条件概率和乘法公式
条件概率和乘法公式
机器学习算法
朴素贝叶斯分类器
01
朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的分类算法，它利用
条件概率和乘法公式来计算给定特征下类别的概率。
隐马尔可夫模型
02
隐马尔可夫模型是一种用于序列标注和预测的模型，它利用条
件概率和乘法公式来计算状态转移和观测的概率。
条件随机场
03
条件随机场是一种用于自然语言处理的模型，它利用条件概率
03
在学习和应用概率论的过程中，我们需要注重培养自己的逻辑思维和分析能力 。通过深入思考和探究概率论中的问题，我们可以提高自己的数学素养和解决 问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
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感谢观看
• 在学习条件概率和乘法公式的过程中，我们需要掌握相关的概念和公式，并能 够灵活运用它们解决实际问题。同时，我们还需要了解条件概率和乘法公式的 局限性和假设条件，以避免在实际应用中出现错误。
• 除了条件概率和乘法公式，概率论中还有许多其他重要的概念和公式，例如全 概率公式、贝叶斯公式、独立性等。这些概念和公式之间有着密切的联系和相 互影响，我们需要系统地学习和理解它们，以建立完整的概率论知识体系。
02
乘法公式及其应用
乘法公式的推导
01
定义
乘法公式描述了两个事件A和B同时发生的概率与事件A发生的概率和事
件B发生的概率之间的关系。
02 03
推导
乘法公式基于概率的独立性假设，即事件A的发生不影响事件B的发生， 反之亦然。因此，事件A和事件B同时发生的概率等于各自发生的概率 的乘积。
公式
$P(A cap B) = P(A) times P(B)$
展望Βιβλιοθήκη 01随着科技的不断发展，概率论在各个领域的应用越来越广泛。未来，条件概率 和乘法公式等概率论知识将更加受到重视和应用。
1.4(条件概率与乘法公式)
. P( A) 2
方法2[在缩减样本空间A中计算]
“第一次取一等品的两只”均为A所含样本点,共有
C C 12 ,其中两只均为一等品的为AB所含样本点,
1 3 1 4
1 1 共有C3 C2 6, 故由古典概率公式得: ■
P( B | A)
6 12
1 2
.
AB
A
S
1.4.1 条件概率
P(A B) P ( AB ) P(B)
(1.3)
不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法：
在原样本空间 中分别求出P(A),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。
【例1】一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二
等品。从பைடு நூலகம்取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。
P ( Bi | A )
i1
P ( Bi A )
i1
所以,条件概率P(· A)也满足概率的所有其他性 | 质．
1.4.1 条件概率
例如:
( 4 ) P ( A1 A2 B ) P ( A1 B ) P ( A2 B ) P ( A1 A2 B );
( 5 ) P ( A B ) 1 P ( A B ).
(6 ) 可列可加性 的事件 , 则有 : 设 B1 , B 2 , , B n 是两两不相容
n P Bi A i1
n
P ( B i A ).
i1
1.4.1 条件概率
【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中研究随机事件的理论，它用于描述事件发生的可能性，并通过概率的计算和分析来预测、评估和决策。
下面给出一些概率论中常用的公式，帮助你更好地理解和运用概率论。
1.概率定义公式：P(A)=N(A)/N，表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A发生的次数，N代表试验的总次数。
2.互补事件公式：P(A')=1-P(A)，表示事件A的补事件发生的概率。
3.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，表示事件A或B发生的概率。
4.独立事件公式：P(A∩B)=P(A)*P(B)，表示事件A和事件B同时发生的概率，当事件A和事件B相互独立时成立。
5.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，表示事件B已经发生时事件A发生的概率。
6.乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)，也可以写作P(A∩B)=P(B，A)*P(A)，表示事件A和事件B同时发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bᵢ)*P(Bᵢ)，表示事件A发生的概率，Bᵢ代表一组互不相容且构成样本空间的事件。
8.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
9.随机变量的概率公式：P(X=x)≥0，表示随机变量X取值为x的概率非负。
10.随机变量期望公式：E(X)=ΣxP(X=x)*x，表示随机变量X的期望或均值。
11.随机变量方差公式：Var(X) = E[(X - µ)²]，表示随机变量X的方差，其中µ为X的期望。
12.二项分布公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)，表示n次独立重复实验中，事件发生k次的概率，其中，C(n,k)为组合数，p为事件发生的概率，q为事件不发生的概率。
13.泊松分布公式：P(X=k)=e^(-λ)*(λ^k)/k!，表示单位时间或空间中，事件发生了k次的概率，λ为事件发生率。
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
1.3 条件概率与乘法公式
• （1）抽到的同学来自山东的概率；
• （2）抽到的同学是女生的概率；
• （3）抽到的同学是来自山东的女生的概率；
• （4）若发现抽到的是女生，她来自山东的概率.
