计算机数学基础(上)辅导(1)
计算机数学基础 ppt课件
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1. 2., E}，{a}，P，A)，其 中P = {Aa，AaE，EaA}。 在许多的文法中，有多条产生式的左部相 同，可以将左部相同的产生式写成合并的 产生式形式。在此例文法G中，P中的前两 个产生式的左部相同，都是A，可以合并 为A a | aE，这样一来，P = { A a | aE， EaA}。 在许多情况下，只需要将文法的产生式写 出就可以表明该文法了。
文法所生成的语言，根据四种类型文法，也分为四种，即： 0型语言、1型语言、2型语言和3型语言。
Chomsky建立的形式语言理论对计算机科学的发展规律有 着深刻的影响，特别是对计算机程序设计语言的设计、编 译方法和计算复杂性等方面具有更大的作用。
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1.2.5 文法和语言的类型
定义1.11 设文法G = (V, T, P, S)，如果，对 于P，满足(V∪T)+且中至少含 有一个非终结符，(V∪T)*，则G称为0型 文法（或短语结构文法，简记为PSG)或者 无约束文法(Unrestricted Grammar)。
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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1.1 符号、符号串及其运算
符号串的联结：联结是符号串的基本运算。两个符号串X和Y的 联结，记为XY，就是把Y跟随在X的后面形成的符号串。 例1.1：设 = {1, 2}是一个字母表。设X = 11、Y = 22分别是 上的两个符号串。则： XY = 1122是X、Y两个符号串的联结，XY是上的一符号串。 YX = 2211是Y、X两个符号串的联结，YX也是上的一符号串。
符号串的方幂：设X是符号 串，把X自身联结n次后，得 到的符号串Z，即Z = XX…XX = Xn，称为X的方幂。 我们约定X0 = 。这个定义 可以递归地表示为：
《计算机数学基础》教学课件 3-计算机数学基础
为凸时，其切线斜率 是单调减少的，
线 的 凹
因而
；当曲线为凹时，其切线斜率 是单调增加的，因而
．这说明曲线
的凹凸性可由函数 的二阶导数的符号确定．这就是曲线凹凸性的判定定理．
凸
性
与
定理 1 设 在 上连续，在 内存在二阶导数 ，则
拐
（1）若在 内，
，则曲线
在 上是凹的；
点
（2）若在 内，
，则曲线
在 上是凸的．
对于当
（或
）时，未定式 同样有对应的洛必达法则，定理如
下．
洛
定理 2 设
必 达
（1）当
时，函数 与 都趋于 ；
法
（2）当
时， 与 都存在且
；
则
（3）
存在（或为无穷大），
那么
．
第3章 导数的应用
第 10 页
例6
求
．
解 原式
．
3.1
洛 必
其他有一些 型， 型等未定式也可通过 或 型的未定式来计算．下面举例说明．
数 称为最大值（最小值），最大值和最小值统称为最值．
显然，最值点只可能出现在驻点、不可导点和区间 的端点．因此，只需要求出这三类
点的函数值加以比较即可．
例6
求出函数
在 上的最值．
解 求导得
．
令
，得
．计算得，
．
比较得，函数的最大值为
，最小值为
．
过渡页
第 21 页
3.3 曲线的凹凸性与拐点
第3章 导数的应用
．
，函数单调减少． ，函数单调增加．
例2
判定函数
在 上的单调性．
解 因为在 内有
《计算机数学基础(1)》网上教学辅导(一) 中央电大 顾静相 顾静相
《计算机数学基础(1)》网上教学辅导（一）中央电大顾静相顾静相：大家好！活动开始，欢迎大家参加。
现在是计算机数学基础（1）07秋第一次网上教学辅导的时间，欢迎大家参与这次活动。
王玉华：问候，诸位老师好！顾静相：王老师，您好！这学期你们那里有本课程的学生吗？王玉华：我们直属学院有06秋、07春的，全省有07秋的顾静相：请您把本课程已经开始的期末考试半开卷的形式告诉辅导老师和学生，谢谢！王玉华：好的，你们现在特忙吧，总也没有见面，十分想念，欢迎来沈阳！顾静相：谢谢！王玉华：这种方式好顾静相：王老师，你好.上学期本课程期末考试试行半开卷，你们那里学生反映怎样？王玉华：学生反映好顾静相：谢谢！王玉华：每章的教学重点早知道，有利于教学.喜欢这样的教研活动！顾静相：您说的很好，大家都会有这样的感想的.王玉华：可以建立专业的QQ群，让学生也参与，定期或不定期的搞教学交流等活动，是数学课程有特色顾静相：好的，希望大家积极响应.周勇：顾老师及其他老师早上好！顾静相：周老师，您好！这学期你们那里有学本课程的学生吗？周勇：这门课相对来说较难，我想可以考虑删减一些内容。
顾老师，你认为呢？顾静相：我们也注意到了，已经在逐步采取措施了，如已经开始试行半开卷考试了.刘涌泉：抱歉！我迟到了。
网络不好，老上不了，终于上来了。
顾静相：刘老师，您好！您碰到的情况经常会发生的，抱歉的应该是我们.刘涌泉：顾老师，本学期我校未开此门课.只有重考的学生，这些学生基础差，又没课上，很麻烦。
顾静相：那您是很辛苦的，希望多与这些学生沟通，帮助他们完成学业。
《计算机数学基础（1）》是中央广播电视大学本科开放教育计算机科学与技术专业学生必修的一门专业基础课程，是学习专业理论必不可少的数学工具．本课程主要内容有数理逻辑、集合论、图论和代数系统等内容，是一门理论性较强，应用性较广的课程。
通过本课程的学习，使学生掌握离散数学的基本概念和基本原理，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力．本课程课内学时为72学时，共4学分，一学期开设。
计算机数学基础(第三版)习题参考答案 第1-3章
计算机数学基础（第三版）习题参考答案第1-3章习题1.11．（1）D （2）A （3）A （4）D （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C 2．（1）]14,6[],3,2[-=-=f fR D ; （2）];1,0[],1,1[=-=f fR D（3）);,0[),,(+∞=+∞-∞=f fR D （4）);,0[),,(+∞=+∞-∞=f fR D（5）]1,1[),,(-=+∞-∞=f fR D3．（1）（2）不同；（3）（4）相同。
4．（1）];2,2[-=fD （2）),1()1,(+∞-∞= fD（3）RDf= （4）},,01|),{(R y R x y x y x Df∈∈>++= 5．（1）2010+-=h T （2）斜率10-=k （3）C ︒-5 6．（1）有界，]3,1[=fR ； （2）有界，]56,25.0[-=fR；（3）无界，),0(+∞=fR； （4）有界，)1,0(=fR。
7．（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）偶函数。
