角定义及表示方法
角的认识与度量
角的认识与度量角是我们学习数学中的一个基本概念，它在几何学中扮演着重要的角色。
通过对角的认识与度量，我们能够更好地理解几何图形以及解决相关的问题。
本文将对角的概念、性质以及度量方法进行探讨，旨在帮助读者深入了解角的本质及其应用。
一、角的基本概念角是由两条射线共同起点所形成的形状，射线的起点称为角的顶点，射线的端点则分别称为角的边。
角可以用大写字母表示，例如∠ABC，顶点为B，边为BA和BC。
角可以分为锐角、直角、钝角及平角四种类型。
锐角指角的度数小于90°，直角指角的度数为90°，钝角指角的度数大于90°但小于180°，平角指角的度数为180°。
二、角的性质1. 锐角的特点：锐角的度数小于90°，而且两边都在同一直线的同侧。
2. 直角的特点：直角的度数为90°，两边垂直于彼此。
3. 钝角的特点：钝角的度数大于90°，而且两边都在同一直线的同侧。
4. 平角的特点：平角的度数为180°，可以看作是两条平行线相交所形成的角。
三、角的度量方法为了度量角的大小，我们需要使用角度作为单位。
角度是一个用于度量角的量纲，通常用符号°表示。
1. 角度的刻度：角度刻度是将一个圆周等分为360等份，每等份被定义为一度，记作1°。
2. 弧度的刻度：弧度是另一种角度的度量方式，可以用来度量任何大小的角。
一个角的度数与相应的弧度之间存在一个固定的换算关系：360° = 2π弧度。
3. 角度与弧度的换算：要进行角度和弧度的换算，我们可以使用下面的公式：弧度 = 角度× π / 180角度 = 弧度× 180 / π四、角的应用角的概念和度量在几何学中被广泛应用，涉及到许多问题的解决。
1. 直角三角形：在直角三角形中，一个角为直角（即90°），而其他两个角可以由角的度数关系求得。
新人教版初中数学七年级上学期《角》知识点讲解及例题解析
《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°． （4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于 ． 【答案】85°． 【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°， 故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键． 类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =． 答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分． 故分针速度是时针速度的12倍． 举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40． 答：此人外出购物用了40分钟的时间．。
四年级上册画角的知识点
四年级上册画角的知识点
四年级上册画角的知识点主要包括以下几个方面：
角的定义和构成：角是由两条射线组成的几何图形，这两条射线称为角的边，它们的公共端点称为角的顶点。
角的表示方法：可以用大写字母表示角的顶点，用数字或小写字母表示角的边。
例如，角A可以表示为∠A，而角1可以表示为∠1。
角的度量单位：角度的度量单位是度（°），1度等于360分之一。
角的度量工具：量角器是用来度量角度的常用工具，它有一个半圆形的刻度，从0°到180°。
画角的方法：可以使用量角器来画角，也可以使用直尺和圆规来画角。
画角的基本步骤是先确定顶点和角的大小，然后画出角的两边。
特殊角的概念：直角（90°）、平角（180°）和周角（360°）是常见的特殊角，它们在几何学中有特殊的意义和应用。
通过学习这些知识点，学生可以更好地理解角的定义、性质和度量方法，为进一步学习几何学打下基础。
角的计算方法与技巧
角的计算方法与技巧角是平面几何中非常重要的概念，它是由两条射线共同端点所构成的图形。
在实际生活和数学领域中，角的计算方法和技巧是非常重要的，它们被广泛应用在各种问题的解决中。
本文将从基本概念开始，以及角的计算方法和技巧展开讨论。
一、基本概念1.角的定义角是由平面上两条射线共同端点构成的图形，其中这两条射线被称为角的边，它们的共同端点被称为角的顶点。
2.角的记号通常情况下，角的记号是以角顶点为中心标记一个点，然后用这个点的上面加一个角的字母。
3.角的分类按照角的大小，角可以被分为三类：锐角、直角和钝角。
4.角的度量角的度量通常用角度来表示，1个直角等于90度，1个圆周等于360度。
二、角的计算方法1.角的度量单位角的度量单位有度、弧度和梯度。
度是常用的角的度量单位，弧度是物理学和数学上常用的角的单位，梯度则常用于工程和建筑领域。
2.角的度数制在度数制下，角的度数是用箭头表示的角对应的圆周弧长所占圆的半径的百分比。
3.角的弧度制在弧度制下，角的度量是指这个角所对应的圆周上的弧所占整个圆周的比例。
1个完整的圆周等于2π弧度。
4.角的换算在不同的度量单位之间，可以相互换算。
例如，1度等于π/180弧度，1弧度等于180/π度。
5.角的运算在数学运算中，角可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
例如，两个角的和等于它们的对应的圆周弧的和所对应的角。
6.角的三角函数三角函数是用角度作为自变量的函数，常用的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在解决角的计算问题中起着重要的作用。
三、角的计算技巧1.利用三角函数在实际问题中，有时候可以利用三角函数来解决角的计算问题。
例如，在三角形中，可以通过三角函数关系来求解各个角的大小。
2.利用相似三角形相似三角形在角度和边长的比例上具有一定的特点，可以通过相似三角形的性质来计算角的大小。
3.利用角的平分线和高度在一些几何形状中，可以利用角的平分线和高度的性质来计算角的大小，例如直角三角形中的角度。
角的知识点总结
角的知识点总结①用1、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。
或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
2、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。
终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。