• 解 令 A “抽到的同学来自山东”B， “抽到的同学是女生”，
则根据古典概型公式有：
• （1） • （2）
P( A)
#A #
件A发生的概率P( A)是不相同的，与P( AB)也是不同的.我们称之为"在事件
B发生的条件下，事件A发生的条件概率"，记P( A | B),
事件AB与事件A | B可用文氏图表示 （见图1 8、图1 9）.
图1-8
图1-9
• 图1-8中阴影部分表示事件 AB ，图1-9中深色阴影部
分表示事件 A | B ，本来样本空间为 ，当 B 发生以 后，样本空间缩减为 B ，而 P(A | B)是在缩减了的样
解 设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签， 则
(1)
P(
A)
4 10
0.4
(2) P(AB) P( A)P(B
A)
4 10
3 9
2 15
(3) P(AB) P( A)P(B
A)
6 4 4 10 9 15
(4)
P(ABC) P(A)P(B
A)P(C
AB)
4 10
3 9
注 : (1)P( AB) P( A)P(B)
(2)乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方法 （3）当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A)与
P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。
第五章5.2条件概率,乘法公式,全概率
i 1 n
Bn -1 A
B2
Bn
B3
全概率公式的证明
n i 1
显然 A = A A B i ( AB i )
i 1
n
A= AB1 AB2
AB1 AB2 …... …...
ABn
ABn
B i B j ( AB i )( A B j ) ,
某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求 该球是取自1号箱的概率. 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B).
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P ( A ) P ( B｜A )
这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为0.4825。
例 2 三个罐子分别编号为 1, 2, 3，1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球， 3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球， 求取得红球的概率. 解 记 A ={ 取得红球 } 1 2 3 Bi ={ 球取自 i 号罐 } i=1, 2, 3; 则 A 发生总是伴随着 B1，B2，B3 之一同时发生， 即 A = AB1 + AB2 + AB3， 且AB1、AB2、AB3两两互斥，利用有限可加性 P(A) = P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)
解：（1）第一次取得一等品后，剩下的9件产品中 还有6件一等品，即
6 2 P ( B A) . 9 3
（2）第一次取得二等品后，剩下的9件产品中 还有7件一等品，即
条件概率与概率的乘法公式
B {活到25岁}
显然， B A {现龄为 20岁的这种动物活到 25岁} 因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
C ( A B)
AB
PC P( A B) P A PB 0.85
例3Байду номын сангаас
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设： Ai 恰好第 i次打开门
B 三次内把门打开
B A1 A2 A3
则
且
有 ：
A1 , A2 , A3
两两互不相容
1 p( A1 ) 5 4 1 1 p( A2 ) 5 4 5
4 3 1 1 p( A3 ) 5 4 3 5
P(B) P( A1 A2 A3 ) PA1 PA2 PA3 0.6
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设
A {甲市为雨天 }
B {乙市为雨天 }
P( A) 0.12
固A 包含的基本事件数为:P P P 16 P( A) 125
1 1 1 4 4 1
16
由加法公式推论2可知:
16 109 P A 1 P( A) 1 125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
线性代数第一章条件概率、乘法公式
$P(AB) = P(A)P(B|A)$ 或 $P(AB) = P(B)P(A|B)$，表示两个事件同时发生的概 率等于其中一个事件发生的概率与另一个事件在该事件发生的条件下的概率的 乘积。
推导过程详解
