利用极坐标计算二重积分(解答)

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利用极坐标系计算二重积分

π 2 π 2 a cos θ 0
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n

用极坐标计算二重积分

D
x 2 y 2 4 dxdy
D1 D2
o
2
x

D1

(4 x 2 y 2 )dxdy
2
D2

( x 2 y 2 4)dxdy
3

0 0
d
2
( 4 ) d d
3
2
0 2
3 3
2
( 2 4 ) d
41 2 (4 )d 2 ( 4 )d . 0 2 2

2 3a 1 a . [ sin6 ] 6 0 4 2 6
2

作变换 x u, v , y u, v , 其中 C
1
2 u , v R
,
C
1
,
且
x, y u v 0 u, v u v f x, y d x, y f u , v , u , v u, v dudv

2

例 4．球体 x 2 y 2 z 2 a 2 被圆柱面 x 2 y 2 ax (a 0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.
解：由对称性，得
z
x 2 y2 z 2 a 2
V 2

D
a 2 x 2 y 2 dxdy
4
D1

a 2 x 2 y 2 dxdy
2 3
例 2．将二次积分
0 dx 1 x
1
1 x 2
f ( x , y )dy 化为极坐标
下的二次积分.

利用极坐标系计算二重积分%

二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r 1 ( )
r 2 ( )
,
D
1 ( ) r 2 ( ).
o

A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d

2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr .
区域特征如图
r ( )
,
0 r ( ).

o
D

A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d

( )
0
f ( r cos , r sin )rdr .
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
0 2,
区域特征如图
r 1 ( )
D
,
r 2 ( )
1 ( ) r 2 ( ).

o

A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d

2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr .
二重积分化为二次积分的公式（２）
故
e
D
y x y x
1 dxdy e dudv 2 D
u v
u v
1 2 1 dv e du (e e 1 )vdv e e 1 . v 2 0 2 0
2 v
例2
计算
D
x2 y2 1 2 2 dxdy , 其中 D 为 a b

-二重积分在极坐标下的计算法及应用

rk rk
k

1 2
rk2
k
rk rk k
又rkkxy
k
r cos rksinrk
所以面积元素为 d r dr d
f (x, y) d f (r cos, r sin ) r drd
D
D
6
二、极坐标系下二重积分的计算公式
e(x2 y2 )dxdy
R2
( ex2 dx)2
4I 2.
13
作如下三个平面区域
D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {(x, y) | R x R, R y R}
D
y
半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解用极坐标计算,
e x2 y2dxdy er2 rdrd
Hale Waihona Puke raoax
D
D

2
d
a er2 r dr
2
d
a er2 rdr
0
0
0
0
2 [ 1 2
a er2 d(
0

r2 )]

2
(
4
44
4
由夹逼准则,
即
I ex2 dx .
0
2
15
sin( x2 y2 )
例2 计算二重积分
D
dxdy , x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
y

3.2.2极坐标系下二重积分的计算

D
D

＝ 2 d
2a cos
4a2 2 d
0
0
＝8 a3

2 (1 sin3 )d
＝ 8 a（3 － 2）
30
3 23
4a2 x2 y2dxdy， D : x2 y2 2ax,( y 0)
D
•几何意义
4a2 x2 y2dxdy 是球面 z 4a2 x2 y2，
1,
1x

1
sin cos
D :1 x y 1 x2 , 0 x 1，
于是
D:
1
1, 0
sin cos
2
y
1

1
sin cos
f ( x, y)d
D

1
2 d 0
1
f cos , sin d
D
圆柱面 y 2ax x2 , xOz面及xOy面所围成
z
的立体的体积.
顶：z 4a2 x2 y2 O
y
2a
D
x
小结
一、利用极坐标将二重积分化为二次积分
若积分区域
D :1( ) 2( ), D
面积元素 d dd
1( )
须划分为四个子域注意到圆考虑在极坐标下求二重积分极坐标下面积元素用极坐标曲线网常数同心圆族常数射线族来划分积分域
3.2.2 极坐标下的二重积分计算
有些二重积分在直角坐标系下计算比较复杂或无法计算，就需要尝试在其他坐标系下来处理.
问题：
计算 f (x, y)d 其中D :1 x2 y2 4. D 在直角坐标系下，若把积分区域看作X型，