角的表示：①用数字表示单独的角，如/ 1，Z 2，Z 3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如 /a，/0，/ 丫，/e 等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如/ B，/ C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如/ BAD / BAE / CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
3、用一副三角板，可以画出15°，30°，45°, 60°, 75°, 90°，105°，120°，135°，150°，1654、角的度量(1)、角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位1° =60，, 1' =60- 是度，用表示，1度记作,n度记作“ n把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“ T”。
把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1 秒记作“ T”。
(2)、角的性质①角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
②角的大小可以度量，可以比较③角可以参与运算。
5、角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做今/这个角的平分线。
」oOB平分/ AOC• / AOB d BOC= / AOC（或者Z AOC=2 AOB=Z BOC6、余角和补角①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。
角与余(补)角、对顶角、平行和垂直
角与余（补）角、对顶角、平行和垂直知识框架⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩角的相关概念基础知识点钟面上角的比较余角、补角、对顶角平行线的相关概念垂线的概念和性质与角有关的基本概念垂线段在生活中的应用一副直角三角形板中的的角度问题重难点题型旋转、折叠有关的角度问题作图题与角有角度问题关的综合题 基础知识点知识点1-1角的相关概念1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边．角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．如图4-3-7所示，∠BAC 可以看成是以A 为端点的射线，从AB 的位置绕点A 旋转到AC 的位置而成的图形．如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）．1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种：(1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置．(2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆．(3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α．4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合）(3)读数（读出另一边所在线的刻度数）．5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的160为1分，记作“1′”，即l°＝60′.1′的160为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．1．（2020·安丘市初一月考）下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形2．（2020·江苏省初一期中）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（）．A．B．C．D．3．（2020·南京市初一期末）如图，下列表示角的方法中，不正确的是( )A．∠A B．∠a C．∠E D．∠13．（2020·广东省初一期末）如图所示，下列关于角的说法错误的是（）A．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠β表示的是∠BOCC．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC D．∠AOC也可用∠O来表示4．（2020·河北省初一期中）有下列说法：①射线是直线的一半；②线段AB是点A与点B 的距离；③角的大小与这个角的两边所画的长短有关；④两个锐角的和一定是钝角．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）下列各数中，正确的角度互化是（）A．63.5°=63°50′ B．23°12′36″=23.48° C．18°18′18″=18.33° D．22.25°=22°15′6．（2020·成都市嘉祥外国语初一月考）某人下午6点到7点之间外出购物，出发和回来时发现表上的时针和分针的夹角都为110°，此人外出购物共用了__________分钟．7．（2020·上海市静安区实验中学月考）用量角器量图中的角，30°的角有_____个，60°的角有_____个，90°的角有_____个，120°的角有_____个．8．（2020山西吕梁初一期末）如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线段最短．你认为_____同学的说法是正确的．9．（2020·江苏仪征市初一期中）日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针；和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识.（1）如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于________；（2）请在图2中画出8:20这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答：从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________；（3）“元旦”这一天，小明上午八点整出门买东西，回到家中时发现还没到九点，但是时针与分针重合了，那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟？