微分中值定理开题报告
微分中值定理开题报告
3．本课题的研究内容
本课题拟从以下几个方面研究：
一、对微分中值定理的几点证明
1.微分中值定理的一种统一证法
2.微分中值定理的一种逆向分析证法
二、微分中值定理的推广
1.讨论微分中值定理的内在联系
2.讨论三个定理的推广形式，并给出简单证明
3.加强条件之后的深层阐述
三、微分中值定理的一些应用
第二阶段：中期（2011年10月22日——2011年11月21日）
第三阶段：结题（2011年11月22日——2011年12月23日）
预期效果：
1.研究微分中值定理的一些证法；2.研究微分中值定理在解题中的应用；3.形成论文
5．参考文献
[1]刘玉莲，数学分析[M]，北京：高等教育出版社，2003.
[2]同济大学应用数学系，高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2008.
2．本课题的研究现状
人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了。1637年，著名法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理。教科书中通常将它称为费马定理。1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理，1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。此外，在极值问题中有重要的实际应用。微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁。微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现。特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇。
数学系本科生毕业论文开题报告
个在更弱条件下的渐近估计式，本文将其进行推广，研究广义高阶微分中值定理
的“中间点”的渐近性质和渐近估计式。
研究方法、手段及步骤：
（1）研究方法、手段：文献研究法。
（2）步骤：①翻阅华东师范版《数学分析》，粗略确定要研究的课题范围，上网搜集一些相关
【2】【3】研究了当区间长度趋于零时中值定理“中间点”的渐近性，获得
有趣的结果；李文荣在【2】的基础上，得到了微分中值定理“中间点”
的渐近性态【4】。随后，在文【5】--【13】得到了比【4】更广泛的一
系列结论。然而，这些文献都还未讨论文献【1】中更弱条件下的广义
高阶微分中值定理的“中间点”的渐近性质。
【2】Bernard Jacobson，on the mean value theoreoren for integrals. Amer. Monthly，89
(1982) 300-30itia. On the lagranger remande of the Taylor tormula[J]， Amer
选题作为参考，进一步明确选题；
②上校园网搜集文献资料，打印资料；
③阅览、归纳、整理资料，将前人的结论记录下来；
④分析前人的结论，选择某一方面或几个方面作进一步的推广、创新。
⑤确定选题题目。
参考文献：
【1】张树义.广义微分中值定理的“中间点”的渐近性[J].渝州大学学报，1994，12
（4）：54-57.
Math，monthly1982，89（5）： 331-312.
【4】李文荣.关于中值定理“中间点”的渐近性[J].数学的实践与认识，1985，（1）
中值定理开题报告
中值定理开题报告一、引言中值定理是微积分中的重要概念之一，其应用广泛且深入。
它帮助我们理解函数的特性和性质，并在求解实际问题时提供了一种有力的工具。
本文将对中值定理进行探讨，分析其背景、定义和应用，并展示其在数学和实际问题中的重要性。
二、背景中值定理是由数学家菲尔雅克于17世纪初提出的，它是微积分的基石之一。
中值定理的提出，打破了以欧几里得几何学为基础的传统数学思维模式，引领了微积分的发展。
中值定理也是函数的重要特性之一，它描述了函数在某个区间内的变化情况，并提供了求解方程和不等式的方法。
三、中值定理的定义中值定理主要包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理，它们提供了函数在某个区间内的导数、积分及连续性的关系。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理中最常用的一种形式。
它表明如果函数在某个区间上满足一定条件，那么在该区间内必然存在某个点，使得函数在该点处的导数等于函数在整个区间上的平均变化率。
具体表达式如下：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且(a, b)内的函数导数不恒等于零，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f(b) - f(a) = f’(c) * (b - a)。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广形式。
它表明如果两个函数在某个区间上满足一定条件，则存在某个点，使得这两个函数在该点处的导数之比等于这两个函数在整个区间上的函数值之比。
具体表达式如下：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且(a, b)内的函数导数不恒等于零，且g’(x)不为零，则存在一个介于a和b之间的数c，使得[f(b) - f(a)] * g’(c) = [g(b) - g(a)] * f’(c)。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是中值定理中最简单也最容易理解的一种形式。
它表明如果函数在某个区间上满足一定条件，则必然存在某个点，使得函数在该点处的导数等于零。
中学微积分课程教学研究的开题报告
中学微积分课程教学研究的开题报告一、研究背景微积分是现代数学中最为重要的一部分，它广泛应用于自然科学、工程技术、社会科学等领域。
中学微积分课程作为初步学习微积分的重要环节，在数学教育中具有重要的地位。
