自动控制作业习题答案

1-6 下图是水位控制系统的示意图，图中1Q ,2Q 分别为进水流量和出水流量。

控制的目的是保持水位为一定的高度。

试说明该系统的工作原理并画出其方框图。

【解】：当输入流量与输出流量相等时，水位的测量值和给定值相等，系统处于相对平衡状态，电动机无输出，阀门位置不变。

当输出流量增加时，系统水位下降，通过浮子检测后带动电位器抽头移动，电动机获得一个正电压，通过齿轮减速器传递，使阀门打开，从而增加入水流量使水位上升，当水位回到给定值时，电动机的输入电压又会回到零，系统重新达到平衡状态。

反之易然。

水位给定值电位计电动机、齿轮阀门
水箱
浮子
2
Q 1
Q 水位h
h
2-1试建立下图所示各系统的微分方程并说明这些微
分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。

【解】：)(a 方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=
⎰
i R u u dt i C u c c r 1 削去中间变量，整理得：
dt
du
RC u dt du RC
r c c =+
（a ）方法二：
r c c r c u RC u u RC RCs RCs
Cs
R R s U s U &&=+⇒
+=
+
=1
1)
()
()(b 由于
无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ， 则有：
c
c r kx x x f =-)(&&r c c x k
f x x k f &&=+⇒
)
(c ()r
r c c r c u u C R u u C R R Cs R R Cs R Cs
R R Cs R s U s U +=++⇒+++=
+
++
=&&221212212)(1
1
11
)
()
()(d 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写
出该系统运动方程
r
r c c a a c
a r c r x x k f
x x f k k k k x f x x k x x k x x k +=++⇒⎩⎨
⎧=--=-&&&2
2121221)()
()(结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。

四个系统均为一阶系统。

2-2 试求题2-2图所示各电路的传递函数。

h +-
+
-
电位计
阀门
减速器
电动机
水箱浮子
1
Q 2
Q
2-4 系统的微分方程组为： )()()
()
()()()()()
()
()()(322
323211211t x k t c dt
t dc T t c k t x t x t x t x k dt
t dx T t c t r t x =+-=-=-=
式中32121,,,,k k k T T 均为正的常数，系统的输入为)(t r ，输出为)(t c ，试画出动态结构图，并求出传递函数
)
()
()(s R s C s G =。

【解】：对微分方程组进行零初始条件下的Laplace 变换得：
)
()()()()()()()()()
()()(322323211211s X k s C s sC T s C k s X s X s X s X k s sX T s C s R s X =+-=-=-=
绘制方框图
122+s T k 1
1
1+s T 1
k 3
k )
(s R )
(1s X )
(2s X )
(3s X )
(s C 题2-2-4图
传递函数为
)
1()()()(2321123122122
1++++++=k k k k s T k k T T s T T k k s R s C 2-7 系统方框图如题2-7图所示，试简化方框图，并求出它们的传递函数
)
()
(s R s C 1
G 2G 3
G 4
G 1H 2
H )
(s C )
(s R
1
G 2G 3
G 4
G 1
H 2
H )
(s C )
(s R (a ) (b )
2
G 3
G 4
G 2H )
(s C )
(s R 1
G 1
H 3
H 4
H 1
G 2
G 3
G 4G )
(s C )
(s R 2
H 1
H
(c) (d)
【解】：)
(a
(1) (2)
(3) (4) （b）
(1)
(2)
(3) (4) （c）
(1)
(2)
(3) (4)
(d)
(1)
(2)
(4)
2-8
【解】：（a）：（1）该图有一个回路
)1
(
30
1
)1
(
30
1+
-
=
∆
⇒
+
=
s
s
s
s
l
（2）该图有三条前向通路
)1
(
30
1
10
1
)1
(
10
4
3
2
1+
=
+
=
=
+
=
s
s
P
s
P
s
P
s
s
P
所有前向通路均与
1
l回路相接触，故1
4
3
2
1
=
∆
=
∆
=
∆
=
∆。