10．（2020·辽宁鞍山初一期末）如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有个角；画2条射线，图中共有个角；画3条射线，图中共有个角；求画n条射线所得的角的个数 .知识点1-2角的比较1）角的比较方法(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.2）角的和、差由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF ＝∠DEG-∠1．3）角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图4-4-9所示，射线OC 是∠BOA 的平分线，则∠BOC ＝∠COA ＝21∠BOA ,∠BOA ＝2∠BOC ＝2∠COA .4）方向的表示○1方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。
角的定义及相关概念
角的定义及相关概念角是数学中的一个重要概念，是两条射线共享一个起点而形成的图形。
角的定义不仅在数学应用中起着重要的作用，也在生活中有许多实际意义。
首先，我们来看一下角的定义。
角通常用大写字母表示，比如A，B，C等。
一个角由两条射线组成，其中一条射线叫做角的边，另一条射线叫做角的腿。
边是角的起点，腿是角的终点。
两条射线的交点叫做角的顶点。
我们可以用顶点和两个点来表示一个角，例如∠ABC。
值得注意的是，表示一个角时，通常点的位置是顺序排列的，也就是说我们是从边开始画，然后到顶点，最后画到另一条边。
角的大小是通过角的度数来确定的。
角的度数可以用角度或弧度来表示。
角度是平面内角的度量单位，用符号°表示。
一个完整的圆有360°。
当我们讨论角度时，经常会涉及到三种不同类型的角：锐角、直角和钝角。
锐角是指小于90°的角，直角是指等于90°的角，钝角是指大于90°小于180°的角。
锐角和钝角的大小在0°到180°之间，而直角的大小只能是90°。
角的概念在几何图形的测量中起着重要的作用。
比如我们常用角来描述一个多边形的内角和外角。
内角是指凸多边形内部两条边所形成的角，而外角是指凸多边形内部一条边和另一条边的延长线所形成的角。
内角和外角的关系是重要的几何定理之一，即内角和外角相加等于180°。
除了在几何图形的测量中，角的概念还广泛应用于物理学、天文学和建筑学等领域。
在物理学中，角度是测量两个物体或者物体的部分之间的相对旋转程度的一种方法。
在天文学中，角度用于度量天体的位置和运动。
而在建筑学中，角度被用来度量建筑物的朝向和结构。
总结起来，角是由两条射线共享一个起点而形成的图形，其大小通过度数来确定。
角在数学应用中起着重要的作用，不仅在几何图形的测量中被广泛使用，还在物理学、天文学和建筑学等领域发挥着重要的作用。
了解角的定义和相关概念，对我们理解和应用数学知识是具有指导意义的。
角的概念与测量知识点总结
角的概念与测量知识点总结角是几何学中重要的概念之一，它指的是由两条射线或线段共享一个端点而形成的形状。
本文将对角的概念和测量知识点进行总结。
一、角的基本概念角由两条射线或线段共享一个端点而形成。
射线或线段称为角的边，共享端点称为角的顶点。
角的大小用弧度或度来表示，弧度常用于数学理论，度常用于日常测量中。
二、角的分类角可分为以下几种类型：1. 零角：两条重合的射线形成的角，其大小为0°或0弧度。
2. 直角：由两条相互垂直的射线形成的角，其大小为90°或π/2弧度。
3. 钝角：大于90°但小于180°的角，称为钝角。
4. 锐角：小于90°的角，称为锐角。
5. 平角：由两条相互平行的射线形成的角，其大小为180°或π弧度。
三、角的测量方法角的测量方法有两种：度数法和弧度法。
1. 度数法：度数法是一种常用的测量角的方法。
它以360°为一周，将一周等分为360份，每一份称为一度（°）。
在数学和日常生活中，通常使用度数法来表示角的大小。
例如，直角大小为90°，钝角大小为120°。
2. 弧度法：弧度法是一种用于解决复杂角度问题的工具，也是数学理论中常用的角度测量方法。
弧度以圆的半径为单位来测量角的大小。
一个圆的一周的弧长为2πr，其中r为圆的半径。
一个圆的一周约等于6.28倍的半径，因此定义了1弧度（rad）等于360°/2π≈57.3°。
例如，直角的弧度大小为π/2弧度，钝角的弧度大小为2π/3弧度。
四、角的性质角的性质是研究角的基本特点和关系的重要内容。
1. 对顶角：对顶角是指由两组对立的角，其中两个角的和为180°。
这种性质使得我们可以通过测量或计算一个角的补角来得到另一个角的度数。
2. 内角和外角：对于一个凸多边形（每个内角小于180°）而言，内角和等于360°。
6.3.1 角的概念 课件-人教版数学七年级上册
在航行、测绘等工作中，经常以正
北、正南方向为基准，描述物体运
动的方向，如“北偏东30°”“南
西
偏西25°”等，像这样用来表示方
向的角，叫作方位角.
东
60°
A
南
课堂检测
1. 下列语句正确的是
( D)
A. 两条直线相交，组成的图形叫做角 B. 两条有公共端点的线段组成的图形叫做角 C. 两条有公共点的射线组成的图形叫做角 D. 从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角
2. 下列说法不正确的是
( B)
A. ∠AOB 的顶点是O
B. 射线BO，AO分别是∠AOB的两条边 C. ∠AOB的边是两条射线 D. ∠AOB与∠BOA表示同一个角
课堂检测
3.下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是( C )
课堂检测
4.如图，下列说法错误的是(D )
A.∠ECA是一个平角
角用“∠”表示，读做“角”。角的表示方法有下面四种方法：
A
1. 用三个大写字母表示，如：
∠AOB 或∠BOA；
C
(注意必须把顶点字母放在中间)
2.或用一个大写字母表示，
O
B 如：∠O ；
思考：
如图，还能把∠AOB 记作∠O 吗？为什么？
当两个或两个以上的角共同一 个顶点时，不能用一个大写字 母表示．
8.海面上货轮A在客轮B的北偏东68°方向上，则客轮B在货轮A的( B )方向上
A.北偏东68°
B.南偏西68°
C.北偏东22°
D.南偏西22°
课堂小结
角的定义：
1.静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 2.动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 叫做角.