然而，传统的微积分课程教学形式往往缺乏足够的活力和趣味性，不利于学生深入理解微积分的基本理论和应用技巧。
因此，对中学微积分课程教学进行深入研究，探索有效的教学方法和策略，有助于提高学生的学习兴趣和学习成绩，进一步促进数学教育的发展和创新。
二、研究目的和意义通过对中学微积分课程教学进行研究和探索，旨在实现以下目标：1. 总结和分析中学微积分课程的教学现状和问题，揭示教学中存在的困难和挑战。
2. 研究有效的中学微积分教学方法和策略，探索适合学生学习特点和需求的教学方式。
3. 通过教育教学实践，评估不同教学方法的效果和应用价值，提出改进和完善的建议。
通过实现以上目标，本研究对于推动中学微积分课程教学改革和提高教育教学质量具有重要的意义和价值。
三、研究内容和方法1. 研究内容(1) 中学微积分课程教学现状和问题的分析。
(2) 中学微积分教学方法和策略的研究与探索。
(3) 教育教学实践的开展和评估。
2. 研究方法(1) 文献资料法：通过文献调查和阅读相关的书籍、教材、论文等资料，了解中学微积分课程教学的基本情况和教育教学的发展趋势。
(2) 调查问卷法：通过向中学生、教师等目标对象发放问卷调查，了解他们对中学微积分教学的看法和建议，分析中学微积分教学存在的问题和需要改进的方向。
(3) 实验研究法：通过实验研究的方式，对不同的教学方法和策略进行比较和分析，评估不同教学方法的具体效果和应用价值。
四、预期成果通过本研究，预期可以取得以下成果：1. 深入了解中学微积分课程教学的现状和问题，提出针对性的改进建议和措施。
2. 提出一系列适合中学生学习特点和需求的微积分教学方法和策略，丰富课程内容，提高学生学习兴趣和效果。
3. 对教育教学实践进行科学评估和总结，得出中学微积分教学改革的经验和启示，为今后的教学工作提供有益的指导和参考。
微分中值定理研究报告和推广
渤海大学毕业论文<设计）题目微分中值定理的研究和推广完成人姓名张士龙主修专业数学与应用数学所在院系数学系入学年度 2002年9月完成日期 2006年5月25日指导教师张玉斌目录引言 (1)一、中值定理浅析 (1)1、中值定理中的 (1)2、中值定理中条件的分析 (2)二、微分中值定理的推广 (4)1、微分中值定理在无限区间上的推广 (4)2、中值定理矢量形式的推广 (7)3、微分中值定理在n维欧式空间中的推广 (9)4、中值定理在n阶行列式形式的推广 (12)5、高阶微分中值定理 (15)结束语 (19)参考文献 (19)微分中值定理的研究和推广张士龙<渤海大学数学系锦州 121000 中国）摘要：微分中值定理是高等数学中的一项重要内容，是解决微分问题的关键。
本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明。
后又在此基础上，对微分中值定理进行了一系列的推广，先后在无限区间内，在定理的矢量形式，在多维欧氏空间中，在高阶行列式形式，以及在微分定理的高阶形式五个方面来研究，通过定理与实例的结合，来说明各个推广的过程。
从而，使定理向着更加广阔的方面发展，有利于对定理的掌握和应用。
关键词：微分中值定理，无限区间，矢量形式，行列式，高阶微分中值定理，欧式空间。
The Research and Popularization of The Differential MeanValue TheoremShilong Zhang(Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China> Abstract: The differential mean value theorem is an important element of higher mathematics. It is the key to solve the differential problems. This text gives detailed explanations to the conditions of the differential mean value theorem. On this foundation, this text carries on series of promotional activities of the theorem, and makes research in the indefinite sector, the vector form of the theorem, the multi-dimensional Euclidean space, the high rank determinant and high rank of the differential theorem altogether five aspects. This text illustrates the promotional process through the integration of the theorem and its examples, so as to enable the theorem to develop towards broader aspects. It is advantageous to the mastery and application of the theorem.Key words: the differential mean value theorem, indefinite sector, the rector form, Euclidean space, determinant, defferential value theorm of higher order引言罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学的中值定理。
中值定理的分析性质研究【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学中值定理的分析性质研究一、选题的背景、意义人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百多年的时间．从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象。
