结构力学专题十四(近似法求自振频率)
12.11近似法计算自振频率
解： (1) 选择自重作用下的弹性曲线作为振型曲线（注意：应 在各楼层水平方向分别施加自重m1g、m2g、m3g)，如图所示。
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(2)求 Yi i 1,2,3：
3
Yi
Yi1
r i
mr
g
ki
于是，可得
3
Y1
r 1
mr
g
k1
m1
m2 k1
m1
m2
m3 B
y (t)
1
y (x,t )
y2(t) y3(t)
x
T
1 2
l 0
m
xyx,
t
2
d
x
1 2
i
mi
yi t
2
y
x
1 2 cos2 (t )
2
l m(x)[Y (x)]2 d x 1 2 cos2 t
0
2
i
mi Yi 2
其最大值为:
Tmax
1 2
2
l m(x)[Y (x)]2 d x 1 2
为-0.05%，-0.7%，-4.8%。
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l2
l2
(3)计算前三个频率：
ml 6
ml 8 ml 4 ml 4 ml 4 ml 8
3
l4 l4 l4 l4
将体系简化为三个自由度体系，如图所示，可解得
1
9.865 l2
EI , m
2
39.2 l2
EI , m
3
84.6 l2
EI m
建筑工程之结构力学讲义两个自由度体系的自由振动(参考2)
1）假设位移形状函数为抛物线
Y (x) x(l x)
2
2EIl ml5 / 60
满足边界条件且与 第一振型相近
2
120EI ml4
x y
EI m
l
10.95 EI
l2 m
2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
Y (x) q x(l 3 2lx 2 x3 ) 24EI
整理得： (12 22 )(m1Y11Y12 m2Y21Y22 ) 0
因 1 2 ，则存在：
m1Y11Y12 m2Y21Y22 0 (15.51)
两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。3
由功的互等定理：
(m112Y11)Y12 (m212Y21)Y22 (m122Y12 )Y11 (m222Y22 )Y21
D
11m1
1
2
21m1
12m2
22m2
1
2
0
令
1
2
2 (11m1 22m2 ) (11 22m1m2 12 21m1m2 ) 0
1 2
1 2
(11m1
22m2 )
1
1
1
(11m1 22m2 )2 4(11 22 12 21)m1m2
2
0l qY( 0l mY 2
x)dx (x)dx
q m
x
2l 5 120EI
q 24EI
2
31 630
l
9
9.87 l2
EI m
混凝土结构的自振频率计算方法
混凝土结构的自振频率计算方法一、引言混凝土结构的自振频率是一个重要的结构动力学参数，它反映了结构的固有振动特性。
在结构设计、施工和使用过程中，准确计算混凝土结构的自振频率对于保证结构安全、优化结构设计和控制结构振动有着至关重要的作用。
本文将介绍混凝土结构的自振频率计算方法，包括自振频率的定义、计算公式、计算方法和影响因素等方面，旨在为混凝土结构的设计、施工和使用提供参考。
二、自振频率的定义混凝土结构的自振频率是指结构在没有外界激励的情况下，由结构自身固有的初始状态开始，自由振动产生的频率。
它是结构动态响应的基本参数之一，与结构的质量、刚度和阻尼等物理特性有关。
自振频率的单位为赫兹（Hz），表示结构在单位时间内振动的次数。
一般来说，自振频率越高，结构的刚度越大，振动频率越快，结构的响应越剧烈。
三、自振频率的计算公式混凝土结构的自振频率可以通过以下公式计算：f = 1/2π × √(k/m)其中，f为自振频率；k为结构的刚度；m为结构的质量。
刚度和质量是影响自振频率的两个关键参数，它们的计算涉及到结构的几何形状、材料性质和构造方式等多个因素。
这些因素的影响将在后文中详细介绍。
四、自振频率的计算方法混凝土结构的自振频率计算方法一般分为两种，即理论计算和实测测量。
1. 理论计算法理论计算法是通过计算结构的质量和刚度来确定自振频率的方法，它是一种常用的、经济有效的计算方法。
该方法的具体步骤如下：（1）确定结构的几何形状和尺寸，包括截面形状、截面尺寸、长度和高度等参数。
（2）确定结构的材料性质，包括混凝土弹性模量、钢筋弹性模量、混凝土密度、钢筋密度等参数。
（3）计算结构的质量，包括混凝土质量和钢筋质量。
其中，混凝土质量可通过截面尺寸、混凝土密度和长度计算得出；钢筋质量可通过截面尺寸、钢筋密度和长度计算得出。
（4）计算结构的刚度，包括弹性刚度和塑性刚度。
弹性刚度可通过结构的几何形状、材料性质和受力状态计算得出；塑性刚度可通过结构的截面形状、材料性质和受力状态计算得出。
结构自振周期的近似计算
3.5.3 结构自振周期的近似计算通过结构的频率方程求自振周期比较复杂，这里介绍几种近似计算方法。
动能为势能为由能量守恒，有例.已知：解:3.6 竖向地震作用《规范》规定：设防烈度为8度和9度区的大跨度屋盖结构、长悬臂结构、烟囱及类似高耸结构和9度区的高层建筑，应考虑竖向地震作用。
效应：使建筑物上下颠簸F F3.7 结构平扭耦合地震反应与双向水平地震影响 规范规定：对于质量及刚度明显不均匀、不对称的结构，应考虑水平地震作m用的扭转影响。
刚心)(tug质心分析过程：[受弯钢筋凝土构件的滞回曲线滞回模型：描述结构或构件滞回关系的数学模型。
