结构力学专题十四(近似法求自振频率)

设 y(t, x) Y(x)sin( t )
T(t)
1 2
m2Y 2(x)
cos 2 (
t
)dx
Tmax
1 2
2
mY
2
(x)dx
U(t)
EI 2
Y ( x)2
sin 2 (
t
)dx
Umax
EI 2
Y ( x)2dx
2
EI Y ( x)2 dx mY ( x)2 dx
m, EI
l
13.54(1/ s)
精确解 1 13.36(1/ s) 误差 1.35%
（四）、位移曲线的确定
（2）只有均布质量时
位移曲线Y (x)由荷载q mg产生;
动能 :
Tmax
1 2
m[Y (x)]2 2dx
应变能(荷载作功) :
U max
1 2
mgY (x)dx
2
mgY ( x)dx
（三）、分布质量与集中质量同时存在
设: y(t, x) Y(x)sin( t )
T(t)
1 2
m2Y 2 (x) cos2 ( t )dx
n
1 2
2
miYi2 cos2 ( t )
i 1
Tm a x
1 2
2
mY
2 ( x)dx
1 2
2
n
miYi
2
i 1
U(t)
EI 2
Y ( x)2
mY 2 ( x)dx
例3：用能量法求图示体系的频率。
设y(x)由q mg产生
m, EI
l
Y ( x)
1 24EI
mg(x4
2Lx3
L3 x)
9.88 L2
EI m
精确解
2
1
L2
EI m
误差 0.07%
（四）、位移曲线的确定
（3）同时存在均布质量和集中质量时
位移曲线Y (x)由荷载q mg和mi g产生;
已知: m 180t, k 98MN/m。
设 : Y T 1 2 3
13.37(1/ s) 1
误差
m3 m m2 1.5m k3 k m1 1.75m k2 2k
k1 2.5k
0.075%
设: Y T 1 1 1
17.9(1/ s) 1
误差 34.0%
（二）、无限自由度体系
（1）只有集中质量时
动能 :
Tm a x
1 2
n
miYi
2
2
i 1
n
应变能(荷载作功) :
U max
1 2
mi gYi
i 1
n
mi gYi
2
i 1
n
miYi
2
i 1
例１：用能量法求图示体系的频率。
k1 k，k2 2k，m1 m，m2 2m；
Y2
3mg 2k
Y1
3mg 2k
mg k
5mg 2k
§10-5 近似法求自振频率
二、 能量法求结构基频 目的：求结构的基频
假定：不考虑阻尼影响 原理：能量守恒定理：
动能＋应变能＝总能量＝常数
（一）、有限自由度体系
设体系按某振型振动
y(t) Ysin( t )
T(t)
1 2
n
miYi
2
2
cos 2 (
t
)
1 2
2
cos 2 (
t
)YT M Y
i 1
动能 :
Tm a x
1 2
m[Y
(x)]2 2dx
1 2
n
miYi2
2
i 1
n
应变能(荷载作功) :
Umax
1 2
mgY (x)dx
1 2
mi gYi
i 1
n
2
mgY ( x)dx mi gYi
i1
n
EI Y ( x) 2 dx
n
mY 2 ( x)dx miYi2
mY 2 ( x)dx miYi2
U(t)
1 2
n
n
kijYiYj
sin 2 (
t
)
Hale Waihona Puke 1 2sin 2 (
t
)
Y
T
K
Y
i1 j 1
n
Tmax
1 2
2
miYi 2
1 2
2
Y
T
M
Y
i 1
nn
Umax
1 2
kijYiYj
1 2
YT K Y
i1 j 1
nn
2
kijYiY j i 1 j 1
n
miYi2
YT K Y YT M Y
sin 2 (
t
)dx
m1 mi mn m, EI
Umax
EI 2
Y ( x)2dx
2
EI Y ( x)2 dx
mY
(
x)2
dx
n
miYi
2
i 1
（四）、位移曲线的确定
对于求基频，通常以结构重力产生的位移曲线作为
｛Ｙ｝或Ｙ（ｘ）的近似表达式；如果水平振动，则重力 沿水平方向作用。
这时应变能可用荷载作功表示。
§10-5 近似法求自振频率
一、集中质量法 简化为单自由度体系：
9.8 L2
EI m
误差 0.73%
m, EI
l
简化为两个自由度体系：
1
9.86 L2
EI m
2
38.18 L2
EI m
误差 0.11% 误差 3.3%
简化为三个自由度体系：
2
39.19 L2
EI m
误差 0.73%
第十章 结构动力计算
2 22 k
43 m
m1
EI1
k1 m2
EI1
k2
精确解
2 1
1 2
k m
误差 2.3%
例2：用能量法求图示体系的频率。
已知: m 180t, k 98MN/m。
Y T 1.70 2.95 3.95
m3 m m2 1.5m k3 k m1 1.75m k2 2k
k1 2.5k
i1
i1
作业： 14-12
i 1
例１：用能量法求图示体系的频率。
k1 k，k2 2k，m1 m，m2 2m；
设 : Y T 1 0.5
2 k
2m
2 1
m1
EI1
k1 m2
EI1
k2
设 : Y T 1 1
2 2 k
m
2 2
设 : Y T 1 1
2 2k
3m
2 1
误差 33.3%
例2：用能量法求图示体系的频率。