从强条件到弱条件的发展阶段．人们正是在这一发展至此是对微分中值定理和积分中值定理的讨论，人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百多年的时间．从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象。
从强条件到弱条件的发展阶段．人们正是在这一发展的过程中，逐渐认识到微分中值定理的普遍性．微分中值定理的形成历史和发展过程深刻的揭示了数学发展是一个推陈出新，吐故纳新的过程，是一些新的有力工具和更简单方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程，是一个由低级向高级发展过程，是分析、代数和几何统一的过程．“数学中每一步真正的发展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧、复杂的东西抛到一边．数学科学发展的这种特点是根深蒂固的．”中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
在一元函数微分学中，微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具，它在数学分析中占有重要的地位，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是起推广。
拉格朗日微分中值定理有许多推广，这些推广有一些基本的特点，这就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后推广微分中值表达公式。
微分中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地。
微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论.它架起了利用微分研究函数的桥梁.微分中值定理从诞生到现在的近300年间,对它的研究时有山现.特别是近十年来,我国对中值定理的新证明进行了研究，如微分中值定理的推广、证明方法、中间点的渐近性及与定理有关的证明题中辅助函数的构造等问题。
中值定理开题报告
中值定理开题报告中值定理开题报告一、引言中值定理是微积分中一个重要的定理，它在数学分析和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将对中值定理进行探讨和研究，分析其数学原理和实际应用。
二、中值定理的数学原理中值定理是微积分中的一个基本定理，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
这些定理都是基于函数在闭区间上连续和可导的条件下成立的。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理中最基本的定理之一。
它表明，如果一个函数在闭区间上连续并在开区间上可导，那么在这个闭区间内，至少存在一个点，使得函数在该点的导数等于函数在该区间的平均变化率。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是中值定理中的另一个重要定理。
它是拉格朗日中值定理的推广，适用于两个函数在闭区间上连续且可导的情况。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间上连续并在开区间上可导，那么在这个闭区间内，存在一个点，使得两个函数在该点的导数之比等于两个函数在该区间的函数值之差的比值。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是中值定理中的另一个重要定理。
它是拉格朗日中值定理的特殊情况，适用于函数在闭区间上连续且可导的情况。
罗尔中值定理表明，如果一个函数在闭区间的两个端点的函数值相等，并在开区间上可导，那么在这个闭区间内，至少存在一个点，使得函数在该点的导数等于零。
三、中值定理的实际应用中值定理在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
下面将介绍中值定理在物理学和经济学中的应用。
1. 物理学中的应用中值定理在物理学中有着广泛的应用。
例如，在运动学中，中值定理可以用来证明平均速度和瞬时速度之间的关系。
在力学中，中值定理可以用来证明牛顿第二定律。
中值定理还可以应用于电磁学、光学和热力学等领域的问题中。
2. 经济学中的应用中值定理在经济学中也有着重要的应用。
例如，在经济学中，中值定理可以用来证明供需曲线的交点处存在市场均衡价格和数量。
中值定理还可以应用于经济增长模型、投资分析和市场竞争等问题中。
关于微分中值定理中值点的渐近性开题报告
本文主要研究函数微分中值定理的中值点的渐近性的性质．通过对函数的LAGRANGE中值定理的中值点的性质以及对TAYLOR中值公式等的中值点的研究，得出一些关于中值点的渐近性的相对的结果．本文主要通过TAYLOR展开式的方法，先讨论一元函数的中值点的性质，利用这些已经知道的一元函数的性质来对二元函数的性质来进行一些简单的研究．从一元到二元即从简单到复杂的思路来研究．通过对这些余项的估计，利用极限的方法得到的结果．本文先考虑二元函数的LAGRANGE中值定理的一种形式，采用加减的方法来把二元函数化为两个二元函数的中值定理的问题．再分别利用一元函数的LAGRANGE定理和TAYLOR公式求出的另种形式，利用TAYLOR展开式以及极限的方法得出与前者的类似的结果，最后研究TAYLOR定理中值点的渐近性的性质，通过对TAYLOR发定理的不同形式的展开，以极限为工具得出更一般的结果．这几个函数的中值定理的中值点的渐近性研究与思想是似的，都是已TAYLOE展开式为着眼点，通过极限的工具来探讨这些中值定理的中值点的渐近性的性质．研究方法与思路是类似的，得出结果也是类似的．
准备情况（查阅过的文献资料及调研情况，现有仪器、设备情况、已发表或撰写的相关文章等）：
[1]A.G.Azpeitia. On the Lagrange remainder of theTaylorformula[J]. American Mathematical Monthly, 1982, Vol89 (5),No 5:311-312.
