天体运动专题复习

万有引力与航天

一、行星运动规律

1.物理学史

2.开普勒行星运动规律

*方法：椭圆轨道问题，先选用开普勒定律解决.

*近似圆处理：

【例1.1】如图所示，O表示地球，P表示一个沿椭圆轨道绕地球做逆时针方向运动的人造卫星，AB 为长轴，CD为短轴．在卫星绕地球运动的一个周期内，设卫星从A到B的时间为t AB，同理设其从B到A、从C到D、从D到C的时间分别为t BA、t CD、t DC.下列关系式正确的是()

A．t AB>t BA B．t AB

C．t CD>t DC D．t CD

【答案】D

【解析】由对称性得t AB＝t BA，选项A、B错误；由开普勒第二定律可知，卫星在近地点时速度较快，在远地点时速度较慢，所以t CD

【例1.2】1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”，以

看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示．已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R ，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为( )

A.3

3.4R B. 3.4R C.3

11.56R D.11.56R 【答案】C

二、万有引力定律及典型问题 1.万有引力定律

*G 的单位是多少？

*适用条件及性质：①用于质点之间的万有引力计算

a.计算天体之间的万有引力，选取天体中心之间的距离计算；

b.计算均匀球体之间的万有引力，选取球心之间的距离计算.

②普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一．

③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义．在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力很不显著，万有引力可以忽略不计

④相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律．

【例2.3】有一质量为M 、半径为R 、密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质量为m 的质点．现在从该球体中挖去一半径为R

2的球体，如图所示，则剩下部分对质点的万有引力F 为多大？

(引力常量为G )

【答案】7GMm

36R 2

【解析】设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点的引力F 1可以看作是剩余部分对质点的引力

设被挖部分的质量为M ′，其球心到质点的距离为r ′，由题意知，M ′＝M 8，r ′＝3

由万有引力定律得 F 1＝G Mm （2R ）2＝GMm

4R 2

F 2＝

G M ′m r ′2＝G 18Mm ???

?32R 2＝GMm

18R

2 所以剩下部分对质点的万有引力F ＝F 1－F 2＝7GMm

36R 2

2.典型问题处理方法——“分类意识” (1)公式分类 ①“地面” a.不计自转

b.计自转

②“天上”

*注意：近地情况：

【例2.1】一宇宙飞船绕质量为M 的行星做匀速圆周运动，运动的轨道半径为r ，已知引力常量为G ，行星的半径为R .求：

(1)飞船绕行星做圆周运动的线速度v ； (2)飞船绕行星做圆周运动的周期T ； (3)行星表面的重力加速度g . 【答案】(1)

(2)2πr 3 (3)GM

【解析】(1)设宇宙飞船的质量为m ，根据万有引力定律和牛顿第二定律得： G Mm r 2＝m v 2r 解得v ＝

. (2)飞船绕行星运动的周期T ＝2πr

解得T ＝2π

r 3

. (3)设行星表面某一物体的质量为m ′，根据万有引力定律和牛顿第二定律得 G Mm ′

R 2＝m ′g 解得g ＝GM

【例2.2】假设地球是半径为R 、质量分布均匀的球体．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．某矿井的深度为d ，则在矿井底部和地面处的重力加速度的大小之比为( ) A.R －d R B.R ＋d R

C.????R －d R 2

D.????R R －d 2

【答案】A

【解析】在地球表面，有mg ＝G Mm R 2，又知M ＝ρ·43πR 3，所以g ＝G M R 2＝4

3πGρR ，因为球壳对壳内物

体的引力为零，所以在深度为d 的矿井内的物体受到地球对它的引力等于半径为(R －d )的部分“地球”对它的引力，即mg ′＝G M ′m （R －d ）2，得g ′＝G M ′（R －d ）2＝43πGρ(R －d )，所以g ′g ＝R －d

R ，A 正确．

(2)题型分类

a.求天体质量与密度问题

b.行星、卫星、人造卫星运行参量比较与计算

c.三大宇宙速度与宇宙航行变轨问题

d.行星运动距离“最近”、“最远”问题

e.双星问题

f.选学：潮汐现象、瓦解速度、重力探矿、多星问题等问题

三、题型分析

1.求天体质量与密度问题 (1)“地面”：

①“黄金代换式”“R 、g”

【例3.1.1】我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面.宇航员从距该星球表面高度为h 处，沿水平方向以初速度v 抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L ，已知该星球的半径为R ，引力常量为G .求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的平均密度. 【答案】(1)2hv 2L 2 (2)3hv 2

2πGRL 2

【解析】(1)小球在星球表面做平抛运动，有L ＝vt ，h ＝12gt 2，解得g ＝2hv 2

L 2.

(2)在星球表面满足G Mm

R 2＝mg

又M ＝ρ·43πR 3，解得ρ＝3hv 2

2πGRL 2.

【例3.1.2】假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知在地球两极和赤道水平面上重力加速度的大小分别为g 0和g ，地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( ) A.3πGT 2g 0－g

g 0 B.3πGT 2g 0g 0－g C.3πGT 2

D.3πGT 2g 0g 【答案】B

【解析】在两极处的物体所受的重力等于万有引力，即 G Mm

R 2＝mg 0，在赤道处的物体做圆周运动的

周期等于地球的自转周期T ，则G Mm R 2－mg ＝m 4π2T 2R ，则地球的密度ρ＝3M 4πR 3＝34πR 3·g 0R 2

G ＝

3πg 0

2，B 正确．

(2)“天上”：

①“T/v/ω、R 、h ”

【例3.1.3】“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道．观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t 通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示．已知引力常量为G ，由此可推导出月球的质量为( )

A.l 3Gθt 2

B.l 3θGt 2

C.l Gθt 2

D.l 2Gθt 2 【答案】A

【解析】“嫦娥三号”的线速度v ＝l t ，运动半径r ＝l θ，由向心力公式可得GMm r 2＝m v 2

r ，解得月球的质

量M ＝l 3

Gθt 2，选项A 正确．

②“近地卫星求密度”“T”

【例3.1.4】近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 是一个常数)( ) A ．ρ＝k T B ．ρ＝kT C ．ρ＝kT D ．ρ＝k

GT 2

【答案】D

变形：

【例3.1.5】（多选）如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的角度为θ，下列说法正确的是（）

A．θ越大，周期越大

B．θ越大，速度越小

C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度

D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度

【答案】AC

2.行星、卫星、人造卫星运行参量比较与计算——“天上”

(1)物理量随轨道半径变化的规律

万有引力：