根据条件概率的定义，我们有 $P(B|A) = frac{P(AB)}{P(A)}$，两边同时乘以 $P(A)$，得到 $P(AB) = P(A)P(B|A)$。
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乘法公式简化条件概率计 算
乘法公式可以将复杂的条件概率计算简化为 一系列简单概率的乘积，从而降低了计算的 难度。
乘法公式揭示条件概率与 独立性的关系
当两个事件相互独立时，它们的条件概率等 于各自的概率，乘法公式在此时可以简化为
普通概率的乘积。
二者关系总结
条件概率是乘法公式的基础
01
条件概率的定义和性质为乘法公式的推导和应用提供了基础。
VS
解析
根据概率的定义，事件A发生的概率 $P(A)$等于事件A包含的基本事件数与全 部基本事件数之比。因此，抽到红球的概 率为$P(A) = frac{4}{10} = 0.4$。
多个事件联合概率计算
例题2
一个盒子里有10个球，其中4个是红球，6 个是白球。随机抽取两个球，求同时抽到两 个红球的概率。
线性代数第一章条件 概率、乘法公式
目录
CONTENTS
• 条件概率基本概念 • 乘法公式及其推导 • 条件概率与乘法公式关系 • 典型例题解析 • 生活中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
条件概率基本概念
定义与性质
条件概率的定义
设A和B是两个事件，且P(B)>0，称 P(A|B)=P(AB)/P(B)为在事件B发生的 条件下事件A发生的条件概率。
§1.5 条件概率与乘法公式
◆今后当提及条件概率时，自动认为条件事 件的概率大于零．
5
条件概率与无条件概率的关系
P B P(B)
条件概率是 无条件概率 的推广
无条件概率是 条件概率的特 殊情形．
6
条件概率P(A|B)与P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A 是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下 事件A发生的可能性大小．
3º可列可加性 设 B1 , B2 ,L 两 两 互 不 相 容， 则
U
P Bi A P Bi A .
i1
i1
由此可推出条件概率的其它性质，如：
● (对立事件的条件概率公式) 对任意事件B，有
P B A 1 P B A ;
8
●(真差的条件概率公式) 当 B1 B2 时，有
P A 1 P A 1 P B1B2B3B4
1 P B1 P B2 B1 P B3 B1B2 P B4 B1B2B3
条件概率的 本来含义
96 95
94
93
1
0.1528.
100 99
98
97
19
和 P B A 的上述关系，但包含着一般例子的共性，
由此我们合乎情理地引入下面的一般的定义．
4
若事件A满足 P( A) 0, 则对任意事件B，称
P B A P( AB) P( A) 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
◆ P( A) 0 保证分母不为零，是必要的假设；
注意 B A
解 记A={取到合格品}， B={取到一等品}，
概率论公式
n
注：如果有 n 个变量服从同一个 0-1 分布， Xi ~ b(1, p) ，则其和 X Xi 服从二项 i
分布 X ~ b(n, p)
11. Poisson 分布
X ~ P() P( X k) k e , k 0,1,...
F
(x)
0, 1,
x x
c c
E(X ) c
Var( X ) 0
9. 二项分布
X ~ b(n, p)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk E(X ) np
Var( X ) np(1 p)
10. 二点分布（0-1 分布）
X ~ b(1, p)
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
p(
x)
2
n 2
1 (
n
)
e
x 2
x
n 2
1
,
x
0
2
0, x 0
E(X ) n
Var( X ) 2n
Gamma 分布变为 2 分布：
当 X ~ Ga(,) ，则 2 X ~ Ga(, 1) 2 (2 ) 2
20. 严格单调函数Y g(X )
pY ( y) px[h(x)] | h '(x) |
21. K 阶原点矩和中心矩
k E(X k ) k E( X E( X ))k
中心矩和原点矩关系：
k
k Cik i (i )ki i0
22. 变异系数
Cv
(
X
)
( E(
条件概率, 乘法公式
(2)的答案是12/20=0.6. 但是, 这两个问题的提法是有区别的. 第二个问 题是一种新的提法. 记A={选中男生}, B={选中 1.70米以上同学}, 则第二问是“在A发生的条件 下事件B发生的概率”问题, 即P(B|A).
注意到P(A)=20/30, P(AB)=12/30, 从而有
上例中， P(B|A) ≠ P(B)
12
二. 乘法公式
由条件概率的定义：
P ( AB) P ( A | B) P ( B) 若已知P(B), P(A|B)时, 可反求P(AB).