角的认识与应用
角的认识与应用在几何学中，角是一个常见的概念。
它不仅在数学领域中有着广泛的应用，也在生活中扮演着重要的角色。
本文将介绍角的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
一、角的定义角是由两条射线或线段共同端点所组成的图形。
我们通常用字母来表示角，如∠ABC，其中A、B分别为两条线段的共同端点，C为角的顶点。
角可以被划分为几个不同的类型。
根据角的大小，我们将其分为三类：锐角、直角和钝角。
锐角指的是角的度数小于90°，直角则恰好为90°，而钝角则大于90°但小于180°。
二、角的性质1. 两个角互为补角，当一个角的度数和另一个角的度数之和等于90°时，我们称它们为互为补角。
2. 两个角互为余角，当一个角的度数和另一个角的度数之和等于180°时，我们称它们为互为余角。
3. 两个角互为对顶角，当两个相邻角的非公共边相互垂直时，我们称它们为互为对顶角。
三、角的应用1. 几何证明角的性质和关系在几何证明中经常被应用。
例如，我们可以利用角的互补性质证明两条直线平行，或者利用角的对顶性质证明三角形相似。
通过灵活运用角的性质，我们可以简化几何问题的解决方法。
2. 建模和测量在实际问题中，我们经常需要使用角度来进行建模和测量。
例如，地图上的方位角可以帮助我们确定物体相对于北方的方向。
此外，角度还广泛应用于工程、建筑和航空等领域中的测量和设计中。
3. 三角函数三角函数是角度的函数，它们与几何学和三角学的关系密切。
正弦、余弦和正切等三角函数被广泛应用于科学、工程和计算机图形学等领域。
这些函数可以帮助我们计算角的大小、距离和速度等。
4. 角的运动学在物理学中，角度也是很重要的概念。
例如，当物体绕着一个定点旋转时，我们可以使用角度来描述其旋转的程度和方向。
通过研究角的运动特性，我们可以理解物体的运动规律和行为。
综上所述，角是数学和几何学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
通过对角的认识和理解，我们可以更好地解决几何问题、进行建模和测量，以及应用于其他学科领域。
认识直角、锐角和钝角课件
03
举例二
04
计算两条相交直线之间的夹角。
解题思路
首先确定两条相交直线之间的夹 角类型（锐角、直角或钝角）， 然后根据已知条件（如一条直线 的倾斜角）和夹角类型计算出另 一条直线的倾斜角和两条直线之 间的夹角。
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锐角三角形的性质与判定
性质
锐角三角形的三个内角都是
01
锐角。
02
任意一边都小于另外两边之 和。
04
03Βιβλιοθήκη 任意两边之和大于第三边。05
判定：一个三角形如果其三 个内角都小于90度，则它是
锐角三角形。
锐角在生活中的应用举例
建筑设计
在建筑设计中，锐角常被用来创造独特和富有动感的建筑形状和结构。
艺术与设计
认识直角、锐角和钝角课件
目 录
• 角的基本概念与分类 • 直角及其性质 • 锐角及其性质 • 钝角及其性质 • 角之间的关系与转换 • 角的度量与计算
01 角的基本概念与分类
角的定义及表示方法
角的定义
由两条射线共享一个端点所形成 的几何图形。
角的表示方法
通常使用三个大写字母表示角，如 ∠ABC，其中B是角的顶点，AB和 BC是角的两条边。
角的分类：直角、锐角、钝角
01
02
03
直角
角度等于90°的角，通常 用一个小方框“┐”来表 示。
锐角
角度小于90°的角，其形 状尖锐。
钝角
角度大于90°且小于180° 的角，其形状钝圆。
角的大小比较与度量单位
角的大小比较
通过比较两个角的度数来确定它们的 大小关系。
角的度量单位
角的概念与性质
角的概念与性质角是几何学中的一个重要概念，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍角的概念和性质，帮助读者更好地理解和应用角的知识。
首先，让我们来了解一下角的定义。
在几何学中，角是由两条射线共用一个端点而形成的图形。
这个共用的端点称为角的顶点，而两条射线则分别称为角的边。
例如，在一张纸上绘制两条射线，并且它们的端点相交，那么这两条射线所形成的图形就是一个角。
角可以用不同的方式来表示，最简单的方式是使用角括号符号。
例如，如果我们把一个角的顶点放在中间，两条边朝外延伸，那么这个角可以用<ABC 来表示，其中 A 是顶点，B 和 C 是延伸的边的端点。
这种表示方法也被称为顶点在中间的角。
此外，还有顶点在两边之外的角和顶点在一边之外的角。
接下来，让我们来看看角的性质。
角具有以下几个重要的性质：1. 角的度量：角的度量是衡量角大小的一种方式。
通常使用度（°）作为单位来度量角。
一个完整的角度是360°，一个直角是90°，一个钝角大于90°，一个锐角小于90°。
我们可以通过使用量角器或者利用三角函数等方法来确定角的度量。
2. 角的平分线：给定一个角，它可以被一条射线分为两个相等的角，这条射线称为角的平分线。
角的平分线将角分为两个相等的部分，每个部分的度量是原来角度量的一半。
3. 角的和与差：当两个角的边相交时，它们的和等于180°，这种角称为补角。
当两个角的顶点和一个边重合时，它们的和等于360°，这种角称为周角。
同样地，当两个角的一边重合时，另一个边形成的角称为差角。
4. 角的相似性：当两个角的对应边成比例时，这两个角是相似的。
角的相似性是几何学中重要的概念，它在许多分析和证明问题中有着广泛的应用。
5. 角的三角函数：角的三角函数是一组关于角度量的函数，包括正弦、余弦和正切等。
它们之间的关系可以帮助我们计算角的度量和边的长度。
角的相关概念
同步课程˙角的相关概念一、角的定义：二、角平分线：一、角的表示方法① 利用三个大写字母来表示，如图1．1．∠AOB图1.1B注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1．2．∠A图1.2A角的相关概念知识回顾知识讲解同步课程˙角的相关概念注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角，如图2．1．∠1图2.11④ 用希腊字母来表示角，如图2．2．∠α图2.2α二、单位换算1度＝60分（160︒=') 1分=60秒（160'="） 三、角的度量（1） 度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）．重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）．读数（读出角的另一边所在线的度数）（2） 角的度量单位及其换算角的度量单位是度．分．秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''． 角度之间的关系1周角=360︒ 1平角＝180︒ 1直角＝90︒ 1周角＝2平角 1平角＝2直角（3） 角的分类：锐角α（090α<<︒），直角α（90α=︒），钝角α（90180α︒<<︒）．四、两角的和．差．倍．分（1）两角的和．差．倍．分的度数等于它们的度数的和．差．倍．分． （2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线． （3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR ，折线使射线QR 与射线QP 重合，把纸展开，以Q 为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR 的平分线．说说为什么这条线平分∠PQR ？五、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O 点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B 、两点； （2）分别以A ．B 两点为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，画弧交于C 点； （3）过C 点作射线OC ．