（3）系统的传递函数为
30
41
11
)
(
1
)
(
)
(
)
(
2
4
4
3
3
2
2
1
1
-
+
+
=
∆
+
∆
+
∆
+
∆
∆
=
=
s
s
s
P
P
P
P
s
R
s
C
s
G
（b）：（1）为简化计算，先求局部传递函数
)
(
)
(
)
(
s
E
s
C
s
G=
'。

该局部没有回路，即1
=
∆，
有四条前向通路：
4
3
4
4
4
3
2
1
3
3
2
2
2
1
1
1
1G
G
P
G
G
G
G
P
P
G
G
P=
∆
-
=
∆
-
=
∆
=
∆
所以1
)
(
4
3
2
1
4
3
2
1
-
-
+
=
'G
G
G
G
G
G
G
G
s
G
（2）
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
s
G
s
G
s
R
s
C
s
G
-
+
-
-
+
=
'
+
'
=
=
（2）峰值时间
p
t、调节时间s t和超调量%
σ。

【解】：（1）
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
5.0
2
2
2
4
2
ξ
ω
ω
ξ
ωn
n
n
典型二阶系统欠阻尼情况，可以利用公式直
接计算。

单位阶跃响应为：
)0
(
)
60
3
sin(
3
3
2
1
)5.0
cos
5.0
1
2
sin(
5.0
1
1
)
1
sin(
1
1
)(
1
2
2
2
2
≥
︒
+
-
=
+
-
-
-
=
+
-
-
-
=
-
-
-
-
t
t
e
t
e
t
e
t h
t
t
n
t n
β
ω
ξ
ξ
ξω
单位斜坡响应为：
)
(b
)
(a
题2-8图
)0()1203sin(3
35.0)
21sin(12)(22
≥︒++
-=+--+-=--t t e t t e t t c t
n n
t
n n βωξξωωξξω
（2）系统性能指标为：
s t n
p 81.112
=-=
ωξπ
%)
2(44
%)
5(33
=∆=≈
=∆=≈
s t s t n
s n
s ξωξω
%3.16%100%2
1=⨯=--
ξπ
ξσe
3-7 系统方框图如题3-7图所示，若系统的
%,15%=σs t p 8.0=。

试求：
（1）1K 、2K 值；
（2）)(1)(t t r =时：调节时间s t 、上升时间r t 。

【解】：（1）利用方框图等效变换化系统为单位反馈 的典型结构形式后得开环传递函数为
)]1([)
1(1)1()(211211
k k s s k s k s s k s s k s G k ++=
+++= ⎪⎩⎪⎨⎧+==⇒211
212k k k n n ξωω
根据题意： ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧=-==⨯=--
18.021588.4517
.08.01%15%100%2
1
212k k s
t e n n p ωξωξπ
σξξπ （2）
s
t s t s t n r n s n s 54.01%)
2(69.14
%)
5(27.13
2
=--=
=∆=≈
=∆=≈
ξ
ωβ
πξ
ωξ
ω
3-8 已知闭环系统特征方程式如下，试用劳斯判据判定系统的稳定性及根的分布情况。

（1）010092023=+++s s s （2）020092023=+++s s s
（3）03482234=++++s s s s （4）0154844122345=+++++s s s s s
【解】：（1）劳斯表为 100
4100
209
10
123s s
s s 劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统三个特征根均位于s 的左半平面。

（2）劳斯表为200
1200
20910
1
2
3s s s s -
劳斯表第一列符号改变二次，该系统特征方程二个根位于右半平面，一个根位于左半平面，系统不稳
定。

（3）劳斯表为3
33
6423
810
12
3
4s s s s s
劳斯表第一列符号没有改变，且特征方
程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统四个特征根均位于
s 的左半平面。

（4）劳斯表为
1
06.41
4018611259401
481254410
12
3
45s s s
s s s
劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统五个特征根均位于s 的左半平面。

3-9 已知闭环系统特征方程式如下
（1）021520234=++++K s s s s （2）050)1(23=++++Ks s K s 试确定参数K 的取值范围确保闭环系统稳定。

