一元二次方程根的分布问题

f ( m) 0 f ( n) 0 f ( p) 0 f (q) 0
一元二次方程 ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布
两个正根 两个负根 一正根 一负根 一根 一正一负，且 为零 负的绝对值大
0 b x x 0 1 2 a c x x 0 1 2 a
f ( k1 ) 0 f (k 2 ) 0
例1.关于
x的方程 2kx2 2x 3k 2 0 的两实根一个小于1，
x1
(,4) (0,) 。 另一个大于1，则实数 k 的取值范围是______________________
m
x2
一根大于m， 另一根小于m
一元二次方程的根分布问题
一、复习
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
零点存在判定法则
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，那么，函
o
k
x
k o
x
o
k
x
0 b k 2a f (k ) 0
0 b k 2a f (k ) 0
f(k)<0
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根的分布
两个根都在（k1 内 y
, k2 )
两个根有且仅有一个 在（k1 y
n
x1
m n
x2
x1 , x2 (m, n)
f ( m) 0 f ( n) 0 0 b n m 2a
一根小于m， 另一根大于n
f ( m) 0 f ( n) 0

x1 x2 m n
x1 x2 m n

f ( m) 0 f ( n) 0
, k 2 )内
k2
x1<k1 < k2 <x2 y
k1 o
k2
x
k1 o
x
o k1 k2
x
0 b k k2 1 2a f ( k1 ) 0 f (k 2 ) 0
f (k1 ) f (k2 ) 0 f (k ) 0 或 1 f ( k2 ) 0 f ( k2 ) 0 或 f (k1 ) 0
4 2
a
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x
上恒为正值。其充要条件为：
O
O
f (0) 0 a 2 0 2
或
1 2 a 5 或 a2 2
a2 0 2 0
1 a5 即 2
练习：
1.关于
x
的方程
x mx 2m 2 0
2
3 在区间 0, 2 内有解，求实数
m 的取值范围
2、已知二次函数f(x)=2x2 -(a-2)x-2a2 -a, 若在区间 0,1内至少存在一个实数b，使f (b) 0,则实数a的取值范围
3、已知集合A ( x, y ) | y x 2 mx 1 ,
10 3 ( , ) 3
（ 2， 1 ）
f ( 2) 0 f (3) 0 3 4 k 0 2 2 2 3 k
6 x x 2 的定义域为A，函数
的图象与 x 轴的两个交点在－2与3之间。
2
x1
x2
3
2
或方程 kx 4 x k 3 0 有一根为－2或3时，另一 根的情况： 若一根为－2，则k＝1，不符合题意，舍去。 若一根
B ( x, y) | x y 3,0 x 3 ,若A B是单元素集 求实数m的取值范围。
4、若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实数根， 求实数a的取值范围。
5、关于x的方程x2+ax+2=0至少有一个小于 -1的根，求实数a的取值范围。
3 1 为3，则 k ，另一根为 , 符合题意。 4 k 3 3 2 2
例4.若不等式 8x 8(a 2) x a 5 0 对于任意实数 均成 立，求实数 的取值范围。 2 2 令 t x ,则问题变为 f (t ) 8t 8(a 2)t a 5在 [0,)
例3.已知函数 y
y lg(kx2 4 x k 3)的定义域为B，当B
B A
A求实数 k 的取值范围。 A {x | 2 x 3} B {x | kx2 4x k 3 0}
k 0 且函数 f ( x) kx2 4x k 3
f ( m) 0 f ( n) 0
三、两实根由三个量来控制
. . .
m n
p

f (m) 0 f (n) 0 f ( p) 0
四、两实根由四个量来控制
m
x1
np
x2
q
mn pq
x1 (m, n), x2 ( p, q)

2
x1
m
x2
一根大于m， 另一根小于m
m
x1

x2
x1
x2 m

f (m) 0

两根均大于m
f ( m) 0 0 b m 2a
两根均小于m
f ( m) 0 0 b m 2a
二、两实根由二个量来控制
m
x1 x2

2

f (m) 0
2
例2.若二次函数 f ( x) 4x 2( p 2) x 2 p p 1 在区间 [1,1]
内至少存在一点
c，使
f (c) 0，求实数 p的取值范围
。
{ f (1) 2 p
f (1) 2 p 2 p 1 0
2
1
1
3p 9 0 3 3 3 p 2 p 3 或 p 2
0 b 0 2 a f (0) 0
0 b 0 2 a f (0) 0
f (0) 0
C＝0
一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0)的根的分布
两个根都小于k 两个根都大于k
y y 一个根小于 k, 一个根 大于k y
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
注:只要满足上述两个条件,就能判断函 数在指定区间内存在零点。
ax2 bx c 0(a, b, c R, a 0) x1 , x2 ( x1 x2 )
设此方程的两实根分别为 构造二次函数 f ( x) ax bx c(a 0) 一、两实根由一个量来控制