所以，射线OC 就是所求作的．OCBA六、余角、补角（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角．简称“互补”． （2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”． （3）补角．余角的性质：同角或等角的补角相等．同角或等角的余角相等． 七、 方位角方位角一般以正北．正南为基准，描述物体运动方向．即“北偏东⨯⨯度”．“北偏西⨯⨯度”．“南偏东⨯⨯度”．“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围0900≤≤α．“北偏东45度”为东北方向．“北偏西45度”西北方向．“南偏东45度”为东南方向．“南偏西45度”为西南方向． 八、 钟表角度问题时针12小时转动360度，每小时转动30度； 分针60分钟转动360度，每分钟转动6度． 秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度．一、 角的概念【例1】 角是由有 的两条射线组成的图形，两条射线的 是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线 ．【例2】 下列语句正确的是（ ）①角的大小与边的长短无关．②如果一个角能用一个大写字母A 表示，那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠，那么以1∠顶点为顶点的角只有一个． ④两条射线组成的图形叫做角A ①．②B ①．③C ①．④D ②．③【例3】 如图，角的顶点是 ，边是 ，用三种方法表示该角分别为 ．αBAO【变式练习】在右图中，角的表示方法正确的是（ ）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．D ∠ABC DEO【变式练习】如图，以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D 为顶点的角呢?D CEBA同步练习【例4】下图中，以A为顶点的角是_________．有一边与射线FD在同一条直线上的角有__________个．HGFEDCBA【例5】判断（）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．（）用2倍的放大镜看30︒的角，这个角就变成了60︒．（）由两条射线组成的图形叫做角．（）延长一个角的两边．（）平角就是一条直线；周角就是一条射线．二、角的分类【例6】下列语句正确的是（）A．平角就是一条直线B．周角就是一条射线C．小于平角的角是钝角D．一周角等于四个直角【例7】如图，图中包含小于平角的角的个数有（）D CBAA．4个B．5个C．6个D．7个【例8】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（）A．4个B．7个C．9个D．10个【例9】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（）A．10个B．15个C．20个D．25个H NMFGEDCBA【例10】如图，∠CAE=90°，锐角有（）个，钝角至少有（）个．A．4，3 B．3，2 C．6，3 D．4，2三、角度的换算及运算【例11】（1）32.43__________'''︒=︒（2）654312_____'''︒=︒【变式练习】（1）51492421________''︒+︒=；（2）39412445__________''︒-︒=；（3）2313423_________'''︒⨯=；（4）12134________'︒÷=．【例12】（1）2020'4______︒⨯=．（2）4437'3______︒÷=【变式练习】（1）77423445______''︒+︒=；（2）108185623_______''︒-︒=；（3）180(34542133)_______''︒-︒+︒=；（4）23295837______'''︒+︒=；（5）513932532______''''︒-︒=；（6）135********______''︒⨯+︒÷=（7）57.32_________'''︒=︒；（8）122342_______'''︒=︒【例13】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（）个A．4个B．7个C．11个D．16个【例14】如右图，AOB是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB∠的度数．123A BCDO四、 余角和补角【例15】 如图，OE AB ⊥于O ，OF OD ⊥，OB 平分DOC ∠，则图中与AOF ∠互余的角有______个；互补的角有_________对；FEDCB AO【例16】 如下图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（ ）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠A CO【例17】 一个角和它的余角的比是5:4，则这个角的补角是【例18】 一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．【例19】 如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60︒，求这个角的余角度数．【变式练习】一个角a 与50︒角之和的17等于65︒角的余角，求a ．【变式练习】已知α的余角是β的补角的13，并且32βα=，试求αβ+的度数．【例20】已知两角互补，试说明：较小角的余角等于两角差的一半．五、角平分线【例21】从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线．（填“正确”或“错误”）【例22】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（）A．35°B．55°C．70°D．110°【例23】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．100°【例24】如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠ABE的平分线，则∠CBD=（）A．80°B．90°C．100°D．70°【例25】 如图，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC 的度数为（ ）A ．68°B ．112°C ．121°D ．136°【例26】 下列说法正确的是（ ）A ．两点之间直线最短B ．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大C ．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D ．直线l 经过点A ，那么点A 在直线l 上六、 方位角【例27】 下面图形中，表示北偏东60︒的是（ ）60︒A 东西北南60︒B 西北南60︒C 东西北南60︒D东西北南【例28】 下列说法不正确的是（ ）A ．OA 方向是北偏东30︒B ．OB 方向是北偏西15︒C ．OC 方向是南偏西25︒D ．OD 方向是东南方向【例29】 如图，平面内有两点A B ，（1）分别画出点A 处北偏东70︒的方向和点B 处北偏西40︒的方向． （2）点A 位于B 的什么方向（精确到1︒）BAO 东25︒75︒45︒30︒D CBA【例30】 如图，A 、B 、C 、D 是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点O 的位置）建立了位置指示图，直线CODE 相交于O ，90COD ∠=︒，请按要求完成下列问题：①若在图上测得20mm OA =，54mm OB =，36BOC AOE ∠=∠=︒，则可知场馆B 的位置是北偏西36︒，据中心54mm ，可简记为（54mm ，北偏西36︒）．