2007年1月上旬—2007年2月中旬撰写论文初稿；
2007年2月中旬—2007年3月上旬修改论文并定稿；
2007年3月上旬—2007年4月中旬准备论文答辩．
指导教师意见（研究的意义、创新点、前期基础工作、存在的难点和困难、建议等）：
有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究开题报告
有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究开题报告开题报告有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究一、选题的背景、意义1.辅助函数构造法背景当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时,可根据题设条件和结论特征、性质展开联想,进而构造出解决问题的特殊模式??构造辅助函数。
辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方法,在数学分析中具有广泛的应用。
构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法,在解题时,常表现为不对问题本身求解,而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。
微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。
通过查阅现有的大量资料发现,现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多,其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路,但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用。
通过构造辅助函数,可以解决数学分析中众多难题,尤其是在微积分学证明题中应用颇广,且可达到事半功倍的效果。
2.研究现状及发展趋势辅助函数的构造是我们解决问题的重要工具,对它的研究从没中断过,众多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究,也取得了很多学术成果。
辅助函数构造法在数学的发展过程中,有着非常重要的地位,许多经典的定理和公式都是运用到了辅助函数构造法再得以完美的解决,所以对辅助函数构造法的研究也应该运用到更为广泛的领域当中,它可以将未知的问题化为现有的简单的问题。
本文只是着重探讨了微积分领域中的一些辅助函数构造法的思路,现在已经有很多学者在更为广泛的数学问题中研究运用辅助函数构造法。
相信辅助函数构造法的思想会继续推动着数学领域更好的发展。
二、相关研究的最新成果及动态本文主要研究辅助函数构造在微积分中的地位与作用,而其中主要分三部分内容,一是通过分析罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的推导,尤其是其中辅助函数的构造思想;二是讨论有关中值命题证明中辅助函数构造的方法,归纳罗列出几种常见的方法,从而方便的解决有关中值命题的证明;三是在具体的题目中运用所罗列的构造法,体味构造法的思想。
微分中值定理应用之中值点存在性研究报告
微分中值定理的应用之中值点存在性的研究1引言微分中值定理 <罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理）是微分 学的基本定理，在微积分中占有非常重要的地位，有着广泛的应用，其中证明某区间上满足 一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试卷中经常出 现的题型之一 •利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证 明思路，解决此类问题的关键是构造辅助函数，而构造辅助函数技巧性较强，本文通过一些 典型题目的求解，全面总结了证明此类问题的技巧与方法2 一个中值点的情形 <1）原函数法在利用微分中值定理证明中值点的存在性问题时，关键是根据所证明的结论构造辅助函 数，构造辅助函数最基本最重要的思想就是寻求原函数，而寻求原函数的方法又因所证结论 不同而不同•①直接法这种方法的解题思路主要是根据题目所证结论中常数项的特点直接得到辅助函数 例1函数 一 在 一 上连续，在_I 内可导，证明：在_I 内至少存在一点-I ，分析：结论等号左侧显然是函数一在区间一两端点函数值的差与区间长度例2 函数I 一在 “I 上连续，在-I 内可导 _________ I ，试证：存在 _________IE 之商,于是联想到对函数—:使用拉格朗日中值定理证明：令 ---------- 1，显然 "在I 上满足拉格朗日中值定理条件 •于是知：在二内至少存在一点注，使得 ，而，即得结论.证毕.证明：令 I ，易知.p , 在“上满足柯西中值定理的条件，于是可得：存在 1 = 1 ，使1 = 1，即X ]，亦即\ X][X ■ .证毕•②因值法此方法的解题思路是： 把常数部分设为 T ，然后作恒等变形使等式一端为 巴与回构成的代数式，另一端为与 — 构成的代数式，分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，则把 ＜或匸）改为，相应的函数值 一 ＜或一）改为一，则替换变量 后的表达式就是所求的辅助函数 —.例3＜拉格朗日中值定理） 如果函数 “ 满足：＜1）在闭区间 —上连续； ＜2 ）在开区间 _I 内可导，则在开区间 —I 内至少存在一点 ，使得 ----------- : .分析:结论可变形为 [K ■ ，令 EHJ ，则_______ :，显然这是一个对称式，故可令 ______ I .证明：作辅助函数 _________________ I ，显然在一上连续，在—I 内可导，且，因此一 一上满足罗尔定理的条件，于是至少存在一点 一I 使得 一I ，即| ，亦即: .