2012福建厦门中考数学

厦门市2012年初中毕业及高中阶段各类学校招生考试
数学试题
一、选择题 (本大题有 7 小题，每小题3分，共21分。

每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的)
1.(2012厦门，1，3分）-2的相反数是 ( )
A.2
B.-2
C.2±
D.
1 2 -
答案:A．
2. (2012厦门，2，3分）下列事件中，是必然事件的是 ( )
A.抛掷 1 枚硬币，掷得的结果是正面朝上
B.抛掷 1 枚硬币，掷得的结果是反面朝上
C.抛掷 1 枚硬币，掷得的结果不是正面朝上就是反面朝上
D.抛掷 2 枚硬币，掷得的结果是 1 个正面朝上与 1 个反面朝上
答案:C．
3. (2012厦门，3，3分）图 1是一个立体图形的三视图，则这个立体图形是 ( )
A.圆锥
B.球
C. 圆柱
D. 三棱锥
答案:A．
4.(2012厦门，4，3分）某种彩票的中奖机会是 1%，下列说法正确的是 ( )
A.买一张这种彩票一定不会中奖
B. 买 1张这种彩票一定会中奖
C.买 100张这种彩票一定会中奖
D.当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在 1%
答案:D．
5.(2012厦门，5，3分）1
x-x的取值范围是（）
A.1
x> B.1
x≥ C. 1
x< D.1
x≤
答案:B．
规律总结：二次根式有意义，令被开方数大于或大于0，转化为解不等式的问题．
关键词：二次根式 一元一次不等式Δ
6. (2012厦门，6，3分）如图 2，在菱形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，若∠BAC =50°，则∠ABC 等于 ( )
A.40°
B.50°
C.80°
D.100° 答案:C ．
7. (2012厦门，7，3分）已知两个变量x 和y ，它们之间的 3组对应值如下表所示
x - 1 0 1 y
- 1
1
3
则y 与x 之间的函数关系式可能是 ( )
A.y x =
B.21y x =+
C.21y x x =++
D.3y x
=
答案:B ．
二、填空题 (本大题有 10小题，每小题4分，共40分) 8. (2012厦门，8，4分）计算：32a a -= ． 答案:a
9. (2012厦门，9，4分）已知∠A =40°，则∠A 的余角的度数是 ． 答案:50°．
10. (2012厦门，10，4分）计算：32m m ÷= ． 答案:m
11. (2012厦门，11，4分） 在分别写有整数 1 到 10 的 10张卡片中，随即抽取 1 张卡片，则该卡片的数字恰好是奇数的概率是 ． 答案:12
．
12. (2012厦门，12，4分）如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，若OB =3，则 OC = ．
答案:3．
13. (2012厦门，13，4分）“x 与y 的和大于 1”用不等式表示为 ． 答案:1x y +>．
14. (2012厦门，14，4分）如图 4，点D 是等边△ABC 内的一点，如果△ABD 绕点A 逆时针旋转后能与△ACE 重合，那么旋转了 度．
答案:60°．
15. (2012厦门，15，4分）五边形的内角和的度数是 ． 答案:540°． 16. (2012厦门，16，4分）已知2a b +=，1ab =-，则33a ab b ++= ，22a b += ． 答案:6
17. (2012厦门，17，4分）如图 5，已知∠ABC =90°，AB r π=，2
r
BC π=
，半径为 r 的
⊙O 从点A 出发，沿A B C →→方向滚动到点 C 时停止。

请你根据题意，在图 5上画出圆心O 运动路径的示意图；圆心O 运动的路程是 ．
答案:2r π
三、解答题 (本大题有 9 小题，共89分)
18. (2012厦门，18①，6分）(1)计算：204(2)(1)4÷-+-⨯； 解:204(2)(1)42111÷-+-⨯=-+⨯=-．
(2012厦门，18②，6分）(2)画出函数1y x =-+；
解：当x =0时，y =1；当y =0时，x =1,∴函数1y x =-+的图象是经过（0，1），（1，0）两点的一条直线，图像如下图：
(2012厦门，18③，4分）(3)已知：如图 6，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，∠A =∠D ，AC = DF ，且AC ∥DF . 求证：△ABC ≌△DEF ．
证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACB =∠DFE ，∵∠A =∠D ，AC = DF ，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．
19. (2012厦门，19，7分）解方程组：342 1.
x y x y +=⎧⎨
-=⎩，
解：两个方程相加得55x =，1x =，代入第一个方程得1y =，∴方程组的解为1
1x y =⎧⎨
=⎩
．
20. (2012厦门，20，7分）已知：如图7，在△ABC 中，∠C =90°，点 D 、E 分别在边 AB
、
x
y
O
1
1
AC 上，DE ∥BC , DE =3 ,BC =9. (1)求
AD
AB
的值； (2)若BD =10，求sin A 的值.
解：（1）∵DE ∥BC ，DE =3 ,BC =9，∴△AED ∽△ACB ，∴1
3
AD DE AB BC == （2）∵
13AD AB =，BD =10，∴1103AD AD =+，∴AD =5，∵∠C =90°，∴sinA=3
5
ED AD =．
21．(2012厦门，21，7分）已知A 组数据如下：0，1，- 2，- 1，0，-1，3. (1)求A 组数据的平均数；
(2)从A 组数据中选取5个数据，记这5个数据为B 组数据。