设A,B为两个事件
若P(B)>0,则
P(AB)=P(B)P(A|B) 若P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A) (2) (1)
何时用？
例1 m个产品中有n个一等品，m-n个二等品，按 不放回抽样，依次抽取两个产品，计算两次都取 到一等品的概率。 解法1：设Ai={第i次取到一等品} 则
3 P ( A) 5
解法2：在缩减后的样本空间A上计算
由于事件A已经发生，即第一次取到的是 正品，所以第二次取产品时，只剩下4件， 并且正品只有2件，所以
1 P(B|A)= 2
性质
(1) 非负性 : P ( B A) 0; ( 2) 规范性 : P ( S B ) 1, P ( B ) 0;
( 3) 可列可加性: 设 B1 , B2 , 是两两不相容的事 件 , 则有
P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
(4) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B);
(5) P ( A B) 1 P ( A B).
三维条件概率公式
三维条件概率公式
条件概率三大公式有：乘法公式，全概公式，贝叶斯公式。
条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。
条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。
条件概率可以用决策树进行计算。
条件概率的谬论是假设P(A|B)大致等于P(B|A)。
数学家JohnAllenPaulos在其《数学盲》一书中
指出医生、律师以及其他受过很好教育的非统计学家经常会犯这样的错误。
这种错误可以通过用实数而不是概率来描述数据的方法来避免。
条件概率的公式：P（A|B）=P(AB)/P(B)，条件概率是指事件A在另
外一个事件B已经发生条件下的发生概率。
条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。
条件概率可以用决策树进行计算。
条件概率的谬论是假设P(A|B)大致等于P(B|A)。
高中数学公式大全概率与条件概率的计算公式
高中数学公式大全概率与条件概率的计算公式高中数学公式大全：概率与条件概率的计算公式数学中的概率和条件概率是高中数学中较为重要的概念，在各类数学问题中都有广泛的应用。
为了更好地理解和应用概率与条件概率，掌握相关的计算公式是必不可少的。
本文将为您全面介绍高中数学中概率与条件概率的计算公式，帮助您更好地学习和运用这一重要的数学知识。
一、概率的计算公式1.基本概率公式：在随机试验中，若S是随机试验的样本空间，E是S的某个事件，P(E)表示事件E发生的概率，则基本概率公式如下：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)表示事件E的样本点个数，n(S)表示样本空间的样本点个数。
2.加法公式：若事件A与事件B互不相容（即A与B不同时发生），则加法公式如下：P(AUB) = P(A) + P(B)3.减法公式：若事件A发生，则事件B的非发生记作A-B，减法公式如下： P(A-B) = P(A) - P(A∩B)4.乘法公式：若事件A与事件B相继发生，则乘法公式如下：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
5.全概率公式：对于一事件B，若B能由有限个互不相容的事件A1、A2、...、An组成，并且B=A1∪A2∪...∪An，则全概率公式如下： P(B) = P(A1)×P(B|A1) + P(A2)×P(B|A2) + ... + P(An)×P(B|An)二、条件概率的计算公式1.条件概率公式：在随机试验中，设A，B是两个事件，且P(A) > 0，则事件B在事件A发生的条件下发生的概率用条件概率表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)2.独立事件的条件概率：若事件A与事件B相互独立，则条件概率公式如下：P(B|A) = P(B)3.乘法公式（条件概率的推广）：若事件A、B同时发生的概率用条件概率表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)4.贝叶斯定理：在全概率公式的基础上，根据条件概率的定义，可以推导出贝叶斯定理：P(A|B) = P(A) × P(B|A) / [P(A) × P(B|A) + P(A') × P(B|A')]三、总结通过学习和掌握上述概率与条件概率的计算公式，我们能够更好地理解和应用概率与条件概率的相关概念。
条件概率与乘法公式
入 场 券
入 场 券 入 场 券 入 场 券 入 场 券
概率相 3 5 P( A4 ) P( A1 A2 A34 A4 ) 同，即 1 P (A 4 A P( A ) P (A A) P) A A PA A A A 与顺序 5 4 3 2 1 1 无关 P( A ) P( A A A A A ) 1
入 场 券
Ai 表示“第i 解：设 Ai 表示“第i个人抽到入场券”， 个
人没有抽到入场券”（ i=1,2,3,4,5） 1 P ( A1 ) 5
P( A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 ) P A2 A1 1 1 4 1 P ( A2 ) 5 45 5 抽到入 1 (A A2 A1 PA3 A1 A2 场券的 P(P A )P 1) 3 4 35 1 1
事件B发生 的概率依赖 于事件A发 生这个条件
条件概率的定义：若P(A)>0,则把在事件A已 经发生的条件下，事件B的概率发生的概率条 件概率，记作 P(BA) 。
例3 袋中5个球：3个红球，2个白球，无放回地抽取两次， 每次1个. （1）第一次取到红球的概率； （2）已经知道第一次取到的是红球，求第二次取到红球 的概率. （3）两次都取到红球的概率
例4 两台车床加工同一种机械零件如下表，从1000个零 件中任取1个，设事件A为“取出这个零件是第一台车床 加工的”，事件B为“取出的这个零件是正品”，求 P(AB)、P(A)、P(B)。
正品数 次品数 合计
第一台车床加工的零件数 第二台车床加工的零件数 总 计
35 50 85
5 10 15
40 60 100
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 ) P( An A1 A2 An1 )
概率乘法公式推广
一．概率乘法公式推广
条件概率乘法公式推广如下：