在极坐标系下计算二重积分

解: (1) 利用对称区间奇偶性，得 I x2dxdy D
Q D x 2d xdy D y 2dyd x
y
I1 (x2y2)dxdy 2D
D o 1x
1 2d 1r3dr
20 0
4
二重积分
综合题：计算 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D

o
A

D
f
(x,

y)dxdy d
2()f(rcos,
1()
rsin)rdr.
二重积分
例 1 计算 x2 y2 d ， D {( x, y) | 2 x2 y2 4 2}．
D
y
解：D 在极坐标系下可表示为
{ ( r ,) |0 2 , r 2 }
O
x
x2 y2d r rdrd
D
D

2d 2r2dr
0

2
0
r3
(
3
)
|2
d

2 7 3d 1 4 4
03
3
二重积分
例2. 计算 (x2y2)dxdy, 其中D 为由圆 x2 y2 2y, D
x2 y2 4y及直线 y 3x 0, x 3y 0, 所围成的
x
x y
1 x2 y2
是关于Y的奇函数，
D
xy 1x2 y2
dxdy0
D
xy1 1x2 y2
dxdy

D
1 1x2 y2
dxdy
2

2d
0
1r 0 1r2 dr

9-22-利用极坐标计算二重积分

［Y－型区域］: c y d , 1( y) x 2( y).
d
d
x 1( y) c
D
x 2( y)
x 1( y) D
c
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
例 6
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
- 1- x2 y 1- x2 ,
o
y
-1 x 1 x
1
1 x2
1
I dx
dy f ( x, y, z)dz
1 1 x2
x2 y2
例4
计算
(1
dxdydz x y
z)3
其中为平面 x0 y0
z
1
z0 xyz1 所围成的四面体
解积分区域可表示为:
o
y
1
1
x
{(x y z)| 0z1xy 0y1x 0x1}
D
a2 x2 y2 b2,0 a b.
解 D：a r b，0 2 .
x2 y2d
D
2
0
d
abr
rdr
2
1 3
(b3
a3
)
2
3
(b3
a3
)
例4.
求
1
dx
0
x x2
(
x2
y
2
)
1 2
dy
解积分区域D如图所示
D {( , ) | 0 , 0 sec tan }
n
n
和 i 1
f
(
i

3_二重积分的计算(极坐标)

第二节二重积分的计算
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
机动
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结束
二极坐标下二重积分的计算
(一)极坐标知识回顾
1定义:在平面取一点O称为原点, 从原点出发作一条射线
称为极轴. 平面上任意点P 与原点距离为 r , 向量O P与极轴为夹角为 , 则点P由数组 , r 唯一确定, 称数组 , r 是点P的极坐标.
例2续计算
其中D 为 1 x 2 y 2 4
y
0 2 解: 在极坐标系下 D : 1 r 2
D3 D1
0
D2
D
x
故
I r rdrd
2 D
D4
d
0
2

2
1
r dr
3
1 4 2 15 2 r |1 2 4
I
D1 D2 D3 D4
. .
D: =1和 =2
围成
: 0 2
0

1
D
2 x
此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！
I

D
f ( x , y )dxdy

2π
0
dθ f ( r cosθ , r sin θ )rdr
2 1
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例如图直线
2 法一 r sin
y2
2
y

r

P , r
l
0
x
法二: 由直线直角坐标方程为 y 2 得 r sin 2 2 故直线极坐标方程为 r 0 sin

二重积分的极坐标计算方法

二重积分的极坐标计算方法二重积分是微积分学中的一个概念，它是一种二元函数的积分。

极坐标是一种用于描述平面内一个点位置的坐标系，它由极角和极径组成。

在计算二重积分时，极坐标计算方法是一种常用的方法，它可以将二重积分转化为一个简单的积分形式，从而简化计算。

首先，我们需要将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标下的二重积分。

在直角坐标系下，二重积分的一般形式为：$\iint_{R} f(x,y) dxdy$其中，$f(x,y)$是定义在区域$R$上的被积函数，$dxdy$是$R$上的面积元素。

在极坐标下，二重积分的一般形式为：$\iint_{R} f(\rho,\theta) \rho d\rho d\theta$其中，$f(\rho,\theta)$是定义在区域$R$上的被积函数，$\rho d\rho d\theta$是$R$上的面积元素。

接下来，我们需要将极角$\theta$和极径$\rho$表示为关于直角坐标系下的$x$和$y$的函数。

在直角坐标系下，$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$，$\theta=\arctan\frac{y}{x}$。

在极坐标下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$。

因此，我们可以得到：$\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=r$$\theta=\arctan\frac{y}{x}=\arctan\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta}=\frac{\theta}{2}$因此，我们可以将极角$\theta$和极径$\rho$表示为关于直角坐标系下的$x$和$y$的函数：$\rho=r$，$\theta=\frac{\theta}{2}$。

