利用极坐标计算二重积分(解答)

（A） （C） 【 C
dy ∫ dx ∫
y− y2 0 1 0
f ( x , y )dx ．
∫
1 0 1 0
dy ∫
1− y 2 0 x− x2 0
f ( x , y )dx ． f ( x , y )dy ．
f ( x , y )dy ．
∫
dx ∫
】3.二重积分
1≤ x 2 + y 2 ≤ 4 0≤ y ≤ x
在极坐标下，积分区域为
于是
O
1
2源自文库
x
∫
2 0
dx ∫
2 x− x2 0
( x 2 + y 2 ) 2 dy = ∫ =
π /2
0
dθ ∫
2 cos θ
0
r 4 ⋅ rdr
32 π / 2 32 5 3 1 π 5 cos 6 θdθ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π . ∫ 3 0 3 6 4 2 2 3
……………………………………………………………………………………………………………………
∫∫
y arctan dσ = x
（B）
（A）
3 2 π ． 16
3 2 π ． 32
（C）
3 2 π ． 64
（D）
3 2 π ． 128
…………………………………………………………………………………………………………………… 三、画出积分区域，并把下列二次积分化成极坐标形式的二次积分： 1．
∫
2 0
122
x2 + y 2 ≤R2
∫∫
f ( x 2 + y 2 , xy )dσ =
（B） （D）
（A） （C） 【 D
∫ ∫ ∫ ∫
2π 0 2π 0
dθ ∫ dθ ∫
R 0 R 0
f ( ρ 2 , ρ 2 cos θ sin θ )dρ ． f ( ρ 2 , ρ 2 cosθ sin θ )ρdρ ．
3. 曲面 z = x 2 + 2 y 2 与 z = 6 − 2 x 2 − y 2 所围成立体的体积为 6π ． …………………………………………………………………………………………………………………… 二、选择填空题（在每题的四个备选答案中选择一个正确的填在题前的括弧中） 【 C 】1. 设 f ( x , y ) 为连续函数，则
高等数学习题参考答案·第九章 多元函数的积分学及其应用
59
利用极坐标计算二重积分
一、填空题(把你认为正确的答案填在题中的横线上) 1．二重积分 I = 2．二重积分 I =
x 2 + y 2 ≤1
∫∫
1 − x 2 − y 2 dσ = 2π 3 ．
2
x2 + y 2 ≤4 x
∫∫ ( x
+ y 2 )dσ = 24π ．
【解】
在极坐标下，积分区域为
y 1
所以有
∫
=∫
1 0
dx ∫
1− x 2 1− x 1
y f ( x 2 + y 2 , arctan )dy x f (r 2 , θ )rdr
π /2
0
dθ ∫
1 /(cos θ + sin θ )
O
1
x
…………………………………………………………………………………………………………………… 四、利用极坐标计算下列二重积分： 1．
0
dθ ∫ r ln(1 + r 2 )dr
0
1
π 1 π r ln(1 + r 2 )dr = (2 ln 2 − 1). ∫ 0 2 4
y
…………………………………………………………………………………………………………………… 2． 【解】
∫
2 0
dx ∫
2 x− x2 0
( x 2 + y 2 ) 2 dy ． 0 ≤ r ≤ 2 cosθ , D: 0 ≤ θ ≤ π 2,
∫∫ ln(1 + x
D
2
+ y 2 )dσ ，其中 D 为 x 2 + y 2 ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 ． 0 ≤ r ≤ 1, D: 0 ≤ θ ≤ π 2 ,
y 1
【解】
在极坐标下，积分区域为
所以，
O
∫∫ ln(1 + x
D
2
+ y 2 )dσ = ∫ =
π /2
1 x
dx ∫
3x x
f ( x 2 + y 2 )dy ． 0 ≤ r ≤ 2 sec θ , D: π 4 ≤ θ ≤ π 3 ,
y
2 3
【解】
在极坐标下，积分区域为
y=
2
3x
y= x
从而有
∫
2 0
dx ∫
3x x
f ( x 2 + y 2 )dy = ∫
π /3
π /4
dθ ∫
2 sec θ
∫
0
2π 0
dθ ∫ dθ ∫
0
R 0
f ( R 2 , R 2 cos θ sin θ )dρ ． f ( R 2 , R 2 cosθ sin θ )ρdρ ．
∫
2π
R
】2.二次积分
1 0 1 0
∫
π 2 0
dθ ∫
cos θ 0
f ( ρ cosθ , ρ sin θ )ρdρ =
（B） （D）
0
f (r )rdr .
O
2
x
……………………………………………………………………………………………………………………
121
高等数学习题参考答案·第九章 多元函数的积分学及其应用 2．
∫
1 0
dx ∫
1− x 2 1− x
y f ( x 2 + y 2 , arctan )dy ． x 1 ≤ r ≤ 1, D : sin θ + cosθ 0 ≤ θ ≤ π 2,