一元二次方程根的分布问题
一元二次方程根的分布【公开课教学PPT课件】
充要条件是：
a f (m) 0 a f (n) 0
（4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的
充要条件是： 分两类：
b2 4ac 0
（）在（m, n）右侧 a f (n) 0
n
b
2a
注：前提 m,n不是 方程（1）的根.
b2 4ac 0
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
实根分布问题.
（1）一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的
充要条件是： f (m) f (n) 0.
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
b2 4ac 0
a f (m) 0
a f (n) 0
m
b 2a
n
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
（2）判别式 b2b 4ac
（3）对称轴
x 2a
（4）端点值 f (m) 的符号。
0
k1
பைடு நூலகம்
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
(k1
)
0 b
k1 2a
求解一元二次方程根的分布问题的途径
丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳一元二次方程根的分布问题，通常会给出一元二次方程根的分布区间，要求方程中参数的取值范围.解答此类问题，常需利用一元二次方程根的判别式、韦达定理以及一元二次函数的图象、性质.下面重点谈一谈一元二次方程根的分布问题的解法.一、采用直接法一元二次方程的根能够直接用配方法或因式分解法求出来，可采用直接法，将一元二次方程的根直接求出来，然后根据方程的根所在的区间建立不等式，解不等式即可确定参数的取值范围.例1.要使关于x的方程x2-2mx+m2-1=0的两个实根介于-1和4之间，求实数m的取值范围.分析：方程x2-2mx+m2-1=0的两个实根很容易用配方法或因式分解法求出来，可采用直接法求解.解：x2-2mx+m2-1=()x-m-1()x-m+1=0，解得x1=m-1，x2=m+1，由题意得-1＜m-1＜m+1＜4，解得0＜m＜3.有时可运用求根公式求得方程的根，但要注意对判别式的符号进行讨论.二、利用函数法一元二次方程与一元二次函数之间的联系紧密，若一元二次函数为f（x）=ax2+bx+c（a≠0），当函数f（x）=0时，它就会变成一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).而解方程实质上是求对应函数的零点，即函数图象与x轴交点的横坐标，所以在解答一元二次方程根的分布问题时，可构造一元二次函数，借助图象来讨论函数零点的位置或取值，以明确方程根的分布情况.例2.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两实根一个大于1，一个小于1，求实数k的取值范围.解：设f（x）=2kx2-2x-3k-2，画出如图1、2所示的函数图象，图1图2根据题意可得{k>0,f()1<0,或{k<0,f()1>0,即{k>0,-k-4<0,或{k<0,-k-4>0,解得k＞0或k＜-4.根据所给的一元二次方程构造一元二次函数，便可将问题转化为函数问题，采用函数法来求解.对一元二次函数的开口方向和两根的取值范围进行讨论，便能快速建立关于k的不等式，求得问题的答案.三、分离参数对于一些含参一元二次方程，可将参数分离，运用分离参数法来求参数的取值范围.利用分离参数法求解一元二次方程根的分布问题，需在分离参数后，构造函数模型，将问题转化为求函数的值域或函数图象的交点问题.例3.若方程x2+ax-2=0在区间[]1,5上有解，则实数a的取值范围为（）.A.（-235，+∞）B.（1，+∞）C.éëùû-235，1 D.（-∞，-235）解：因为x∈[]1,5，所以方程x2+ax-2=0可以变形为a=2x-x，令f(x)=2x-x，g(x)=a，故原方程在区间[]1,5上有解⇔f(x)与g(x)的图象在区间x∈[]1,5上有交点，由图3知f(x)=2x-x在[]1,5上单调递减，其值域为éëùû-235，1，所以实数a的取值范围是éëùû-235,1，本题应选C项.将方程x2+ax-2=0变形为a=2x-x，就能将参数分离，再构造函数f(x)、g(x)，便将问题转化为f(x)与g(x)的图象在区间x∈[]1,5上有交点的问题.总之，对于简单的一元二次方程根的分布的问题，可采用直接法求解；对于较为复杂的问题，就需灵活运用函数法和分离参数法求解.而每种方法的适用情况均不相同，同学们需根据解题需求选择合适的方法来求解，这样才能有效提升解题的效率.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）赵爱华图3探索探索与与研研究究50。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表〔每种情况对应的均是充要条件〕表一：〔两根与0的大小比拟即根的正负情况〕分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象〔>a 〕得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象〔<a 〕得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论〔不讨论a〕()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a表二：〔两根与k 的大小比拟〕分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象〔>a 〕得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象〔<a 