双线性模型双线性模型一般适用于钢结构梁、柱、节点域构件。
钢筋混凝土梁、柱、墙等一般采用退化三线性模型。
退化三线性模型结构非弹性地震反应分析的简化方法适用范围：不超过12层且层刚度无突变的钢筋混凝土框架结构和填充墙钢筋混凝土框架结构；不超过20层且层刚度无突变的钢框架结构和支撑钢框架结构；式中：N N a h +−5.0)(/---系数，混凝土强度等级不超过C50时，取1.0，C80时为0.94，by二、结构薄弱层位置判别结构薄弱层：塑性变形集中的楼层，即ζy 最小或相对较小的楼层对于ζy 沿高度分布均匀的框架结构，底层作为薄弱层。
3.9 结构抗震验算3.9.1 结构抗震计算方法原则(1 ) 一般情况下，应允许在建筑结构的两个主轴方向分别计算水平地震作用，并进行抗震验算各方向的水平地震作用应由该方向抗侧力构件承担。
(2 )有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于15°时，应分别计算各抗侧力构件方向的水平地震作用。
(3) 质量和刚度分布明显不对称的结构，应计入双向水平地震作用下的扭转影响，其他情况，应允许采用调整地震作用效应的方法计入扭转影响。
(4) 不同方向的抗侧力结构的共同构件（如框架角柱），应考虑双向水平地震作用的影响。
(5)8、9度时的大跨度和长悬臂结构及9度时的高层建筑，应计算竖向地震作用。
结构力学第十四章总结
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第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：图a所示结构频率为ωi，求图b所示结构频率ω。
ki (a) k1 k2 (b) k3
解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧 刚度系数ki之和. k=k1+k2+k3
k1 k2 k3 k 2 2 2 1 2 3 m m
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第十四章
结构动力学总结
结构力学
(3) 最大位移和最大内力的计算 振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和； 最大内力为最大动内力与静内力之和。动位移和动内力有 正负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。 5. 阻尼对振动的影响 r 1 2 (1) 考虑阻尼时体系的自振频率 c 其中, 为阻尼比, c为阻尼系数。 2m 通常ξ很小，一般结构可取 r≈ 。 (2) 阻尼比的确定。 利用有阻尼体系自由振动时振 幅衰减的特性，可以用实验方法确定体系的阻尼比。 y 1 ln k
2
T1 T2 T3
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第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：图a所示体系中，已知横梁B端侧移刚度为k1， 弹簧刚度为k2，求竖向振动频率。
A k1 B k2 m (a) k1 k2 m (b)
解：体系可简化为图b所示的串联弹簧体系， 竖向振动频率为
k m
k1 k 2 m(k1 k 2 )
返回
y1 (t ) F sin t 1P FI111
2 EI [ Y " ( x )] dx 2 i 2 2 m [ Y ( x )] d x m Y 0 i i l 0
自振频率计算公式例题解析
自振频率计算公式例题解析在物理学中，自振频率是指一个物体在没有外力作用下，以自然频率进行振动的频率。
这个概念在工程学和物理学中都有着重要的应用，因此了解如何计算自振频率是非常重要的。
本文将通过例题的解析，帮助读者更好地理解自振频率的计算公式和应用。
自振频率的计算公式如下：\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]其中，f代表自振频率，k代表弹簧的弹性系数，m代表物体的质量。
这个公式告诉我们，自振频率与弹簧的弹性系数和物体的质量有关，而与振幅和阻尼无关。
现在，让我们通过一个例题来解析自振频率的计算过程。
例题，一个质量为2kg的物体悬挂在一个弹簧上，当物体受到外力拉伸弹簧10cm后，弹簧的弹性系数为200N/m。
求这个系统的自振频率。
解析：首先，我们可以利用胡克定律来计算弹簧的弹性系数。
胡克定律表示弹簧的弹性系数与弹簧的弹性形变成正比，即F=kx，其中F为弹簧的弹力，k为弹性系数，x为弹性形变。
根据题目给出的信息，我们可以得到：\[k = \frac{F}{x} = \frac{200N}{0.1m} = 2000N/m\]接下来，我们可以利用自振频率的计算公式来计算系统的自振频率。
根据公式：\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]代入已知的数值，我们可以得到：\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2000N/m}{2kg}}\]\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{1000}\]\[f = \frac{1}{2\pi}\times 31.62\]\[f ≈ 5Hz\]因此，这个系统的自振频率约为5Hz。
