在坐标系中构造平行四边形
坐标系中的平行四边形
坐标系中的一些常见结论一、知识点梳理1、坐标系中的平行四边形 写出下列各图中的点的坐标标出各图中点的坐标，并找出规律总结：两组对角上的点，从数值上满足以下关系：对角上点的坐标的和，等于另外一组对角上点的坐标的和。
从这个结论我们可以得出以下结论：如果一个平行四边形，三个顶点分别为112233(,),(,),(,)a b a b a b ，那么第四点坐标44(,)a b 有： 41234123,a a a a b b b b =+-=+-或41324132,a a a a b b b b =+-=+-或42314231,a a a a b b b b =+-=+-比如，一个平行四边形的三个顶点为(1,2),(3,4),(5,6)，那么第四个顶点坐标可能有三个： (135,246)+-+-或(153,264)+-+-或(351,462)+-+-即第四个顶点坐标可能为(1,0)-或(3,4)或(7,8)这个结论在之后的很多动点问题中都有涉及，请大家理解，并且记住。
2、坐标系中，中点的表示在坐标系中标出以下各点，并观察，写出它们中点的坐标。
(1,2),(5,4) (1,3),(5,1)-你能得出什么结论？结论：坐标系中，两点坐标为1122(,),(,)a b a b ，那么它们的中点坐标为：1212(,)22a ab b ++3、坐标系中，两条平行线的表达式之间的关系请参照第一页，算出每个平行四边形对边所在直线对应的一次函数，比较它们的k 的关系。
结论：在同一个坐标系中，平行的两条直线，它们的k 相等。
特殊情况：如果两个直线k 都不存在，那么它们也是平行的。
4、坐标系中，知道两点求过这两点的直线的表达式如果一条直线经过点(,),(,)a b c d ，那么这个直线的表达式为：()() d b y x a b c a c a-=-+≠-5、坐标系中，两点之间距离的表示：如果一线段端点为(,),(,)a b c d，那么这条线段长度为：6、坐标系中，两直线垂直，那么这两直线所对应的一次函数表达式的k关系为：121k k=-或者12,k k一个为0，另一个不存在。
平面直角坐标系中的平行四边形
(2)动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，有PQ⊥AC?
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?
五、中考课堂议练（超越中考p68，2，3）
六、课堂小结作业：超越中考自主训练p70，5
教学章节
第16课平面直角坐标系中四边形
教学内容
平面直角坐标系中四边形
教学年级
9年级
教学课时
1课时
教学目标
1．在掌握平行四边形的判定方法的基础上，能够根据题目的具体情况选择不同的判定方法，解决平面直角坐标系中的四边形存在性问题.
2．经历例题探究过程，初步理解求解平面直角坐标系中四边形存在性问题的一般思路.
设计意图
教
学
过
程
设
计
一、聚集考点
如图，在平行四边形ABCD中，已知A(0,0) B(1,3),D(5,0),(1)你能得出点C的坐标吗？
二、考点互动讲练
1、考点母题
如图，在平行四边形ABCD中，A（x1,y1）B（x2,y2）C（x3,y3）D（x4,y4），AC与BD交于点E，点E的坐标（x,y），说说这些点的坐标有哪些关系。
三、变式训练
如图，抛物线y=14x2-32x-4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．
直角坐标系中平行四边形对角线法则
直角坐标系中平行四边形对角线法则【直角坐标系中平行四边形对角线法则】一、引言在数学中，直角坐标系是一种常见的坐标系统，用于描述平面上的点和图形。
平行四边形是一个重要的几何形状，在直角坐标系中，我们可以利用平行四边形对角线法则来计算其对角线的长度和方向。
本文将深入探讨直角坐标系中平行四边形对角线法则的原理和应用，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。
二、基础知识回顾在讨论平行四边形对角线法则之前，我们先回顾一下直角坐标系的基础知识。
在直角坐标系中，平面上的任意一点可以用一对有序实数来表示，通常表示为(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y 轴上的位置。
直角坐标系中有两条互相垂直的直线，称为坐标轴，用来确定平面上点的位置。
三、平行四边形对角线法则的原理平行四边形是一个有四个边和四个角的四边形，其中相对的两边是平行的。
平行四边形的对角线是连接相对顶点的线段。
平行四边形对角线法则是指，平行四边形的对角线互相平分，并且对角线的和向量等于零向量。
四、平行四边形对角线法则的应用1. 平行四边形对角线长度的计算根据平行四边形对角线法则，平行四边形的对角线互相平分，所以对角线长度相等。
给定平行四边形的两条边的坐标，可以使用直线的长度公式来计算对角线的长度。
对于平行四边形ABCD，已知A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)，则对角线AC的长度为√((x1-x3)^2 + (y1-y3)^2)。
2. 平行四边形对角线方向的计算根据平行四边形对角线法则，对角线的和向量等于零向量。
给定平行四边形的两条边的坐标，可以使用向量的加法和等于零向量的性质来求解对角线的方向。
在平行四边形ABCD中，向量AB + 向量CD =零向量。
可以利用这一关系来计算对角线的方向。
五、个人观点与总结直角坐标系中平行四边形对角线法则是解决平行四边形相关问题的重要工具。
通过理解和应用这一法则，我们可以准确计算平行四边形的对角线长度和方向。
坐标系中平行四边形顶点坐标规律
