题中正确的是（）
A．若a，b∈R，则
B．若x＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x∈R，则
2．下列函数中，最小值是2的是（）
A．y＝B．y＝
C．y＝7x+7﹣x D．y＝x2（x＞0）
3．函数的最小值为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知实数a，b∈R+，且a+b＝2，则的最小值为（）
A．9 B．C．5 D．4
5．已知x＞0，则y＝x+的最小值为（）
A．4 B．16 C．8 D．10
6．若正数a，b满足＝，则当ab取最小值时，b的值为（）
A．B．C．D．
7．已知x，y＞0，，则x+2y的最小值为（）
A．9 B．12 C．15 D．
8．已知正实数满足a+2b＝1，则+最小值为（）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．（1）设0＜x＜，求函数y＝x（3﹣2x）的最大值；
（2）解关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0．
10．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm．
（1）求广告牌的面积关于x的函数S（x）；
（2）求广告牌的面积的最小值．
【答案】：
【实践研究】
1.【解析】解：由射影定理可知CD2＝DE•OD，即DE＝＝，
由DC≥DE得≥，
故选：A．
2．【解析】解：∵a，b＝R*，ab+2a+b＝4，
∴b（a+1）＝4﹣2a，
∴b＝＝﹣＝﹣＝﹣2+，
∴a+b＝a﹣2+＝a+1+﹣3
∵a＞0，b＞0，
∴a+b≥2＝2，
当且仅当a+1＝即a＝时″＝″，
故选：D．
3．【解析】解：设矩形ABCD的长为x，宽为y，则其周长1＝2x+2y为定值，
即x+y＝；
所以该矩形的面积为
S＝xy≤＝＝＝，
当且仅当x＝y＝时S取得最大值是．
故选：C．
4【解答】解：∵m＞0，xy＞0，x+y＝2，
∴＝＝
≥
＝，
∵不等式≥4恒成立，∴≥4，
整理得，解得，即m≥2，
∴m的取值范围为[2，+∞）．
故选：B．
【课后巩固】
1. D
2. C
3. C
4. B
5. C
6. A
7. D
8. B
9【解析】解：（1）设0＜x＜，∵函数y＝x（3﹣2x）＝﹣2，故当x＝时，函数取得最大值为．
（2）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0．
当a＝1时，不等式即（x﹣1）2＜0，不等式无解；
当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}；
当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．
综上可得，当a＝1时，不等式的解集为∅，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．
10．【解析】解：（1）依题意广告牌的高为tm，则（x﹣1）（t﹣1.25）＝45，
所以，且x＞1，
所以广告牌的面积s（x）＝tx＝（x＞1）．
（2）由（1）知，s（x）＝tx＝
＝+46.25＝61.25，
当且仅当，即x＝7号成立．
所以s（x）min＝s（7）＝61.25，
广告牌的面积的最小值为61.25．。