通过这个例题的解析，我们可以看到自振频率的计算过程并不复杂。
只需要利用弹簧的弹性系数和物体的质量，就可以轻松地计算出系统的自振频率。
这个公式在工程学和物理学中都有着广泛的应用，可以帮助工程师和科学家们更好地设计和研究振动系统。
结构力学：第十章结构动力学6
越准。
5
例 用Rayleigh—Ritz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解：悬臂梁的位移边界条件为：
Y=0 Y’=0 （在左端）
设：Y a11 a22 a1x2 a2 x3
m EI
x l
只取第一项 1 x2 1 2
l
代入： kij 0 EIi jdx,
代入频 率方程：
[k] 2[m] 0
2
5
2
ml4
EI ml4
4 6
2 ml4
6
6
2
EI ml4
12
0
求得最 初两个 频率近 似值：
6 EI 7 EI
1
3.533 l2
EI m
2
34.81 l2
EI m
（0.48%）
（58%） 说8 明
2、集中质量法
在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代 替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效 的集中质量法。
(
x)dx
2
0l q(x)Y (x)dx
0l m[Y (x)]2 dxmiYi2 2
例 试求等截面简支梁的第一频率。
1）假设位移形状函数为抛物线
Y (x) x(l x)
2
2EIl ml5 / 60
满足边界条件且与 第一振型相近
2
120EI ml4
x y
EI m
l
10.95 EI
l2 m
2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
用不同的集中质量方案求
出对称振动和反对称振动
的自振频率。
最小频率对应 着反对称振型
1.5m
2ml
《结构力学习题》(含答案解析)
第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;; B.D.C.=1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M k M p 21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
a a9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。
q l l l /211、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。
EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。
EI = 常数 。
l l l /3 2 /3/3q13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。
求D 点的竖向位移。
P 3m 3m 3m14、求图示刚架B 端的竖向位移。
ql15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。
q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝常数。
l/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI＝常数。
18、求图示刚架中D点的竖向位移。
E I = 常数。
qll l/219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。
l/23l/320、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。
ll21、求图示结构B点的竖向位移，EI = 常数。
结构自振周期和振型的计算
框架—剪力墙结构。
4、矩阵迭代法（略）
(二)、经验公式
剪力墙结构体系 TT11 00..0055NN 框—剪结构体系 TT11 00..006655NN
一般砖混结构的周期为0.3s左右。
(三)、试验方法 1、自由振动法 2、共振法
N为建筑 的层数。
由动能等效：T1max T2max
T1ma x
1 2
n i 1
mi ( xi )2
T2 max
1 2
Meq ( xm )2
等效质量 Meq
mi xi2 xm2
最后得到基频 k
M eq
T1 2 Meq
折算质量法计算结构的基本周期，来自用于将结构的分布质量或其他位置的质量等效为一单
质量模型。如将单厂的柱、墙、吊车梁等质量等
弯剪型
T1 1.7 T
顶点位移 单位为米,
可用于计算一般多高层框架结构的基本周期，顶点位移 的计算，按照框架在集中于楼盖的重力荷载作为水平作用产 生的顶点位移.
弯曲型
剪切型
弯剪型
弯曲型变形：以弯矩产生的变形为主，如剪力墙结构
剪切型变形：以剪力产生的变形为主，如框架结构
弯剪型变形：弯矩、剪力产生的变形都不能忽略，如
体系的最大位能：
1
多质点体系 Umax 2 F max
xn (t)
1 {X }T [K ]{X }
xi (t)
2
体系的最大动能：
多质点体系
Tmax
1 2
vmax
2
m
1 2{ X }T [M ]{ X }
2
体系按基本频率1作自由振动，相应的基本振型取一 种近似形式，即假设各质点的重力荷载Gi作为水平作用产 生的弹性变形曲线.
