专题代数余子式求和
三阶代数余子式的计算例题
待求元素位置关系确定
1.利用代数余子式的性质来确定元素位置关系：代数余子式可以通过对矩阵的行列 式进行求解得到，而代数余子式的符号与元素位置有一定的关系。通过对已知元素 关系的分析，可以利用代数余子式的符号性质来确定未知元素的位置关系。
2.利用线性方程组求解：对于给定的已知元素关系，可以将其表示成线性方程组的 形式。通过对方程组的求解，可以得到未知元素的具体取值，从而确定位置关系。
行列式推导公式
在中，我们可以使用代数余子式来计算$n$阶行列式。对于三阶行列式，在计算过程中，我们首先计算出三个代数余子式，然后再按照公式进行求 和。而计算三阶代数余子式的方法，可以通过将矩阵中的对应行列去掉后得到的$2\times 2$矩阵的行列式乘上系数得到。具体的说，我们可以用 如下公式计算三阶代数余子式： A_{ij}=(-1)^{i+j} \begin{bmatrix} a_{( j-1)+(i-1)\times 2} & a_{( j-1)+(i-1)\times 2+1} \\ a_{( j-1)+i\times 2} & a_{( j-1)+(i+1)\times 2+1} \end{bmatrix}$$ 其中，$A_{ij}$表示第$i$行第$j$列的代数余子式，$a$为原矩阵。按照此方法计算出三个代数余子式后，我们就可以使用三个代数余子式按照公式 求和得到三阶行列式的值。此方法也可以扩展到更高阶行列式的计算中。
求解向量共面性：
三阶代数余子式 向量
共面性
计算三阶行列式：
三阶代数余子式 三阶行列式 几何问题
三阶代数余子式的应用和 计算方法
三阶代数余子式 线性方程组 逆矩阵 行列式
考研数学：线性代数知识点汇总
2019考研数学：线性代数知识点汇总摘要：尽管考研数学的考查内容各个学校的侧重点不一样，但是都是在考研大纲里面的更改。
因此，了解好考研数学的每一个小知识点，才能全面掌握考研数学。
就帮大家整理了一些线性代数的知识点，分享给在数学上犯愁的同学们。
►【行列式】1、行列式本质就是一个数2、行列式概念、逆序数考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。
3、二阶、三阶行列式具体性计算考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。
4、余子式和代数余子式考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。
5、行列式展开定理考研：核心知识点，必考！6、行列式性质考研：核心知识点，必考！小题为主。
7、行列式计算的几个题型①、划三角（正三角、倒三角）②、各项均加到第一列（行）③、逐项相加④、分块矩阵⑤、找公因这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。
考研：经常运用在找特征值中。
⑥数学归纳法⑦范德蒙行列式⑧代数余子式求和⑨构造新的代数余子式8、抽象型行列式（矩阵行列式）①转置②K倍③可逆③伴随④题型丨A+B丨；丨A+B-1丨；丨A-1+B丨型（这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容）考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察。
►【矩阵】1、矩阵性质考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。
2、数字型n阶矩阵运算①方法一：秩是1②方法二：含对角线上下三角为0的矩阵③方法三：利用二项式定理，拆写成E+B型④方法四：利用分块矩阵⑤方法五：P-1AP=B；P-1APP-1AP=B2方法五涉及相似对角化知识。
方法三涉及高中知识。
考研：常见在大题出现，是大题的第一问！看到数字型n阶矩阵运算，一定出自这5个方法。
（二战考上，如果本题不会做，你的问题出在只掌握这五种方法的某几种，所以你是失败在归纳总结上了）3、伴随矩阵考研：伴随矩阵常与其他知识考察，与行列式、转置、K倍、可逆、伴随的伴随结合考察。
代数余子式之和的性质及应用
) " " ) ’ " ( % …
， ) % $ " "
… … … … …
) " % ) ’ % …
， ) % $ " %
( " … ) % "
) ’ " ) * " 又： … ) % " + "
) * " ) * ’ … ) % ’ + ’
+ + " ’ … ) % " … … … … ) * % … ) % % + %
［摘要］ 给出有关代数余子式之和的几个性质并予以证明， 且给出利用代数余子式之和计算行列式的方法+ ［关键词］代数余子式； 行列式； 方式 ［中图分类号］ , % # % + ! % ［文献标识码］ ［文章编号］ （ ） % " " . / & ( ) " ! " " # " ) / " " % ) / " )
依第%行展开
" " " " " " "
5 0 %
0 0 3 % 2 3 % 2 3 % 2
5 0 0
5 0 / %% 5 0 / %! … 5 0 / %0
48%!8%!8…8%!348% ， !+ % ! 0 1 2 2 2 2 引理! 5 1 2
#6#
［ ］ ! ： 设
43 5 1 2
#6#
， （7 ， （< ， 则有 4 93 7 7 : ;3 < < % !… 0） % !… 0） %3
是一个负定二次型.