坐标系中平行四边形顶点坐标规律亲爱的朋友们，大家好！今天我要和大家聊一聊一个很有趣的问题，那就是在坐标系中如何找到平行四边形的顶点。
这个问题听起来可能有点复杂，但其实只要我们掌握了一些基本的规律和方法，就能轻松解决。
那么，让我们一起来探索一下这个有趣的话题吧！我们要明确一点，那就是在坐标系中，平行四边形是由四个点组成的。
这四个点分别是平行四边形的四个顶点，它们分别位于不同的行和列上。
为了方便起见，我们可以将这四个点分别用字母A、B、C和D表示。
接下来，我们要分析的是这些点的坐标规律。
我们可以观察到，这四个点的横坐标都是相等的。
也就是说，无论我们在坐标系中选择哪个点作为参考，其他三个点的横坐标都是相同的。
这是因为平行四边形的对边平行，所以它们的横坐标是相等的。
然后，我们再来看看这四个点的纵坐标。
同样地，这四个点的纵坐标也是相等的。
这是因为平行四边形的对角线互相平分，所以我们可以将每个角平分到两条对角线上，这样每个角上的点的纵坐标就是相等的。
现在我们已经找到了这四个点的坐标规律：横坐标相等，纵坐标相等。
那么，我们应该如何根据这些规律来确定平行四边形的顶点呢？其实，这个问题的答案很简单。
我们只需要在坐标系中画出一个平行四边形，然后根据上述规律来确定它的顶点就可以了。
具体来说，我们可以先确定一个顶点，比如点A。
然后，我们可以观察它与另外三个顶点的关系，通过计算可以得出第三个顶点的位置。
同样地，我们可以依次计算出第四个顶点的位置。
通过这种方法，我们就可以准确地确定出平行四边形的所有顶点了。
这个过程虽然看起来有些繁琐，但是只要我们熟练掌握了坐标系的规律，就能够轻松地解决这类问题。
总的来说，找到平行四边形的顶点并不难，关键在于我们需要掌握一些基本的数学规律。
只要我们按照上述方法进行操作，就能够准确地找出平行四边形的顶点位置。
希望大家能够通过这篇文章的学习，提高自己的数学能力，更好地应对各种复杂的问题！。
坐标系中的平行四边形共15页
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
坐标系中的平行四边形
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
坐标系中的平行四边形的知识
坐标系中的平行四边形的知识平行四边形是几何学中一个常见的形状，它具有独特的性质和特点。
在坐标系中，平行四边形的性质可以通过坐标的运算和几何知识来得到详细描述。
平行四边形的定义平行四边形是一个具有两对边平行的四边形。
在坐标系中，平行四边形可以通过坐标点表示，其中相邻的两个点构成一条边，而相对的两个点之间的线段是平行的。
平行四边形的性质包括对角线互相平分、相对边平行等。
平行四边形的判定在坐标系中，可以通过坐标点的斜率来判定平行四边形。
如果四个点的斜率相等，则这四个点构成的四边形是平行四边形。
斜率的计算方法为两点之间纵坐标的差值除以横坐标的差值。
平行四边形的性质1.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，并且中点连线是平行四边形的对边之一。
2.相邻角互补：平行四边形的相邻内角互补，也就是说相邻角的和为180度。
3.临角相等：平行四边形的临角相等，也就是相对边之间的角相等。
4.相对边平行：平行四边形的相对边是平行的。
5.对角线长：对角线长相等。
平行四边形的性质应用平行四边形的性质在几何推导和解题中有着广泛的应用。
通过利用平行四边形的性质，可以简化几何问题的计算和分析。
在坐标系中，通过有效地利用平行四边形的知识，可以更快速地解决复杂的几何问题。
总结在坐标系中，平行四边形是一个重要的几何形状，具有多种性质和特点。
通过对平行四边形的定义、判定和性质进行深入了解，可以更好地应用几何知识解决问题。
平行四边形的知识不仅在数学领域有着重要意义，也可以延伸到其他学科和实际生活中，为我们提供更多的思维方式和解决问题的途径。
坐标系中平行四边形存在性问题探究教学设计
西安爱知中学第十一届校本教研备课组公开课教案年级初三备课组数学组姓名霍高峰坐标系中平行四边形存在性问题探究教学设计课堂练习：1、如图，二次函数x x y 31322—=的图象经过△AOB 的三个顶点，其中A(-1，m )，B(n,n ) ． （1）求A 、B 的坐标；（2）在坐标平面上找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点C 有几个？ ②能否将抛物线x x y 31322—=平移后经过A 、C 两点？若能，求出平移后经过A 、C 两点的一条．．抛物线的解析式；若不能，说明理由．2、如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．xyBAO C《坐标系中平行四边形问题探究》教学反思一直以来，关于在坐标系中，特别在二次函数中讨论平行四边形存在性问题困扰自己，有时自己觉得非常简单的方法对于学生却如同天书一般困难，思考再三，根据平行四边形的图形特点，总结了利用表示坐标的方法解决平行四边形问题的方法。