8．（1）周期函数，周期为π2；（2）不是周期函数；（3）周期函数，周期为π； 9．（1）1；（2）2。
10．（1）);,(,15))(()(23+∞-∞=-+=++g f R x xx g f);,(,1))(()(23+∞-∞=+-=--g f R x x x g f );,(,263))(()(2345+∞-∞=+-+=fg R x x x x x fg),33()33,33()33,(,132))(/()/(223+∞---∞=-+= g f R x x x x g f（2）]1,1[,11))(()(-=-++=++g f R x x x g f]1,1[,11))(()(-=--+=--g f R x x x g f]1,1[,1))(()(2-=-=fg R x x fg)1,1[,11))(/()/(-=-+=g f R xxx g f11．（1）),(,62118))(()(2+∞-∞=++=g f R x xx g f),(,236))(()(2+∞-∞=+-=f g R x x x f g),(,88))(()(234+∞-∞=+--=f f R x x x x x f f),(,89))(()(+∞-∞=+=g g R x x g g（2）),0()0,(,21))(()(3+∞-∞=+= g f R xxx g f),0()0,(,21))(()(3+∞-∞=+=f g R x xx f g),0()0,(,))(()(+∞-∞== f f R x x f f),(,410126))(()(3579+∞-∞=++++=g g R x x x x x x g g12．（1）9,)(5-==x u uu F （2）xu u u F ==,sin )(（3）1,ln )(2+==x u u u F （4）3,1)(+==x u u u F13．（1）xx x f2351)(1+-=-； （2）2)(11-=--x e x f； （3）xx x f -=-1log )(21；（4）⎩⎨⎧<≤--≤≤--=-.01,01,1)(1时当时当x x ；x x x f14．（1）由ue y =，x u arctan =复合而成； （2）由x v v u u y ln ,ln ,ln ===复合而成； （3）由x v v u u y sin ,,ln 3===复合而成。
计算机数学基础数值分析部分辅导
《计算机数学基础》数值分析部分第一单元辅导一、重点内容绝对误差――设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差)。
绝对误差限――绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界，即ε≤-=*x x e 。
相对误差e r ――绝对误差e 与精确值x *的比值，***-==x x x x e e r 。
常用xee r =计算。
相对误差限r ε――相对误差e r 绝对值的一个上界，r r e ≥ε，常用xε计算。
绝对误差限和相对误差限的估计式：)()()(2121x x x x εεε+=± ))(()()(212212121121x x x x x x x x x x x x r r r ≠±±≤±εεε)()()(122121x x x x x x εεε+≈ 122121)()()(x x x x x x r r r εεε+≤22122121+=x x x x x x x )()()(εεε 221121)()()(x x x x x x r r r εεε+≤ 有效数字――如果近似值x 的误差限ε是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
关于有效数字：(1)设精确值x *的近似值x ，mn a a a x 10.021⨯±=a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0，n l x x l m ≤≤110⨯50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字. (2)设近似值mn a a a x 10.021⨯±= 有l 位有效数字，则其相对误差限111021+-⨯≤l r a ε(3) 设近似值mn a a a x 10.021⨯±= 的相对误差限不大于1110)1(21+-⨯+l a则它至少有l 位有效数字。
计算机数学基础答案
一．课后习题参考答案1．（P30,第1题）求下列极限：（1）2223lim 321x x x x x →∞++++； （2）x x x x x x ++++∞→23221lim ； （3）()143lim 22++→x x x ； （4）11lim 21+++→x x x x ； （5）2x →； （6）39lim 23--→x x x ；（（7）20x →； （8）201lim sin .x x x →解：（1）22221123232lim lim 32131132x x x x x x x x x x →∞→∞⎛⎫++ ⎪++⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭； （2）x x x x x x ++++∞→23221lim .01011.21111lim 232==⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→x x x x x x ； （3）().2112423143lim 222=+⨯+⨯=++→x x x ；（4）.3211lim21=+++→x x x x ； （5）20x →==； （6）39lim 23--→x x x ()()333lim3-+-=→x x x x ().63lim 3=+=→x x ；（7）221x x x →→=((221lim lim 12x x x x→→+==-+=--；（8）因为20lim 0,x x →= 且1sin1x ≤ ，所以201lim sin 0.x x x→=2．（P30,第2题）求下列极限：（1）()0tan 3lim x x x →；（2）()lim 2sin 02nn n x x →∞≠；（3）()10lim 12x x x →+；（4）2lim 1.xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭解：（1）()()00tan 3sin 31lim3lim .31133cos3x x x x x x x→→==⨯⨯=；（2）sin2lim 2sin lim.22n n n n n nxx x x x→∞→∞==； （3）()()211220lim 12lim 12xx x x x x e →→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦； （4）22222lim 1lim 1.xxx x e x x ---→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3．