代数余子式与余子式
代数余子式与余子式求解器### 一、代数余子式代数余子式（Algebraic residue）是一种计算数学中复杂函数值的方法，是利用多项式的根和变换的十分有效的复杂函数的数值计算方法。
与多项式（常规）根据给定一些结果来求其一个多项式的函数值类似。
它要求用给定的根求得具有指定的函数值的多项式的反函数。
代数余子式的计算公式为：$$residue(P,x_i)=\frac{P(x_i)}{\prod_{j\neq i}(x_j-x_i)}$$其中，$P$为多项式，$x_i$为多项式 $P$ 的其中一个根，$x_j$为$P$的其他根。
### 二、余子式求解器余子式求解器是一种用于解决多项式系统的软件工具。
它的功能是根据输入的多项式方程组来求解多项式的根。
它的基本原理是使用代数余子式法计算多项式的根，并依据多项式系统的特征来筛选出有效根。
例如，考虑多项式方程组$$\begin{cases}x^2 + y^2 - 1 = 0 \\xy - 0.25 = 0\end{cases}$$余子式求解器将把这个方程组转化为一个代数余子式形式$$residue(P,x_i)=\frac{P(x_i)}{\prod_{j\neq i}(x_j-x_i)}$$依据上述代数余子式公式，我们可以根据以上输入的多项式方程组，求得 $x$ 的有效根：$$x = \pm \sqrt{\frac{1\pm 0.5}{2}} = \pm 0.866$$同样的，此时 $y$ 的有效根也可以求得：$$y = \pm \sqrt{\frac{1\mp 0.5}{2}} = \pm 0.633$$。
代数余子式和
代数余子式和区别主要在于：首先他们的指代是各不相同的，也就是行列式的阶如果越低的话就越容易计算，于是很自然的能够提出把高阶行列式转换为低阶行列式来计算；而代数余子式却指代的是n-1这类型的阶行列式。
其次是他们的特点和用处都是不同的。
通常在数学所学的线性代数当中，一个矩阵A，它的余子式（同时又称之为余因式），就是指代将A的某些行以及某些列去掉了之后，所余留下的一些方阵的行列式。
代数余子式表示方法用Cij表示aij的代数余子式，当i + j是偶数时，行列式取正号，是奇数则取符号。
比如三阶行列式中，C12的行列号之和是3，它对应的代数余子式取符号。
通过消元法计算是正确的选择，通常也应该这么做，实际上不难看出这个A是一个奇异矩阵，所以它的行列式等于0，现在用行列式的公式来验证这个结论。
根据公式， |A|的大多数展开项都等0，没有被淘汰的只有两项，二者相加等于0。
代数余子式和 2一、指代不同1.余数公式:行列式的阶数越低，越容易计算。
所以我们很自然的会问，一个高阶行列式能否转换成低阶行列式进行计算？2、代数余子式：在第n阶行列式中，去掉元素a的另一行和e列ₒₑI后，剩下的n－1阶行列式称为元素a－I的余子式二、特点不同1、余子式：关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k 阶子式所在的行与列之后得到的（n－k）×（n－k）矩阵的行列式。
2、代数余子式：元素aₒₑi的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素的位置有关。
简介A的一个k阶余子式是A去掉了m−k行与n−k列之后得到的k×k矩阵的行列式。
由于一共有k种方法来选择该保留的行，有k种方法来选择该保留的列，因此A的k阶余子式一共有 Ckm*Ckn个。
如果m=n，那么A关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k阶子式所在的行与列之后得到的(n-k)×(n-k)矩阵的行列式，简称为A的k阶余子式。
代数余子式和 3在n阶行列式中，把元素a所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ai的余子式，记作M，将余子式M再乘以-1的o+e次幂记为A，A叫做元素a的代数余子式。
不对应元素的代数余子式的乘积的和
《不对应元素的代数余子式的乘积的和》在代数学中，矩阵是一种常见的数学工具，它在各个领域都有着广泛的应用。
而矩阵的代数余子式则是矩阵运算中的重要概念之一。
本文将围绕“不对应元素的代数余子式的乘积的和”展开讨论，深入探究其数学原理和实际应用。
1. 代数余子式的概念和性质代数余子式是矩阵中的一个重要概念，通常用于求解矩阵的逆矩阵和计算行列式。
在一个给定的矩阵中，每个元素都对应着一个代数余子式，这个代数余子式是由该元素所在行和列组成的子矩阵的行列式。
如果一个矩阵中有$n$阶子式，那么对应的代数余子式就有$n$个。
值得注意的是，在代数余子式的乘积中，如果每个代数余子式的行列下标不相等，那么这些代数余子式的乘积就称为“不对应元素的代数余子式的乘积”。
2. 不对应元素的代数余子式的乘积的和的计算对于一个$n$阶矩阵来说，它的不对应元素的代数余子式的乘积的和可以表示为：$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}M_{ij}A_{ij}$$其中，$M_{ij}$表示矩阵$A$的代数余子式，$(-1)^{i+j}$为元素的符号，$A_{ij}$为矩阵$A$中对应位置的元素。
这样的计算方法能够全面考量矩阵中的各个元素，反映了代数余子式在矩阵运算中的重要作用。
3. 不对应元素的代数余子式的乘积的和的应用不对应元素的代数余子式的乘积的和在代数运算、线性代数和微积分等数学领域都有着重要的应用。
在代数方程求解中，可以利用代数余子式的乘积的和来计算系数矩阵的逆矩阵，进而求解线性方程组；在微积分中，这一概念也与二重积分、三重积分等密切相关，为多重积分的计算提供了重要的理论基础。
