专题代数余子式求和

i=1 j =1
ann + x 4 高等代ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ资源网http://www.52gd.org
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专题:代数余子式求和 证明: (法1)按照一行(列)依次展开. (法2)设A = (aij ),则 x ) ( . ( 左边 =|A + . . 1 · · · 1 | = |A| + 1 · · · x n ∑ n ∑ =|aij | + x Aij .
i=1 j =1
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x ) ∗ . 1 A . . x
例 3.6 ( 南开04)设n阶行列式 a11 a21 ··· an1 a12 a22 ··· an2 ··· ··· ··· ··· a1n a2n =1 ··· ann
且满足aij = −aji , i, j = 1, 2, ..., n.对任意数b,求n阶行列式 a11 + b a12 + b a21 + b a22 + b ··· ··· an1 + b an2 + b 解: a11 + b a12 + b a21 + b a22 + b ··· ··· an1 + b an2 + b ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· a1n + b a2n + b =?. ··· ann + b
n ∑ n ∑ i=1 j =1
例 3.2 (湖南大学2008)已知5阶行列式 1 2 D5 = 3 1 4 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 4 1 4 2 5 5 1 5 = 27. 2 0
计算A41 + A42 + A43 + A44 + A45 以及A41 . 解:(1)首先计算A41 + A42 + A43 + A44 + A45 . (法1) 1 2 = 3 1 4 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 4 1 4 1 5 5 1 5 = 9. 1 0
专题:代数余子式求和 解:(法1)注意到D的最后一列是1,利用行列式展开公式可得 { 0 k ̸= n; A1k + A2k + · · · + Ank = |D| = 1, k = n. 从而
n ∑ n ∑ i=1 j =1
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Aij = 0 + 0 · · · + 0 + 1 = 1.
(2)把行列式D的所有元素都加上同一个数,则行列式所有元素代数余子式之和不变. ◇※☆■◇◇※☆■◇ 5 高等代数资源网http://www.52gd.org
专题:代数余子式求和 证明: (1)略.
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(2)设D = |aij |,记D(a) = |aij + a|,M, N 分别表示D, D(a)的所有元素的代数余子式之 和.则 |aij + (a + x)| = D + (a + x)M |(aij + a) + x| = D(a) + xN = D + aM + xN 于是(a + x)M = aM + xN.当x = 1时可得M = N. 例 3.9 (上海大学2011)(1)设X.Y ∈ F n , A ∈ F n×n ,证明:det(A + XY T ) = det(A) + Y T A∗ X ; (2)利用(1)的结论证明:如果n阶方阵A的行列式为1,det(A + J ) = 2,其中J 为n阶方阵, 且矩阵中的元素都是1,则A∗ 的所有元素之和为1. 例 3.10 (北京工业大学2012)将n(自然数n ≥ 2)阶实矩阵A的第一行的−1倍加到其余 所有行上,得到矩阵A1 ,将A1 的第一列的−1倍加到其余所有列上,得到矩阵A2 ,将A2 的第一 行,第一列删掉,得到矩阵A3 .记f (x1 , x2 , · · · , xn ) = X T A∗ X (其中,行向量X T = (x1 , x2 , · · · , xn ), A∗ 是A的伴随矩阵).证明:当xi = 1(i = 1, 2, · · · , n)时,f (1, 1, · · · , 1) = |A3 |.(提示:可考 虑A + J 及其行列式|A + J |,其中,J 表示所有元素都是1的n阶方阵). 证明:设 a11 a12 · · · a21 a22 · · · A= . . . . . . . . . an1 an2 · · · 首先,易知 f (1, 1, · · · , 1) = 其中Aij 是aij 的代数余子式. a1n a2n , . . . ann (1) (2)
2 代数余子式求和的理论与方法
本文讨论求行列式的余子式(代数余子式)之和的求解问题,此类问题在研究生入学考 试中经常出现.解决这类问题的方法有三种: 1
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(1)用余子式(代数余子式)的定义直接计算.此法一般计算量较大,易出错; (2)利用行列式元素的余子式(代数余子式)与此元素的值无关的特点,改变行列式的某 个(行或列)元素,然后利用行列式的展开定理处理.此法应用较多. (3)考虑矩阵的伴随矩阵.
A41 + A42 + A43 + A44 + A45
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2
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专题:代数余子式求和 注:此法没有充分利用D5 = 27这一条件. (法2)首先, A41 + A42 + A43 + 2A44 + 2A45 = D5 = 27, 其次,将D5 的第二行乘以−1加到第四行可得, 1 2 3 2 2 2 1 2 27 = D5 = 3 −1 −1 −1 4 3 1 4 1 4 1 5
1 0 0 0 0 → 0 . . . . . . 0 1 ··· ··· . . . ··· ···
0 1 0 . . .