结构自振频率的几种计算方法
该方法主要是运用能量法原理，即根据能量守恒定理，结构体系在振动过程中，如果不 计阻尼的影响,则任何时刻位能与动能之和始终为一常数[1]。如果体系在平衡位置时的位能为 零,其动能为最大Umax ,而体系在极限位置(最大位移) 时的动能为零，其位能为最大Wmax ， 则有：
=
1 2
L EI ( d 2 y(x) )2 dx
0
dx 2
-2-
∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
ω2 = 0
dx 2
L
(3)
∫ my(2x)dx
0
令式(2) 和式(3) 的自振频率相等，则：
∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
0
dx 2
= ωy(x) cos(ωt + φ)
∫ ∑ U
=
1 2
L 0
mu
(
∂y( x,t) ∂t
)
2
dx
+
1 2
n j =1
m
j
( ∂y(x,t) ∂t
)2
∫ ∑ =
1ω2 2
cos2 (ωt
L
+ φ ) mu y(2x) dx +
0
1 2
n
m jω 2 cos2 (ωt
j =1
+
φ
)
y
2 j
式中： y j 为集中质量 m j 处的振型曲线值，L ω 2 cos2 (ωt + φ ) 为梁的跨度。
结构自振频率的几种计算方法
பைடு நூலகம்
袁明亮
河海大学土木学院，江苏南京 （210098）
自振频率和振型计算方法比较
结构自振频率和振型计算方法及各方法比较方法一：直接手算法即通过求解体系自由振动方程组，简单的表达为矩阵式：(K −w 2m )X =0 式中： K =[k 11k 12k21k 22⋯k 1n⋮⋱⋮k n1⋯k nn]；m =[m 1⋯0⋮⋱⋮0⋯m n ]；X =X 1⋮X n频率方程为：|K −w 2m |=0此法适用于结构自由度为1的情形，当结构自由度多于2或3时，运用此法就显得过于复杂。
方法二：矩阵迭代法矩阵迭代法又称Stodola 法，它是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的频率和振型。
主振型的变形曲线可以看做是结构按照某一频率振动时，其上相应惯性力引起的静力变形曲线。
因此，结构按频率w 振动时，其上各质点的位移幅值将分别为： [X 1X 2⋮X n ]=w 2[δ11δ12δ21δ22⋯δ1n ⋮⋱⋮δn1⋯δnn]|m 1000⋱00m n|[X 1X 2⋮X n]或 X =w 2δmX 实际上 X =w 2K −1mX 可见柔度矩阵与刚度矩阵是互逆的，即δ=K −1。
该法的计算步骤：先假定一个振型带入上式等号右边，进行求解后得到w 2和其主振型的第一次近似值；再以第一次近似值代入上式进行计算，则可得到w 2和其主振型的第二次近似值；如此下去，直到前后两次的计算结果接近为止。
当一个振型求得后，则可利用振型的正交性，求出较高次的频率和振型。
该法的缺陷：由于在求解高频率及其主振型时，要利用已被求出的较低振型，故计算误差将随着振型的提高而增加。
采用该法计算较多自由度的体系频率和振型时，需要列出每一质点 的运动方程，并分别解方程组，因此质点较多时，此法较复杂。
方法三：能量法适用于求解多自由度体系的基本频率。
又称瑞雷法，是根据体系在振动过程中能量守恒的原理导出的，即一个无阻尼的弹性体系在自由振动时，在任意时刻的动能和变形位能之和保持不变。
亦即位移最大时的变形位能U max 等于位移最小时的动能T max 。
结构力学课件—结构动力学
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17:04
§14-1 概述
二、动力荷载的分类
1. 周期荷载
结构力学
周期荷载—— 随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是 简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。 F
r
m
F (t) F t
θ t
o
简谐荷载
l/ 2
l/ 2
非简谐性周期荷载
F (t)
例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。