最后，我们将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标下的二重积分：$\begin{aligned} &\iint_{R} f(x,y) dxdy \\ =&\iint_{R} f(\rho,\theta) \rho d\rhod\theta \\ =&\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho,\theta) \rhod\rho d\theta \end{aligned}$其中，$\varphi_1$和$\varphi_2$是极角$\theta$的上下限，$\rho_1$和$\rho_2$是极径$\rho$的上下限。

极坐标求二重积分公式

极坐标求二重积分公式极坐标是一种描述平面上点的坐标系，通过角度和距离来确定点的位置。

它在数学、物理和工程等领域具有重要的应用。

而在积分学中，极坐标下的二重积分是一种简化计算的方法，特别适用于具有旋转对称性的问题。

本文将深入探讨极坐标下的二重积分公式及其计算方法。

首先，我们需要了解极坐标系的定义。

在平面直角坐标系中，我们通常使用x轴和y轴来表示点的位置。

而在极坐标系中，我们用极径（r）和极角（θ）来表示点的位置。

极径是点到原点的距离，极角是从正半轴到点所在线段与x轴的夹角（逆时针方向为正）。

在极坐标系中，一个区域R可以用极角的两个边界θ1和θ2以及极径的两个边界r1和r2来描述。

这样，我们可以将R分割成许多小区域，每个小区域可以用一个极坐标点（r，θ）来表示。

我们可以利用这些小区域的面积来近似R的面积，并通过求和的方式得到二重积分的近似值。

现在我们来讨论二重积分的求解方法。

对于一个在极坐标系下的函数f(r,θ)，我们希望求解它在区域R内的二重积分。

根据极坐标下的面积元素公式，我们有dA = r dr dθ。

因此，函数f(r,θ)在区域R内的二重积分可以表示为：∬Rf(r,θ)dA = ∫∫Rf(r,θ)r dr dθ其中，∫∫R表示对区域R内的所有小区域进行求和，r和θ分别是小区域的极径和极角，f(r,θ)是函数在极坐标下的描述。

接下来，我们需要确定极径和极角的边界。

通常，极径的边界可以使用直角坐标系中的曲线来表示。

例如，如果给定了平面上的一个圆，我们可以将它的方程转换为极坐标系下的方程。

极角的边界则由问题的旋转对称性来确定。

常见的极角边界有：1.对称边界：如果函数f(r,θ)在极角的范围内具有对称性，我们可以只计算一部分区域的二重积分，然后乘以2来得到整个区域的积分结果。

2.旋转边界：如果我们需要计算一个以极轴为对称轴的旋转体的体积，可以将f(r,θ)表示为极坐标下的函数，然后将极角范围限定在一个完整的圆周上。

3_二重积分的计算(极坐标)

极坐标下的二重积分计算是数学分析中的重要内容。当遇到在直角坐标系下难以计算的二重积分时，可以转换到极坐标系下进行计算。转换的关键在于将直角坐标(x, y)替换为极坐标(r, θ)，其中x=rcosθ，y=rsinθ，并且面积元素dxdy变为rdrdθ。计算过程首先需要根据积分区域D的图形确定极径r和极角θ的上下限。对于极点不在区域D内部的情况，需要分别确定r的上限r2(θ)和下限r1(θ)，以及θ的范围[α, β]；然后将被积函数f(xnθ)；最后按照确定的上下限进行积分计算。若极点位于区域D内部，则r的下限为0，上限为r(θ)，θ的范围为[0, 2π]。通过这种转换和计算步骤，可以有效地解决一些在直角坐标系下难以处理的二重积分问题。

二重积分在极坐标下的计算

2
2
乘积，即 4 d d ( 4 d ) ( d) .
0
1
0
1
大家要注意，并不是所有的累次积分都可以看作两次定积分的乘积，只有同时满足下述
两个条件的累次积分才可以——
① 两次定积分的上下限均为常数；
② 被积函数中的两个自变量可以各自分离至两次定积分当中，即被积函数具有形式
f (x, y) f1(x) f2 ( y) .
D {(, ) |1 2, 0 2}（见图 8）.
（直角坐标系里圆的方程 x2 y2 r2 (r 0) ，在极坐标系
图7
里可化为 2 r2 ( 0) ，即简单的常数函数 r .）
再把被积函数 f (x, y) x2 化为“ ( cos ) 2 ”.
因此，原积分可化为
2
d
2 ( cos ) 2 d
0
1
图8
2
d
2 3 cos2 d .
0
1
（说明：由以上几题可以发现——直角坐标在表示直线方程的时候，比极坐标简便；而极坐标在表示圆形或扇形方程时，比直角坐标简便.）
（5） f (x, y)d x2 y2 4x
解析：根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
D {(x, y) | x2 y2 4x} （见图 9）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(, ) | 0 4cos , } （见图 10）.
2
2
图9
（直角坐标系里的圆的方程 x2 y2 4x ，也即
(x 2)2 y2 4 ，在极坐标系里可化为
2
2
原积分可化为
R2 x2 y2 dxdy