在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记为P ( A | B ).事件A和事件B同时发生的概率，记为P(AB)如何计算P ( A | B )呢？
P(A|B)=P(AB)/P(B)。
例1:从两个仓库运送同类易损坏物品若干件到某销售点，到达目的地后从来自这两个仓库的物品中随机抽查各100件，发现次品数分别为15件和9件。
现在从这200件产品中随机挑选一件，发现它来自仓库1，请问该产品是正品的概率是多少？
解：求P(A|B1)，从矩阵得知，已知来自仓库1的，假设为正品的概率为85/100 同时也可以验证一下公式，P(A|B1)=P(AB1)/P(B1),
P(AB1)，200件商品中，假设来自仓库1，同时假设又是正品的概率，
P(AB1)=85/200，
P(B1)，假设该物品来自仓库1的概率为100/200，
P(AB1)/P(B1)=85/100
再验证一下，P(A|B1)是否等于P(A)
P(A|B1)的条件概率含义，从200件商品中，来自仓库1的正品概率，85/100; P(A)的概率含义为，从200件商品中，假设为正品的概率，176/200;
条件概率公式：P(A|B)=P(AB)/P(B)
推导出的乘法公式：P(AB)=P(A|B)P(B)
多事件的乘法公式：
p(A1A2......An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)......P(An|A1A2......An-1)。
概率公式全概率公式条件概率公式乘法规则与加法规则
概率公式全概率公式条件概率公式乘法规则与加法规则概率公式、全概率公式、条件概率公式、乘法规则与加法规则在概率论中，有许多基本的概率公式和规则，它们帮助我们计算和理解各种随机事件的概率。
一、概率公式：概率公式是计算一个事件发生的概率的基本公式。
在概率论中，我们用P(A)表示事件A发生的概率。
对于一个有限的样本空间Ω，如果事件A包含n(A)个基本事件，总共有n个基本事件，那么事件A发生的概率可以用如下的公式表示：P(A) = n(A) / n其中，n(A)表示事件A包含的基本事件的数量，n表示样本空间Ω中基本事件的总数量。
二、全概率公式：全概率公式是用来计算一个事件的概率，当我们知道了其他一些相关事件的概率时可以使用。
假设有一组互不相交的事件B1，B2，B3，...，Bn，并且它们的并集构成了样本空间Ω，而且知道了每个事件Bi发生的概率P(Bi)，那么对于任意的事件A，事件A的概率可以用如下公式表示：P(A) = Σ[ P(A|Bi) * P(Bi) ]其中，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
三、条件概率公式：条件概率是指某个事件在另一个事件已经发生的条件下发生的概率。
假设A和B是两个事件，且P(B)不为0，那么在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率可以用如下公式表示：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
四、乘法规则与加法规则：乘法规则是指当我们求解多个事件同时发生的概率时的计算规则。
假设有一组相互独立的事件A1，A2，A3，...，An，那么这些事件同时发生的概率可以用如下公式表示：P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ An) = P(A1) * P(A2) * P(A3) * ... * P(An)加法规则是指当我们求解两个事件中至少有一个发生的概率时的计算规则。
假设A和B是两个事件，那么这两个事件至少有一个发生的概率可以用如下公式表示：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)其中，P(A ∪ B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率。
概率论 第四节条件概率 全概率公式
乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 设事件A表示“取到的产品为正
B1, B2品, B”3 分，别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”
由已知 P(B1 ) 0.2, P(B2 ) 0.3, P(B3 ) 0.5
P( A B1 ) 0.95, P( A B2 ) 0.9, P( A B3 ) 0.8
当有了新的信息（知道B发生），人们对
诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。 由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、 0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混 合在一起。
（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、
我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。 定理 若事件A与B是相互独立的，则
A与B ,A与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
冒病毒是相互独立的，则所求概率为
P1500 Ai 1 PA1A2 A1500
i1
1 PA1PA2 PA1 1 1 0.002 1500 1 e1500 ln 10.002
1 e15000.002 1 e3 0.95
从这个例子可见，虽然每个带有感冒病 毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气 中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现 象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让 婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。
概率的运算法则
4. 19600
故 P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
221. 980
另解 考虑到 A1 A2 A3 A0
故 P( A1 A2 A3 ) P( A0 ) 1 P( A0 )
1
C3 46
2.乘法公式
定理3 若 P(A)>0，则有P( AB) P( A)P(B A). 若 P(B)>0，则有P( AB) P(B)P( A B).