o
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§14-3 单自由度结构的自由振动
结构力学
（2）柔度法。即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：
y F111 my11
即
my k11 y 0
同刚度法所得方程
此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：
振动微分方程的建立方法：
（1）刚度法。即列动力平衡方程。设质点m在振动的任一时刻位移为y，取质点 m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上 的力有： (a) 弹簧恢复力
Fc k11 y
(b) 惯性力
该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方 向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。
产生自由振动的原因：结构在振动初始时刻受到干扰。 初始干扰的形式: （1）结构具有初始位移 m （2）结构具有初始速度 Δ st 静平衡位置 （3）上述二者同时存在
yd
结构力学
自由振动：结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。
k11
m
FS (t )
yd
W
FI ( t )
1. 不考虑阻尼时的自由振动
结构自振频率计算公式
结构自振频率计算公式好嘞，以下是为您生成的关于“结构自振频率计算公式”的文章：在咱们建筑工程的世界里，结构自振频率计算公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开了解建筑稳定性和安全性的大门。
先来说说啥是结构自振频率吧。
想象一下，一座桥在风中微微晃动，或者一栋高楼在地震时颤抖，这时候它们晃动或者颤抖的频率就是自振频率。
而这个自振频率可太重要啦，要是算不对，那建筑可能就会在一些特殊情况下出大问题。
那结构自振频率到底咋算呢？这就得提到一些公式啦。
比如说，对于简单的单自由度体系，咱们常用的公式是ω = √(k/m) ，这里的ω 就是自振频率，k 是结构的刚度，m 是质量。
可别小看这个公式，里面的学问可大着呢！就拿我之前参与的一个项目来说吧。
那是一个小型的钢结构厂房，设计的时候就得把自振频率算清楚。
我们的团队一开始对这个公式的理解还不够深入，计算的时候出了点小岔子。
本来按照初步的计算，觉得结构没问题，可实际一模拟，发现偏差还挺大。
这可把大家急坏了，于是我们重新回过头来，仔仔细细地研究这个公式里的每一个参数。
刚度的取值是不是准确？质量的分布有没有考虑周全？经过一番折腾，终于发现是在计算刚度的时候，没有充分考虑到一些连接部位的细微变形，导致刚度值算小了。
这事儿给了我们一个深刻的教训，让我们明白在运用结构自振频率计算公式的时候，每一个细节都不能马虎。
哪怕是一个小小的参数偏差，都可能带来完全不同的结果。
再说说这个公式在实际工程中的应用吧。
比如说在桥梁设计中，如果自振频率和来往车辆的振动频率接近，那就可能产生共振现象，桥就有可能被损坏。
所以设计师们得通过精确计算自振频率，来调整桥梁的结构，避免这种情况的发生。
在高层建筑中也是一样，要是自振频率和当地常见的地震波频率接近，那地震一来，可就危险啦。
所以得通过合理的结构设计，比如增加剪力墙、调整柱子的布置等，来改变自振频率，让建筑更安全。
总之，结构自振频率计算公式虽然看起来就是几个字母和符号的组合，但它背后却关系着无数建筑的安危。
索网结构与膜结构自振频率近似求解法
ＧＵ Ｊａ ｆ Ｉ Ｙ ｏ Ｊａ ｉｎｅ ａ ｉｎ
（ ｅ ｅｔ ｎ ｆ ｉｌ ｎ ｉ ｅｉｇ Ｚ ｅａ ｇＵｎｖｒｉ Ｈａｇｈ ｕ ３ ０ ２ ） Ｄ ｐｒｍｅｔ ｖ ｇ ｅｒ ．ｈｊ ｎ ｉｅｓ ｙ ｏ Ｃ ｉＥ ｎ ｎ ｉ ｔ ｎ ｚｏ １０ ７
ｅ ｔ ｔ ｆｔ ｅｓ ｈ ｍｅ ａ ｄ ｐ ｅｉ ｎ ｒ ｅ ｉｎ． ｓｉ ｅｏ ｈ ｃ ｅ ｎ ｒ ｌ ｍａ ｍｉ ａ ｙ ｄ ｓｇ
ＫＥ Ｗ ＯＲＤＳ ｃｂｅｎ ｔ ｔｕ ｔｒ Ｙ ａ ｌ－ ｅ ｒｃｕｅ ｓ
ｒｅ ｒｎ ｔｕ ｔｒ ｎ ｍｂａ ｅｓｒ ｃｕ ｅ