4. 个人观点和理解对于不对应元素的代数余子式的乘积的和，我个人认为它所蕴含的数学内涵非常丰富，既有着抽象的矩阵代数理论，又有着具体的应用价值。
通过对这一概念的深入研究和实际运用，可以更好地理解矩阵运算的本质，提高数学建模和问题求解的能力。
代数余子式的公式
代数余子式的公式好的，以下是为您生成的关于“代数余子式的公式”的文章：咱今天来聊聊代数余子式的公式，这玩意儿在数学里可有着重要的地位呢！先来说说啥是代数余子式。
想象一下，咱有一个大矩阵，从里面挑出一个元素，然后把这个元素所在的行和列都去掉，剩下的那些元素构成的小矩阵，再给这个小矩阵整个行列式，乘上个正负号，这就是那个元素的代数余子式啦。
代数余子式的公式看起来有点复杂，但是别怕，咱们一点点来。
假设在一个 n 阶矩阵 A 中，元素 aij 的代数余子式记为 Aij ，那么 Aij = (-1)^(i+j) × Mij ，这里的 Mij 就是去掉 aij 所在的行和列后剩下的元素构成的小矩阵的行列式的值。
给您举个例子吧。
比如说有个 3 阶矩阵 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] ，咱们要找元素 a23 的代数余子式 A23 。
先把第二行和第三列去掉，剩下的小矩阵就是 [1 2; 7 8] ，算出这个小矩阵的行列式值 M23 ，M23 =1×8 - 2×7 = -6 。
然后因为 i = 2 ，j = 3 ，i+j = 5 ，5 是奇数，所以 A23 = (-1)^5 × M23 = -(-6) = 6 。
您看，是不是通过这个例子能稍微明白点代数余子式的公式怎么用啦？我记得之前教学生的时候，有个学生怎么都搞不明白这个公式。
我就一遍遍地给他举例，让他自己动手算。
一开始他总是算错，愁得不行，我就在旁边耐心地引导他，告诉他每一步该怎么做。
终于，在经过多次练习后，他恍然大悟，那种成就感写在脸上，我也跟着特别开心。
再来说说代数余子式的公式在解线性方程组中的应用。
有时候咱们遇到那种一堆未知数的方程组，用代数余子式就能巧妙地把解给找出来。
比如说，对于一个 n 阶线性方程组，如果它的系数矩阵的行列式不为零，那咱们就可以用代数余子式来表示方程组的解。
在实际的数学学习和应用中，代数余子式的公式可帮了大忙。
线性代数性质公式整理
线性代数第一章 行列式一、相关概念 1.行列式——n 阶行列式|a 11a 12···a 1n a 21a 22···a 2n ············a n1a n2···a nn |是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积 a 1j 1a 2j 2···a nj n的代数和，这里j 1j 2···j n 是1，2，···n 的一个排列。
当j 1j 2···j n 是偶排列时，该项的前面带正号；当j 1j 2···j n 是奇排列时，该项的前面带负号，即 |a 11a 12···a 1n a 21a 22···a 2n ············a n1a n2···a nn|=∑(−1)τj 1j 2···j n j 1j 2···j n a 1j 1a 2j 2···a nj n (1.1) 这里∑ j 1j 2···j n 表示对所有n 阶排列求和。
式(1.1)称为n 阶行列式的完全展开式。
2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。
一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。
余子式和代数余子式
余子式和代数余子式：余子式和代数余子式的概念如下：在n阶行列式中，把所在的第i行与第j列划去后，所留下来的n-1阶行列式叫元的余子式。
在n阶行列式中，把元素a所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ai的余子式，记作M，将余子式M再乘以-1的o+e次幂记为A，A叫做元素a的代数余子式。
余子式和代数余子式的区别首先他们的指代是各不相同的，也就是行列式的阶如果越低的话就越容易计算，于是很自然的能够提出把高阶行列式转换为低阶行列式来计算；而代数余子式却指代的是n-1这类型的阶行列式。
其次是他们的特点和用处都是不同的。
通常在数学所学的线性代数当中，一个矩阵A，它的余子式（同时又称之为余因式），就是指代将A的某些行以及某些列去掉了之后，所余留下的一些方阵的行列式。
而相应的方阵在一些情况下会被称之为余子阵。
而另一种情况就是将方阵A的一行以及一列都去掉了之后，所得到的余子式，可以用来获得相应的一些代数余子式，后者这个代数余子式在计算方阵的行列式以及逆时会派上一些用场。
余子式和代数余子式的区别：指代不同、特点不同。
余子式和代数余子式区别解析指代不同余子式:行列式的阶越低越容易计算，于是很自然地提出，能否把高阶行列式转换为低阶行列式来计算。
代数余子式:在n阶行列式中，把元素ai所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ai的余子式。
特点不同余子式：关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k阶子式所在的行与列之后得到的(n-k)×(n-k)矩阵的行列式。
代数余子式：元素的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素的位置有关。