〕得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论〔不讨论a〕()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk表三：〔根在区间上的分布〕分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内〔图象有两种情况，只画了一种〕 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象〔>a 〕得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象〔<a 〕得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 综合结论〔不讨论a〕——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，〔图形分别如下〕需满足的条件是〔1〕0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； 〔2〕0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： 〔1〕两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：假设()0f m =或()0f n =，那么此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
一元二次方程根的分布
一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
一元二次方程根的分布取决于方程的解的个数，有如下三种情况：1 两个不相等的实根：如果一元二次方程有两个不相等的实根，那么方程的解为x1=r1、x2=r2，其中r1和r2是方程的两个实根。
2 两个相等的实根：如果一元二次方程有两个相等的实根，那么方程的解为x1=x2=r，其中r是方程的两个相等的实根。
3 两个复数根：如果一元二次方程有两个复数根，那么方程的解为x1=r1+r2i、x2=r1-r2i，其中r1和r2是方程的两个复数根的实部和虚部。
一元二次方程的根分布可以通过求解方程的判别式来确定。
判别式为b^2-4ac，如果判别式>0，则方程有两个不相等的实根；如果判别式=0，则方程有两个相等的实根；如果判别式<0，则方程有两个复数根。
在数学中，一元二次方程是由一个二次项和一个一次项组成的方程。
它的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
解决一元二次方程的方法有多种，常见的方法有求解公式法、因式分解法、二分法、牛顿迭代法等。
求解公式法是最常见的求解一元二次方程的方法，它的公式为：x1= (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2= (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中sqrt(b^2-4ac)表示根号内的值。
因式分解法是将一元二次方程写成两个一次方程的形式，然后分别求解两个一次方程的解。
二分法是一种数值解法，通过取方程的两个端点的中点来逐步缩小解的范围，最终得到方程的解。
牛顿迭代法是一种逐步迭代的方法，通过不断迭代来逼近方程的解，最终得到方程的解。
在解决一元二次方程时，应根据具体情况选择合适的方法。
元二次方程根的分布练习及答案
一元二次方程根的分布一．一元二次方程根的基本分布——零落布所谓一元二次方程根的 零落布 ，指的是方程的根相关于零的关系。
比方二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或许说，这两个根分布在零的双侧。
设一元二次方程 ax 2 bx c0 （ a 0 ）的两个实根为 x 1 ， x 2 ，且 x 1 x 2 。
【定理 1】 x 1 0 ， x 2 0 ( 两个正根 )b 2 4ac 0b ，x 1 x 2 0ax 1 x 2ca推论 ： x0 ， xb 2 4acb 24ac 02a 0或a 01f (0) c 0 f (0) c 0bb 0上述推论联合二次函数图象不难获得。
【例 1】 若一元二次方程 (m 1)x22( m 1) xm 0 有两个正根， 求 m 的取值范围。
4( m 1)2 4m(m 1) 0解析：依题意有2( m 1)0< m <1。
m 1 0m 0m 1b 2 4ac 0 【定理 2】 x 10 ， x 2 0x 1x 2b 0 ，ax 1 x 2 c 0a推论 ： x 1 0 ， x 2b 24ac0 b 2 4aca 0 或a 0f (0) c 0 f (0) c 0b 0b 0由二次函数图象易知它的正确性。
【例 2】 若一元二次方程kx23kx k3的两根都是负数，求k 的取值范围。
12 或 k>3）（ k5c 【定理 3】 x 1x 2 0akx 2【例 3】 k 在何范围内取值，一元二次方程3kx k 3 0有一个正根和一个负根 解析：依题意有 k3<0=>0< k <3k【定理 4】 1 0 ， x2 0 c 0 b 0 ；○x1 且b a2 0 ， x2 0 c 0 0 。
○ x1 且a【例 4】若一元二次方程kx 2 (2k 1) x k 3 0 有一根为零，则另一根是正根还是负根k k x ，另一根为负。
一元二次方程根的分布典型例题
一元二次方程根的分布典型例题一元二次方程的根的分布是一个重要的数学概念。
下面我将提供几个典型的例题来说明一元二次方程根的分布。
例题1：求解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解答：首先，我们可以使用求根公式来求解这个方程。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别是方程ax^2 + bx + c = 0的系数。
对于这个方程，a = 1，b = -5，c = 6。