＝ Ｋ
／２ √ Ｈ ・
（ ３ ）
大。文 中还提 出 了任 意形 状的二 向受 力不 等 的薄膜
的近 似计算 方法 ， 后 给 出 了二 向受 力 不 等 的一 般 最 薄膜 自振 频率 求解式 ：
— —
其中 Ｈ ＝瓜
比较 式 （ ） ２ 与式 （ ） 知二 者 十分相 似 ， ３可 由大 量
１ 理 论推 导
ｎ
将 式 （ ）改写 为 ： １
文献 ［］ １曾求 解 了二 向受 力 不 等 的 平 面薄 膜 自
由振 动 问题 ， 由分析可 知 ， 膜结 构 的 自振 频率 主要 薄 取决 于其张 力与 总 质量 ， 其边 界 形 状 对 其影 响不 而
＝ ｎ√ １ ＫＨ 丽
的各 向张力 相 同的 圆形 薄膜 的 自振频 率公 式 为 ：
￣ Ｊ ｒ ｏ ｌ
－ －
容。但 在方案构思估 算与初步设计 计算 中 ， 常要进 常
求结构自振频率例题
求结构自振频率例题
求结构自振频率例题
一、钢梁的自振频率
给出一个钢梁，长度为L，重量为m，该梁算出其在它自由振动时的自振频率。
解答：自振频率的计算公式为：f = 1/2π√(K/m)，其中K为杆的刚度。
由于重心的位置和梁的形状与尺寸可以改变K，所以在计算之前需要了解这两个参数的值才能准确的求出杆的自振频率。
对于这个钢梁来说，自振频率的计算公式可以写为：
f = 1/2π√(K/m)
= 1/2π√(KL/m)
= 1/2π√(EI/mL)
其中E为钢梁的弹性模量，I为该杆断面的惯性矩。
二、水中的自振频率
给出一个柱状物体，其底面积为S，在这里，计算出其在水中自由振动时的自振频率。
解答：水中物体的自振频率可以用下面的公式求出：f = (π/2)*√(ρg/S),
其中ρ为水的密度，g为重力加速度。
因此，对这个柱状物体来说，自振频率的计算公式可以写为： f = (π/2)*√(ρg/S)
= (π/2)*√(ρg/S)
三、质点的自振频率
给出一个质点，质量为m，悬空在真空中，该质点算出其在自由振动时的自振频率。
解答：对于质点而言，由于其没有刚度影响，因此它的自振频率可以用下面的公式求出：f = 1/2π√(m/K)，其中K为质点的动力学刚度。
混凝土结构的自振频率计算方法
混凝土结构的自振频率计算方法混凝土结构的自振频率计算方法1. 引言混凝土结构是现代建筑工程中常用的结构形式之一，具有良好的耐久性和承载能力。
在设计和施工过程中，了解混凝土结构的自振频率是至关重要的。
自振频率描述了结构在受到外力激励时产生共振的能力，对结构的稳定性和安全性有很大影响。
本文将介绍混凝土结构的自振频率计算方法。
2. 自振频率的定义自振频率是结构在无外力作用下自由振动的频率，它是由结构的固有特性决定的。
在混凝土结构中，自振频率可以反映结构刚度和质量分布的特点。
3. 自振频率的计算方法混凝土结构的自振频率可以通过多种方法进行计算，如理论计算、实测和数值模拟等。
以下将介绍常用的理论计算方法。
3.1 欧拉-伯努利梁理论欧拉-伯努利梁理论是一种常用的计算混凝土梁自振频率的方法。
根据该理论，混凝土梁的自振频率可以通过以下公式计算：f = (π^2 * E * I) / (L^2 * ρ)其中，f是自振频率，E是混凝土的弹性模量，I是截面的惯性矩，L是梁的长度，ρ是混凝土的密度。
3.2 有限元法有限元法是一种常用的对复杂结构进行自振频率计算的数值模拟方法。
该方法将结构离散化为有限个小单元，通过求解单元之间的振动方程来计算结构的自振频率。
有限元法可以考虑结构的非线性和非均匀性，具有较高的精度和适用性。
4. 自振频率计算的影响因素混凝土结构的自振频率受多种因素的影响，包括结构的几何形状、材料性质、边界条件等。
以下将介绍几个常见的影响因素。
4.1 结构的几何形状结构的几何形状是决定自振频率的重要因素之一。
通常情况下，结构的自振频率与结构的尺寸成反比关系。
横截面更大的梁具有更低的自振频率。
4.2 材料的性质混凝土的弹性模量和密度是决定自振频率的关键参数。
较高的弹性模量和较低的密度将导致较高的自振频率。
4.3 边界条件结构的边界条件也会对自振频率产生影响。
不同的边界条件将导致不同的结构振型和自振频率。
受到固定边界约束的结构具有更高的自振频率。
混凝土结构的自振频率计算方法
混凝土结构的自振频率计算方法标题：混凝土结构的自振频率计算方法简介：在设计和分析混凝土结构时，了解结构的自振频率是至关重要的。