（P38,第1题）设()33522---=x x x x f ，求极限()x f x 3lim →，指出()x f 的间断点，能否补充定义使之连续.解：()3352lim lim 233---=→→x x x x f x x ()()3123lim3-+-=→x x x x ().712lim 3=+=→x x函数()x f 在3=x 处无定义，但在3=x 附近有定义，故3=x 就是()x f 的间断点. 若补充()73=f ，则能使()x f 在3=x 处连续.4．（P39,第2题）求下列函数的间断点，并指出间断点的类型. （1）()221+x ；（2）23122+--x x x ；（3）2sin x x；（4）⎩⎨⎧>-≤-=;1,3,1,1x x x x y ；（5）⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=.0,12,0,0,0,12x x x x x y解：（1）函数()221+x 在2-=x 处无定义，但在2-=x 的附近有定义，故2-=x 为()221+x 的间断点。
零起点计算机基础培训教程第1课
计算机基础培训教程
本课导读
随着科学技术的发展，计算机已经进入千 家万户，它给我们的生活和工作提供了许 多帮助。使用计算机可以进行学习、教学 、办公、信息管理以及科学研究。通过本 课的学习可以了解计算机的发展和分类、 基本组件以及基本的连接方法，为掌握计 算机技术打下基础。
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1.1 认识个人计算机
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5．【开始】菜单
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1.2.2 典型案例——启动并进 入Windows XP操作系统
案例目标
需要使用电脑时，我们必须将其按照正常 的次序进行启动。本案例将介绍启动并进 入Windows XP操作系统的方法。
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1.2.2 典型案例——启动并进 入Windows XP操作系统
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2．计算机的分类
计算机分为巨型机、大型机、中型机、小 型机和微型机5类。巨型机和大型机主要 用于计算量大、速度要求高的科研机构和 国防事业；中型机和小型机主要用于中小 型企业；微型机简称微机，又称个人计算 机（Personal Computer，简称PC）。
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1.3.2 典型案例——打开【我 的电脑】窗口
操作思路
（1）双击鼠标打开【我的电脑】窗口。 （2）单击鼠标打开【我的电脑】窗口。
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1.3.2 典型案例——打开【我 的电脑】窗口
操作步骤
具体操作步骤请教师参照软件和书中内容 进行讲解。
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1.3.2 典型案例——打开【我 的电脑】窗口
操作思路
（1）打开显示器。 （2）打开主机，进入Windows XP操作系 统。
计算机基础辅导刚要
《计算机应用基础》辅导纲要第一部分计算机基础知识主要内容：1．计算机的概念及诞生时间2．计算机的发展历程3．计算机系统的组成及相互之间的连接4．计算机硬件的组成5．计算机的运算基础6．计算机的数据单位及转换7．计算机软件及分类8．计算机网络的概念和分类9．常用的网络协议10. 计算机网络的功能11．计算机网络硬件的组成12．计算机辅助教育的形式重点掌握：1．ENIAC诞生后，数学家冯·诺依曼提出了重大的改进理论，主要有两点：其一是电子计算机应该以二进制为运算基础，其二是电子计算机应采用"存储程序"方式工作，并且进一步明确指出了整个计算机的结构应由五个部分组成：运算器、控制器、存储器、输入装置和输出装置。
2．世界上第一台电子数字式计算机于1946年2月15日在美国宾夕法尼亚大学，它的名称叫ENIAC。
3．冯`诺依曼提出的计算机体系结构奠定了现代计算机的结构理论基础。
4．目前计算机的应用领域可大致分为三个方面，即实时控制、科学计算、数据处理。
5．第四代计算机的逻辑器件，采用的是大规模、超大规模集成电路。
6．在计算件内部能够直接执行的程序语言是机器语言。
7．CPU只能直接访问存储在内存中的数据，不能直接访问存储在外存中的数据。
8．例:汉字点阵为32×32， 100个汉字的字形码信息所占用的字节数每个汉字占8个字节，32*32*100/8=12800，共占用12800字节。
9．例将二进制数11000000转换为十进制数1*27+1*26=19210．现代计算机的特点处理速度快、存储容量大、计算精度高、工作全自动、适用范围广，通用性强。
11．计算机的应用方便的表格制作、强大的计算能力、提供丰富的图表、具有数据库管理功能、数据共享。
12．计算机的发展历程：50多年来，计算机由于所使用的元器件的迅速发展经历了四代：第一代计算机（1946——1957年）。
这一阶段的计算机其逻辑元件使用电子管；主存使用水银延迟线、阴极射线管或磁鼓；辅存使用磁带；运算速度为每秒5千~4万次；使用机器语言和汇编语言，主要用于科学计算，成为电子管计算机。
《计算机数学基础》教学课件 1-计算机数学基础
合 函
函数不能复合成一个复合函数．事实上， y arcsin(x2 3) 是没有意义的．
数
（2）复合函数也可以由两个以上的复合步骤复合而成．
第1章 函数、极限与连续
第 10 页
1.1
函 数
复 合 函 数
例1
将下列各题中的 y 表示为 x 的函数，并写出它们的定义域．
（1） y u3 ， u cos x ；
第1章 函数、极限与连续
第4页
定义1 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个
1.1
数 x D ，按照某个法则f总有一个确定的y值和它对应，则称y是x的函数，记 作y=f(x)，数集D称为这个函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量，y的取
函
值范围称为函数的值域，用M表示．
数
函数的两个要素
2）周期性
对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，对一切的x均有f(x+T)=f(x)， 则称函数为周期函数．
例如，对三角函数而言，y=sinx和y=cosx都是以为2 π 周期的周期函数，而 y=tanx和y=cox和则是以 π 为周期的周期函数．
第1章 函数、极限与连续
第7页