据此方法，场馆A 的位置可简记为（_________，________）． ②可求得BOA ∠=________；③在现有的图形中（不增加新的字母），AOD ∠与_____________是互补的角．EAO BD东西北C七、 共定点角的相关计算【例31】 如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE ∠互余，射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．ABC DEO 图2F E B【变式练习】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作DOE BOD ∠=∠，OF 平分AOE ∠，若28AOC ∠=︒，求EOF ∠．A BCDE FO同步课程˙角的相关概念【例32】 如图所示，80AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠内部的任意一条射线，若OD 平分BOC ∠，OE 平分AOC ∠，试求DOE ∠的度数．EDC BAO【例33】 如图，ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠GCB FCG =∠-∠10=︒，求GCB ∠的度数．GABC D E 图2F【例34】 已知：如图，OC 是AOB ∠外的一条射线，OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．①若100AOC ∠=︒，40BOC ∠=︒， 问：?EOF ∠=②若AOB n ∠=︒，求EOF ∠的度数并说明理由．OC FE BA同步课程˙角的相关概念【例35】BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角，射线OM ．ON 分别平分AOC ∠．BOC ∠． （1）90AOB ∠=°，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（2）AOB α∠=，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（3）90AOB ∠=°，BOC β∠=，还能否求出MON ∠的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．（4）从前三问的结果你发现了什么规律？C NB MAO【例36】 已知：OA ．OB ．OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠．【例37】 已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 与OC ，使60AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，求AOC∠的度数．【例38】 已知,αβ都是钝角，计算()1+6αβ，正确的结果只可能是（ ） A ．26︒ B ．40︒ C ．72︒ D ．90︒【变式练习】α．β．γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23︒．24︒．25︒这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求αβγ++的值．【例39】 在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠，AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒，10AOD ∠=︒，求AOC ∠的度数．【例40】 以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使得:5:4AOC BOC ∠∠=，且AOC ∠，BOC ∠均小于180︒，若30AOB ∠=︒，求AOC ∠的度数．八、 钟表角度问题【例41】 从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（ ）A ．30B ．60°C ．90°D ．120°【例42】 下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）A ．90°B ．105°C ．120°D ．135°【例43】 由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【例44】 钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60︒的角？分别是几点几分？【例45】 钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x 的值是多少?【习题1】一个角的补角和它的余角的3倍的和等于周角的1112，求这个角．【习题2】下列图形中，表示南偏西60︒的是（ ）60︒A 东西北南60︒B 东西北南60︒C东西北南60︒D东西北南【习题3】下列说法中，正确的是（ ）A ．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线B ．两个锐角的和为钝角C ．相等的角互为余角D ．钝角的补角一定是锐角【习题4】一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角，求这个角的度数．【习题5】已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于多少？【习题6】如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒，求AOD ∠的小．NMAB C DOAC D E图2图1F课后练习。
图形的初步认识(二) (原卷版)
浙教版2022年七年级（上）数学期末复习考点大攻略图形的初步认识（第二部分）知识总结：一.角的概念（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．（5）比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．二.角的计算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．三.余角与补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．四.对顶角与邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．五.平行：（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．六.垂直：（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（4）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．针对训练一．角的概念（共2小题）1．（2021秋•定海区期末）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB、∠O三种方法表示同一角的图形是（）A．B．C．D．2．（2021秋•上虞区期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）A．B．C．D．二．钟面角（共1小题）3．（2021秋•余姚市期末）钟面上4时30分，时针与分针的夹角是度，15分钟后时针与分针的夹角是度．三．方向角（共4小题）4．（2021秋•龙泉市期末）如图，点A在点O的南偏东20°方向上，且射线OA与OB的夹角是110°，则射线OB的方向是（）A．北偏东70°B．北偏东60°C．北偏东50°D．北偏东40°5．