坐标法不是探讨和论证线段的相等、三角形的全等……，而是用动态的观点看待几何图形——把平行四边形看成是由一条线段平移而成，用数的运算来描述图形的变化——用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想．坐标法的思路：先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）．根据平行四边形的对角线互相平分这一特征，借助中点坐标公式，探索出平行四边形对角线端点坐标关系，顺利写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性．坐标法的特点：①不会遗漏．坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析；②不需证明．坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程，回避了繁琐的证明；③不限条件．坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变．坐标法实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想．这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识．从本节课学生的情况来看，学生对于这种方法接受容易，学习的兴趣也得到提升，在课堂中能够积极发言，探讨遇到的问题。
平面直角坐标系中平行四边形存在性的探究
Ｂ
Ａ
／ ／ ７
／ ／ ｃ 。
图２
为平行 四边 形 ．
关键 词 ：分 类讨 论 ；平行 四 边形 ；存 在 性 ；直 角
坐 标 系
如何较快地求 出点 。 的坐
标 呢 ？在 教 学 过程 中 ，笔 者 发 现 学 生 最初 在 思 考这 一 问题 时 ，有
可 以把 点 Ａ也 视 为 一 个 定 点 ．根 据类 型 １中 “ 已知 三 个 定 点 ” 的分 析 方 法 ，可 知 其对 应 的点 共 有 三 个 ， 并 可 以 用 平 移 法 写 出 它 们 的 坐 标 ，为 Ｍ （ ｔ 一４ ，２ ） ，
Ｍ（ ４一ｔ ，２ ） ，Ｍ（ ｔ ＋４ ，一 ２ ） ．
）｜ ～
类型 １ ：已知三个定点 。求第 四个点
情形 ２ ：若 以 Ａ Ｂ， Ｂ Ｃ为 边
Ａ
●
（ 如 图 ３ ）， 可 得
平 面 内有点 Ａ（ ４ ，４ ） ， （ 一 ２ ，２ ） ， Ｃ （ ３ ，一 １ ） ，试 在此 平 面 中找 出另
一
（ ９ ，１ ） ．
ｙ
Ｃ Ｍ ，其 中点 Ａ（ ４ ，４ ） 到点 Ｃ （ ３ ，一 １ ） 是 向左 平 移 １ 个单 位 ， 向下 平 移 ５个 单 位 ，故 也 将 点 Ｂ（ 一 ２ ，２ ） 如 此 平 移 ，即得 点 。 （ 一 ３ ，一 ３ ）（ 也 可 以看 成是 将 线段 Ａｃ平
移到 Ｂ Ｍ ） ． 例 １ 如图 ｌ ，在 直 角 坐 标
点 的运 动路线一定 是在过点 ｃ （ 或 点 Ｃ关于直线
Ａ Ｂ 的对 称 点 Ｃ ） 且 平行 于 Ａ Ｂ的 这两 条直 线 上 ．这 时
第6章平行四边形 题型解读7 直角坐标系中的平行四边形-2020-2021学年北师大版八年级数学下册
《平行四边形》题型解读7 直角坐标系中的平行四边形【知识梳理】： 1.总体解题分析思路线：2.常见添辅助线方法：①过平行四边形顶点作坐标轴的垂线段，把点的坐标转化成线段长； ②连接对角线，利用中点坐标公式求解点的坐标；【典型例题】例1.已知如图，平行四边形ABCD 的边AB 在轴上，顶点D 在轴上，AD=4，AB=5，点A 的坐标为（-2，0），则 点B 的坐标为____________, 点C 的坐标为____________, 点D 的坐标为____________ 【解题过程】作CE ⊥x 轴，∵点A 的坐标为（-2，0），∴OA=2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=4,AB=CD=5,∴OB=3,∴BE=2,在Rt △OAD 中，由勾股定理可得OD=2√3,∵∠DAO=∠CBE,OA=BE=2,∠AOD=∠CEB=90º,∴△AOD ≌△BEC,∴CE=OB=2√3,∴B(3,0)、D(0,2√3)、C(5,2√3).例2.如图，在平面直角坐标系中，AB//OC ，A （0，12），B （a,12），C （b,0），且满足b =√a −21+√21−a +16. 动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动.设运动时间为t （秒）. （1）求B ，C 两点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？请求出此时P ，Q 两点的坐标； （3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标.【解题过程】（1）∵b =√a −21+√21−a +16，∴√a −21≥0，√21−a ≥0，∴a=21,∴b=16,∴B(21,12)、C(16,0)； （2）如图1，由题可知：AP=2t,PB=21-2t ，OQ=t,QC=16-t ，∵当四边形PQCB 是平行四边形时，∴PB=QC ，即21-2t=16-t ，解得t=5，此时AP=10,OQ=5，∵AB//OC ，∴点B 、P 的纵坐标相同，∴P(10,12)、Q(5,0)。
平面直角坐标系中求平行四边形点的坐标的公式
平面直角坐标系中求平行四边形点的坐标的公式在平面直角坐标系里，我们常常会遇到平行四边形的问题。
这可是个让人挠头但又充满乐趣的挑战呢！想想看，一个平行四边形就像是一对亲密无间的朋友，永远是两两相对，形影不离。
搞清楚这些点的坐标，并不需要太高深的数学技能，反而有点像跟朋友一起出去玩，简单又有趣。
咱们得明白，平行四边形的对边是平行的，这点可不是说说而已。
比如，你在坐标系中有两个点A（x1, y1）和B（x2, y2），这时候想要找出平行四边形的另外两个点C 和D，那就得聪明一点了。
说到这里，大家是不是有点儿兴奋了？找点的过程就像探险一样，充满惊喜。
要想清楚C和D的坐标，首先要找到平行四边形的“位置”。
有了A 和B，我们就可以简单地用公式来找到C和D。
好吧，接下来就是核心步骤了。
我们来设C点的坐标为(x3, y3)，D点的坐标为(x4, y4)。