函数的性质
1.1
4）有界性
函
数
的
若存在实数 M ，使函数 f (x) 在区间 I 上恒有 f (x) M ，则称 f (x) 在区间 I 上是有界函
概
数；否则， f (x) 在区间 I 上是无界函数．
念
例如， y sin x 和 y cosx 都是其定义域内的有界函数．
第1章 函数、极限与连续
第8页
1.1
函 数
x
x
辅导一：计算机基础知识
辅导一：计算机基础知识计算机是一种不需要人的直接干预而能够对各种数字化信息进行算术和逻辑运算的快速工具。
第一台数字电子计算机：1946年 ENIAC 美国一、计算机主要特征：1、逻辑性2、通用性3、准确性4、快速性二、计算机的硬件组成指令：就是“命令”，是规定计算机操作类型及操作数地址的一组代码。
程序是所有指令的有序集合。
计算机的工作原理：将指挥计算机进行工作的程序和原始数据通过输入设备送到存储器中，然后计算机从存储中按程序顺序取出每一条指令进行译码，并按指令要求对指定的数据进行运算和逻辑操作等处理，再将处理结果送到存储器中或通过输出设备进行输出，直至遇到停止指令。
三、计算机的软件组成1、系统软件：是用于对计算机进行资源管理、便于用户使用计算机而配置的各种程序。
2、应用软件：是利用各种系统软件编制的解决各种实际问题的程序。
四、计算机的应用1、科学计算2、数据处理3、自动控制4、计算机辅助系统：计算机辅助设计CAD、计算机辅助测试CAT、计算机辅助制造CAM、计算机辅助教学CAI、计算机辅助学习CAL。
5、人工智能五、多媒体技术应用介绍1、多媒体是信息的载体，是以数字技术为核心的图像、声音与计算机、通信融为一体的信息环境的总称。
2、多媒体特点：学习效果好、宣传能力强、资料完备、综合利用感官、激发想象力和创造力。
六、计算机安全常识1、计算机安全主要包括计算机数据安全和计算机设备安全。
2、计算机系统维护：信息破坏和盗窃的防护、物理环境的防护、计算机网络的安全。
3、计算机病毒：计算机病毒是指能够通过某种途径潜伏在计算机存储介质或程序里，当达到某种条件时即可被激活的、具有对计算机资源进行破坏作用的一组程序或指令集合。
主要特点：破坏性、寄生性、传染性、隐蔽性和潜伏性。
计算机病毒按其表现性质可以分为良性病毒和恶性病毒，按其攻击的目标可以分为引导型、文件型和混合型。
计算机病毒的危害主要体现为计算机系统的信息破坏、资源占用和信息盗取，只不过不同的病毒在方式上和破坏程序上有差异。
计算机数学基础》课后习题解答(一)
习题1.1 单项选择题（1) 函数 ()29x x f -=的定义域是（D ）A. {}3|±≤x xB. ()[)+∞-∞-,33, C 。
{}33|<<-x x D. {}33|≤≤-x x （2） 函数 ()43lg 2-+=x x y 的定义域是(A)A 。
{}{}1|4|>-<x x x xB 。
{}14|<<-x xC 。
{}{}4|1|>-<x x x x D. {}41|<<-x x （3).下列各组函数中表示同一个函数的是(A)。
A. x y =与2x y = B 。
x y =与2x y =C. x y =与xx y 2= D. x y =与x a a y log =（4）.下列函数中值域为R 的是（D).A 。
132+-=x x y ； B 。
21x y =； C 。
x y -=5； D 。
x y 21log =。
（5）。
下列函数中在区间()1,0上是增函数的是（D ）. A. 23-=xy ; B 。
x y 32log =；C. xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=32； D 。
xy ⎪⎭⎫⎝⎛=23。
（6)。
下列函数是偶函数的为（C).A 。
x y 2=；B 。
x y 2log =；C 。
1=y ；D 。
x x y sin cos +=.（7）。
函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=43sin πx y 的最小正周期是（C ）.A 。
π2； B.3π； C 。
32π; D 。
23π.（8）。
下列函数在定义域中既是奇函数又是单调增函数的是（D ）。
A 。
x y tan =； B. x y 3=; C 。
x y 3log =; D. 31x y =. （9）.函数x y 8=的反函数是（C)。
A. )0(log 32>=x x y ；B. x y -=8；C 。
)0(log 312>=x x y ； D 。
《计算机数学基础》辅导(3)
《计算机数学基础》辅导(3)−−集合及其运算本章重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明，笛卡儿积.一、重点内容1. 集合的概念集合与元素，具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素.集合A中所含元素的个数记作A.集合中的元素不能重复出现，集合中的元素无序之分. 集合与其元素之间有属于“∈”或不属于“∉”之分.集合的表示方法：列举法和描述法.2. 特殊集合：全集、空集和幂集全集合E，在一个具体问题中，所涉及的集合都是某个集合的子集，该集合为全集；空集∅，不含任何元素的集合为空集. 空集是惟一的，它是任何集合的子集.集合A的幂集P(A)，有集合A的所有子集构成的集合. 若∣A∣＝n, 则∣P(A)∣=2n.3. 集合的关系：包含，子集，集合相等.包含(子集)，若B∈⇒∀,，则B包含A(或A包含于B)，A是B的aa∈A子集，记BA⊆又A≠B，则A是B的真子集，记A⊂B.集合相等，若A⊆B，B⊆A，则A＝B.注意：在集合概念部分要特别注意：元素与集合，集合与子集，子集与幂集，∈与⊂(⊆)，空集∅与所有集合等的关系.4. 集合的运算集合A和B的并，由集合A和B的所有元素组成的集合，A⋃B集合A和B的交，由集合A和B的公共元素组成的集合，A⋂B集合A的补集~A，由不属于集合A的元素组成的集合，~A. 补集总相对于一个全集.集合A与B的差集，由属于A，而不属于B的所有元素组成的集合，A－B.集合A与B的对称差，A⊕B＝(A－B)⋃(B－A)，也有A⊕B＝）A⋃B〕－（A⋂B）应该很好地掌握10条运算律(运算的性质)，即交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等.5. 恒等式证明集合的运算部分有三个方面的问题：其一是进行集合的运算；其二是集合运算式的化简；其三是集合恒等式的推理证明.集合恒等式的证明方法通常有二：其一，要证明A＝B，只需要证明A⊆B，又A⊇B；其二，通过运算律进行等式推导.6. 有序对与笛卡儿积有序对，就是有顺序的数组，如<x,y>，x,y的位置是确定的，不能随意放置.注意：有序对<a，b>≠<b,a>，以a,b为元素的集合{a,b}={b,a}；有序对(a,a)有意义，而集合{a,a}不成立，因为它只是单元素集合，应记作{a}.