【解】：（1）根据特征方程列写出劳斯表为： K
s K s K
s
s K
s 0
12
34
9.142029.14220151-
系统稳定的充分必要条件为： 49.1009.142020
<<⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧>->K K
K （2）由三阶系统稳定的充分必要条件得： 59.650)1(0
>⇒
⎨
⎧>⋅+>K K K K
【解】：系统的开环传递函数为
,
1)110012.0(1100512.0100112.0100
201
)(=
=⇒+++=
++
+⋅⋅=K t
t t k K v s K s K K s K s s
K s G K K 为开环增益。

在系统稳定的前提条件下有
0,
1
1005,=+=
∞=a t v p k K K
k k
（1）011)(1)(=+=⇒=p ss k e t t r ； （2）K
K k e t t t r t v ss 51
1001)(1)(+=
=⇒⋅= ； （3） ∞=⇒⋅=
ss e t t t r )(12
1)(2。

3-14 具有扰动输入的控制系统如图所示，求：当)(1)()()(21t t n t n t r ===时系的稳态误差。

【解】：系统特征方程为
0201.11.00)
1)(11.0(20
123=+++⇒=+++
s s s s s s
201.01.1⨯<
4-4 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ：
2
2
)
4()1()(++=
s s K s G 试绘制K 由+∞→0变化的闭环根轨迹图，并求出使系统闭环稳定的K 值范围。

【解】：系统有两对重极点 4,14,32,1-=--=-p p 。

① 渐近线： 5.244
411-=----=
-σ )3,2,1,0(315,225,135,454
180)12(=︒︒︒︒=︒⋅+=k k θ ② 实轴上的根轨迹为两点 51-=-=s s ，也为分离点。

分离角均为︒=︒
=902
180θ。

③ 根轨迹与虚轴的交点坐标系统特征方程
0)2()1(22=+++K s s
即 0412136234=+++++K s s s s 令ωj s =代入特征方程，得
04121362
3
4
=+++--K j j ωωωω
令上式实部虚部分别等于0，则有
⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-182
126041322
4
K K ωωωωω ④ 该系统根轨迹如题4-4解图所示。

由图可知，当180<≤K 时，闭环系统稳定
4-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ：
)25.01()
5.01()(s s s K s G +-= （1）试绘制K 由+∞→0变化的闭环根轨迹图；
（2）求出使系统产生相重实根和纯虚根时的K 值。

【解】：（1）根轨迹方程为
1)
4()
2(21)
25.01()5.01()(=+-⇒-=+-=s s s K s s s K s G K 由+∞→0变化，为︒0根轨迹。

① 开环零点2=-z ，开环极点4,021-=-=-p p 。

② 实轴上的根轨迹在区间),2][0,4[∞+-。

③ 分离点和会合点 0840)42)(2(40)()()()(22=--⇒=+--+⇒='-'s s s s s s s Q s P s P s Q
解得46.53221=+=s 为会合点，46.13222-=-=s 为分离点。

④ 根轨迹与虚轴的交点：
特征方程为 ： 04)24(2=+-+K s K s
令ωj s =，代入特征方程得： ⎩
⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧=-=-⇒=+-+-222040
2404)24(2
2ωωωωK K K K K j ⑤ 该系统根轨迹如题4-8解图所示。

（2）实轴上根轨迹的分离点和会合点即为相重实根，其K 值分别为
题4-4解图
题4-8解图
46.7)2(2)
4(54
.0)2(2)
4(46
.5146
.12=-+=
=-+=
=-=s s s s s K s s s K
纯虚根时的K 值即为根轨迹与虚轴交点的K 值，由（1）所求得之2=K 。

【解】：对于开环增益为K 的系统，其幅相频率特性曲线有两种情况：0>K 和0<K 。

下面只讨论0>K 的
情况。

0<K 时，比例环节的相角恒为︒-180，故相应的幅相频率特性曲线可由其0>K 的曲线绕原点顺时针旋转︒180得到。

（1）)tg tg (222121211-1]1)][(1)[()1)(1()(T T j e T T K T j T j K j G ωωωωωωω=+-++=++=)1)(1()()1(22
221221212+++--=T T T T jK T T K ωωωω 0→ω时，︒∠=→0)(lim 0
K j G ωω ； ∞→ω时︒∠=∞
→1800)(lim ωωj G 。