C点其实可以用A点和B点来“算”出来。
这样一来，C的坐标就可以表示为C（x1 + k, y1 + m），而D的坐标可以写成D（x2 + k, y2 + m）。
这里的k和m可大可小，想象一下就像加了点糖的茶，喝起来特别好！这样一来，平行四边形的四个点就全部搞定了，真是太简单了。
在这个过程中，记得保持心情愉快哦。
数学不再是枯燥的符号和公式，它就像一场游戏。
想象一下，坐在公园的长椅上，和朋友聊着天，偶尔抬头看看天上的云朵，或许它们的形状就像一个个平行四边形。
只要你用心观察，总能发现生活中的数学。
搞定了坐标的计算，你就是这个领域的小专家。
大家可能会问，这样的公式怎么会有用呢？说实话，平行四边形不仅在课本上出现，在生活中也是无处不在。
你去超市的时候，购物车的形状其实就像一个平行四边形！在家里，桌子、椅子也大多是这类形状。
生活就像一个大拼图，平行四边形就是其中重要的一部分。
每个坐标点就像拼图上的每个小块，缺一不可。
所以，别觉得数学难，实际上它就像一个朋友，静静地待在你身边，随时等着你去发现它的美。
平面直角坐标系中的平行四边形教案
平面直角坐标系中的平行四边形一、设计意图平面直角坐标系中图形位置的确定是综合性较强、难度较大的一类问题，也是中考中的热点问题。
本节课是从综合题中抽取出几何模型，把综合题分解为若干小综合题，通过一题多变、由易到难的引申，实现对常规方法的归纳和总结。
本节课还注意对数学思想方法的复习，始终强调数形结合的基本思想，强化分类讨论的意识和方法。
二、教学目标设计1.知识与技能①通过引例求作以不在同一平面内的三个点A、B、C为顶点的平行四边形复习平行四边形的判定，进一步理解图形变换；②把几何图形放在平面直角坐标系中，对图形顶点的坐标求法进行归纳和总结，复习相关知识的目的的同时，也为后续例题的解决作好铺垫；③通过对复杂条件的一步步加深，及时总结，掌握从众多的条件中确定类型，提高自己的解题能力。
2. 过程与方法①综合题中的几何模型【引例】铺垫到位，总结作图定位的依据和方法②将专题细化，一题多变，充分引申，最大限度的发挥例题的作用。
掌握数学解题策略，争取提升小综合题的解决能力③通过几何画板的使用，直观的展示思维轨迹，提高课堂效率。
3.情感态度与价值观①通过一题多变活跃思维，学会倾听他人的解题思路，理解他人的解法②通过题后小结，提高复习效果，同时提高解题能力。
三、教学过程1、引例：如图，A、B、C是不在同一直线上的三个点，求作以A、B、C为顶点的平行四边形。
（学生口答做法，教师演示）教师提问：你还能作出其他的平行四边形吗？为什么？得出结论：以对角线为分类标准，分别以AB、AC、BC为对角线可作一个平行四边形，共3个。
2、引申平行四边形的性质我们已经非常熟悉了。
如果我们把平行四边形放在平面直角坐标中，又能得到什么新的结论呢？（出示课题）现在我把3个平行四边形中的一个放在平面直角坐标中，请大家观看屏幕：（1）如图，平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A(0,0)，B(4,2)，C(9,0)，求点D的坐标；（学生口答）（２）如图，平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A(0,0)，B(4,1)，D(9,0)，求点C的坐标；（学生口答）（估计有三种方法：①构造全等三角形②平移③中点坐标公式）（3）如图，平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A(a, b)，B(c, d)，E(e, f)，求点D的坐标；（学生口答）提问：①A、C两点的横坐标之和等于多少？B、D两点的横坐标之和等于多少？可得什么结论？②A、C两点的纵坐标之和等于多少？B、D两点的纵坐标之和等于多少？可得什么结论？③你能用文字简洁地概括一下刚才的结论吗？结论：平行四边形对角线上的两个顶点的横（纵）坐标之和相等。
专题10：--平面直角坐标系与平行四边形
18.18专题16：--平面直角坐标系与平行四边形一．【知识要点】1.平面直角坐标系与平行四边形二．【经典例题】1.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．如图，当α＝30°时，点D的坐标为.2.如图，在直角坐标系XOY中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C=120°，边长OA=8，点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB→BC→CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M作直线MP 垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动,设运动时间为t s.（1）当t=2时，求线段PQ的长；（2）求t为何值时，点P与N重合.3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC的中点，连接BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：B的坐标为；（2）求BF的长。
4.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0）．点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接BD，作DE⊥DB．交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为．（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．三．【题库】【A】【B】1.在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；【C】1. 在平面直角坐标系中，有点A（0，4）、B（9，4）、C（12，0）。