证毕.注：例1、例2也可以用此方法证明. ③积分法这种方法的基本思想是利用不定积分寻求辅助函数，具体做法如下：将结论中的 换成，通过恒等变形将结论化成____ I的形式，然后用观察或直接积分＜如果不易通过使得分析：将结论变形为理，辅助函数显然可取为IrJ，等式左端的形式很容易联想到柯西中值定观察得到）求得原函数―，积分常数取为0.例4设函数M在IV上连续，在I内可导，且厂一.证明：至少存在一点，使分析：结论即要证明函数在=!内有根，而，即证明函数在E内有零点•因结论中含有函数导数,可考虑利用罗尔定理•通过观察易发现，于是辅助函数可取为证明：令一在一上连续，在—内可导于是由罗尔定理知:至少存在注：例1,例例5设函数，故，即2,例3也可使用这种方法证明一一在一上连续，在_I内可导，且证明：至少存在一点，使分析：结论即要证明函数」在口内有零点，因结论中含有函数导数，故考虑利用罗尔定理，而此函数的原函数通过观察可能感到有点困难•将变形为，即要证明函数EE1 在一内有相同的零点，于是可取原函数为证明：令,显然一在—I内可导，且，于是由罗尔定理知：至少存在一点一I当所证明的结论中出现二阶导数时通常可考虑两次使用中值定理证明例6设函数-I在IV上有二阶导数，且.“ II , ________ I ，证明：在n内至少存在一点，使得_______ I .分析：结论即要证明函数—在n 内有零点，可考虑对函数ri 使用罗尔定理，关键是要找到使得厂I函数值相等的两个点.而一^ ij ，易知___ ，而由题设知一显然在一上满足罗尔定理条件，故必存在点___ I ,使得L-，在IV上对函数_1使用罗尔定理即得结论•证明：—显然在____________ 满足罗尔定理的条件，故存在点―I ,使得―I .因为______________ I ，由条件易知_:在一上连续，在—内可导，且-II ，于是由罗尔定理知：在- 内至少存在一点-I，使得___ : .证毕.例7 设函数「—在上二阶可导.且1 — 1 1-1 1-1 冋试证：＜1）在—1 内-------- 1；＜2）至少存在一点--- 1 ，使____ 1 .分析：＜1）类似_______ 1___ 1 或_______ 多用反证法证明.＜2）仍可考虑使用罗尔定理，关键是寻找辅助函数，结论可变形为即证函数__________ I 在一内有零点.由故可取为原函数.证明：＜1）假设存在一点I 使 ________ ，显然口在_______________ :上满足罗尔定理条件.于是存在.：-：丨，I 使得-：I , .而.、I在丨上又满足罗尔定理条件，于是存在_______ II ，使得___________ I ，与题设条件矛盾.故在.、I内：* I .<2）令—__________ : ，显然"在" 上连续，在—I内可导，且I ________ I ，由罗尔定理知至少存在一点g I ，使得L-，又| .证毕.<2）泰勒公式法当题设中出现高阶导数<三阶或三阶以上的导数）时，通常可考虑使用泰勒公式证明中值点的存在性例8 若函数一在和上有三阶导数，且______ ，设______________ f 试证：在E 内至少存在一个点-I，使〔“II分析：由题设显然函数I-JI在IV上有三阶导数，故考虑利用I-JI的泰勒展开式证明：—在3处的二阶泰勒展开式为：至少存在一个点―I，使得因为----------- f ，I ,所以—，于是得.而 _________ | ，故 ___ .证毕.注：此题也可使用三次罗尔定理证明.例9设函数一在闭区间—:上具有三阶连续导数，且 ___ : ， :——I .试证：在开区间一I内至少存在一点，使——:.证明：由一I ，得—在二处的二阶泰勒公式为，故.由（1>知―I，即得<・|介于0与「之间，I_______ I ）由题设知两式相减，可得I •又一I在区间 _:连续，从而在l：T|上也连续，故八1在区间I「T|上有最大值和最小值一.从而有由介值定理知，至少存在一点_ _______ ' ，使得 ___________ :.证毕.3两个中值点的情形在证明两个中值点存在性的命题时，通常可考虑使用两次中值定理例io已知函数M在口上连续，在n内可导，且.沃II ，—I ，证明：<i）存在—I ，使<2）存在不同的两个点__________ I ，使得_______________分析：<1）即证函数 __________ I 在一内有零点，可用零点定理证之.<2）要证满足条件的两个不同点，可考虑在不同区间上使用中值定理.而（1>中点即把区间一分为两个区间 _____________ I ，对一在两个区间上分别使用拉格朗日中值定理，再寻求两个结论之间的关系即可.证明：（1>令 __________________ I ，显然I—II在IV上连续，且II_______________ 一，则由零点定理知，至少存在一点―I，使―I，即________ :.<2）显然一在区间------------------ 上满足拉格朗日中值定理条件，故存在一点•FI ，使得--------- 1 ，即;存在一点___ I ，使得___________ I ，即.从而______ I .证毕.例11函数一在一上连续，在—I可导，二_ ，试证:存在---------- 1分析：结论中两点只要存在即可，不要求一定不同，故可在同一区间上使用两次中值定理.同时结论中的II 二部分可看作函数—与在点处的导数之商，故联想到柯西中值定理•再对"I 使用拉格朗日中值定理，然后寻求两个结论之间的关系存在 I ，使得 __________ I______ : .由以上两式得：存在 __________ I ， 使即 M || .证毕.4含中值点的积分等式的证明这种命题的基本思路是：将题设中的定积分转化为变限积分的函数，这一函数通常即可 作 为辅助函数，再结合微分中值定理得到证明分析：<1）可用连续性及极限的相关知识证明证明：令，易知 一 与一在一上连续，在可导，且由柯西中值定理知，存在 _________________________ ，使得.