特性曲线与虚轴的交点：令 0)](Re[=ωj G ，即
2
1212
101T T T T =
⇒=-ωω
代入)](Im[ωj G 中，2
12
1)](Im[T T T T K
j G +-=ω
该系统幅相频率特性曲线如题5-5（1）解图所示。

（2） )
1()()1()(2++-=
+=ωωωωωωj K j j K
j G 0→ω时，︒-∞∠=→90)(lim 0
ωω
j G ；
求渐近线：K K j G -=+-=→→)
1(lim
)](Re[lim 2
00
ωωω
ωωω
∞→ω时，︒-∠=∞
→1800)(lim ωωj G。

该系统幅相频率特性曲线如题5-5（2）解图所示。

（3）
)
1()
()1()
1()1()(2
22
221212
22
1+--+-=
+-+=
T T T Kj T T K T j T j K j G ω
ωωωωωωω
0→ω时，︒-∞∠=→90)(lim 0
ωωj G ；
求渐近线 0)()
1()
(lim
)](Re[lim 212
2
22100
<-=+-=→→T T K T T T K j G ωωωωωω
题5-5（1）解图
-
题5-5（2）解图
∞→ω时，︒-∠=∞
→900)(lim ωωj G 。

幅相频率特性曲线5-5 （3）
（4） 1-tg 222221222111)1()
1()(j e T T K T j T j K j G ++=+-+=ωωωωωωω 0→ω时，︒-∞∠=→180)(lim 0
ωωj G ；
（21T T >时， 曲线始于负实轴之上；21T T <时，曲线始于负实轴之下。

）
∞→ω时，︒-∠=∞
→1800)(lim ωωj G 。

该系统幅相频率特性曲线如图5-5（4）所示。

（5） )
15)(5()75(2505000)15)(5(250
)(22222++---=++=ωωωωωωωωωj j j j j G
0→ω时，︒-∞∠=→90)(lim 0
ωωj G 。

求渐近线 89.0)
15)(5(5000lim
)](Re[lim 2222
00
-=++-=→→ωωωωωωωj G
∞→ω时，︒-∠=∞
→2700)(lim ωωj G ，曲线顺时针穿过负实轴。

求曲线与负实轴的交点 令0)](Im[=ωj G ，得75=ω。

17.0)](Re[75
-===
ωωj G V x
该系统幅相频率特性曲线如题5-5（5）解图所示。

（6）]
)1([)]
1([50)
1(50)(22222ωωωωωωωωω-+-+-=
++-=
j j j j G
0→ω时，︒-∞∠=→90)(lim 0
ωωj G ； 求渐近线 50]
)1[(50lim )](Re[lim 22200-=+--=→→ωωωω
ωωωj G 该系统传递函数分母上有一个振荡环节，其1=T ，5.0=ξ。

所
以当r ωω=时有最大值。

71.0211
2=-=
ξωT
r 频率特性的最大值 ︒∠==3.2157.66)(71.0ωωj G
∞→ω时，︒-∠=∞
→2700)(lim ωωj G ，曲线顺时针穿过负实轴。

求曲线与负实轴的交点：
令0)](Im[=ωj G ，得1=ω。

50)](Re[1-===ωωj G V x
该系统幅相频率特性曲线如题5-5（6）解图所示。

（7）)1()1()(2++-=
-=ωωωωωωjK K j j K
j G
题5-5（6）解图
题5-5（4）解图
题5-5（5）解图
0→ω时，︒∞∠=→90)(lim 0
ωωj G ；
求渐近线 K
K j G -=+-=→→)
1(lim
)](Re[lim 2
00
ωωω
ωωω
∞→ω时，︒∠=∞
→1800)(lim ωωj G ，传递函数分母上有一个不稳定环
节，曲线逆时针变化，不穿越负实轴。

