排列组合基础知识

排列组合基础知识

一、两大原理

1.加法原理

（1）定义：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1m 中不同的方法，第二类方法中有2m 种不同的方法......第n 类方法中n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法。

（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。

（3）特点：分成几类，就有几项相加。

2.乘法原理

（1）定义做一件事，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有1m 中不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法......做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ...21=种不同的方法。

（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。

（3）特点：分成几步，就有几项相乘。

二、排列组合

1.排列

（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个排列，排列数记为m n P ，或记为m n A 。

（2）使用排列的三条件

①n 个不同元素；

②任取m 个；

③讲究顺序。

（3）计算公式

)!

(!)1)....(2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---= 尤其：!,,110n P n P P n n n n ===

2.组合

（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素并为一组，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个组合，组合数记为m n C 。

（2）使用三条件

①n 个不同元素；

②任取m 个；

③并为一组，不讲顺序。

（3）计算公式

1

2)...1()1)...(1()!(!!⨯-+--=-==m m m n n n m n m n P P C m m m n m n

尤其：m n n m n n n n n C C C n C C -====,1,,110

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？

A.226

B.246

C.264

D.288

解析：由于首位和末位有特殊要求，应优先安排，以免不合要求的元素占了这两个

位置，末位有13C 种选择，然后排首位，有14C 种选择，左后排剩下的三个位置，有

34A 种选择，由分步计数原理得：13C 14C 34A =288

例2.旅行社有豪华游5种和普通游4种，某单位欲从中选择4种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。

A.60

B.100

C.120 D140

解析：选择方法有如下3种：

豪华游3种与普通游1种，选择的种数为401435

=C C ； 豪华游2种与普通游2种，选择的种数为6024

25=C C ； 豪华游1种与普通游3种，选择的种数为203415

=C C ； 根据加法原理知：总共的选择有120种。