余子式的定义余子式是指一个矩阵A，将A的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式。
相应的方阵有时被称为余子阵。
又称余因式。
行列式的阶越低越容易计算，于是很自然地提出，能否把高阶行列式转换为低阶行列式来计算，为此，引入了余子式和代数余子式的概念。
在n阶行列式中，把所在的第i行与第j列划去后，所留下来的n-1阶行列式叫元的余子式。
线性代数性质公式整理
线性代数性质公式整理-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN线性代数第一章行列式一、相关概念1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。
当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即(1.1)这里表示对所有n阶排列求和。
式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。
2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。
一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。
用表示排列的逆序数。
3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。
4.2阶与3阶行列式的展开——，5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i 行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式称为的余子式，记为；称为的代数余子式，记为，即。
6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作。
二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。
2.两行互换位置，行列式的值变号。
特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。
4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|按i行展开的展开式|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则4.范德蒙行列式5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：；； |AB|=|A||B|；；；；若，则，且特征值相同。
代数余子式求法
代数余子式求法代数余子式是矩阵理论中的一个重要概念，用于计算矩阵的逆、行列式等相关运算。
代数余子式的求法是通过对矩阵中每个元素取代数余子式的方法进行计算。
代数余子式的定义给定一个n阶矩阵A，它的元素记为Aij，其中i表示行号，j表示列号。
矩阵A的第i行第j列的代数余子式记为Aij*，它等于删除第i行和第j列之后，剩余元素的行列式值乘以-1的i+j次方，即Aij* = (-1)^(i+j) * Mij，其中Mij表示矩阵A删除第i行和第j列之后剩余元素的行列式。
代数余子式的求法代数余子式的计算可以通过三种方法进行：直接法、附属式法和对角线法。
1. 直接法：直接法是通过求解子矩阵的行列式来计算代数余子式的值。
对于n阶方阵A，它的代数余子式Aij*可以通过以下步骤求解：a. 删除矩阵A的第i行和第j列，得到一个(n-1)阶的子矩阵B。
b. 计算子矩阵B的行列式值，记为det(B)。
c. 代数余子式Aij* = (-1)^(i+j) * det(B)。
2. 附属式法：附属式法利用矩阵的伴随矩阵来计算代数余子式的值。
对于n阶方阵A，它的代数余子式Aij*可以通过以下步骤求解：a. 计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)。
b. 代数余子式Aij* = Adj(A)ij。
3. 对角线法：对角线法是通过对角线元素的代数余子式值之和来计算矩阵的行列式。
对于n阶方阵A，它的代数余子式Aij*可以通过以下步骤求解：a. 将矩阵A的元素Aij与对应的代数余子式Aij*相乘，得到Aiij*。
b. 计算Aiij*的和，即为该矩阵的行列式值。
例如，对于2阶方阵A，它的行列式值为det(A) =A11*A11* + A12*A12*。
通过以上三种求法，我们可以计算出矩阵的代数余子式值，从而进行行列式、逆矩阵等相关运算。
代数余子式的应用代数余子式在线性代数和矩阵理论中有着广泛的应用。
其中，代数余子式在求解矩阵的逆矩阵时起着重要的作用。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的一种重要概念，也是解线性方程组的基础。
行列式的求解方法有很多，下面介绍几种比较常用的方法。
1. 代数余子式法代数余子式法是求解$n$阶行列式的一种常用方法。
假设有一个$n$阶行列式$A$，它的第$i$行、第$j$列元素为$a_{i,j}$，则记$A_{i,j}$为该行列式除去第$i$行和第$j$列后得到的$(n-1)$阶行列式，即：$$A_{i,j}=(-1)^{i+j}|A_{i,j}|$$其中，$|A_{i,j}|$表示该矩阵的余子式。
在求解行列式的时候，先选择行或列作为基准，计算出每个元素的代数余子式，然后进行相乘相加即可。