而由拉格朗日中值定理知,例12设函数一在一上连续，在若极限存在，证明 <2 ）在 一I 内存在一点 ，使<3）在一1内存在与<2）中不同的点，使内可导，且<1 ）在 "I 内证明：设由积分中值定理知存在 --- 1 ，使得 .而 一I 时,<3）结论中出现了—，联想到对函数— 在区间 上利用拉格朗日中值定理证明：<1）由存在及函数—在区间—上连续，知、」内可导，又.--II ，故满足柯西中值定理的条件，所以存在一点注：将题设中的定积分转化为变限积分的函数是定积分证明题中的常用方法例13设函数 "I 在 "I 上连续，且亠|I .证明：在.I--'内至少存在两个不同的点 ,使 ______________ J分析：直接证明函数 I-JI 在一 内至少存在两个不同的零点比较困难，若令，而1 ，故可证— 在.上^内至少存在两个不同的零点<2）将结论变形为 ，则左侧 可看作函数X H 在”.|端点函数值之差，而.再由等式特点可知对函数在 H 上利用柯西中值定理即可内单调增加，故当―I 时,<2）令显然 ________ I 在"上连续，在___ I ，使得（3>对函数— 在区间 _J 上利用拉格朗日中值定理知存在 ____ I ，使得，即 ______________ I ，代入<2）的结论，即得.又因知"在_I，则______________口，故.X II .在区间J - 上分别使用罗尔定理知：存在I ，使得I 3 II ，.:-:丨•即I •证毕•例14设函数口在上连续，且〔，试证：至少存在一点」，使工分析：将结论变形为，容易看出对函数1，X 1 在回上使用柯西中值定理即可•1I，显然回，回在回上满足柯证明：设西中值定理的条件, 于是知至少存在一点使得| ，即.证毕•。
中值定理及两类函数的高阶优化条件的开题报告
中值定理及两类函数的高阶优化条件的开题报告一、题目中值定理及两类函数的高阶优化条件二、文献综述1.中值定理中值定理是高等数学中的基本定理之一，它在实际应用中具有广泛的重要性。
中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。
拉格朗日中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c)。
这些定理在求解函数的极值、方程的根、恒等式及近似计算中有广泛的应用。
2.两类函数的高阶优化条件在最值问题的研究中，一般需要求函数的导数，进而求出导函数的一些性质，以此来确定函数取极值的位置，得到函数的最值。
对于单峰函数和凸函数，我们可以使用它们的二阶导数来确定它们的极值位置和最大值。
对于单峰函数：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]的内部有一点c，使得f(c)是f(x)的最大值，则f(x)在c处存在第一阶导数和第二阶导数，f'(c)=0，f''(c)<0。
对于凸函数：设函数f(x)在开区间(a,b)上有定义，且在(a,b)内是凸函数，则f(x)在(a,b)内存在的最小值点c处，f(c)存在一阶导数和二阶导数，f'(c)=0，f''(c)>0。
三、选题意义与研究目的中值定理在实际应用中有着广泛的应用，研究了解它们的定理和应用，对于提高数学知识的系统性和完整性有着重要的意义，同时也为解决实际问题提供较为可靠的数学方法。
多元函数中值定理开题报告
多元函数中值定理开题报告多元函数中值定理开题报告一、引言多元函数中值定理是微积分学中的重要定理之一，它在实际问题的求解中起到了关键作用。
本文将介绍多元函数中值定理的概念、证明方法以及应用领域，以期对读者有所启发。
二、多元函数中值定理的概念多元函数中值定理是指在多元函数的某个区域内，如果函数在边界上取到最大值和最小值，那么一定在内部某点取到函数的极值。
这个定理可以用来证明函数的连续性、存在性以及性质等。
三、多元函数中值定理的证明方法1. 介值定理法多元函数中值定理的证明可以采用介值定理法。
首先，通过定义一个辅助函数，将多元函数转化为单变量函数。
然后，利用单变量函数的中值定理，证明多元函数中存在一点，使得其梯度为零。
最后，通过分析梯度的性质，得出多元函数中值定理的结论。
2. 极值定理法多元函数中值定理的证明也可以采用极值定理法。
首先，通过定义一个辅助函数，将多元函数转化为单变量函数。
然后，利用单变量函数的极值定理，证明多元函数在某个区域内存在极值点。
最后，通过分析极值点的性质，得出多元函数中值定理的结论。
四、多元函数中值定理的应用领域1. 物理学应用多元函数中值定理在物理学中有广泛的应用。
例如，在流体力学中，可以利用多元函数中值定理来证明流体的速度场中存在某个点，其速度为零。
这对于研究流体的稳定性和流动特性具有重要意义。
2. 经济学应用多元函数中值定理在经济学中也有一定的应用。
例如，在经济学模型中，可以利用多元函数中值定理来证明某个经济指标在某个时间段内存在最大值或最小值。
这对于经济政策的制定和经济发展的预测具有一定的参考价值。
3. 地理学应用多元函数中值定理在地理学中也有一定的应用。
例如，在地形分析中，可以利用多元函数中值定理来证明某个地区存在最高点或最低点。
这对于地理环境的评估和地质灾害的预测具有一定的意义。
五、总结多元函数中值定理是微积分学中的重要定理，它在实际问题的求解中具有广泛的应用。
本文介绍了多元函数中值定理的概念、证明方法以及应用领域，希望能够对读者加深对多元函数中值定理的理解和应用有所帮助。
开题报告
学生姓名学号指导教师职称所选题目名称：关于中值定理应用中辅助函数的构造课题研究现状：微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
微分中值定理常是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理这三个定理,后两个定理的证明都是作辅助函数利用罗尔定理而得.辅助函数的作法是应用中的难点,也是整个分析教学中的难点,因此在讲解过程中讲清楚辅助函数作法的思想与方法就显得尤为重要.课题研究目的：在解决中值定理方面的应用问题时，经常需要使用辅助函数，于是，如何构造辅助函数便成为解决问题的关键。