平面直角坐标系中的平行四边形
平面直角坐标系中的平行四边形1．如图，直线y ＝－34x 经过抛物线y ＝ax2＋8ax －3的顶点M ，点P 是抛物线上的动点，点Q 是抛物线对称轴上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当PQ ∥OM 时，设点P 的横坐标为x ，线段PQ 的长为d ，求d 关于x 的函数关系式； （3）当以P 、Q 、O 、M 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求P 、Q 两点的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x2＋mx ＋n 经过A （3，0）、B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ．（1）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当△ABM 的面积最大时，求△ABM 的AB 边上的高；（2）若四边形PMBO 为等腰梯形，求点P 的坐标（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y ＝x2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，－3），顶点为D （－1，－4），连接AC 、CD ． （1）求抛物线的解析式；（2）试在x 轴上找一点E ，使∠CED 最大，求点E 的坐标；（3）点Q 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点P ，使以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y ＝x2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，－3），顶点为D （－1，－4），连接AC 、CD ． （1）求抛物线的解析式；（2）试在x 轴上找一点E ，使∠CED 最大，求点E 的坐标；（3）点Q 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点P ，使以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线y ＝16(x －2)(x －2t －3)（t ＞0）与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为212． （1）求抛物线的解析式；（2）设l 为过点B 且经过第一、二、四象限的一条直线，过原点O 的直线与l 交于点E ，与以AC 为直径的圆交于点D ，若△OAD ∽△OEB ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q 为直线l 上的动点，在坐标平面内是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、C 四点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线y ＝12x2－mx ＋2m －7 2． （1）试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x ＝3时，抛物线的顶点为点C ，直线y ＝x －1与抛物线交于A 、B 两点，并与它的对称轴交于点D ． ①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； ②平移直线CD ，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，通过怎样的平移能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．7．如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3，0），顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E 的坐标为（1，－2），点M 是抛物线上一点（D 点除外），且△MOE 的面积与△DOE 的面积相等，求M 点坐标； （3）若点P 是抛物线的对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以点P 、Q 、A 、B 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2，与y 轴交于点C （0，－4），其中x 1，x 2是方程x2－4x －12＝0的两个根．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当△CMN 的面积最大时，求点M 的坐标；（3）点D （4，k ）在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 交x 轴于点A （－3，0），点B （1，0），交y 轴于点E （0，－3）．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行．