将这些值代入求根公式，我们可以得到：x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*1*6)) / (2*1)，化简得：x = (5 ± √(25 - 24)) / 2，继续化简得：x = (5 ± √1) / 2，进一步化简得：x = (5 ± 1) / 2。
因此，方程的根为x = 3和x = 2。
根的分布：这个方程有两个根，分别为3和2。
由于系数a为正数，所以这个二次方程开口朝上，根的分布在x轴上是向上凸起的，也就是根的分布是“两个根分别在两侧”的形式。
例题2：求解方程：x^2 + 4x + 4 = 0。
解答：同样地，我们可以使用求根公式来求解这个方程。
对于这个方程，a = 1，b = 4，c = 4。
将这些值代入求根公式，我们可以得到：x = (-4 ± √(4^2 - 4*1*4)) / (2*1)，化简得：x = (-4 ± √(16 - 16)) / 2，继续化简得：x = (-4 ± √0) / 2。
因此，方程的根为x = -2。
根的分布：这个方程有一个重根x = -2。
由于系数a为正数，所以这个二次方程开口朝上，根的分布在x轴上是一个顶点，也就是根的分布是“两个根重合”的形式。
例题3：求解方程：x^2 - 6x + 10 = 0。
解答：同样地，我们使用求根公式来求解这个方程。
对于这个方程，a = 1，b = -6，c = 10。
一元二次方程根的分布问题课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
y
0
2
x
( m 3) 2 4m 0
3 m
2
2
0
m
m 1
2
3
f ( 0) m 0
f ( 2) 3m 2 0
探究新知
2．一元二次方程的根的非零分布——k 分布
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两实根为 x1，x2，且 x1≤x2.k 为常数．
或
f(p) > 0,
f(p)f(q) < 0
f(q) < 0
x1 <m< n<x2
f ( m) 0
f ( n) 0
x1∈(m，n) ，
x2∈(p，q) 。
探究新知
变式5：关于x的方程 x2+(m-3)x+m=0 ，求满足下列条
件时m的取值范围 .
（8）若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内，
f(0)f(2)=m(3m-2) <0
( m 3) 2 4 m 0
m<x1 < x2 <n
探究新知
变式3：关于x的方程 x2+(m-3)x+m=0 ，求满足下列条
件时m的取值范围 .
（6）若方程的一个根小于2，另一个根大于4，
f (2) 3m 2 0
f (4) 5m 4 0
4
m m
5
探究新知
2．一元二次方程的根的非零分布——k 分布
一元二次方程实根的分布
一元二次方程实根的分布一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现。
这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。
本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。
一．一元二次方程实根的基本分布——零分布一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。
一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则1x 、2x 均为正⇔△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负⇔△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0；1x 、2x 一正一负⇔1x 2x ＜0。
例1．关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。
解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆⎧⎪+< ⎨⎪> ⎩≥ ①②③由①得：2(1)32(7)0m m +--≥，2(15)0m -≥，恒成立。
由②得：18m +-＜0，解之，m ＞1-。
由③得：78m -＞0，解之，m ＞7。
综上，m 的取值范围是m ＞7。
例2．若n ＞0，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求mn 的值。
解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆= ⎧⎪+⎨⎪> ⎩①＞ ②③由①得：2(2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。
若m n =，则1x ＋2x 22m n n n n =-=-=-＜0，不符合②，舍去。
一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 , 2）内
(m 3) 2 4m 0 3 m 0 2 2 f (0) m 0 f (2) 3m 2 0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（5） 一个根大于1，一个根小于1
f(1)=2m-2 <0
m m 1
b m< - 2a <n 7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内 △=b2-4ac≥0 y f(m)>0 f(n)>0. m n
m n
x
8.方程 f(x)=0 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内. f(n)=0 f(m)=0 f(m)f(n)<0, 或 b m+n m< - 2a < 2 , 或 m+n < - b < n. 2a 2 思考 方程的两根有且只有一个在区间[m, n]上时等价于? 9.方程 f(x)=0 的两根分别在区间(m, n)和(p, q)(n<p)内. f(m)>0 x 1∈(m,n) x ∈(p,q) m n p q f(n)<0 2 f(p)<0 f(q)>0.