具体方法如下：$$det(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}A_{i,j}=\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}A_{i,j}$$根据公式可知，代数余子式法的时间复杂度为$O(n!)$，因此只能适用于小规模的行列式求解。
2. 行列式加边法行列式加边法是求解$n$阶行列式的另一种常用方法，它利用了矩阵的运算规律，通过添加等行等列来求解行列式值。
具体方法如下：（1）选择行或列中绝对值最大的元素，将该元素加入到行列式外面新添加一行或一列，然后依次将其它元素按矩阵运算法则进行变换；（2）此时，行列式的值等于新行列式减去外加行列后的新行列式；（3）依次将新加行列的元素还原到原来的位置，然后计算新添加元素的代数余子式求和即可。
这种方法的优点是时间复杂度较低，为$O(n^3)$。
缺点是需要进行大量的矩阵运算，计算过程较为繁琐。
3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的常用方法，也可以用来求解行列式。
假设有一个$n$阶行列式$A$，则克拉默法则的公式为：其中，$D_i$表示以第$i$列为基准的行列式值。
4. 三角分解法三角分解法是求解$n$阶行列式的一种高效方法，它可以分解为上三角和下三角矩阵的乘积，从而降低了计算复杂度。
该方法可以通过高斯列主元消元法来实现，具体流程如下：（1）按列主元消元法，将原始矩阵变换为上三角矩阵$U$；（2）计算对角线上的元素之积，即为行列式的值。
代数余子式
an1 anj ann
aiij 0 0
于是有 ai1, j ai1, j1 ai1,n aij Mij ,
故得
anj aaiijj
an, j1 0
ann 0
D 1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n 1 i j aijMij .
x1n1 x2n1 xnn1
证 用数学归纳法
11
D2 x1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
Dn
1
1
0
x2 x1
0 x2 ( x2 x1 )
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
代数余子式求和公式
代数余子式求和公式
第1行的代数余子式之和等于把原行列式的第1行元素换为1所得的行列式，第2行的代数余子式之和等于把原行列式的第2行元素都换为1所得的行列式。
①行列式a中某行或列用同一数k乘,其结果等于ka。
②行列式a等同于其单位矩阵行列式at（at的第i犯罪行为a的第i列）。
行列式的阶越低越容易计算，于是很自然地提出，能否把高阶行列式转换为低阶行列式来计算，为此，引入了余子式和代数余子式的概念。
在n阶行列式中，把所在的第i行及与第j列划去后，所残存的n-1阶行列式叫做元的余子式。
带有代数符号的余子式，计算元素的代数余子式时，首先要注意不要漏掉代数余子式所带的代数符号。
在n阶行列式中，把元素ai所在的第o行及和第e列划去后，残存的n-1阶行列式叫作元素ai的余子式，记作m，将余子式m再除以-1的o+e次幂记作a，a叫作元素a的代数余子式。
求代数余子式之和例题
求代数余子式之和例题摘要：1.代数余子式的概念及性质2.求代数余子式之和的常用方法3.例题解析4.总结与拓展正文：在代数学中，余子式与代数余子式是矩阵理论中的重要概念。
它们在矩阵的运算和矩阵方程的求解中有着广泛的应用。
本文将主要介绍代数余子式的概念及性质，求代数余子式之和的常用方法，并通过例题进行解析。
最后对本文内容进行总结和拓展。
1.代数余子式的概念及性质设矩阵A的阶数为n，A的代数余子式记为A[]，A的余子式记为A。
那么，A的代数余子式A[]定义为：A[] = |A| / |A|11 * A11其中，|A|表示矩阵A的行列式，|A|11表示矩阵A的第一行第一列元素的值。
2.求代数余子式之和的常用方法求代数余子式之和，实际上就是求矩阵A的代数余子式与对应的代数余子式的乘积之和。
设矩阵A为：A = [[a11, a12, a13],[a21, a22, a23],[a31, a32, a33]]那么，A的代数余子式之和M可以表示为：M = A[]11 + A[]22 + A[]333.例题解析例题1：求矩阵A的代数余子式之和。
A = [[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]解：首先计算矩阵A的行列式，得到|A| = 0。
然后计算A的各个代数余子式：A[]11 = 0 / 0 * 1 = 0A[]22 = 0 / 0 * 5 = 0A[]33 = 0 / 0 * 9 = 0所以，矩阵A的代数余子式之和M = 0。
4.总结与拓展本文对代数余子式的概念及性质进行了简要介绍，并重点讲解了求代数余子式之和的常用方法。
在实际应用中，掌握代数余子式的求解方法有助于解决矩阵相关问题。
此外，还可以进一步研究矩阵的其他性质，如行列式、秩、逆矩阵等，以提高矩阵运算的能力。
在实际求解矩阵代数问题时，注意灵活运用代数余子式的性质和求和方法，简化计算过程。
a的所有代数余子式的和
a的所有代数余子式的和在线性代数中，代数余子式与矩阵密切相关。
对于一个矩阵A，其代数余子式是指删除某一行（或列）后所得矩阵的代数余子式。
现在我们要讨论如何计算矩阵A的所有代数余子式的和。
假设矩阵A为：```a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33```首先，我们需要计算每一行的代数余子式。