自振频率是指结构在受到外力激励或地震作用时的固有振动频率。
准确计算自振频率可以帮助工程师确定结构的稳定性和设计合适的防震措施。
本文将深入探讨混凝土结构的自振频率计算方法，涵盖各种关键概念和技术。
1. 自振频率的定义和重要性自振频率是指结构在没有外界激励时以固有形式振动的频率。
它是结构的固有属性，与结构的质量、刚度和几何形状有关。
自振频率的计算可以帮助工程师评估结构在地震、风力或其他载荷下的响应性能。
较低的自振频率可能意味着结构在受到地震等激励时更容易发生共振，因此在设计中需要注意。
2. 自振频率的计算方法混凝土结构的自振频率可以通过多种方法进行计算。
以下是几种常用的计算方法：2.1. 理论计算方法理论计算方法基于结构的刚度和质量特性。
常见的方法包括弹性振动理论和有限元分析。
弹性振动理论假设结构可看作弹性连续体，并使用结构的刚度矩阵和质量矩阵进行计算。
有限元分析则将结构离散化为小单元，并在每个单元上计算振动频率。
这些方法能够提供准确的结果，尤其适用于复杂结构和非线性分析。
2.2. 实测方法实测方法通过在已建成的混凝土结构上进行振动测试以获得自振频率。
这可以通过使用激励器和传感器进行振动激励和测量来完成。
实测方法是一种直接、可靠的方法，可以辅助验证理论计算的准确性，并用于实际结构监测和评估。
2.3. 经验公式方法经验公式方法基于已有结构的统计数据和经验公式，通过输入结构的几何形状和其他参数来计算自振频率。
这种方法虽然简单快速，但受限于公式的适用范围和准确性。
3. 影响自振频率的因素混凝土结构的自振频率受多个因素影响，包括结构的质量分布、刚度、几何形状和边界条件等。
较重的结构通常具有较低的自振频率，而较刚性的结构则具有较高的自振频率。
此外，横截面的形状和尺寸、结构的支承方式和约束条件也会对自振频率产生显著影响。
求自振频率的经典例题
一个单自由度系统，其质量为2kg，刚度系数为8N/m，阻尼可忽略不计。
该系统的自振频率是多少？
A. 1 Hz
B. 2 Hz（正确答案）
C. 4 Hz
D. 8 Hz
某弹簧-质量系统的自振周期为0.5s，则其自振频率为？
A. 0.5 Hz
B. 1 Hz
C. 2 Hz（正确答案）
D. 4 Hz
一个无阻尼振动系统的质量为1kg，刚度为4π2 N/m。
该系统的自振频率接近于？
A. 0.5 Hz
B. 1 Hz（正确答案）
C. 1.5 Hz
D. 2 Hz
已知某结构的自振周期为T，若将其质量减半而刚度不变，则新的自振频率将是原来的多少倍？
A. √2倍（正确答案）
B. 2倍
C. 3倍
D. 4倍
某结构的自振频率为5Hz，若将其刚度增加一倍而质量不变，新的自振频率将是多少？
A. 5√2 Hz（正确答案）
B. 10 Hz
C. 5/√2 Hz
D. 无法确定
一个单自由度振动系统，当质量增加为原来的2倍，刚度减半时，其自振频率将如何变化？
A. 增加为原来的2倍
B. 减少为原来的1/2
C. 减少为原来的1/√2（正确答案）
D. 保持不变
已知一弹簧振子的自振频率为f，若将弹簧的刚度增加为原来的4倍，质量减少为原来的1/4，则新的自振频率是多少？
A. 2f
B. 4f（正确答案）
D. 16f
一个无阻尼自由振动系统，其自振周期为T，若将系统的质量和刚度都增加为原来的2倍，则新的自振周期将是？
A. T/2
B. T（正确答案）
C. 2T
D. 4T。
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T(t)
1 2
m2Y 2(x)
cos 2 (
t
)dx
Tmax
1 2
2
mY
2
(x)dx
U(t)
EI 2
Y ( x)2
sin 2 (
t
)dx
Umax
EI 2
Y ( x)2dx
2
EI Y ( x)2 dx mY ( x)2 dx
m, EI
l
13.54(1/ s)
精确解 1 13.36(1/ s) 误差 1.35%
（四）、位移曲线的确定
（2）只有均布质量时
位移曲线Y (x)由荷载q mg产生;
动能 :
Tmax
1 2
m[Y (x)]2 2dx
应变能(荷载作功) :
U max
1 2
mgY (x)dx
2
mgY ( x)dx
（三）、分布质量与集中质量同时存在
设: y(t, x) Y(x)sin( t )