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
1 （4） 两个根都大于 2 ( m 3) 2 4m 0 b 3 m 1 m 2 2 2a 1 6m 5 0 f ( 2) 4
5 m 1 6
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一元二次方程根的分布问题
一元二次方程根的分布问题一元二次方程的两根就是相应二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标，因此在讨论方程的根的分布时，一定要分析方程对应的函数图象与坐标轴的交点情况，列出等价的不等式（组）求解。
在列不等式组时，一般情况下需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴与区间端点的关系，有时也可以利用韦达定理。
1. 判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．2.韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．3. 一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为c bx ax x f ++=2)(，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()nm,内，另一根在()q p,内，qpnm<<<大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩4.例题例 1．已知2(3)0x m x m +-+=，分别求方程的根满足下列条件下的m 的取值范围：（1）两个正根； （2）两个负根； （3）两根都小于1； （4）两根都大于1； （5）一根大于1，一根小于1；（6）两根都在区间（0,2）内； （7）两根有且仅有一个在区间（0,2）内；解：（1）由1212000,0200b x x a x x c a ⎧⎪∆>∆>⎧⎪⎪⎪->+>⎨⎨⎪⎪>⎩⎪>⎪⎩即，得01m <≤。
一元二次方程根的分布问题
一元二次方程根的分布问题是指对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，我们想要了解它的根在实数范围内的分布情况。
首先，我们可以通过判别式Δ= b^2 - 4ac来确定方程的根的性质。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。
对于有两个不相等实根的情况（Δ> 0），它们的分布取决于b和c的值。
如果b和c的值都比较小，那么根可能会比较接近原点附近；如果b和c的值较大，那么根可能会分布得更远离原点。
根的具体位置还受到系数a的正负影响，但这只会对根的开口方向造成影响，并不影响根的分布在x轴上的位置。
对于有两个相等实根的情况（Δ= 0），这两个根将落在同一个位置，通常是在x轴上的某个点。
这种情况下，根的分布比较集中，且与b和c的值关系不大。
对于没有实根而有共轭复根的情况（Δ< 0），根的分布是虚数，不在实数范围内。
综上所述，一元二次方程根的分布与判别式Δ、系数b和c的值相关。
我们可以通过分析Δ的正负以及b和c的大小，来初步了解方程根在实数范围内的分布情况。
微专题(一) 一元二次方程根的分布--2025年高考数学复习讲义及练习解析
所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题．解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．(1)判别式Δ的符号；(2)对称轴x＝－b2a与所给区间的位置关系；(3)区间端点处函数值的符号．一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况复杂，但基本可以分为以下三类：类型一已知两根与实数k的大小关系例1(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，则实数m的取值范围是________．答案[－1＋22，2)解析设f(x)＝x2－(m－1)x＋2－m，m－1）2－4（2－m）≥0，，2－m>0，解得－1＋22≤m<2.(2)(2024·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，那么实数a的取值范围是________．答案－211，解析由于方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根，故a≠0，则ax2＋(a＋2)x＋9a ＝0可化为x2＋9＝0，令f(x)＝x2＋9，则f(1)＝1＋9<0，解得－211<a<0.当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0.1．(2023·黑龙江哈尔滨六中模拟)关于x的方程x2＋(m－2)x＋6－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是________．答案(－6，－25]解析令f(x)＝x 2＋(m－2)x＋6－m，＝（m－2）2－4（6－m）≥0，－m－22>2，2）＝4＋2（m－2）＋6－m>0，即≥25或m≤－25，<－2，>－6，解得－6<m≤－2 5.2．已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________．答案－12，解析解法一：显然2m＋1≠0，令f(x)＝x2－2m2m＋1x＋m－12m＋1，则f(0)<0，即m－12m＋1<0，所以(2m ＋1)(m－1)<0，解得－12<m<1.解法二：设x1，x2是方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0的两个根，则x1x2＝m－12m＋1<0，解得－12<m<1.类型二已知两根所在的区间f（m）<0，另外，根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n(图形分别如下)，需满足的条件是：(1)当a >0m ）<0，n ）<0；(2)当a <0m ）>0，n ）>0.例2已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m 的取值范围为________；若方程两根均在区间(0，1)内，则实数m 的取值范围为________．