现代控制理论第五章

5.2
极点配置
二、状态反馈极点配置
线性定常系统可以通过状态反馈进行极点任
意配置的充分必要条件是系统状态完全能控。
5.2
证明：充分性
极点配置
x Ax Bu y Cx
线性定常系统
1 经过线性变换 x P x ，可以使系统具有能控标准形。
y β0
0 0 x 0 a0


状态反馈系统特征多项式为
Δ K ( s ) det[sI ( A b K )] s n (an 1 k n 1 ) s n 1 (a1 k1 ) s (a0 k0 )
5.2
极点配置
设状态反馈系统希望的极点为 s1 , s2 , , sn 其特征多项式为
性能。
(2) 线性定常系统引入状态反馈后，不改变系统的能控
性，但不能保证系统的能观性不变。
5.1 引言
二、输出反馈
线性定常系统方程为：
x Ax Bu y Cx Du
输出线性反馈控制律为：
u V Hy
H 为 r m 常数矩阵
5.1 引言
x Ax B(V Hy) [A BH(I DH)1 C]x [B BH(I DH)1 D]V
G T G
x (A+GC)x (B+GD)u y Cx Du
5.2
方法二：
极点配置
引入反馈后，系统的状态空间表达式为
x (A+GC)x (B+GD)u y Cx Du
系统的特征多项式为 det[ sI ( A GC )] ,令其各项的 系数与希望特征多项式中对应项的系数相等，便可确
x Ax Gy Bu y Cx Du
x (A+GC)x (B+GD)u y Cx Du
5.1 引言
注： 矩阵G的引入能改变系统特征值，进而改 变系统获得所要求性能。
5.2
极点配置
一、极点配置问题
通过对反馈增益矩阵的选择，使闭环系统的极点 配置在所希望的位置上，从而获得所希望的性能指 标要求。
a* ( s ) ( s 1 )( s 2 ) ( s n )
* * * s n an 1s n 1 a1 s a0
5.2
极点配置
（4）计算 G
G a a0
* 0
a a1 a
* 1
* n1
an1
（5）计算变换矩阵
βn-1s n 1 βn-2 s n 2 β1s β0 ( s ) n n 1 s an-1s a1s a0 (s)
引入状态反馈
u V Kx V KP 1 x V Kx
令
K KP 1 k0

k1 kn1
5.3 镇定问题
定理2： 线性定常系统方程为
x Ax bu y Cx
引入输出反馈能镇定的充要条件为：结构分解中能控 且能观测子系统是输出反馈能镇定的，其余子系统是渐近 稳定的。
5.3 镇定问题 例：证明下列系统不能通过输出反馈使之镇定。
5.3 镇定问题
证明：（1）系统能控且能观测 （2）系统特征多项式：

0 1 0 0 P 1 12 1 18 144
5.2
极点配置
1 0 0 4 66 140 1 12 k kP 1 18 144 14 186 1220
5.2
方法二：
极点配置
k1 k n 1
5.2
方法一：
极点配置
状态反馈极点配置方法
（1）计算A的特征多项式，即
det( sI A) s n an1s n 1 a1s a0
（2）计算由{1 , 2 , n } 所决定的希望特征多 项式，即
a ( s ) ( s 1 )( s 2 ) ( s n )
5.2
极点配置
与希望的特征多项式对应系数比较：
k1 18 4 18k1 k 2 72 6 72 k1 12 k 2 k3 4

k1 14 k2 186 k3 1220
k [ 14 186 1220 ]
5.2
极点配置
三、基于输出反馈的极点配置
第五章 线性定常系统的综合
引言
极点配置
镇定问题
解耦问题
状态观测器 状态观测器实现状态反馈
5.1 引言
线性定常系统综合：给定被控对象，通过 设计控制器的结构和参数，使系统满足性能指 标要求。
5.1 引言
一、 状态反馈
线性定常系统方程为：
x Ax Bu y Cx Du

5.2
1
极点配置
变换矩阵为：
P Ab
2

Ab
0 0 1 1 6 1 0 18 1 0 0 72
1 0 0 a b 2 1 0 a1 a2 1 0 0 72 18 1 12 1 0 1 0 18 1 1 0 0
y (I DH)1 Cx (I DH) 1 DV
5.1 引言
注：
线性定常系统引入输出反馈后，不改变系统的
能控性和能观性。
5.1 引言
三、输出到 x 反馈
线性定常系统方程为：
x Ax Bu y Cx Du
加入输出y 到 x 反馈
5.1 引言
输出反馈只能将闭环系统的极点配置在系
统根轨迹上，而不能做到任意配置。
5.2
极点配置
四、采用从输出到 x 反馈极点配置 线性定常系统可以采用输出到 x 的线性反 馈实
现闭环极点任意配置的充分必要条件是系统状态完全 能观测。
5.2
极点配置
输出到 x 反馈极点配置方法
方法一： （1）将系统转换为能观测标准II型 （2) 引入反馈阵，得闭环系统特征多项式 （3）计算由 1 , 2 , n }所决定的希望特征多 { 项式，即
0 0 0 1 x 0 u 1 6 x 0 0 1 12 0
求状态反馈向量k，使系统的闭环特征值为
1 2 2 1 j 3 1 j
5.2
极点配置
解：系统的可控性判别矩阵为：
Qc b