二重积分在极坐标系下的计算

R
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
显然 D1 ⊂ S ⊂ D2
因为 e
所以
− x2 − y2
> 0,
− x2 − y2
∫∫ e D
1
− x2 − y2
dxdy ≤ ∫∫ e
S
dxdy ≤ ∫∫ e
D2
− x2 − y2
dxdy .
又因为 I = ∫∫ e
S
R
− x2 − y2
d xd y
R − y2
计算方法——化为二次积分化为二次积分计算方法
D : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (θ ), α ≤ θ ≤ β
其中ρ1 (θ ), ρ 2 (θ ) ∈ C [α , β ], 0 ≤ ρ1 (θ ) ≤ ρ 2 (θ ), 0 ≤ β − α ≤ 2 π.
ρ = ρ2(θ)
D
ρ = ρ1(θ) β α
所围成的图形的面积 .
解
根据对称性 S D = 4 S D1 . ( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) ⇒ ρ = a 2 cos 2θ
x2 + y2 = a2 ⇒ ρ = a
D1
ρ = a 2 cos 2θ π 得交点 (a , ). 6 ρ = a
S = ∫∫ dxdy = 4 ∫∫ dxdy
θ + dθ
ρdθ
dρ
θ
∆σ ≈ ρdρdθ
ρ ρ + dρ
ρ
dxdy = ρdρdθ
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
θ + dθ
二重积分的变量从直角坐标到极坐标的变换公式

-二重积分在极坐标下的计算法及应用

9
在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：
1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D的边界用极坐标表示较为简单；
2)被积函数具有 f ( x2 y2 ) 等形式时,用极坐标积分
较为容易.
y
y
o
ax
o 1 2x
10
例1 计算 e x2 y2 dxdy ，其中 D是由中心在原点，
Rx
原式 R2 r2 r drd

D
2
d
2
R cos 0
R2 r2 r dr R3 3

2
(
sin
3
1)
d
2
2 R3 2 1 R3 1 (3 4)R3 .
33 3 9
常见错误：原式
R3 3
R 2R
显然有D1 S D2 ,且 e （x2 +y2） 0, 从而
e d e d e d , (x2y2 )
(x2 y2 )
(x2 y2 )
D1
S
D2
由例1结果,得
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
(2)尽量少分块或不分块.
11
内容回顾
但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序，则需交换积分次序. 交换积分次序的一般步骤： 1、依据积分限作出积分区域D 的图形. 2、将二次积分转化为二重积分. 3、重新选择积分次序,将二重积分转化为二次积分
z
解 V 4 x 2 y2 d (用极坐标)

高等数学9-2'利用极坐标系计算二重积分

二重积分的性质
总结词
二重积分具有可加性、可交换性、可分解性和可积性等性质。
详细描述
二重积分具有可加性，即如果两个平面区域的边界曲线可以相加或相减，那么它们的二重积分也可以相加或相减。二重积分还具有可交换性，即积分区域和被积函数的顺序可以交换，不影响二重积分的值。此外，二重积分还具有可分解性和可积性等重要性质，这些性质在计算二重积分时非常有用。
ERA
二重积分的定义与几何意义
总结词
二重积分是定积分的一种扩展，用于计算二维曲面的面积。
详细描述
二重积分是高等数学中的重要概念，它表示一个函数在平面区域上的累积效果。通过二重积分，我们可以计算平面曲线的长度、平面图形的面积以及立体的体积等。二重积分
的几何意义是二维曲面的面积，即由函数z=f(x,y)所确定的曲面的面积。
05
总结与思考
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
本章内容的总结
极坐标系的基本概念极坐标系是二维平面上的一个坐标系，其中每个点由一个距离和一个角度确定。
极坐标系中的基本元素包括极点、极轴、极径和极角。
本章内容的总结
二重积分的极坐标形式
二重积分在极பைடு நூலகம்标系中的表示形式与直角坐标系有所不同。
极坐标系中的二重积分可以表示为对面积的积分，其中面积由极径和角度确定。
本章内容的总结
极坐标系中的面积元素
1
2
在极坐标系中，面积元素是极径和角度的函数。
3
掌握面积元素的计算对于理解和计算二重积分至关重要。
本章内容的总结
二重积分的计算方法
利用极坐标系计算二重积分的基本步骤包括：选择合适的积分次序、将直角坐标转换为极坐标、选择适当的面积元素进行积分。