以第一行为例，删除第一行后，所得矩阵B为：```a21 a22 a23a31 a32 a33```矩阵B的代数余子式为：```1 * a21 * a311 * a22 * a321 * a23 * a33```同理，我们可以计算出矩阵A的其他行的代数余子式。
然后，将所有行的代数余子式相加，即可得到矩阵A的所有代数余子式的和。
下面给出一个具体实例，计算矩阵A的所有代数余子式的和：```a = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]```1.计算第一行的代数余子式：删除第一行后，得到矩阵B：```2 5 67 8 9```矩阵B的代数余子式的和为：```1 *2 * 9 + 1 * 5 * 8 + 1 * 6 * 7```2.计算第二行的代数余子式：删除第二行后，得到矩阵C：```1 2 37 8 9```矩阵C的代数余子式的和为：```1 * 7 * 9 + 1 * 8 * 3 + 1 *2 * 7```3.计算第三行的代数余子式：删除第三行后，得到矩阵D：```1 2 37 8 9```矩阵D的代数余子式的和为：```1 * 7 * 8 + 1 * 8 * 3 + 1 *2 * 9```4.计算矩阵A的所有代数余子式的和：将矩阵A的每一行的代数余子式相加，得到：```(1 * 2 * 9 + 1 * 5 * 8 + 1 * 6 * 7) + (1 * 7 * 9 + 1 * 8 * 3 + 1 * 2 * 7) + (1 * 7 * 8 + 1 * 8 * 3 + 1 * 2 * 9)```将上述结果相加，得到矩阵A的所有代数余子式的和为：```113```因此，矩阵A的所有代数余子式的和为113。
所有元素的代数余子式之和怎么求
所有元素的代数余子式之和怎么求
所有元素的代数余子式之和怎么求：第1行的代数余子式之和等于把原行列式的第1行元素都换为1所得的行列式。
第n行的代数余子式之和等于把原行列式的第n行元素都换为1所得的行列式。
所有代数余子式之和就是上面n个新行列式之和一般不会让你求所有的吧，一般都是求A11+A12+A13+A14这种的。
所有元素的代数余子式之和，因为代数余子式Aij与对应元素aij 毫无关系，所以可以改变代数余子式对应行或列的元素的值，使其刚好为代数余子式的系数，此时，代数余子式之和等于新的行列式的值。
所有元素的代数余子式之和，在一个n级行列式D中,把元素aij (i,j=1,2,.n)所在的行与列划去后,剩下的(n-1)^2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij,称为元素aij的余子式,Mij带上符号(-1)^(i+j)称为aij的代数余子式,记作Aij=(-1)^(i+j)Mij
元素：数学领域中组成集的对象
所有元素的代数余子式之和，现代数学集合论中，元素是组成集的每个对象。
换言之，集合由元素组成，组成集合的每个对象被称为组成该集合的元素。
例如：集合1，2，3中1，2，3都是集合的一个元素。
代数余子式计算公式
代数余子式计算公式
代数余子式计算公式是一种用于计算矩阵的代数余子式的公式。
代数余子式是矩阵中某个元素的代数余子式。
要计算矩阵A的代数余子式，我们需要选择一个元素，然后将其所在的行和列划去，剩下的部分构成一个新的矩阵，称为余子式。
接下来，我们需要计算余子式的行列式，然后乘以正负符号，最后得到的结果就是此元素的代数余子式。
假设我们要计算矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式，可以用M(A[i,j])表示。
则计算公式如下：
M(A[i,j]) = (-1)^(i+j) * det(A[i,j])
其中，(-1)^(i+j)表示正负符号，i和j分别表示元素所在的行和列，det(A[i,j])表示余子式的行列式。
通过使用代数余子式计算公式，我们可以方便地计算矩阵的代数余子式，从而用于求解矩阵的逆、解线性方程组等数学问题。
需要注意的是，代数余子式计算公式适用于方阵。
对于非方阵，我们可以将其扩展为方阵，然后应用代数余子式计算公式进行计算。
总之，代数余子式计算公式是一种用于计算矩阵代数余子式的方法，通过选择元素并计算余子式的行列式，我们可以得到矩阵中任意元素的代数余子式。
这个公式在数学中有广泛的应用，特别是在线性代数和矩阵理论中。
代数余子式的性质
代数余子式的性质代数余子式，是指在n阶行列式中，把元素aₒₑi所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式与-1的o+e次幂的积。
一个元素aₒₑi的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素的位置有关。
定义在n阶行列式D中划去任意选定的k行、k列后，余下的元素按原来顺序组成的n-k阶行列式M，称为行列式D的k阶子式A的余子式。
如果k阶子式A在行列式D中的行和列的标号分别为i1，i2，…，ik和j1，j2，…，jk。
则在A的余子式M前面添加符号：后,所得到的n-k阶行列式，称为行列式D的k阶子式A 的代数余子式。
例题分析例1在五阶行列式[1]中，划定第二行、四行和第二列、三列，就可以确定D 的一个二阶子行列式A的相应的余子式M为：子行列式A的相应的代数余子式为：例2一个元素的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素所在的位置有关。
例如在行列式[4]中，将该行列式中1行1列元素a换成b，其代数余子式都是求元素的代数余子式时，要特别注意余子式前面的符号（-1）的i+j次方。