即有 P( AB) P( A)P(B A) P(B)P( A B).
推广 设 A1, A2, , An 为 n 个事件,n 2, 且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
例1 袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个 为黑球,从中一次任取3个，求至少有两个是白 球的概率.
解 分别用A2与A3表示抽到两个与三个白球，
则A2与A3互斥.
P( A2 )
C C2 1 43 C3 7
18， 35
P(
A3
)
C 43 C73
4 35
由加法法则，所求概率为
22
P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 )
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 ) P( An A1 A2 An1 )
例5 袋中有5个球，其中3个红球2个白球，现从袋中 不放回地连取两个，已知第一次取得红球，求第二次 取得白球的概率.
解 设A表示第一取得红球，B表示第二次取得白球, 则求P(B | A)
推论1 对任一事件A，有 P( A) 1 P( A).
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注意 B A
解 记A={取到合格品}， B={取到一等品}，
P(B) P( AB) P( A)P B A 0.72 . 16
定理1.5 (关于三个事件的概率的乘法公式)
若 P AB 0 ，则
P(ABC) P( A)P B A P C AB .
定理1.6(概率的一般乘法公式) 若
P A1A2 An1 0，则
的两种经常采用的方法．前者一般在有实际背景 的时候应用，后者无论有无实际背景都可以应用．
例1.17 人寿保险公司常常需要知道存活到某 个年龄段的人在下一个年龄段仍然存活的概率．根 据统计资料显示，某城市的人由出生活到60岁的概 率为0.8734，存活到65岁的概率为0.7950．问现年 60岁的人，能够活到65岁的概率是多少?
4
若事件A满足 P( A) 0, 则对任意事件B，称
P B A P( AB) P( A) 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
◆ P( A) 0 保证分母不为零，是必要的假设；
◆当 P( A) 0 时，条件概率 P B A 无意义；
◆今后当提及条件概率时，自动认为条件事 件的概率大于零．
80个合格 20个不合格
100个
甲：50合格 +10不合格
乙：30合格 +10不合格
10
解 记A={任取一个灯泡，该灯泡恰好为合格灯
泡}，B={任取一个灯泡，该灯泡恰好为甲生产}．
显然， P( A) 80 , 100
P( AB) 50 , 100
于是， P B A P( AB) 5 .
P( A) 8
●(条件概率的加法公式) 对任意 B1 和 B2 ，有
P B1 B2 A P B1 A P B2 A P B1B2 A ;
●当 B1 与 B2 互不相容时，有
P B1 B2 A P B1 A P B2 A .
9
例1.16 100个灯泡中有80个合格灯泡，20 个不合格灯泡，其中甲生产的60个灯泡里有50 个合格灯泡，10个不合格灯泡，余下的40个灯 泡均由乙生产．现在从该批灯泡中任取一个， 已知取到的是合格灯泡，求该灯泡恰好由甲生 产的概率．
则所求概率为 P A1 A2 A3 ．由乘法公式得
P A1 A2 A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
90 100
89 10 0.0826 .
99
98
条件概率的 本来含义
18
例1.21 验收100件产品的方案如下：从中任 取4件进行逐件检查，如果全部合格就接收该批 产品，否则拒绝接收该批产品．已知这100件产 品中恰有4件不合格品，求该批产品被拒绝接收 的概率．
解 记 A={该批产品被拒绝接收}；Bi ={被检查的第 i 件产
品是合格品}， i 1, 2,3, 4 ． A B1 B2 B3 B4 ．
P A 1 P A 1 P B1B2B3B4
1 P B1 P B2 B1 P B3 B1B2 P B4 B1B2B3
抽到甲类三极管，这时可供抽的是余下的5只甲
3
类三极管，从中任抽一只，有5种抽法，所以
P B A 5 . 9 在这里，显然有
PB
A
5 9
6 5 10 9
6 10
P AB P A
.