（2021秋•椒江区期末）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏西10°的方向上，同时货轮B在它北偏东60°的方向上，则此时∠AOB的大小是（）A．140°B．130°C．120°D．100°6．（2021秋•台州期末）如图，点A在点O的东南方向，点B在点O的北偏东50°方向，则∠AOB＝°．7．（2021秋•定海区期末）如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是．四．度分秒的换算（共5小题）8．（2021秋•钱塘区期末）若∠α＝42°24′，∠β＝15.3°，则∠α与∠β的和等于．9．（2021秋•柯桥区期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是（）A．27°40′B．57°40′C．58°20′D．62°20′10．（2021秋•椒江区期末）48°21′+67°9′＝°．11．（2021秋•柯桥区期末）把35°12'化为以度为单位，结果是．12．（2021秋•滨江区期末）若∠A＝36°18′，则90°﹣∠A＝．（结果用度表示）五．角的计算（共9小题）13．（2021秋•海曙区期末）如图，将三个三角板直角顶点重叠在一起，公共的直角顶点为点B，若∠ABE＝45°，∠GBH ＝30°，那么∠FBC的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°14．（2021秋•嘉兴期末）如图放置一副三角板，若∠BOC＝∠COD，则∠AOD的度数是．15．（2021秋•定海区期末）计算：35°49'+44°26'＝．16．（2021秋•江北区期末）如图，∠AOB＝∠COD＝120°，若∠BOC＝108°，则∠AOD的度数是．17．（2021秋•温州期末）如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（）A．20°B．30°C．35°D．45°18．（2021秋•青田县期末）如图，∠COD是Rt∠，∠BOD＝35°，则∠AOC＝．19．（2021秋•金华期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．20．（2021秋•新昌县期末）有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．（1）如图，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．（2）当∠A′EB′＝∠B′EB时，设∠A′EB′＝x．①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．21．（2021秋•湖州期末）（1）如图1，点D是线段AC的中点，且AB＝BC，BC＝6，求线段BD的长；（2）如图2，已知OB平分∠AOD，∠BOC＝∠AOC，若∠AOD＝100°，求∠BOC的度数．六．余角和补角（共8小题）22．（2021秋•定海区期末）若一个角是53°，则它的补角是．23．（2021秋•东阳市期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为．24．（2021秋•衢江区期末）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β不一定相等的是（）A．B．C．D．25．（2021秋•金华期末）与25°角互余的角的度数是（）A．55°B．65°C．75°D．155°26．（2021秋•青田县期末）将一副尺子中的两个三角板按如图方式摆放，其中∠1＝∠2的有几个（）A．1 B．2 C．3 D．427．（2021秋•嘉兴期末）已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°（∠α≠0°，∠β≠0°），下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④28．（2021秋•镇海区期末）已知∠A的余角比∠A的2倍少15°，则∠A＝度．29．（2021秋•义乌市期末）将一副三角尺按下列三种位置摆放，其中能使∠α和∠β相等的摆放方式是（）A．B．C．D．七．七巧板（共3小题）30．（2020秋•长兴县月考）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中h的值为（）A．6 B．4C．4+D．831．（2021秋•定海区校级月考）如图，把一幅七巧板按如图所示进行①～⑦编号，①～⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号①对应的面积等于2，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于．32．（2022秋•鹿城区校级期中）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为（取1.4）．八．角的大小比较（共2小题）33．（2021秋•海曙区期末）已知∠1＝12.30°，∠2＝12°30′，比较这两个角的大小，结果为∠1 ∠2．34．（2021秋•杭州期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC＝∠AOB，则下列结论成立的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOBC．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC九．相交线（共2小题）35．（2020秋•奉化区校级期末）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（）A．100个B．135个C．190个D．200个36．（2020秋•奉化区校级期末）下列说法：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0；②若﹣a不是正数，则a为非负数；③|﹣a2|＝（﹣a）2；④若+＝0，则＝﹣1；⑤平面内n条直线两两相交，最多个交点．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个十．对顶角、邻补角（共4小题）37．（2021秋•杭州期末）如图，直线AC、DE交于点B，则下列结论中一定成立的是（）A．∠ABE+∠DBC＝180°B．∠ABE＝∠DBCC．∠ABD＝∠ABE D．∠ABD＝2∠DBC38．（2021秋•钱塘区期末）下列说法中，正确的是（）A．相等的角是对顶角B．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度39．（2021秋•新昌县期末）如图，三条直线AB、CD、EF相交于一点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于．40．（2021秋•普陀区期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°．（1）若∠AOC＝37°，求∠BOE的度数．（2）若∠BOD：∠BOC＝3：6，求∠AOE的度数．十一．垂线（共4小题）41．（2021秋•新昌县期末）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠BOC的度数为（）A．20°B．70°C．80°D．90°42．（2021秋•东阳市期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝135°，∠BOD＝45°，则OE⊥AB．请说明理由（补全解答过程）．解：∵∠AOC＝∠BOD＝45°（）；∴∠AOE＝＝（°）；∴OE⊥AB（）．43．（2021秋•温州期末）如图，直线AB，CD交于点O，OM⊥AB，ON⊥CD．（1）写出图中所有与∠AOC互余的角．（2）当∠MON＝120°时，求∠BOD的度数．44．