直线y ＝－x ＋m 过点C ，交y 轴于D 点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ，求线段HG 长度的最大值；（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标．备用图10．在平面直角坐标系xO y 中，关于y 轴对称的抛物线y ＝－m －1 3x2＋(m －2)x ＋4m －7与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，P 是抛物线上的一点（点P 不（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得以P 、A 、B 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．12．（12分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （2，m ）在直线y ＝2x 上，在x 轴上有点B （10，0）连接AB ，直线AB 交y 轴于点C ． （1）求直线AB 解析式，并求出C 点坐标；（2）若点M 是在x 轴上方，问是否在点M ，使0，B ，M ，A 为顶点的四边形是平行四边形．若是，求出点M 坐标，若不是，试说明理由．（3）若点P 是直线AB 上一个动点，平面内存在点N ，使以O ，C ，N ，P 为顶点的四边形是菱形，请写出点N 的坐标（直接写出结果，不需要过程）．。
在坐标系中求平行四边形公式
在坐标系中求平行四边形公式
在数学中，平行四边形是一个具有两对平行边的四边形。
对于任意平行四边形，我们可以通过两个不同的方法来求解其面积和各个顶点坐标之间的关系。
下面将介绍这两种方法。
方法一：利用平行四边形的高度和底边长
假设我们有一个平行四边形，其底边长度为 \(a\)，高度为 \(h\)。
通过几何知
识我们知道，平行四边形的面积可以表示为底边长乘以高度。
具体公式如下：\[ S = a \times h \]
其中，\(S\) 表示平行四边形的面积。
这个公式非常简单直观，只需要知道底
边长度和高度就可以轻松求解平行四边形的面积。
方法二：利用顶点坐标
假设我们有一个平行四边形，已知其四个顶点的坐标分别为 \(A(x_1, y_1)\)、
\(B(x_2, y_2)\)、\(C(x_3, y_3)\)、\(D(x_4, y_4)\)。
那么平行四边形的面积可以通
过以下公式求解：
\[ S = \frac{1}{2} \times |x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - y_1x_2 - y_2x_3 -
y_3x_4 - y_4x_1| \]
这个公式通过计算顶点坐标的乘积和差值来求解平行四边形的面积，虽然看起
来有些复杂，但通过代入具体坐标就可以快速求解。
综上所述，我们可以通过底边长度和高度，或者通过顶点坐标，来求解平行四
边形的面积。
这些方法能够帮助我们更好地理解平行四边形的性质和计算方法。
直角坐标系中平行四边形对角线法则
直角坐标系中平行四边形对角线法则
一、平行四边形对角线概述
在几何学中，平行四边形是一个基本图形，它有两对对边平行且相等。
对角线是连接平行四边形相对顶点的线段。
在直角坐标系中，平行四边形的对角线有着特定的性质和应用。
二、直角坐标系中平行四边形对角线公式
在直角坐标系中，设平行四边形ABCD的顶点A（x1，y1），B（x2，
y2），C（x3，y3），D（x4，y4）。
对角线AC和BD的交点为E。
那么，有以下公式：
1.对角线AC的长度：√[(x3-x1)+(y3-y1)]
2.对角线BD的长度：√[(x4-x2)+(y4-y2)]
3.平行四边形面积S：S = 1/2 * AC * BD
4.夹角公式：tanθ = (y3-y1)/(x3-x1) ，其中θ为对角线AC与BD的夹角
三、直角坐标系中平行四边形对角线性质
1.对角线AC和BD的交点E是平行四边形的重心。
2.对角线AC和BD的平方和等于平行四边形相邻两边平方和的两倍。
3.对角线AC和BD的平方差等于平行四边形对角线平方差的两倍。
四、应用实例与问题解析
1.已知平行四边形ABCD的顶点坐标，求对角线长度和面积。
2.已知平行四边形ABCD的面积和一边长度，求其他边的长度。
3.已知平行四边形ABCD的对角线长度，求顶点坐标。
五、总结与拓展
直角坐标系中平行四边形对角线法则在解决实际问题中具有重要作用，熟练掌握对角线公式和性质，能够帮助我们更快地求解相关问题。
平行四边形4个顶点坐标关系
平行四边形4个顶点坐标关系全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平行四边形是几何学中常见的一种图形，具有独特的特点和性质。
平行四边形的四个顶点坐标关系是非常重要的一部分。
了解平行四边形四个顶点的坐标关系，可以帮助我们更深入地理解这种图形的结构和性质。
下面将详细介绍平行四边形四个顶点的坐标关系。
让我们来看看平行四边形的定义。
平行四边形是一个具有两对平行边的四边形。
这意味着平行四边形的相对边是平行的，而且相对边的长度相等。
在平行四边形中，四个顶点分别连接了相邻的两条边，形成了独特的结构。
在平行四边形中，四个顶点的坐标关系可以用直角坐标系来表示。
设平行四边形的四个顶点分别为A、B、C、D，那么可以用坐标点(Ax, Ay)，(Bx, By)，(Cx, Cy)，(Dx, Dy)来表示这四个顶点的位置。
在直角坐标系中，横坐标表示点在x轴上的位置，纵坐标表示点在y轴上的位置。
下面我们以一个具体的例子来说明平行四边形四个顶点的坐标关系。
假设平行四边形的两对顶点分别为A(2,3)，B(6,3)，C(4,1)，D(0,1)。
我们可以通过计算这四个点之间的距离来验证这个平行四边形是否符合定义。