当遇到一些复杂性证明时.往往不能直接运用微分中值定理来证明,需要构造一些辅助函数,通过对这个辅助函数做一系列的分析、变形、化简、求导等得到结论中的形式.而一般来说这个辅助函数是不容易做的。
通过对微分中值定理证明题常见结论的剖析,提出了辅助函数作法的几种模式,探讨作辅助函数的规律和方法。
课题研究要点：一般地，构造辅助函数可以沿着两条路去思考：一是如果考察的问题有明显的几何意义，则可以凭借几何直观引出必然联系来构造函数。
二是通过恒等变形，把原问题转化为等价的更为简洁的形式，从中找出必然联系，便能构造出辅助函数。
通过对微分中值定理证明题常见结论的剖析,提出了辅助函数作法的几种模式,探讨作辅助函数的规律和方法。
课题进度安排：1.2009年11月4日前完成毕业论文(设计)网上选题工作。
2.2009年11月27日前完成毕业论文开题工作。
3.2010年1月8日前完成毕业论文第一稿.4.2010年3月-2009年5月，对毕业论文修改加工，不断完善。
5.2010年6月前提交规范的毕业论文，论文答辩。
主要参考文献：[1]刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义[M].高等教育出版社,2006.4[2]华东师范大学数学系. 数学分析[M].高等教育出版社,1991[3]邓乐斌编. 数学分析理论、方法与技巧.华中科技大学出版社[M],2006.5[4]徐兴亚，夏海峰. 数学分析选讲[M].同济大学出版社,2008.8[5]裘兆泰，王承国. 数学分析学习指导[M].科学出版社,2004.4[6]朱崇山，王承国. 微分中值定理应用中辅助函数的构造[J].高等函授学报。
微分中值定理开题报告
微分中值定理开题报告微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
微分中值定理主要用于研究函数的性质和求解问题，它在数学和物理学等领域有广泛的应用。
微分中值定理是建立在导数的基础上的，导数是函数在某一点处的变化率。
微分中值定理主要有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这三种定理都是通过函数在一个闭区间上的性质来得到的。
首先介绍拉格朗日中值定理。
该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得f'(c)等于f(b)-f(a)除以b-a。
这个定理的几何意义是：若函数在一个闭区间上连续并且在开区间上可导，那么在这个闭区间内总有一点，它的切线与割线平行。
接下来是柯西中值定理。
该定理是在拉格朗日中值定理的基础上发展而来的。
柯西中值定理的条件是函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)不等于0。
那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)等于f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的几何意义是：在一个闭区间上的两个函数的切线之比等于这两个函数在开区间上的导数之比。
最后是罗尔中值定理。
该定理是在拉格朗日中值定理的基础上发展而来的。
罗尔中值定理的条件是函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且f(a)等于f(b)。
那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得f'(c)等于0。
罗尔中值定理的几何意义是：在一个闭区间上的函数在开区间上的导数存在至少一个零点。
微分中值定理的证明可以通过利用导数的定义和中间值定理来完成。
其中，拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数来完成，柯西中值定理的证明可以通过应用洛必达法则来完成，罗尔中值定理的证明可以通过利用零点定理来完成。
微分中值定理证明与应用分析报告
本科生毕业论文（设计）题目微分中值定理的证明与应用分析姓名马华龙学号2009145154 院系电气与自动化学院专业测控与仪器技术指导教师春玲职称教授2012 年5月20日曲阜师大学教务处制目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (1)2 微分中值定理及其相关概念................................................ 错误!未定义书签。
3 微分中值定理的证明方法 (2)3.1 费马定理 (2)3.2 罗尔定理 (3)3.3 柯西中值定理 (5)4 定理的推广 (5)5 定理的应用 (7)5.1 利用微分中值定理证明等式与恒等式 (7)5.2 利用微分中值定理证明不等式 (8)5.3 讨论根的存在性 (9)6 总结 (10)致 (11)参考文献 (11)微分中值定理的证明与应用分析测控与仪器专业学生马华龙指导教师春玲摘要：本文首先介绍了微分中值定理的基本容极其几何意义然后又分别介绍了三个微分中值定理，最后有介绍了中值定理的推广和应用。
详细介绍了中值定理在证明等式和不等式以及性态等方面的应用。
关键词：微分中值定理推广应用Differential Mean Value Theorem Proof and ApplicationAnalysisStudent majoring in Measurement and control technology and instrumentMa HualongTutor Wei ChunlingAbstract：T his paper first introduces the basic content of the Differential Mean Value Theorem extremely geometric meaning, then introduced the three differential mean value theorem, and finally introduced the promotion and application of the mean value theorem. The detailed explained differential mean value theorem in proving the equality and inequality.Key Words : differential mean value theorem Promotion application.1引言在数学研究与分析中，微分学占有极其重要的地位，它是组成数学分析的重要部分。