带有代数符号的余子式称为代数余子式，计算元素的代数余子式时，首先要注意不要漏掉代数余子式所带的代数符号[5]。
计算某一行(或列)的元素代数余子式的线性组合的值时，尽管直接求出每个代数余子式的值，再求和也是可行的，但一般不用此法，其原因是计算量太大，注意到行列式D中元素的代数余子式与的值无关，仅与其所在位置有关，利用这一点，可将D的某一行(或列)元素的代数余子式的线性组合表示为一个行列式，而构造这一行列式是不难的，只需将其线性组合的系数替代D的该行(或该列)元素，所得的行列式就是所要构造的行列式，再应用下述行列式的展开定理，即命题1和命题2，就可求得的值。
命题 1n阶行列式等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和：命题2n阶行列式的任一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零：例3已知2n阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a，求D。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ann + x 4 高等代数资源网
◇※☆■◇◇※☆■◇
专题:代数余子式求和 证明: (法1)按照一行(列)依次展开. (法2)设A = (aij ),则 x ) ( . ( 左边 =|A + . . 1 · · · 1 | = |A| + 1 · · · x n ∑ n ∑ =|aij | + x Aij .
试求D的所有元素的代数余子式之和 例 3.5
a11 + x a12 + x · · · a21 + x a22 + x · · · . . . . . . . . . an1 + x an2 + x · · ·
a1n + x n ∑ n ∑ a2n + x = | a | + x Aij . ij . . .
例 3.2 (湖南大学2008)已知5阶行列式 1 2 D5 = 3 1 4 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 4 1 4 2 5 5 1 5 = 27. 2 0
计算A41 + A42 + A43 + A44 + A45 以及A41 . 解:(1)首先计算A41 + A42 + A43 + A44 + A45 . (法1) 1 2 = 3 1 4 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 4 1 4 1 5 5 1 5 = 9. 1 0
(法2)显然D可逆,且 1 1 1 ··· 0 1 1 · · · (D|E ) = 0 0 1 · · · . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ··· 即
1|1 1|0 1|0 . . . .|. .
0 ··· 0 ··· 1 ··· . . . . . . 1|0 0 0 · · · 0 1 0 . . .
专题:代数余子式求和
高等代数资源网 August 25, 2013
1 声明
您现在看到的这份文件来自.本站原创的内容，采用创作共用组 织（Creative Commons）的“公共领域”（Public Domain）许可。即放弃一切权利，全 归公共领域。但涉及到其他版权人的摘录、转载、投稿、翻译等类内容不在此列。 本文的内容仅供学习参考之用,作者不对内容的正确性作任何承诺,作者不对因使用本 文而造成的一切后果承担任何责任. 关于如何使用本文的建议:首先保证自己认真做了一遍题目,否则请不要查看本文.记 住: 别人做是别人的，自己做才是自己的 . 作者水平有限,错误不可避免,欢迎您来信指出:www52gdorg@. 休息一下，欣赏美图，马上开始。
i=1 j =1
Aji = 0.从而所求行列式的值为1.
例 3.7 偶数阶反对称行列式的每个元素都加上同一个数后,行列式的值不变. 例 3.8 (浙大06)(1)把下列行列式表示成按x的幂次排列的多项式. a11 + x a12 + x a21 + x a22 + x ··· ··· a n1 + x a n2 + x ··· ··· ··· ··· a1n + x a2n + x ··· ann + x
3 应用
3 5 例 3.1 设|A| = 1 5 2 3 1 4 2 1 1 7 4 2 ,求A41 + A42 + A43 + A44 以及M41 + M42 + M43 + M44 . 1 8
解:(法1)直接计算.略. (法2)注意到行列式的第三行元素全为1,从而A41 + A42 + A43 + A44 可以看作是第三行 元素与第四行元素的代数余子式的乘积之和,从而为0. 3 2 2 4 5 3 1 2 (法3)由于所求的代数余子式与第四行元素的值无关,构造行列式 D = , 1 1 1 1 1 1 1 1 则A41 + A42 + A43 + A44 = D = 0. 注意到M41 = −A41 , M42 = A42 , M43 = −A43 , M44 = A44 ,故 M41 + M42 + M43 + M44 = −A41 + A42 − A43 + A44 3 5 = 1 −1 2 2 3 1 1 1 1 −1 4 2 = 18. 1 1
··· ··· ··· . . . ···
0 0 0 . . . . 1
D −1
1 −1 0 0 1 −1 . . . . . = . . . . 0 0 0 0 0 0
0 0 . . .