Ab
1 0 0 A 2 b 0 1 6 0 0 1

rank Qc 3 n
系统可控，满足可配置条件
5.2
方法一：
极点配置
系统的特征多项式为：
0 0 s det( sI A) det 1 s 6 0 s 3 18s 2 72 s 0 1 s 12
5.4 解耦问题
一、 问题的提出 考虑MIMO系统
x Ax Bu y Cx
在 x(0) 0 的条件下，输出与输入之间的关系， 可用传递函数 G ( s) 描述：
y(s) G(s)u (s) C (sI A) 1 Bu (s)
5.4 解耦问题
y1 ( s) g11 ( s)u1 ( s) g12 ( s)u2 ( s) g1 p ( s)u p ( s) y2 ( s) g 21 ( s)u1 ( s) g 22 ( s)u2 ( s) g 2 p ( s)u p ( s) yq ( s) g q1 ( s)u1 ( s) g q 2 ( s)u2 ( s) g qp ( s)u p ( s)
1 0 0 a1
β1 βn1 x
0 0 1 0 x u 0 0 1 1 an 1 0
5.2
极点配置Biblioteka Baidu
系统传递函数：g ( s ) C [ sI A]1 b C [ sI A ]1 b


k kP
5.2
方法二：
极点配置
引入状态反馈k后，系统的状态空间表达式为
x ( A bk) x Bv
y Cx
系统的特征多项式为 det[ sI ( A bk )] ， 令其各项的系数与希望特征多项式中对应项的系
数相等，便可确定反馈增益向量k。
5.2
极点配置
例：已知单输入线性定常系统的状态方程为
*
s a s
n
* n 1 n 1
a s a
* 1
* 0
5.2
（3）计算
极点配置
* k a0 a0

k
* * a1 a1 an1 an1

（4）计算变换矩阵
（5）计算状态反馈增益向量
1 a 1 n 1 n 1 1 P A b Ab b a1 an 1 1
希望的特征多项式为：
a* ( s) ( s 1 )( s 2 )( s 3 ) ( s 2)( s 1 j )( s 1 j ) s 4s 6s 4
3 2
* k a0 a0

* a1 a1
* a2 a2 4 66 14
耦合：每一个输入控制着多个输出，而每一个输出 被多个输入所控制。 解耦控制：每个输出受且只受一个输入的控制。
k k1
k2
k3
k3 s k1 k2 a* ( s) det sI ( A bk ) 1 s 6 0 0 1 s 12 s 3 (k1 18) s 2 (18k1 k2 72) s (72k1 12k2 k3 )
系统不稳定
（3）引人输出反馈
5.3 镇定问题
此时，特征多项式为：
无论怎样选择H，也不能使系统镇定。
注：利用输出反馈未必能使能控且能观的系统得到镇定。
5.3 镇定问题
定理3： 线性定常系统方程为
x Ax bu y Cx
引入从输出到
x 反馈实现镇定的充要条件为：结构分
解中不能观测子系统是渐近稳定的。

其中 k0 , k1 , , kn1 为待定常数
5.2
极点配置
1 0 0 0 k k k A bK 0 1 n 1 0 1 0 a0 a1 an 1 1 0 1 0 0 1 (a0 k0 ) (a1 k1 ) (an 1 k n 1 )
状态线性反馈控制律为：
u V Kx
其中，K 为反馈增益矩阵，V 为输入向量。
5.1 引言
则有
x Ax B(V Kx) ( A BK ) x BV y (C DK ) x DV
5.1 引言
注：
(1) 状态反馈阵K的引入，并不增加系统维数， 但可通 过K的选取改变系统特征值，进而改变系统获得所要求
* * * Δ ( s) ( s si ) s n an 1s n 1 a1 s a0 * K i 1 n
选择 k i 使同次幂系数相同。有
* K a0 a0

* * a1 a1 an1 an1

而状态反馈矩阵
K KP k0
定反馈增益向量k。
5.2
例：
极点配置
5.2
解：（1）
极点配置
（2）
5.3 镇定问题 一、镇定问题
非渐近稳定系统通过引入反馈，使其极点
均具有负实部，保证系统渐近稳定。
5.3 镇定问题 二、镇定条件
定理1： 线性定常系统方程为
x Ax bu y Cx
引入状态反馈能镇定的充要条件为：不能控的状态分 量是渐近稳定的。