我们计算AB和CD两条边的长度。
根据两点间距离公式d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)，我们可以计算得到AB边的长度为4，CD边的长度为4。
因为AB和CD两条边的长度相等，所以这个平行四边形符合定义。
只要知道平行四边形的两个相对角度，我们就可以进一步确定平行四边形四个顶点的坐标关系。
根据平行四边形的性质，在平行四边形中相邻两边的夹角互补，因此相对角度可以通过一些简单的几何运算得到。
第二篇示例：平行四边形是几何学中的一种特殊形状，它具有特定的性质和特征。
在平行四边形中，四条边两两平行，并且对边相等，对角线相交于一点，且相互平分。
接下来，我们将讨论平行四边形的4个顶点坐标关系。
在二维坐标系中，我们可以用(x, y)来表示一个点的坐标，其中x 表示该点在横坐标上的位置，y表示该点在纵坐标上的位置。
坐标系中的平行四边形洋葱数学
坐标系中的平行四边形洋葱数学平行四边形洋葱数学，是一种流行的数学学科，其基础是在坐标系中研究平行四边形。
在研究过程中，我们会发现这些平行四边形之间存在着一些规律，让人惊叹不已。
首先，我们来回忆一下，什么是平行四边形。
平行四边形的定义是：有一组平行的对边，同时对边长度相等的四边形。
我们可以在坐标系中画出平行四边形的图形，并用坐标表示它们。
假设在坐标系中，有一个平行四边形ABCD，其中AB平行于CD，BC平行于AD。
假设以A点为原点，我们可以把平行四边形的对角线BD 和AC的坐标表示为(x1,y1)和(x2,y2)。
那么，平行四边形的面积S如何计算呢？我们可以通过向量积来计算平行四边形的面积：S = |(x1,y1) × (x2,y2)|，其中“×”是向量积运算符号。
接下来，让我们来看看，对于两个平行四边形，它们的面积之和为何等于另外一个平行四边形的面积。
假设在坐标系中，有两个平行四边形ABCD和EFGH，其中AB平行于CD，BC平行于AD，EF平行于GH，FG平行于EH。
我们可以把这两个平行四边形拆开成如下图所示的四个小三角形：那么，这四个小三角形的面积之和为：|AD|×|EF|/2 +|AB|×|EF|/2 + |AD|×|FG|/2 + |AB|×|FG|/2。
对它们合并起来，可以得到：(|AD|+|AB|)×|EF|/2 + (|AD|+|AB|) ×|FG|/2 =(|AD|+|AB|)×(|EF|+|FG|)/2。
可见，这就是另一个平行四边形的面积。
接下来，让我们来看看，如果把平行四边形ABCD看成一个向量，那么对角线BD和AC分别是什么？我们可以得出：BD = AB + BC，AC = AD + CD。
根据向量积的性质，平行四边形的面积也可以写为|AB × AC|。
下面，我们来看看一个具体的例子。
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在坐标系中构造平行四边形
知识复习：
（一）平行四边形的定义
（二）平行四边形的性质
（三）平行四边形的判定
.在坐标系中构造平行四边形
（一）.三个定点，一个动点
2.已知 A （2 , -1 ）、B （1,1 ）, C （ 3,3 ）,
在坐标平面内确定一个点P,使得以A、B、
C、P为顶点的四边形是平行四边形
（二）.两个定点，两个动点（对动点的位置有要求）
1.已知A、B,在坐标平面内确定一个点P,使得以0、A、B、P为顶点的四边形是平行四
边形
(1 ) A (2,0 ), B ( 0,1 ) (2) A (2,0 ), B (1,1 )
y J
B
x
A *
■
B
x
----- + ------
A
x 3上，1.两个动点均在直线上
(1 )已知：点 B (2,0 )和直线y x 3，点C在y轴上，点P在直线y
若以0、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P的坐标。
(2) 已知：点 A( 2,0 )、B( 0,1 )和直线y 在坐
标轴上，点P在直线y x 3上，若以顶点的四边形是
平行四边形，求出符合条件的点
2. 一个动点在直线上，另一个动点在抛物线上
(1)已知：抛物线y x2 3x 2与x轴交于A、B两
点(A点在B点的左侧)，点C在抛
物线的对称轴上，点 P在抛物线上，若以
符合条件的点P的坐标。
A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求出
点P在抛物线上，若以
(3)已知：抛物线y
2
(2)已知：抛物线y x 4x
在B点的
左侧)，与
y轴交于点
D、B、C、P为顶点的四边形是平行
四边形，求出符合条件的点
2
x 4x 5与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于
点D，点C在y轴上，点P在抛物线上，若以B、D、C、P为顶点的四边形是平行四边形,
占
八、
、
求出符合条件的点 P的坐标。
(4)已知：抛物线y x 4x 5与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交
于点D，点C在x轴上，点P在抛物线上，若以 B、D、C、P为顶点的四边形是平行四边形，
求出符合条件的点 P的坐标。
三•课后练习：
1. 已知抛物线y 1x2 1 (如图所示)•
4
(1 )填空：抛物线的顶点坐标是( ，)，对称轴是；
(2)已知y轴上一点 A (0 , 2),点P在抛物线上，过点 P作PB丄x轴，垂足为B.若A PAB 是等边三角形，求点 P的坐标；
(3)在(2)的条件下，点 M在直线AP上.在平面内是否存在点 N，使四边形 OAMN 为
菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
