高中数学函数求参数范围2018年高三专题复习-函数专题

高中数学函数求参数范围问题解决方法及针对性练习

2018年高三专题复习-函数专题（4）

一、变换“主元”思想，适用于一次函数型

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例1.对于满足04≤≤p 的一切实数p ，不等式x 2+px>4x+p-3恒成立，求x 的取值范围．

分析：习惯上把x 当作自变量，记函数y= x 2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p []4,0∈时y>0恒成立，求x 的范围．若把x 与p 两个量互换一下角色，即p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题．

解：设f(p)=(x-1)p+x 2-4x+3，当x=1显然不满足题意．由题设知当04≤≤p 时f(p)>0恒成立，

∴f(0)>0,f(4)>0即x 2-4x+3>0且x 2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x 的取值范围为x>3或x<-1．

例2．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

答案：),3()1,(+∞-∞ 。

例3．若不等式)1x (m 1x 22

->-，对满足2m 2≤≤-所有的x 都成立，求x 的取值范围。

答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛++-231271， 注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为⎩⎨⎧>>0)(0

)(βαf f 。

二、分离变量

对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

例1．若对于任意角θ总有sin cos 22410θθ++-

分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得m (cos )cos 242θθ+<，

又cos θ+>20，则原不等式等价变形为222m <+cos cos θθ恒成立．即2m 必须小于cos cos 22θθ+的最小

值，问题化归为求cos cos 22θθ+的最小值．因为cos cos 22

θ

θ+2cos 4)2(cos 4)2(cos 2+++-+=θθθ

4cos 24440cos 2

θθ=++

-≥-=+ 即cos θ=0时，有最小值为0，故m <0．

例2．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

解： 将问题转化为x

x x a 2

4-<对]4,0(∈x 恒成立。

令x

x x x g 2

4)(-=

，则min )(x g a < 由14

4)(2

-=

-=x

x

x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0

例3．已知二次函数x ax )x (f 2

+=，如果x ∈［0，1］时1|)x (f |≤，求实数a 的取值范围。

解：x ∈［0，1］时，1)x (f 11|)x (f |≤≤-⇔≤，即1x ax 12

≤+≤-

①当x=0时，a ∈R

②当x ∈]10(，时，问题转化为⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≥1x ax 1x ax 22恒成，由

x 1x 1a 2--≥恒成立，即求x 1x 12--的最大值。设4121x 1x 1x 1)x (u 2

2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=。因)

x (u )1[x

1]10(x ，，，，∞+∈∈为减函数，所以当x=1时，2)x (u max -=，可得2a -≥。

由

x 1x 1a 2-

≤恒成立，即求x 1x 12-的最小值。设4121x 1x 1x 1)x (v 2

2-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=。因

)

x (v )1[x

1

]10(x ，，，，∞+∈∈为增函数，所以当x=1时，0)x (v min =，可得a ≤0。 由①②知0a 2≤≤-。

评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：

①f(x)≥g(k) ⇔ [f(x)]min ≥g(k) ②f(x)> g(k) ⇔ g(k) < [f(x)] min ③f(x)≤g(k) ⇔ [f(x)] max ≤g(k) ④f(x)

1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方； 2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。

例1．设]04[，

-∈x ，若不等式a x x x -+<--13

4

)4(恒成立，求a 的取值范围． 分析与解：若设函数)4(1x x y --=，则

)0(4)2(12

12≥=++y y x ，其图象为上半圆．设函数a x y -+=13

4

2，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，

依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心)0,2(-到直线

03334=-+-a y x 的距离25

|

338|>-+-=

a d 且01>-a 时成立，即a 的取值范围为5-

例2．当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a 的取值范围。

解：设T 1:()f x =2(1)x -,T 2:()log a g x x =,则T 1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x ∈(1,2), ()f x <()g x 恒成立即T 1的图象一定要在T 2的图象所的下方，显然a>1,并且