T(t)
1 2
m2Y 2 (x) cos2 ( t )dx
n
1 2
2
miYi2 cos2 ( t )
i 1
Tm a x
1 2
2
mY
2 ( x)dx
1 2
2
n
miYi
2
i 1
U(t)
EI 2
Y ( x)2
mY 2 ( x)dx
例3：用能量法求图示体系的频率。
设y(x)由q mg产生
m, EI
l
Y ( x)
1 24EI
mg(x4
2Lx3
L3 x)
9.88 L2
EI m
精确解
2
1
L2
EI m
误差 0.07%
（四）、位移曲线的确定
（3）同时存在均布质量和集中质量时
位移曲线Y (x)由荷载q mg和mi g产生;
已知: m 180t, k 98MN/m。
设 : Y T 1 2 3
13.37(1/ s) 1
误差
m3 m m2 1.5m k3 k m1 1.75m k2 2k
k1 2.5k
0.075%
设: Y T 1 1 1
17.9(1/ s) 1
误差 34.0%
（二）、无限自由度体系
（1）只有集中质量时
动能 :
Tm a x
1 2
n
miYi
2
2
i 1
n
应变能(荷载作功) :
U max
1 2
mi gYi
i 1
n
mi gYi
2
i 1
n
miYi
2
i 1
例１：用能量法求图示体系的频率。
k1 k，k2 2k，m1 m，m2 2m；
Y2
3mg 2k
Y1
3mg 2k
mg k
5mg 2k
§10-5 近似法求自振频率
二、 能量法求结构基频 目的：求结构的基频
假定：不考虑阻尼影响 原理：能量守恒定理：
动能＋应变能＝总能量＝常数
（一）、有限自由度体系
设体系按某振型振动
y(t) Ysin( t )
T(t)
1 2
n
miYi
2
2
cos 2 (
t
)
1 2
2
cos 2 (
t
)YT M Y
i 1
动能 :
Tm a x
1 2
m[Y
(x)]2 2dx
1 2
n
miYi2
2
i 1
n
应变能(荷载作功) :
Umax
1 2
mgY (x)dx
1 2
mi gYi
i 1
n
2
mgY ( x)dx mi gYi
i1
n
EI Y ( x) 2 dx
n
mY 2 ( x)dx miYi2
mY 2 ( x)dx miYi2
U(t)
1 2
n
n
kijYiYj
sin 2 (
t
)
Hale Waihona Puke 1 2sin 2 (
t
)
Y
T
K
Y
i1 j 1
n
Tmax
1 2
2
miYi 2
1 2
2
Y
T
M
Y
i 1
nn
Umax
1 2
kijYiYj
1 2
YT K Y
i1 j 1
nn
2
kijYiY j i 1 j 1
n
miYi2
YT K Y YT M Y
sin 2 (
t
)dx
m1 mi mn m, EI
Umax
EI 2
Y ( x)2dx
2
EI Y ( x)2 dx
mY
(
x)2
dx
n
miYi
2
i 1
（四）、位移曲线的确定
对于求基频，通常以结构重力产生的位移曲线作为
｛Ｙ｝或Ｙ（ｘ）的近似表达式；如果水平振动，则重力 沿水平方向作用。
这时应变能可用荷载作功表示。
§10-5 近似法求自振频率
一、集中质量法 简化为单自由度体系：
9.8 L2
EI m
误差 0.73%
m, EI
l
简化为两个自由度体系：
1
9.86 L2
EI m
2
38.18 L2
EI m
误差 0.11% 误差 3.3%
简化为三个自由度体系：
2
39.19 L2
EI m
误差 0.73%
第十章 结构动力计算
2 22 k
43 m
m1
EI1
k1 m2
EI1
k2
精确解
2 1
1 2
k m
误差 2.3%
例2：用能量法求图示体系的频率。
已知: m 180t, k 98MN/m。
Y T 1.70 2.95 3.95
m3 m m2 1.5m k3 k m1 1.75m k2 2k
k1 2.5k
i1
i1
作业： 14-12
i 1
例１：用能量法求图示体系的频率。
k1 k，k2 2k，m1 m，m2 2m；
设 : Y T 1 0.5
2 k
2m
2 1
m1
EI1
k1 m2
EI1
k2
设 : Y T 1 1
2 2 k
m
2 2
设 : Y T 1 1
2 2k
3m
2 1
误差 33.3%
例2：用能量法求图示体系的频率。