二重积分在极坐标系下的计算

dxdy 4 e
D1
x2 y2
dxdt
y
x2+y2 = a2
D1
且D1 :
0 r a, 0

2
0
D
a
r=a
x
e
D1
x y
2
2
dxdy d e
2 0 0

r 2
rdr
2

1

2 2 0 a2 (1 e ) 4

a
e
r 2
d (r )

4
a
(e
r 2
)
0
从而，原式 (1 e
a 2
)
x2
注：本题若用直角函标计算，会遇到 e dx ,
而这个积分是“积不出”的。
方法二
例1. 计算 e
D x2 y2
dxdy , 其中D 是中心在原点, 半径
y
x2+y2 = a2
D1
为 a 的圆域 x 2 y 2 a 2 .
d d
d
d
d

O
d

极坐标系中的面积元素 d dd
dxdy dd
x cos y sin
二重积分的变量从直角坐标到极坐标的变换公式
d
d
d

f ( x , y )dxdy D
2 2 2
S {( x , y ) | 0 x R,0 y R}
D1
D2 S D
S
R
2R
{ x 0, y 0}
显然 D1 S D2

利用极坐标计算二重积分

利用极坐标计算二重积分极坐标是平面直角坐标系的一种描述方式，它采用极径和极角来描述点的位置。

极坐标可以方便地描述圆形和对称图形，因此在解决部分二元函数相关问题时，可以使用极坐标进行计算，本文将探讨如何利用极坐标计算二重积分。

在平面直角坐标系中，二重积分是用来计算平面上某一区域内二元函数的积分值。

在极坐标中，圆形的面积可以被完美地描述为$r^2$，因此二重积分可以用$r$和$\theta$来表示。

在极坐标中，一个二元函数$f(x,y)$可以被表示为：$f(r\cos \theta,r\sin \theta)$。

同样地，二重积分中的区域也可以用$r$和$\theta$的方式表示。

对于一般的二重积分$\iint_D f(x,y)dxdy$，我们可以将其转化为极坐标下的形式：$\iint_D f(r\cos \theta,r\sin\theta)rdrd\theta$。

对于上式中的$rdrd\theta$，在极坐标中可以被理解为区域的微小面积，它由收缩区间$d\theta$和虫蛉区间$dr$构成。

那么一个极坐标下的二重积分应该如何计算呢？下面我们来探讨一下具体步骤：Step1：确定求积区域。

首先需要确定要求的积分区域，根据具体情况，可以使用极坐标方程$r=f(\theta)$或$\theta=g(r)$来表示整个积分区域。

通常情况下，积分区域的形状和对称性都会决定使用哪一个极坐标方程。

Step2：计算微元面积。

在极坐标下，我们需要计算积分区域的微元面积，这个面积由$d\theta$和$dr$构成，可以使用微积分知识来计算。

Step3：建立积分式子。

确定了求积区域并计算微元面积之后，我们可以将积分式子建立起来，这个式子可以根据所求问题来确定。

Step4：推导积分结果。

根据积分式子，我们可以推导出中间的积分结果，这个过程通常需要使用到数学方法和公式，需要耐心和细心地推导。

Step5：计算积分值。

最后，我们需要计算出具体的积分值，这个过程可以使用计算器或者数学软件进行计算，一般需要注意精度和符号问题。

利用极坐标计算二重积分

利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
k k k
及射线 =常数, 分划区域D 为
k (k x
k
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k
1 2
(rk
rk )2 k
1 2
rk
2
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
k O
rk
rk
k rk cosk , k rk sink
n
lim
0
k
1
f
(
rk
cos k
,
rk
sin k
)rk
rk
k
即 D f (x, y) d D f (r cos , r sin )r d r d
rd d
d
dr r
O
设
D
:
1()
r
2
(
) ,
则
r 2 ( )
D
D f (r cos , r sin )r d r d
非常有用的反常积分公式
ex2d x π
0
2
①
事实上,
又
π
故①式成立 .
例7. 求球体
被圆柱面 x2 y2 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0 π
z
由对称性可知
2
V 4 D 4 a2 r 2 r d r d
O
y
2 acos 0
2a
4a2 r2 rdr
x
y
32 a3( π 2 ) 3 23
r 2cos