答案－56，－－12，1－2解析设函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则其图象与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图如图1，由题意，得0）＝2m ＋1<0，1）＝2>0，1）＝4m ＋2<0，2）＝6m ＋5>0，<－12，∈R ，<－12，>－56，解得－56＜m ＜－12.由题意知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图如图2，由题意，得0）＝2m＋1>0，1）＝4m＋2>0，＝4m2－4（2m＋1）≥0，－m<1，>－12，>－12，≥1＋2或m≤1－2，1<m<0，解得－12＜m≤1－ 2.求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②对称轴；③判别式；④在区间端点的函数值．注意以下两点：一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用；二是对于一些特殊情况，还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法．3．已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为________．答案(0，1)解析解法一：设f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)，则0）>0，1）<0，3）>0，即（a＋1）>0，2a＋a（a＋1）<0，－3（2a＋1）＋a（a＋1）>0，>0或a<－1，a<1，>3或a<2，所以0<a<1.解法二：由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0，得(x－a)[x－(a＋1)]＝0，所以方程两根为x1＝a，x2＝a＋1，a<1，a＋1<3，解得0<a<1.4．已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________．答案(－3，0)解析显然a≠0，则方程ax2＋x＋2＝0可化为x2＋xa＋2a＝0，设f(x)＝x2＋xa＋2a，则0）<0，1）<0，，＋1a＋2a<0，解得－3<a<0，所以实数a的取值范围是(－3，0)．类型三可转化为一元二次方程根的分布的问题一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解．(2023·河北石家庄藁城一中模拟)设函数f (x )＝－32cos2x ＋a sin x ＋a ＋92，若方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．答案(－3，6－62)解析f (x )＝－32(1－2sin 2x )＋a sin x ＋a ＋92＝3sin 2x ＋a sin x ＋a ＋3，x ∈(0，π)，令sin x ＝t ，t ∈(0，1]，h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3，当0<t <1时，sin x ＝t 有两个不相等的实数根，当t ＝1时，sin x ＝t 有且仅有一个实数根，因为方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，所以原问题等价于h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，所以－a6<1，＝a 2－12（a ＋3）>0，（0）＝a ＋3>0，（1）＝2a ＋6>0，解得－3<a <6－6 2.本题中，令sin x ＝t ，将原问题转化为3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，进而转化为一元二次方程根的分布问题是解决问题的关键，同时要注意区间端点是否满足题意．5．(2024·黑龙江哈尔滨南岗实验中学模拟)设函数f (x )x ＋1，x ≤0，4x |，x >0，若关于x 的函数g (x )＝[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3恰好有六个零点，则实数a 的取值范围是________．答案23－2，32解析作出函数f (x )x ＋1，x ≤0，4x |，x >0的图象如图，令f (x )＝t ，则当t ∈(1，2]时，方程f (x )＝t 有3个不同的实数解，所以使关于x 的方程[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则方程t 2－(a ＋2)t ＋3＝0在(1，2]上有两个不同的实数根，令g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋3，则＝（a ＋2）2－12>0，1<a ＋22<2，（1）＝2－a >0，（2）＝3－2a ≥0，解得23－2<a ≤32，故实数a 23－2，32.。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x <<两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f 大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f 综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即k x k x <<21,两根都大于k 即k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()0<k f 大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()0>k f 综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()0<⋅k f a kkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，qp n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()0f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
一元二次方程根的分布
0
5 .方程两根都小于m (x1 m) (x2 m) 0
(x1 m) (x2 m) 0
6. 方程一根大于m另一根小于m
(x1 m) (x2 m) 0
• 例1பைடு நூலகம் 方程x2+2ax+1=0有两个不等负
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