开题报告 浅析微积分在中学数学中的应用
毕业论文（设计）开题报告
姓名
学号
院系
专业
年级
指导教师
2015年12月10日
填表说明
1．原则上应于最后一学年第一学期完成毕业论文（设计）的开题工作。
2．学生填写此表后，经指导教师同意，由指导教师小组集中进行开题审查，不合格者应重新修改，直至合格后方可开题。
3．学生应执行本表撰写毕业论文（设计），不得作实质性改变。
学生须在所在院（系）规定的时间内完成毕业论文（设计）并参加答辩。
4．毕业论文（设计）的具体要求请参阅《新乡学院毕业论文（设计）工作条例》和《新乡学院毕业论文（设计）写作与排版打印规范》。
5．本表可到教务处网站下载，正反双面、黑白打印，中文内容用宋体、小四号字，英文内容用Times New Roman、小四号字；指导教师意见处应手写。
封面上的姓名、学号、院系、专业、年级、指导教师等填写内容相对横线居中。
日期填写阿拉伯数字，数字与“年”、“月”、“日”之间没有空格，完成后，日期整体位置应保持原样。
6．本表最后装入学生毕业论文（设计）专用档案袋。
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[9]时统业，周本虎. 等式的证明方法[J].大学数学，2006；22（2）:133-137.
[10]赵香兰.巧用微分中值定理[J].大同职业技术学院学报，2004（2）：64-66.
[3]华东师范大学数学系.数学分析（第二版）[M].高等教育出版社.
[4]吴赣昌.高等数学（理工类）[M].中国人民大学出版社.
[5]王元.大学数学[M].人民教育出版社.
[6]陈传璋，金福临等.数学分析（上册）[M].北京：人民教育出版社，1979.
[7]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1982.
1.微分中值定理在一些定理中的证明，利用几何意义思考解题，讨论导函数零点的存在性，
2.研究函数性态，证明等式、不等式和求极限等
毕业论文（设计）开题报告
4．本课题的实行方案、进度及预期效果
实行方案：
1．研究微分中值定理的几种证明方法2.针对一些涉及应用微分中值定理来证明的问题研究解题方法3．认真研究，对上述研究归纳总结形成较为完整的体系
毕业论文（设计）开题报告
3．本课题的研究内容
本课题拟从以下几个方面研究：
一、对微分中值定理的几点证明
1.微分中值定理的一种统一证法
2.微分中值定理的一种逆向分析证法
二、微分中值定理的推广
1.讨论微分中值定理的内在联系
2.讨论三个定理的推广形式，ห้องสมุดไป่ตู้给出简单证明
3.加强条件之后的深层阐述
三、微分中值定理的一些应用
实行进度：研究时间自2011年9月至2011年12月。
1．前期准备阶段：2011年9月——2011年10月
收集与论题有关的研究资料，进行分析、归类并且筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，深化理论。
2．研究阶段：2011年10月——2011年12月
第一阶段：初期（2011年10月1日——2011年10月21日）
第二阶段：中期（2011年10月22日——2011年11月21日）
第三阶段：结题（2011年11月22日——2011年12月23日）
预期效果：
1.研究微分中值定理的一些证法；2.研究微分中值定理在解题中的应用；3.形成论文
5．参考文献
[1]刘玉莲，数学分析[M]，北京：高等教育出版社，2003.
[2]同济大学应用数学系，高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2008.
在各类大型考试中，微分中值定理占有很重要的位置，是重要的考点，常以该定理的证明及应用出现，涉及一些理论分析和证明，还有在极值问题中的实际应用，因而对其进行较深层次的挖掘与探讨就显得很有必要。
2．本课题的研究现状
人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了。1637年，著名法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理。教科书中通常将它称为费马定理。1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理，1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。此外，在极值问题中有重要的实际应用。微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁。微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现。特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇。
毕业论文（设计）开题报告
1．本课题的目的及研究意义
目的：本课题的主要目的是帮助学生多角度地了解微分中值定理的证明及其相关应用。
意义：微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，因而在微分学中占有很重要的地位。通过微分学基本定理的介绍,揭示函数与其导数之间的关系,在知识结构和思想体系中建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。