该系统幅相频率特性曲线如题5-5（7）解图所示。

（8）
1111)()tg tg 180(222212212111=++=+-=----︒e T T T j T j j G T T j ωωωωωωω0→ω时，︒∠=→1801)(lim 0
ωωj G ；
随着ω∞→ω时，︒∠=∞→0)(lim 21T T
j G ωω。

特性曲线与虚轴的交点：令 0)](Re[=ωj G ，即212T T ω代入)](Im[ωj G 中 2
1
)](Im[T T j G =
ω 该系统幅相频率特性曲线如题5-5（8）解图所示。

【解】：（1）① 2=K ，02.6lg 20=K 。

②转折频率125.08
1
1==
ω，一阶惯性环节；5.0212==ω，一阶惯性环节。

③ 0=ν，低频渐近线斜率为0。

④ 系统相频特性按下式计算 ωωωθ2arctg 8arctg )(--= 得
1③ 2=ν，低频渐近线斜率为dec dB 40-，且过（1，20dB ）点。

④ 系统相频特性按下式计算 ︒-=180arctg )(ωωθ 得
（1） （2）
（3）典型环节的标准形式：)
110()1
5(20)(2++=
s s s s G
② 20=K ，0.26lg 20=K 。

③ 转折频率 1.01=ω，一阶惯性环节；2.02=ω，一阶微分环节。

④ 2=ν，低频渐近线斜率为dec dB 40-，且其延长线过（1，26dB ）点。

⑤ 系统相频特性按下式计算 ωωωθ5arctg 10arctg 180)(+-︒-= 得
ω 0.01 0.05 0.1 0.125 0.2 0.5 1
θ(ω)
-182.8°
-192.5°
-198.4°
-199.3° -198.4° -190.5° -185.6° （4）① 典型环节的标准形式： )
11.0()(+=s s s G ② 50=K ，0.34lg 20=K 。

③ 转折频率 101=ω，一阶惯性环节；502=ω，不稳定的一阶微分环节。

④ 1=ν，低频渐近线斜率为dec dB 20-，且过（1，34dB ）点。

⑤ 系统相频特性按下式计算 ωωωθ02.0arctg 1801.0arctg 90)(-︒+-︒-= 得
ω
1 2 5 10 20 50 100
200 θ(ω)
83.1°
76.4°
57.7°
33.7°
4.8°
-33.7°
-57.7
-73.1
（3） （4）
5-7 试概略绘制下列传递函数相应的对数幅频特性的渐近线。

（1）)
1)(254()1.0(8)(2
2+++++=s s s s s s s G （2）)12.0)(1(10
)(+-=s s s s G （3）)
110)(1(200)(2++=
s s s s G （4）2
2)1(10)(22+++=
s s s s G
【解】：（1）① 典型环节的标准形式 )1)(125
4251()
1.0(03
2.0)(22+++++=
s s s s s s s G
② 032.0=K ，9.29lg 20-=K 。

④ 转折频率1.01=ω，一阶微分环节；12=ω，二阶振荡环节； 题5-7（1）解图 20
30-60
-80
-1
.01
510ω
20-40
-60
-
53=ω，二阶振荡环节； 53=ω二阶振荡环节。

④ 1=ν，低频渐近线斜率为dec dB 20-，且过dB)9.29,1(-点。

该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题5-7（1）解图所示。

（2）① 10=K ，20lg 20=K 。

① 转折频率11=ω，不稳定的一阶惯性环节；52=ω，一阶惯性环节。

③ 1=ν，低频渐近线斜率为dB 20-，且过dB)20,1(点。

该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题5-7（2）解图所示。

（3）① 200=K ，46lg 20=K 。

② 转折频率1.01=ω，一阶惯性环节；12=ω，一阶惯性环节。

③ 2=ν，低频渐近线斜率为dec dB 40-，且其延长线过（1，46dB ） 该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题5-7（3）解图所示。