2.方程两根都小于m 3.方程一个根大于m另一根小于m 4.方程两根都大于m且都小于n
C.必要不充分条件 D.既不必要不充分条件
例5:求方程3x2－2mx+m+1=0一根在0,1之 间另一根在1,2之间的充要条件
例6 : 抛物线y=－x2+3x－m与直线y=3－x在 0<x<3时只有一个交点,求m的范围. －3<m≤0或m=1
根，求实数a的取值范围。(a>1)
例2: 方程mx2+(2m－1)x－3(m－1)=0 两根都大于3，求实数m的取值范围。
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；
替那些果实遮过阴凉、从枝头跌落、背井离乡的叶子。 祖母在秋天的离世毫无征兆，只是那一天刮了很大的风，院子里的那棵老柳树稀里哗啦地掉落了所有的叶子。其实，也只有风能让叶子喘息或者感叹。在叶子的生命中，风往往扮演着接生婆和送行者的双重角色，所以叶子的心思只 和风说，它只和风窃窃私语。 落叶也有遗言吗？在离开枝头的刹那，它和风都说了什么？谁
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f ( m) 0 f ( n) 0 f ( p) 0 f (q) 0
一元二次方程 ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布
两个正根 两个负根 一正根 一负根 一根 一正一负，且 为零 负的绝对值大
0 b x x 0 1 2 a c x x 0 1 2 a
一元二次方程的根分布问题
一、复习
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
零点存在判定法则
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，那么，函
例3.已知函数 y
y lg(kx2 4 x k 3)的定义域为B，当B
B A
A求实数 k 的取值范围。 A {x | 2 x 3} B {x | kx2 4x k 3 0}
k 0 且函数 f ( x) kx2 4x k 3
f ( 2) 0 f (3) 0 3 4 k 0 2 2 2 3 k
6 x x 2 的定义域为A，函数
的图象与 x 轴的两个交点在－2与3之间。
2
x1
x2
3
2
或方程 kx 4 x k 3 0 有一根为－2或3时，另一 根的情况： 若一根为－2，则k＝1，不符合题意，舍去。 若一根
3 1 为3，则 k ，另一根为 , 符合题意。 4 k 3 3 2 2
例4.若不等式 8x 8(a 2) x a 5 0 对于任意实数 均成 立，求实数 的取值范围。 2 2 令 t x ,则问题变为 f (t ) 8t 8(a 2)t a 5在 [0,)
o
k
x
k o
x
o
k
x
0 b k 2a f (k ) 0
0 b k 2a f (k ) 0
f(k)<0
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根的分布
两个根都在（k1 内 y
, k2 )
两个根有且仅有一个 在（k1 y
n
x1
m n
x2
x1 , x2 (m, n)
Байду номын сангаас f ( m) 0 f ( n) 0 0 b n m 2a
一根小于m， 另一根大于n
f ( m) 0 f ( n) 0
x1 x2 m n
x1 x2 m n
f ( m) 0 f ( n) 0
2
x1
m
x2
一根大于m， 另一根小于m
m
x1
x2
x1
x2 m
f (m) 0
两根均大于m
f ( m) 0 0 b m 2a
两根均小于m
f ( m) 0 0 b m 2a
二、两实根由二个量来控制
m
x1 x2
2
f (m) 0
2
例2.若二次函数 f ( x) 4x 2( p 2) x 2 p p 1 在区间 [1,1]
内至少存在一点
c，使
f (c) 0，求实数 p的取值范围
。
{ f (1) 2 p
f (1) 2 p 2 p 1 0
2
1
1
3p 9 0 3 3 3 p 2 p 3 或 p 2
B ( x, y) | x y 3,0 x 3 ,若A B是单元素集 求实数m的取值范围。
4、若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实数根， 求实数a的取值范围。
5、关于x的方程x2+ax+2=0至少有一个小于 -1的根，求实数a的取值范围。
4 2
a
x
上恒为正值。其充要条件为：
O
O
f (0) 0 a 2 0 2
或
1 2 a 5 或 a2 2
a2 0 2 0
1 a5 即 2
练习：
1.关于
x
的方程
x mx 2m 2 0
2
3 在区间 0, 2 内有解，求实数
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
注:只要满足上述两个条件,就能判断函 数在指定区间内存在零点。
ax2 bx c 0(a, b, c R, a 0) x1 , x2 ( x1 x2 )
设此方程的两实根分别为 构造二次函数 f ( x) ax bx c(a 0) 一、两实根由一个量来控制
f ( k1 ) 0 f (k 2 ) 0
例1.关于
x的方程 2kx2 2x 3k 2 0 的两实根一个小于1，
x1
(,4) (0,) 。 另一个大于1，则实数 k 的取值范围是______________________
m
x2
一根大于m， 另一根小于m
0 b 0 2 a f (0) 0
0 b 0 2 a f (0) 0
f (0) 0
C＝0
一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0)的根的分布
两个根都小于k 两个根都大于k
y y 一个根小于 k, 一个根 大于k y
, k 2 )内
k2
x1<k1 < k2 <x2 y
k1 o
k2
x
k1 o
x
o k1 k2
x
0 b k k2 1 2a f ( k1 ) 0 f (k 2 ) 0
f (k1 ) f (k2 ) 0 f (k ) 0 或 1 f ( k2 ) 0 f ( k2 ) 0 或 f (k1 ) 0
f ( m) 0 f ( n) 0
三、两实根由三个量来控制
. . .
m n
p
f (m) 0 f (n) 0 f ( p) 0
四、两实根由四个量来控制
m
x1
np
x2
q
mn pq
x1 (m, n), x2 ( p, q)
m 的取值范围
2、已知二次函数f(x)=2x2 -(a-2)x-2a2 -a, 若在区间 0,1内至少存在一个实数b，使f (b) 0,则实数a的取值范围
3、已知集合A ( x, y ) | y x 2 mx 1 ,
10 3 ( , ) 3
（ 2， 1 ）