笛卡儿积，是一种集合合成的方法，把集合A，B合成集合A×B，规定A×B＝{<x,y>∣x∈A,y∈B}由于有序对<x,y>中x,y的位置是确定的，因此A×B的记法也是确定的，不能写成B×A.笛卡儿积也可以多个集合合成，A1×A2×…×A n.笛卡儿积的运算性质.二、实例例3.1已知S＝{2,a,{3},4},R={{a},3,4,1},指出下列命题的真值.(1) {a}∈S; (2) {a}∈R;(3) {a,4,{3}}⊆S; (4) {{a},1,3,4}⊆R;(5) R=S; (6) {a}⊆S(7) {a}⊆R (8) ∅⊂R(9) ∅⊆{{a}}⊆R (10) {∅}⊆S(11) ∅∈R (12) ∅⊆{{3},4}解集合S有四个元素组成：2，a，{3}，4，而元素{3}又是集合. 集合R 类似.(1) {a}，这是单元素的集合，{a}不是集合S的元素. 故命题A：{a}∈S的真值为0；(2) {a}是R的元素，故命题B：{a}∈R的真值为1.(3) a,4,{3}都是集合S的元素，它们可以构成S的子集. 故命题C：{a,4,{3}}⊆S的真值为1(4) {a}，1，3，4都是R的元素，它们可以构成R的子集，故命题D：{{a},1,3,4}⊆R的真值为1.(6)和(8)，(9)和(12)相应题号的命题，其真值为1；而(5)，(7)，(10)相应题号的命题，其真值为0.例3.2设A＝{=,∈,∉,⊂, ⊃}选择适当的符号填在各小题的横线上.(1) (1,2,3,4) N ; (2) Z Q Q ,2 (3) },056{}5,1{2R x x x x ∈=+-∅ (4) },3{},2{22R y y R x x ∈<∈< (5) }},{{}{a a a(6) {正方形} {菱形} {四边形}(7) {(1,2,3)} {1,2,3,{(1,2,3)}}解 (1) ⊂ (2) ∉, ⊃ (3) ⊂ , = (4) ⊂ (5) ∈或⊂(6) ⊂ ⊂ (7) ∈例3.3 写出下列集合的子集：(1) A ={a ，{b }，c }(2) B ={∅}(3) C =∅解 (1)因为∅是任何集合的子集，所以∅是集合A 的子集；由A 的任何一个元素构成的集合，都是A 的子集，所以{a }，{{b }}，{c }是A 的子集；由A 的任何两个元素构成的集合，都是A 的子集，所以{a ，{b }}，{{b },{c }}，{a , c }是A 的子集；由A 的任何三个元素构成的集合，也是A 的子集，所以{a ，{b }，c }=A 是A 的子集；于是集合A 的所有子集为∅，{a }，{{b }}，{c }，{a ，{b }}，{{b },{c }}，{a , c }，{a ，{b }，c }=A(2) 同(1)，B 的子集有：∅，{∅}.(3) 因为∅是任何集合的子集，故∅也是C 的子集. 因为C 中没有元素，因此C 就没有其它子集，所以C 的子集只有：∅.说明：(1) 以集合A 的8个子集为元素的集合，就是集合A 的幂集，即P (A )={ ∅，{a }，{{b }}，{c }，{a ，{b }}，{{b },{c }}，{a , c }，{a ，{b }，c }}那么集合B 的幂集为；P (B )={∅,{∅}};集合C 的幂集：P (C )={∅}.一般地，如果集合A ，有,n A =那么P (A )有2n 个元素.(2) 根据真子集的定义，对于任何集合A ，除了集合A 本身不是A 的真子集外，其它子集均是A 的真子集. 于是本例集合A 有7个真子集：∅，{a }，{{b }}，{c }，{a ，{b }}，{{b },{c }}，{a , c }集合B 只有1个真子集：∅集合C 没有真子集.例3.4设集合A ＝{1,2,3,4},B ={2,3,5},求B A A B B A B A B A ⊕--⋂⋃,,,,. 解 };5,4,3,2,1{=⋃B A}5,4,1{}5{}4,1{)()(}5{};4,1{};3,2{=⋃=-⋃-=⊕=-=-=⋂A B B A B A A B B A B A例3.5 试证A －(B －C )＝(A －B )⋃(A ⋂C ) 证明 [方法1] 对任意x ，)()()()()()()()()~()(C A B A C B A C A B A x C x A x B x A x C x B x A x C B x A x C B A x ⋂⋃-⊆--∴⋂⋃-∈⇒∈∧∈∨∉∧∈⇒∈∨∉∧∈⇒⋂∉∧∈⇒--∈ 同理，有)()()(C B A x C A B A x --∈⇒⋂⋃-∈所以，A －(B －C )＝(A －B )⋃(A ⋂C )说明：事实上，方法1的证明，完全是等值过程，可以写作)()()()()()~()(C A B A x C x A x B x A x C x B x A x C B x A x C B A x ⋂⋃-∈⇔∈∧∈∨∉∧∈⇔∈∨∉∧∈⇔⋂∉∧∈⇔--∈[方法2] 进行恒等推导.A －(B －C )＝)~(~C B A ⋂⋂（分配律）摩根律)()~()()(~C A B A C B A ⋂⋃⋂=⋃⋂==(A －B )⋃(A ⋂C )例3.6 化简))(()))(((A B B A C B A --⋃⋂-⋃解 ))(()))(((A B B A C B A --⋃⋂-⋃＝))~())(((A B B C B E A ⋃⋃⋃-⋃⋂）＝A A E A =⋃⋂(例3.7 设集合 A ={a ,b },B ={1,2,3},C ={d },求A ×B ×C ，B ×A.解 先计算A ×B ＝{<a ,1>,<a ,2>,<a ,3>,<b ,1>,<b ,2>,<b ,3>}A ×B ×C ＝{<a ,1>,<a ,2>,<a ,3>,<b ,1>,<b ,2>,<b ,3>}×{d }＝{<<a ,1>,d >,<<a ,2>,d >,<<a ,3>,d >,<<b ,1>,d >,<<b ,2>,d >,<<b ,3>,d >}B ×A ＝{<1,a >,<2,a >,<3,a >,<1,b >,<2,b >,<3,b >}例3.8 设集合A ＝{1,2},求A ×P (A ).解P(A)={∅,{1},{2},{1,2}}A×P(A)＝{1,2}×{∅,{1},}{2},{1,2}={<1,∅>,<2,∅>,<1,{1}>,<2,{1}>,<1,{2}>,<2,{2}>,<1,{1,2}>,<2,{1,2}>} 例3.9 单项选择题1. 若集合A＝{a,b,c},∅为空集合，则下列表示正确的是( )(A) {a}∈A(B){a}⊂A(C) a⊂A(D) ∅∈A答案：(B)解答：由集合A的元素构成的集合是A的子集，{a}是A的子集，故选择(B)正确.2.对任意集合S，S⋃∅＝S，满足( )(A) 幂等律 (B) 零一律 (C) 同一律 (D) 互补律答案：{C}解答：见集合的运算性质，A⋃∅＝A和E⋂A＝A称为同一律.例3.10 填空题1设全集合E＝{1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},A⋂B= ,~B= .～A⋃～B=答案：{2},{1,3,4}，{1,3,4,5}解答：A⋂B是由集合A，B的公共元素构成的新集合. 