（4）① 典型环节的标准形式)12
221()1(5)(22+++=
s s s s G
② 5=K ，14lg 20=K 。

③ 转折频率题11=ω，一阶微分环节；4.122==ω，二阶振荡环节。

5-7（4）解图
④ 0=ν，低频渐近线斜率为dec dB 0，且过（1，14dB ）点。

相应的对数幅频特性的渐近线如题5-7（4）解图所示。

5-10 已知系统开环幅相频率特性如图5-66所示，试根据奈氏判据判别系统的稳定性,并说明闭环右半平面
的极点个数。

其中p 为开环传递函数在s 右半平面极点数，ν为开环积分环节的个数。

解：（a ）0=a ，1=b ，2)10(2)(2=--=--=b a p z 系统不稳定s 右半平面有2个闭环极点。

（b ）作辅助线如解图（1）所示，曲线经过（-1，j 0）点一次，虚轴上有2个闭环极点，s 右半平面没有闭环极点。

系统临界稳定
e
R
)(a
ν)
(b e
R )
(c e
R
e
R
)
(e e
R
)
(d )
(f e
R
e
R ν
p )
(g e
)
(h 0
==νp )
(i e
R
（c ）作辅助线如解图（2）所示，1=a ，1=b ，0)11(2)(2=--=--=b a p z 系 统稳定，s 右半平面没有闭环极点。

（2） （3） （4） （5）
题5-9解图
（d ）作辅助线如解图（3）所示，0=a ，21=b ，2)210(21)(2=--=--=b a p z
系统不稳定，s 右半平面有2个闭环极点。

（e ）作辅助线如解图（4）所示，1=a ，0=b ，0)01(22)(2=--=--=b a p z 系统稳定，s 右半平面没有闭环极点。

（f ）作辅助线如解图（5）所示，0=a ，1=b ，2)10(2)(2=--=--=b a p z 系统不稳定，s 右半平面有2个闭环极点。

（g ）21=a ，0=b ，0)021(21)(2=--=--=b a p z 系统稳定，s 右半平面没有闭环极点。

（h ）21=a ，0=b ，0)021(21)(2=--=--=b a p z 系统稳定，s 右半平面没有闭环极点。

（i ）1=a ，1=b ，0)11(2)(2=--=--=b a p z 系统稳定，s 右半平面没有闭环极点。

5-11 已知最小相位系统的开环对数幅频特性渐近线如图5-67所示，试求相应的开环传递函数。

【解】：（a ）① 0=ν ② )
1)(1)(1()(321+++=s T s T s T k
s G k ③ 11=T ，1012=
T ，300
13=T ④ 100010100
lg 40110lg
20lg 20=⇒+=K K )1300
1)(1101)(1(1000)(+++=
∴s s s s G k （b ） ① 2=ν ② )
1()1()(221++=
s T s s T K s G k ③ 1
11
ω=T ，2
21
ω=
T
④ c c K K
ωωωωω11
1lg
40lg 20=⇒
= )
11
(
)
11
(
)(2
2
1
1++=
∴s s s s G c k ωωωω
(L
（c ）① 0=ν ② 1
2)(22++=
Ts s T K s G k ξ
③ ⎩⎨⎧==⇒=-⇒=--=5
.087.0866.01225.112lg 20(dB)2122(ξξξξξξ舍去）r M 1.007.7211
2=⇒=-=T T r ξω
④ 2002.26lg 20=⇒=K K 1
1.001.020)(2++=∴s s s G k
（d ）① 1=ν ②)
12()(22++=
Ts s T s K
s G k ξ ③2.0821lg
20≈⇒=ξξ 4.05
.21
==T
④ 1020lg 20=⇒=K K )
116.016.0(10
)(2++=
∴s s s s G k
（e ）① 0=ν ②)
1)(12()12()(32222211221+++++=s T s T s T s T s T K s G k ξξ
③
32.0116.340lg 10lg 201111==⇒=⇒=-ωωωT 032.01
6.314010lg lg 202
222==⇒=⇒=-ωωωT
025.0400
1
3==
T 2.0821lg 2011≈⇒=ζζ 1621lg 2022≈⇒-=ζζ ④ 1.020lg 20=⇒-=K K )
10025.0)(1064.0001.0()113.01.0(1.0)(22+++++=
∴s s s s s s G k。