2. 如图，在矩形 OABC中，AO=10 , AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点
B落在OA边上的点E处.分别以OC, OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系,
抛物线y=ax 2+bx+c 经过O，D，C三点.
(1 )求AD的长及抛物线的解析式；
(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点 C运动，同时动点Q从点C 出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点 O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ ADE相似？
(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点 M与点N，使以M , N ,
C, E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由.
A k :
B
1
3•如图甲，在平面直角坐标系中, A、B的坐标分别为(4,0 )、( 0,3)，抛物线y3x2bx c
4
经过点B，且对称轴是直线x
(1 )求抛物线对应的函数解析式;
(2)将图甲中厶ABO沿x轴向左平移到△ DCE (如图乙)，当四边形ABCD是菱形时，请说明
点C和点D都在该抛物线上;
(3 )在(2 )中，若点 M是抛物线上的一个动点(点 M不与点C、D重合)，经过点M作
MN //y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t, MN的长度为I，求I与t之间的函数解析
4 .已知，在 Rt △OAB中，/OAB = 90。
，启OA = 30 °,AB = 2 .若以O为坐标原点， OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 B在第一象限内.将 Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点 C处.
(1 )点C的坐标为 _______________
(2 )若抛物线y = ax 2+ bx经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
(3)若抛物线的对称轴与 OB交于点D，点P为直线OB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M •问：是否存在这样的点 P,使得以C、D、M、P为顶点的四边形为平行四边
形？若存在，求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
2
5. (2012陕西中考) 如果一条抛物线y二ax +bx+c a 0与x轴有两个交点，那么以该抛
物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)“抛物线三角形” 一定是___________ 三角形；
(2 )若抛物线y=-x2+bx b>0的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
(3)如图，△ OAB是抛物线y=-x2+bx b'>0的“抛物线三角形”，是否存在以原点0为对称中心的矩形ABCD ?若存在，求出过0、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.
6. (2010陕西中考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 A (-1,0 ), B (3,0 ) C ( 0, -1 )
三点。
(1 )求该抛物线的表达式；
(2 )点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使 Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求
所有满足条件点P的坐标。
7.(河南2010 )在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A( 4,0) , B(0, 4) , C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m ‘^AMB的面积为S.求S 关于m的函数关系式，并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y x上的动点，判断有几个位置能够使得点
P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.
8.(2011年凉山州)如图，抛物线与x轴交于A (为,0)、B ( X , 0 )两点，且X i X，与y轴交于点C 0, 4，其中％, x2是方程x2 4x 12 0的两个根。
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN // BC，交AC于点N，连接CM，当
△ CMN的面积最大时，求点M的坐标；
(3 )点D 4,k在(1)中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在X轴上是否存在点F，使以
A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，
若不存在，请说明理由。