此处A，B公共元素只有2，故A⋂B＝{2},~B是全集合中除去B的元素所剩余元素构成的新集合，全集合E有1，2，3，4，5，除去B的元素2，5，余下有1，3，4. 故～B＝{1,3,4}. ~A={4,5},于是～A⋃～B＝{1,3,4,5}2.设集合A＝{a,b,c},B={a,b},那么P(A)－P(B)= P(B)－P(A)=答案：{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}；∅解答：P(A)={∅,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}}P(B)={∅,{a},{b},{a,b}}所以P(A)－P(B)={ {c},{a,c},{b,c},{a,b,c}}.∵P(A) ⊂P(B)，∴P(B)－P(A)=∅三、练习题1.设S，T，M为任意集合，判定下列命题的真假：(1)∅是∅的子集；(2)如果S⋃T＝S⋃M，则T＝M；(3)如果S－T＝∅，则S＝T；(4)如果~S⋃T＝E，则S⊆T；(5) S⊕S=S2. 用列举法表示以下集合：(1) }7xxAN{2≤∧∈=x(2) }3Nx=xxA-3{<∧∈(3) }0)1({2≤+∧∈=x R x x A3. 求使得下列集合等式成立时，a , b , c , d 应该满足的条件：(1) {a , b }={a , b , c }(2) {a , b , a }={a ,b }(3) {{a , ∅}, b , {c }}={{∅}}4. 求幂集P (A ),设集合A 为(1) A ={{1, 1 }, {2, 1 },{1, 2, 1} }；(2) A =P (A )5. 设A ，B 为任意集合，试证明B A A B B A =⇔-=-6 设集合A ＝{1,2,{1,2},∅}, 试求：(1) A －{1,2};(2) A －∅;(3)A －{∅};(4){{1,2}}－A ;(5)∅－A ;(6) {∅}－A7. 试证对任意集合A ，B ，C ，等式(A －B )⋃(A －C )=A 成立的充分必要条件是A ⋂B ⋂C ＝∅四、练习题答案1. (1),(4)为真，其余为假.2. (1) A ={0,1,2}(2) A ={1,2,3,4,5}(3) A ={－1}3. (1) a =c 或c =b(2) 任意a , b(3) a =c =∅,且b ={∅}4. (1) P (A )={∅, {{1}}, {{1,2}}, {{1}, {1, 2}}}先将集合A 化简为{{1},{1,2}},再求幂集.(2) P (A )={∅, {∅}, {{1}}, {{2}}, {{1, 2}},{∅,{1}}, {∅, {2}}, {∅, {1,2}}, {{1}, {2}}, {{1}, {1, 2}}, {{2}, {1,2}}, {∅, {1}, {2} }, {∅, {1},{1,2}}, {∅, {2}, {1,2 }}, {{1}, {2}, {1, 2 }}, {∅, {1}, {2}, {1,2}}}先求P (A ),再求幂集.5. 当A ＝B 时，必有A －B ＝B －A ；反之，由A －B ＝B －A ，得到B A B B B A ⋂-=⋂-)()(化简后得到∅=-A B ，即A B ⊆；同理，由A －B ＝B －A ，得到A AB A B A ⋂-=⋂-)()(化简后得到∅=-B A ，即B A ⊆.A ＝B6.(1) {{1,2},∅}. (2) A ; (3) {1,2,{1,2}};(4) ∅; (5) ∅; (6)∅提示：(1)此处{1,2}是以1，2为元素的A 的子集. 属于A ，而不属于{1,2}的元素有{1,2}和∅，故A －{1,2}={{1,2},∅}.此处把{1,2}理解为A 的元素，所求集合A 减去一个元素是无意义的. 也就是说，集合之间可以进行并、交、补、差等运算，一个集合与一个元素之间不能进行运算.(2) 此处的∅是空集合，不能理解为集合A 的元素. 从集合A 减去一个没有元素的集合，结果还是A.注意：A 中有元素∅，如果理解为元素∅，也就出现了集合减元素的错误.(3) 此处{∅}是A 的子集，结果为从A 中除去元素∅，为{1,2,{1,2}}(4) 集合{1,2}是集合A 的以1，2为元素的子集，属于{1,2}而不属于A 是不可能的，故其结果为∅.(5) 属于空集合∅而不属于A 这是不可能的，故结果为∅.(6)以A 的元素∅为元素的A 的子集{∅}减去A ，结果为∅.7. 必要性设(A －B )⋃(A －C )=A ，因为(A －B )⋃(A －C )＝)~()~(C A B A ⋂⋂)()(~)~(~(C B A C B A C B A -==⋂= 所以 A C B A =-)(于是对于任意,A x ∈必有)(C B A x -∈，而必有C B x ∉，故有ΦC B A =)(充分性设ΦC B A =)( ，则对于任意A x ∈，必有C B x ∉，即)(~C B x ∈，因此)~C B A ⊆ 于是，AC B A C B A C A B A C A B A =⋂===--)(~)~(~)~()~()()(。
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《计算机数学基础（上）》辅导(1)−−命题逻辑《计算机数学基础》是中央广播电视大学开放本科教育计算工程类计算机科学与技术专业教学中重要的核心基础课程，它是学习专业理论中不可少的数学工具.通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法以及计算机上常用数值分析的构造思想和计算方法. 同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力.本课程有离散数学和数值分析两大部分. 其中离散数学部分包括数理逻辑、集合论、图论和代数系统. 这是一门理论性较强，应用性较广的课程. 因此，通过本课程的学习，使学生：1. 掌握离散数学的基本概念和基本原理，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力；2. 熟悉数值计算方法的基本原理和基本方法，掌握常见数值计算的方法.按照教学大纲，本课程分二个学期开设，第一学期讲授离散数学部分；第二学期讲授数值分析部分. 我们逐次分章进行辅导，供师生学习参考.第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，(主)析取(合取)范式，重言式的判定.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句. 命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 联结词“⌝”否定联结词，P是命题，⌝P是P的否命题. 是由联结词⌝和命题P组成的复合命题. 一元命题.