（2021秋•海曙区期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD＝30°，则∠COE＝．十二．垂线段最短（共2小题）45．（2021秋•湖州期末）如图，口渴的马儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中的数学依据是．46．（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；（3）在以上的图中，互余的角为，互补的角为．（各写出一对即可）十三．点到直线的距离（共3小题）47．（2021秋•滨江区期末）如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则点B到直线AC的距离是线段的长．48．（2021秋•东阳市期末）如图，表示点A到BC距离的是（）A．AD的长度B．AE的长度C．BE的长度D．CE的长度49．（2021秋•上城区期末）如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，若P A＝4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（）A．3 B．4 C．5 D．7。
角的认识与分类
角的认识与分类角是几何学中的基本概念之一，它在数学、物理等学科中都有广泛的应用。
对于角的认识和分类，可以帮助我们更好地理解和应用这一概念。
本文将从角的定义、测量方法以及分类等方面进行论述，以期能够全面系统地阐述角的知识。
一、角的定义角是由两条射线共同端点所组成的图形。
其中，共同端点称为角的顶点，两条射线分别称为角的腿。
根据腿的位置和方向，角可以分为几何角和方位角。
几何角：当两条射线在同一平面上，且无论两条射线的长度和夹角大小如何变化，它们始终位于同一直线的同一侧时，这两条射线所夹的角称为几何角。
方位角：方位角是极坐标系中用来表示方向的概念。
它由角度和弧长组成，角度表示与固定轴（通常是正北方向）之间的夹角，弧长表示与原点之间的距离。
二、角的测量方法角的测量方法通常有度、弧度和梯度三种。
不同的测量方法适用于不同的情况，灵活运用可以使角的计算更加简便准确。
度：度是最常用的角度单位，用符号°表示。
一个圆的周长被等分为360等份，每一份就是一个度。
常见的角度如直角90°、钝角180°和平角360°。
弧度：弧度是角的另一种度量单位，用符号rad表示。
一个圆的周长等于2π弧度，一个直角约等于1.5708弧度。
弧度的优势在于它与角度有一个简单的转换关系：1弧度≈57.30°。
梯度：梯度是角的第三种度量单位，用符号grad表示。
一个直角等于100梯度，一个圆角等于400梯度。
与角度和弧度不同，梯度的换算关系较为复杂，通常不常用。
三、角的分类按照角度的大小，角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
同时，角还可以按照其位置和方向进行分类，例如对顶角、邻补角、余补角等。
锐角：锐角指的是角度小于90°的角。
在锐角中，两条射线向着一侧逐渐靠近，直到相交形成锐角。
直角：直角指的是角度等于90°的角。
在直角中，两条射线相互垂直，形成一个90°的角。
钝角：钝角指的是角度大于90°但小于180°的角。
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角
1、角是由两条具有公共
的 端点的射线组成的图形。
静
概 2、角也可以看做一条射
线绕端点旋转所组成的图
念 形。动
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说明：
在不做特别说明的情况下，我们说的角 都指不大于平角的角
练 二、判断题： 习 下列语句正确的在（ ）打“√”。
1、两条直线组成的图形叫做角（ ） 2、两条射线组成的图形叫角 3、从同一点引出的两条射线组成的 图形叫角（ ） 4、平角是一条直线 （ ）
一个字母只表示一个角
在靠近顶点的处画上弧线， 并写上数字 在靠近顶点的处画上弧线， 并写上希腊字母
B D
A
C
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E
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反思总结
小结 角的定义
1、角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。 2、角可以看作是一条射线绕着它的端点旋转而 成的.
角的表示方法
表示方法
注意事项
1、用三个大写的字母表示
表示顶点的字母要写 在中间
2、用一个顶点的字母来 表示 3、用一个数字
4、希腊字母表示
成的图形。
B
B
O
B
终边 B
A O
始边
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思 射线 OA绕点O 旋转90度后, B
终边OB和始边 OA垂直时,所
考 成的角叫做 直角。
O
A
B OA
射成线一直O线A绕时点，O所旋成转的1角80叫度做后平，角终边OB; 和始边 OA
O
BA
射线 OA绕点O 旋转360度后，回到原来的位置时, 所成的角叫做 周角。
的 表示法：∠1
2
表
示α 表示法：∠α
用此法时, 必须在近顶点处加上弧线并注上阿拉伯 数字或小写希腊字母α、β、γ
方法
图标
记法
适用范围
备注
1、用三
个大写字
A
母表示
O
2、用一
B
个大写字
母表示
O
3、用一个
β
数字或希腊
字母来表示
⒉
∠AOB 任何角都可以用
或
此方法表示
∠BOA
当以某一个字母
∠O
（如O）为顶点 的角只有一个角
可以交换位置，但O必须写在中间。任何角都可以用
此方法表示。
2、用角的符号及一个大写字母表示
角
A
的
表O
B
表示法：∠O
示
A
O
C
B
这种情形不能表示为 ∠O
当以某一个字母（如O）为顶点的角只有一个角时 可以这样表示。若以O为顶点的角有若干个时，不
能用此表示法。
3、用角的符号及一个数字或希腊字母来表示
角
这四种表示方法,你认为 1 哪一种比较1 方便?
它们给我们怎样的图形印象
在下列图形中,哪些可以近似地看成角?(请 同学们分组讨论后,派代表样 构成 的?
角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。
公共端点
顶点
射线 边
练 习 一、判断下列哪些图形是角
(√)
(√) （×）
(√)
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角也可以看做一条射线绕端点旋转所组
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角的表示方法课本已经说得比较清楚， 请同学们通过课本探究，角有几种表示 方法 。请在课本上划出来。
A
这个角
该叫什
么名字
O
B
呢？
1、用角的符号及三个大写字母表示
角
这A样的角还可角以的怎符样号表示?
的O
B
表示法：∠AOB
表 示 或∠BOA
O是角的顶点，A、B分别是角两边上的一点，A、B
B 5
4
3
21
E
D
A
C
∠1
∠BCE
∠2 ∠ACB
∠3
∠4
∠5
∠BAC ∠DAB ∠ABC
（3）图中有几个小于平角的角？请分 别表示出来。
∠DAC,
B
∠ BAD, ∠BAC,
D A
C
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（3）图中有几个小于平角的角？请分 别表示出来。
(∠ BAD, ∠BAC, ∠BAE, ∠DAC, ∠DAE, ∠CAE )
时可以这样表示。
∠⒉ 当一个角的内部 没有别的角时，
∠β 可用些法。
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牛刀小试
• 把图中的角表示成下列形式：
①∠APO ②∠AOP ③∠OPC，
• ④∠O
⑤∠COP ⑥∠P。
• 其中正确的有___________(把你认为正确的
序号都填上。）
C
A
P
O
将图中的角用不同的方法表示 出来，并填写下表