, 1 −1 0 1
从而由D∗ = |D|D−1 可得
n ∑ n ∑ i=1 j =1
Aij = n − (n − 1) = 1.
例 3.4 (北方交通大学2005)设n阶行列式 2 0 D= 0 . . .
n ∑ i,j =1
··· 0 0 0 ··· Aij .
2 1 0 . . .
2 1 1 . . .
··· ··· ···
2 1 1 , . . . 1
a1n + b n ∑ n ∑ a2n + b =1+b Aji . ··· i=1 j =1 ann + b
记A = (aij )n×n ,由条件知AT = −A,故A∗ = A−1 .而 (A∗ )T = (A−1 )T = (AT )−1 = (−A)−1 = −A−1 = −A∗ 于是 ∑n ∑n
1 0 0 0 0 → 0 . . . . . . 0 1 ··· ··· . . . ··· ···
0 1 0 . . .
0 ··· 0 ··· 1 ··· . . . . . . 0 0 ··· 0 0 . . .
0|1 −1 0 0|0 1 −1 0|0 0 1 . . . . . . .|. . . . . 1|0 0 0
n ∑ n ∑ i=1 j =1
5 1 5 = −A41 − A42 − A43 + A44 + A45 . 1 0
由此可得A44 + A45 = 18,故 A41 + A42 + A43 + A44 + A45 = A41 + A42 + A43 + 2A44 + 2A45 − A44 − A45 = 27 − 18 = 9. (法3) 2(A41 + A42 + A43 ) + (A44 + A45 ) = 0, (A41 + A42 + A43 ) + 2(A44 + A45 ) = D5 = 27, 解得A44 + A45 = 18,故 A41 + A42 + A43 + A44 + A45 = 9. (2)下面计算A41 . (法1)直接计算A41 2 2 =− 1 3 3 2 2 1 4 1 4 5 5 1 = −3. 5 0
i=1 j =1
x ) ∗ . 1 A . . x
例 3.6 ( 南开04)设n阶行列式 a11 a21 ··· an1 a12 a22 ··· an2 ··· ··· ··· ··· a1n a2n =1 ··· ann
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
且满足aij = −aji , i, j = 1, 2, ..., n.对任意数b,求n阶行列式 a11 + b a12 + b a21 + b a22 + b ··· ··· an1 + b an2 + b 解: a11 + b a12 + b a21 + b a22 + b ··· ··· an1 + b an2 + b ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· a1n + b a2n + b =?. ··· ann + b
(2)把行列式D的所有元素都加上同一个数,则行列式所有元素代数余子式之和不变. ◇※☆■◇◇※☆■◇ 5 高等代数资源网
专题:代数余子式求和 证明: (1)略.
(2)设D = |aij |,记D(a) = |aij + a|,M, N 分别表示D, D(a)的所有元素的代数余子式之 和.则 |aij + (a + x)| = D + (a + x)M |(aij + a) + x| = D(a) + xN = D + aM + xN 于是(a + x)M = aM + xN.当x = 1时可得M = N. 例 3.9 (上海大学2011)(1)设X.Y ∈ F n , A ∈ F n×n ,证明:det(A + XY T ) = det(A) + Y T A∗ X ; (2)利用(1)的结论证明:如果n阶方阵A的行列式为1,det(A + J ) = 2,其中J 为n阶方阵, 且矩阵中的元素都是1,则A∗ 的所有元素之和为1. 例 3.10 (北京工业大学2012)将n(自然数n ≥ 2)阶实矩阵A的第一行的−1倍加到其余 所有行上,得到矩阵A1 ,将A1 的第一列的−1倍加到其余所有列上,得到矩阵A2 ,将A2 的第一 行,第一列删掉,得到矩阵A3 .记f (x1 , x2 , · · · , xn ) = X T A∗ X (其中,行向量X T = (x1 , x2 , · · · , xn ), A∗ 是A的伴随矩阵).证明:当xi = 1(i = 1, 2, · · · , n)时,f (1, 1, · · · , 1) = |A3 |.(提示:可考 虑A + J 及其行列式|A + J |,其中,J 表示所有元素都是1的n阶方阵). 证明:设 a11 a12 · · · a21 a22 · · · A= . . . . . . . . . an1 an2 · · · 首先,易知 f (1, 1, · · · , 1) = 其中Aij 是aij 的代数余子式. a1n a2n , . . . ann (1) (2)