0 ··· 0 ··· 1 ··· . . . . . . 0 0 ··· 0 0 . . .
0|1 −1 0 0|0 1 −1 0|0 0 1 . . . . . . .|. . . . . 1|0 0 0
专题:代数余子式求和
高等代数资源网 www.52gd.org August 25, 2013
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5 1 5 = −A41 − A42 − A43 + A44 + A45 . 1 0
由此可得A44 + A45 = 18,故 A41 + A42 + A43 + A44 + A45 = A41 + A42 + A43 + 2A44 + 2A45 − A44 − A45 = 27 − 18 = 9. (法3) 2(A41 + A42 + A43 ) + (A44 + A45 ) = 0, (A41 + A42 + A43 ) + 2(A44 + A45 ) = D5 = 27, 解得A44 + A45 = 18,故 A41 + A42 + A43 + A44 + A45 = 9. (2)下面计算A41 . (法1)直接计算A41 2 2 =− 1 3 3 2 2 1 4 1 4 5 5 1 = −3. 5 0
(法2)利用D5 的第一行元素与第三行元素,有 A41 + 2A42 + 3A43 + 4A44 + 5A55 = 0, 3A41 + A42 + 2A43 + 4A44 + 5A55 = 0, 于是可得 2A41 − A42 − A43 = 0, 而由前面可知 A41 + A42 + A43 = −9, 故A41 = −3. 例 3.3 (华中科技大学2012)设 1 0 D = 0 . . . 0 求D的所有元素的代数余子式之和. ◇※☆■◇◇※☆■◇ 3 高等代数资源网http://www.52gd.org 1 1 0 . . . 1 ··· 1 ··· 1 ··· . . . . . . 0 0 ··· 1 1 1 , . . . 1
3 应用
3 5 例 3.1 设|A| = 1 5 2 3 1 4 2 1 1 7 4 2 ,求A41 + A42 + A43 + A44 以及M41 + M42 + M43 + M44 . 1 8
解:(法1)直接计算.略. (法2)注意到行列式的第三行元素全为1,从而A41 + A42 + A43 + A44 可以看作是第三行 元素与第四行元素的代数余子式的乘积之和,从而为0. 3 2 2 4 5 3 1 2 (法3)由于所求的代数余子式与第四行元素的值无关,构造行列式 D = , 1 1 1 1 1 1 1 1 则A41 + A42 + A43 + A44 = D = 0. 注意到M41 = −A41 , M42 = A42 , M43 = −A43 , M44 = A44 ,故 M41 + M42 + M43 + M44 = −A41 + A42 − A43 + A44 3 5 = 1 −1 2 2 3 1 1 1 1 −1 4 2 = 18. 1 1
i=1 j =1
Aji = 0.从而所求行列式的值为1.
例 3.7 偶数阶反对称行列式的每个元素都加上同一个数后,行列式的值不变. 例 3.8 (浙大06)(1)把下列行列式表示成按x的幂次排列的多项式. a11 + x a12 + x a21 + x a22 + x ··· ··· a n1 + x a n2 + x ··· ··· ··· ··· a1n + x a2n + x ··· ann + x
a1n + b n ∑ n ∑ a2n + b =1+b Aji . ··· i=1 j =1 ann + b
记A = (aij )n×n ,由条件知AT = −A,故A∗ = A−1 .而 (A∗ )T = (A−1 )T = (AT )−1 = (−A)−1 = −A−1 = −A∗ 于是 ∑n ∑n
(法2)显然D可逆,且 1 1 1 ··· 0 1 1 · · · (D|E ) = 0 0 1 · · · . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ··· 即
1|1 1|0 1|0 . . . .|. .
0 ··· 0 ··· 1 ··· . . . . . . 1|0 0 0 · · · 0 1 0 . . .
n ∑ n ∑ i=1 j =1
Aij = n − (n − 1) = 1.
例 3.4 (北方交通大学2005)设n阶行列式 2 0 D= 0 . . .
n ∑ i,j =1
··· 0 0 0 ··· Aij .
2 1 0 . . .
2 1 1 . . .
··· ··· ···
2 1 1 , . . . 1
试求D的所有元素的代数余子式之和 例 3.5
a11 + x a12 + x · · · a21 + x a22 + x · · · . . . . . . . . . an1 + x an2 + x · · ·
a1n + x n ∑ n ∑ a2n + x = | a | + x Aij . ij . . .
··· ··· ··· . . . ···
0 0 0 . . . . 1
D −1
1 −1 0 0 1 −1 . . . . . = . . . . 0 0 0 0 0 0
0 0 . . .
, 1 −1 0 1
从而由D∗ = |D|D−1 可得