“∧”合取联结词，P∧Q是命题P，Q的合取式，是“∧”和P，Q组成的复合命题. “∧”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P∧Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P∧Q取值为0，只要P，Q之一取0.“∨”析取联结词，“⎺∨”不可兼析取(异或)联结词，P∨Q是命题P，Q的析取式，是“∨”和P，Q组成的复合命题. P⎺∨Q是联结词“⎺∨”和P，Q 组成的复合命题. 联结词“∨”或“⎺∨”在一个语句中都表示“或”的含义，可以表示相容或，也可以表示排斥或. ⎺∨表示不相容的或. 即“P⎺∨Q”↔“⌝P∧Q∨P∧⌝Q”. P∨Q取值1，只要P，Q之一取值1，P∨Q取值0，只有P，Q 都取值0.“↔” 等价联结词，P↔Q是P，Q的等价式，是“↔”和P，Q组成的复合命题. “↔”在语句中相当于“…当且仅当…”，P↔Q取值1当且仅当P，Q 取值相同.“→”蕴含联结词，P→Q是“→”和P，Q组成的复合命题. P→Q取值为0，只有P取值为1，Q取值为0时；其余各种情况，均有P→Q取值为1，亦即1→0的真值为0，0→1，1→1，0→0的真值均为1.3. 命题公式、永真性的判定或命题公式的分类命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值0或1，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的值为1，则这组值为P的真指派；若使P的值为0，则称这组值称为P 的假指派.命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，对于任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式. 其二是推导法. 利用基本等值式(双重否定律、幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、摩根律、同一律、零律、否定律、蕴含等值式、等价等值式、假言易位和等价否定等值式等)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.定理1：设Φ(A)是含命题公式A的命题，Φ(B)是用命题公式B置换Φ(A)中的A之后得到的命题公式. 如果A⇔B，则Φ(A)⇔Φ(B).4. 范式析取(合取)范式，仅有有限个简单合取式(合取式)构成的析取式(合取式)，就是析取(合取)范式.极小项(极大项),，n个命题变项，每个变项与它的否定不同时出现，但是两者必须出现且仅出现一次，而且第i个命题变项或者其否定出现在从左算起第i个位置上(无脚标时，按字典序排列)，这样的简单合取式(析取式)为极小项(极大项).极小项是n个变项的合取,m00=⌝P∧⌝Q，m01=⌝P∧Q,…; 极大项是n个变项的析取,M00=P∧Q，M01=P∧⌝Q,…;主析取范式(主合取范式)，对于含有n个命题变项的命题公式如果有一个仅有极小项(极大项)的析取(合取)构成的等式，则该等式为原命题公式的主析取范式(主合取范式).每项含有n个命题变项(变项字母齐全)合取式(析取式)的析取(合取)为主析取(主合取)范式。
任意命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式，与之等值的主析取范式和主合取范式是惟一的.求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式. 关键有两点：其一是准确掌握范式定义；其二是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和摩根律，结果的前一步适当使用幂等律.求析取(合取)范式的步骤：①将公式中的联结词都化成⌝，∧，∨(在析取(合取)范式中不能有联结词→，↔，⎺∨)；②将否定联结词⌝消去或移到各命题变项之前；③利用分配律、结合律等，将公式化为析取(合取)范式.求命题公式A的主析取(合取)范式的步骤①求公式A的析取(合取)范式；②“消去”析取(合取)范式中所有永假式(永真式)的析取项(合取项)，如P∧⌝P(P∨⌝P)用0(1)替代. 用幂等律将析取(合取)范式中重复出现的合取项(析取项)或相同的变项合并，如P∧P(P∨P)用P替代，m i∨m i(M i∧M i)用m i(M i)替代.③若析取(合取)范式的某个合取项(析取项)B不含有命题变项P i或⌝P i，则添加P i∨⌝P i(P i∧⌝P i)，再利用分配律展开，使得每个合取项(析取项)的命题变项齐全；④将极小(极大)项按由小到大的顺序排列，用∑(∏)表示.5. 命题演算的推理理论掌握演绎或形式证明. 要理解并掌握14个重言蕴含式(即I1～I14)，17个等值式(E1～E17)；二是会使用三个规则(P规则、T规则和CP规则).二、实例例1.1判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家；(2) 存在最大的质数；(3) 这座楼可真高啊！(4) 请你跟我走；(5) 火星上也有人.解(1) 是命题，真值为1.(2) 是命题，真值为0.(3), (4)不是命题. (3)不是陈述句,它们没有确定的真值. (4)的真值无法确定.(5) 是命题. 真值是唯一的，迟早会被指出.例1.2将下列命题符号化：(1) 虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达火车站；(2) 张力是三好学生或优秀共青团员(3) 老李或小刁中有一个人去广州出差.解 (1) 首先用字母表示原子(简单)命题.P：交通堵塞，Q：老王准时到达火车站.因为本小题强调“交通堵塞”和“老王准时到达火车站”这两件事，因此该命题可以符号化为：P∧Q.(2) 首先用字母表示原子(简单)命题.P：张力是三好学生；Q：张力是优秀共青团员.此处的“或”是相容或，故该命题符号化为P∨Q.(3) 首先用字母表示原子(简单)命题.P：老李去上海出差；Q：小刁去上海出差.要求只能一个人出差，因此此处的“或”是排斥或，该命题符号化为P⎺∨Q，也可以表示成(P∧⌝Q)∨(⌝P∧Q)例1.3判定公式P→Q与⌝P∨Q是否等值.解列公式P→Q与⌝P∨Q的真值表. 如表1－1.→⌝∨由表的最后一列可知，P→Q↔⌝P∨Q是重言式.例1.4证明：P→(Q→R)⇔P∧Q→R.证明P→（Q→R）⇔P→(⌝Q∨R) (等值蕴含式)⇔⌝P∨(⌝Q∨R) (等值蕴含式)⇔（⌝P∨⌝Q）∨R (结合律)⇔⌝(P∧Q)∨R (摩根律)⇔P∧Q→R (等值蕴含式)所以，P→（Q→R）⇔(P∧Q)→R例中等值演算的每一步都用到了置换规则. 由等值演算的传递性，可知第一个公式P→(Q→R)和最后一个公式P∧Q)→R等值.例1.5用等值演算法判定公式P⎺∨(Q∧R)→P∨Q∨R是永真式？永假式？