我们虽然从一个特殊的例子得到了 P A ， P AB
和 P B A 的上述关系，但包含着一般例子的共性，
由此我们合乎情理地引入下面的一般的定义．
Ｂ={第二次抽到的是甲类三极管}．
2
则 P A 6 ， P AB 6 5 ．我们现在要做的
10
10 9
工作是在“已知A发生”的附加条件下，求B发
生生的概率，这个概率称作条件概率，并且记作
P B A.
由于第一次已经抽走了一只，所以第二次是
从余下的9只三抽到甲类三极管的条件下，要求第二次又
§1.5 条件概率与 乘法公式
1
一、条件概率
从下面引例谈及条件概率的定义． 例1.15 有外观相同的三极管10只，按电流 放大系数分类，6只属甲类，4只属乙类．不放回 地抽取三极管两次，每次只抽一只．求在第一次 抽到甲类三极管的条件下，第二次又抽到甲类三 极管的概率． 记Ａ={第一次抽到的是甲类三极管}，
解 记A={活到60岁}，B={活到65岁}.
12
注意到 B 的发生必然导致 A 的发生，从而 B A ．依题
意 P A 0.8734， PB 0.7950 ．
条件概率 的定义
P B A P( AB) P(B) 0.7950 0.9102 . P( A) P( A) 0.8734
可见，该城市的人在60岁到65岁之间死亡的概 率约为1-0.9102=0.0898，在平均的意义下，该年 龄段中每百人中间约有8.98人死亡．像这种反映某 种特殊人群寿命分布的生命表对保险公司确定保险 和赔保的数额都是很有意义的．
甲70% 其它30% 合格品95%
15
解 记A={甲厂生产的灯泡}，B={合格灯泡}，
P A =70%， PB A =95%．所求概率为 乘法公式
P(AB) P(A)PB A =66.5%.
例1.19 某厂的产品中有4℅的不合格品，在
100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品 中任取一件是一等品的概率．
条件概率的 本来含义
96 95
94
93
1
0.1528.
100 99
98
97
19
条件概率 的定义
另一种计算方法——条件概率的本来含义
P B A , 本质上就是从80个合格灯泡里抽
到甲生产的灯泡的概率，而80个合格灯泡里甲生
产的灯泡有50个，所以， P B A 50 5 . 80 8 这与用条件概率定义计算的结果完全相同． 11
提醒： 条件概率的本来含义和定义是求条件概率
i1
i1
由此可推出条件概率的其它性质，如：
● (对立事件的条件概率公式) 对任意事件B，有
P B A 1 P B A ;
8
●(真差的条件概率公式) 当 B1 B2 时，有
P B2 B1 A P B2 A P B1 A ;
●(条件概率的减法公式) 对任意 B1 和 B2 ，有
P B2 B1 A P B2 A P B1B2 A ;
13
二、概率的乘法公式
由条件概率的定义 P B A P( AB) P( A) 变形得到
定理1.4 (关于两个事件的概率的乘法公式)若
P A 0 , 则
P( AB) P( A)P B A .
乘法公式用来 计算若干个事 件乘积 (交) 的概率！
14
例1.18 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，其合格品率是95%．求从市场上买到的一 个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率．
P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件
不同，是两个不同的概念，在数值上一般也不同．
7
条件概率 P A 满足概率的公理化定义中的三条：
1º非负性 P B A 0； 2º正则性 P Ω A 1；
3º可列可加性 设 B1 , B2 , 两 两 互 不 相 容， 则
P Bi A P Bi A .
5
条件概率与无条件概率的关系
P B P(B)
条件概率是 无条件概率 的推广
无条件概率是 条件概率的特 殊情形．
6
条件概率P(A|B)与P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A 是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下 事件A发生的可能性大小．
而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加 “B 发生 ” 这个条件时A发生的可能性大小，即 P(A|B) 仍是概率．
P A1A2 An P( A1)P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An1 .
17
例1.20 一批零件共有100个，其中有10个 不合格品．从中一个一个取出，求第三次才取 到不合格品的概率．
解 记 Ai ={第 i 次取出的是不合格品}， i 1, 2,3 ，