要求B 组数据满足两个条件：①它的平均数与A 组数据的平均数相等；②它的方差比A 组数据的方差大. 你选取的B 组数据是 ，请说明理由. 【注：A 组数据的方差的计算式是：
2
222222212345671[()()()()()()()]7A S x x x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+-】
解：（1）1
(0121013)07
A x =+--+-+=
（2）1，- 2，- 1，-1，3
∵1
(12113)07
B x =---+=，∴A B x x =
∵22222222116(0121013)77A S =++++++=，2
22222116(12113)55
B S =++++=
∴22
B A
S S >，∴数据1，- 2，- 1，-1，3符合题意．
22. (2012厦门，22，9分）工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需用x 小时，乙车床需用2(1)x -小时，丙车床需用(22)x -小时.
(1)单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车床的2
3
，求乙车床单独加工完成这
种零件所需的时间；
(2)加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同？请说明理由.
解：（1）由题意得2
(22)3x x =-，4x =，∴乙车床单独加工完成这种零件所需的时间为
24115-=小时
（2）若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，则
2
11
22
1x x =
--，2122x x -=-，2(1)0x -=，x =1,经检验x =1是增根，舍去，∴乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不能
相同．
23. (2012厦门，23，9分）已知：如图 8，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 交AB 于E ，∠BCD =∠BAC . (1)求证：AC =AD ；
(2)过点C 作直线CF ，交AB 的延长线于点F ，若∠BCF =30°，则结论“CF 一定是⊙O 的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例.
解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCD +∠ECA =90°，∵∠BCD = ∠BAC ，∴∠BAC +∠ECA =90°，∴∠CEA =90°，∴AB ⊥CD ，∴CE =DE ，∴AC=AD （2）不正确．连接OC ，当∠CBO =50°时，∵OC =OB ，∴∠OCB=∠OBC =50°，∴∠FCO =30°+50°=80°≠90°，∴FC 不是⊙O 的切线．
24. (2012厦门，24，9分）如图 9，在平面直角坐标系中，已知点A (2，3)、B (6，3)，连结AB . 如果点P 在直线y=x -1，且点P 到直线AB 的距离小于 1，那么称点P 是线段AB 的“邻近点”.
(1)判断点C (72
，52
)是否是线段AB 的“邻近点”，并说明理由； (2)若点Q (m ，n )是线段AB 的“邻近点”，求m 的取值范围.
解：（1）∵点C 到直线AB 的距离为5
30.512
-
=<，∴点C 是线段AB 的“邻近点”. （2）由题意得1n m =-，点Q 到直线AB 的距离为34n m -=-，当41m -=时，5m =或3m =，∴当35m <<时，点Q (m ，n )是线段AB 的“邻近点”
．
25. (2012厦门，25，10分）已知□ABCD ，对角线AC 和 BD 相交于点0，点P 在边AD 上，过点P 作PE ⊥ AC 、PF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，PE =PF .
(1)如图 10，若3PE =，EO =1，求∠EPF 的度数；
(2)若点P 是AD 的中点，点F 是DO 的中点，324BF BC =+-，求BC 的长.
解：（1）连接PO ，∵PE ⊥ AC ，3PE EO =1，∴3
tan 3
EO EPO PE ∠===
,∴∠OPE =30°, ∵PE =PF , PF ⊥BD ,同理∠OPF =30°，∴∠EPF =60°
（2）∵点P 是AD 的中点，点F 是DO 的中点，∴PF ∥AC ，1
2
PF AO =
，∵PF ⊥BD ， ∴AC ⊥BD ，∴□ABCD 为菱形，∵PE ⊥ AC ，∴PE ∥BD ，∴△AEP ∽△AOD ，∴
1
2
EP AP OD PD ==，∴12EP OD =，∵PE =PF ，∴AO OD =，∴AC BD =，∴□ABCD 为正方
形，设OF x =，则2BO x =，22BC x =，∴322324x x =+，(322)2(322)x -=-， ∴2x =224BC x ==．
26. (2012厦门，26，12分）已知点A (1，c )和点B (3，d )是直线1y k x b =+与双曲线2
2(0)k y k x
=
>的交点. (1)过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为 M ，连结BM . 若AM= BM ，求点B 的坐标. (2)若点P 在线段AB 上，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，并交双曲线2
2(0)k y k x
=
>于点
N . 当
PN
NE
取最大值时，有12PN =，求此时双曲线的解析式.
解：（1）如图1，画BH ⊥x 轴于H ,由题意得21k c =
，23
k
d =，∴3c d =，∵AM ⊥x 轴, AM= BM ，
∴c =
∴3d =2294d d =+,∵0d >,
∴d =
∴B
)
(2)如图2，由（1）得，A （1
）
，∴113k b k b =+=+
，1k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
，∴直线AB
解析式为y =+设P （m
，+13m ≤≤），N （m ，2k m
），
∴2k PN m =+，
NE=2k m
，∴2222212)1PN m NE ==-，当2m =时，PN
NE
取最大值，
∴2122k PN ==
，∴21k =
，∴此时双曲线的解析式为y =。