解P⎺∨(Q∧R)→P∨Q∨R⇔⌝(P⎺∨(Q∧R)∨P∨Q∨R⇔⌝(P∧⌝(Q∧R)∨⌝P∧(Q∧R))∨P∨Q∨R⇔⌝((P∧⌝(Q∧R))∨(⌝P∧Q∧R))∨P∨Q∨R⇔(⌝(P∧⌝(Q∧R))∧⌝(⌝P∧Q∧R))∨P∨Q∨R⇔((⌝P∨(Q∧R))∧(P∨⌝Q∨⌝R))∨P∨Q∨R⇔(⌝P∨(Q∧R)) ∨P∨Q∨R)∧((P∨⌝Q∨⌝R)∨P∨Q∨R) (∨对∧的分配律)⇔(⌝P∨P)∨Q∨R∨(Q∧R)∧1⇔1∧1⇔1因此，P⎺∨(Q∧R)→P∨Q∨R是永真式.例1.6求公式)∧→⌝的主合取范式和主析取范式.P↔(Q)(PR解先将公式)∧→⌝化为合取范式.P↔R()(QPP↔∧⌝R→(P))(Q∧R→P→⌝⇔(去掉↔)→∧Q)(P())Q(P∧⌝∨P∨∨R⇔ (去掉→) (合取范式)∧⌝)P)((QQ(P)⌝∨∧∧⌝P∨⌝Q∨∨∨⇔Q∧⌝∨⌝∧∧()())())()(RRPQQ(PRRR(添齐命题变项)（展开）)()())()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∨∧∨∨⇔（所求主合取范式）消去相同项，顺序排列)())()()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ⌝∨∨⌝∧∨∨⌝∧⌝∨⌝∨∧∨⌝∨∧∨∨⇔ ∏⇔∧∧∧∧⇔)5,4,3,2,0(54320M M M M M所求主析取范式为主合取范式五个极大项所对应的三个极小项，即为 )()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧⌝或通过求析取范式求主析取范式.)()(Q P R P ↔∧→⌝)()()(P Q Q P R P →∧→∧→⌝⇔(去掉↔))()()(P Q Q P R P ∨⌝∧∨⌝∧∨⇔ (去掉→) (合取范式)析取范式）分配对,()()()()())()()((∧∨∧∧∨∧∨∧⌝∧⌝⇔∨⌝∧∧∨∧∨⌝∧⇔R Q P Q P R Q P P Q R Q Q P P R（添齐命题变项））（)()()(R Q P R R Q P R Q P ∧∧∨⌝∨∧∧∨∧⌝∧⌝⇔ （所求主析取范式）排列）（消去相同项，按顺序）（展开））)(()()(()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧⌝⇔∧∧∨⌝∧∧∨∧∧∨∧⌝∧⌝⇔∑⇔∨∨⇔)7,6,1(761m m m例1.7 试证明：R S Q P S R Q P →⇒∧∨⌝∧→→)())((证明 (1) S CP 规则(2) ⌝S ∨P P(3) P (1),(2)析取三段论(4) P →(Q →R ) P(5)Q →R (3),(4)假言推理(6)Q P(7)R (5),(6)假言推理例1.8 填空题1. 设命题公式G ＝P ∧(⌝Q ∨R )，则使G 取真值为1的指派是 ， ， . 答案：(1,0,0,),(1,0,1),(1,1,1)解答2. 已知命题公式为G ＝(⌝P ∧Q )→R ,由真值表知：P ，Q ，R 的真值指派为(1,0,0,),(1,0,1),(1,1,1) 则公式G 的真值为1. 应填写(1,0,0,),(1,0,1),(1,1,1)答案：P ∨⌝Q ∨R解答 (⌝P ∧Q )→R ⇔⌝(⌝P ∧Q )∨R ⇔P ∨⌝Q ∨R故应填写P ∨⌝Q ∨R. 一个命题公式的析取范式一般不唯一.注意：P ∨⌝Q ∨R.也是一个合取范式例1.9 单项选择题1. 设命题公式⌝(P ∧(Q →⌝P ))，记作G ，则使G 的真值指派为0的P ，Q 的取值是( )(A) (0,0) (B) (0,1) (C) (1,0) (D) (1,1)答案：(C)解答 P ∧(Q →⌝P )⇔P ∧(⌝Q ∨⌝P )⇔P ∧⌝Q ∨P ∧⌝P ⇔P ∧⌝Q ，⌝(P ∧(Q →⌝P ))⇔⌝P ∨Q当P ，Q 取值(1，0)时， ⌝P ∨Q 取真值为0. 故选择(C).2. 与命题公式P →（Q →R ）等值的公式是( )(A) (P ∨Q )→R (B)(P ∧Q )→R (C) (P →Q )→R (D) P →(Q ∨R ) 答案：(B)解答 P →（Q →R ）⇔P →(⌝Q ∨R )⇔⌝P ∨⌝Q ∨R ⇔⌝(P ∧Q )∨R ⇔(P ∧Q )→R 故应选择(B)3. 命题公式(P ∧Q ）→P 是( )(A) 永真式 (B) 永假式 (C) 可满足式 (D) 合取范式 答案：(A)解答 (P ∧Q ）→P 11)(⇔⌝∨⇔∨⌝∨⌝⇔∨∧⌝⇔Q P Q P P Q P 所以是永真式. 故选择(A).4. 设命题公式)(),(P Q P H Q P G ⌝→→⇔→⌝⇔，则G 与H 的关系是( ) H G G H G H H Q ⇒⇒→→)D ()C ()B ()A (答案：(D)解答QP P Q P H Q P Q P G ⌝∨⌝⇔⌝→→⇔⌝∧⇔→⌝⇔)()( H G ⇒，即H G →为重言式.11)(()()(=∨⌝⇔⌝∨⌝∨∨⌝⇔⌝∨⌝→⌝∧⇔→P Q P Q P Q P Q P H G⇒ 例1.10 化简下式：(A ∧B ∧C )∨(⌝A ∧B ∧C )解 (A ∧B ∧C )∨(⌝A ∧B ∧C )（同一律）（否定律）（分配律）CB C B C B A A ∧⇔∧∧⇔∧∧⌝∨⇔)(1)()(三、练习题1. 判定下列语句是否为命题，若是命题，指出是简单命题或复合命题. (1) 2是无理数；(2) 5能被2整除；(3) 现在开会吗？(4) 2是素数当且仅当三角形有3条边；(5) 雪是黑的当且仅当太阳从东方升起.2. 将第1题的命题符号化，并讨论其真值.3. 设命题P ,Q 的真值为0，命题R ,S 的真值为1，求命题公式)()(S Q R P ∨⌝∧↔的真值.4. 用多种方法判定命题公式)(R Q P P ∨∨→的类型.5. 用等值演算法证明等值式P Q P Q P ⇔⌝∧∨∧)()(成立.6. 已知命题P ，Q 和真值函数F 的真值，(P ,Q ,F )⇔(,00,0),(0,1,0),(1,0,1),(1,1,0).试用P ，Q 和联结词⌝，∨构造命题公式C ，使得F ⇔C.7. 求命题公式)()(P Q Q P ∨⌝→→⌝的主析取范式和主合取范式.8. 试证明：Q R R Q Q P ⌝⇒⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝)()(四、练习题答案1. (1) , (2)是简单命题，(3) 不是命题，(4)，(5)是复合命题.2. (1) P :2是无理数,P 是真命题.(2)P ： 5能被2整除，P 是假命题.(4)P ：2是素数，Q ：三角形有3条边，原命题符号化为P ↔Q.(5) P ：雪是黑，Q ：太阳从东方升起，原命题符号化为P ↔Q ，这是假命题.3. 真值为0.4. 重言式5. 提示：用分配律、否定律、同一律.6. )(Q P C ∨⌝⌝⇔7 主析取范式：320)()()(m m m Q P Q P Q P ∨∨⇔∧∨⌝∧∨⌝∧⌝ 主合取范式：1M Q P ⇔⌝∨8. (1) ⌝Q ∨R P(2) ⌝R P(3) ⌝Q (1), (2)析取三段论(4) ⌝(P ∧⌝Q 〕 P(5) ⌝P ∨Q (4) 置换(5) ⌝Q (3), (5)析取三段论。