二项式定理中的特殊项问题
二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理的高考常见题型及解题对策题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(xx +的展开式；2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn n n n n n 3)1( (27931321)-++-+-；解：原式=nnnn n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+题型二：求二项展开式的特定项1．求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数 例4．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；解：rrrr x x T C )21()(9291-=-+=rr rrx xC )1()21(2189--=x r r x C 3189)21(--令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为： 221)21(339-=-C ，∴填221-（2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；填1008。
（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；解：36323)1(])1([)21(xx xx xx -=-=-+即20-2． 求中间项例7．（00京改编）求（103)1xx -的展开式的中间项；解：,)1()(310101rrr r xx T C-=-+ ∴展开式的中间项为535510)1()(xx C -即：65252x -。
当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n n baC 和212121+-+n n n n baC ；当n 为偶数时，nb a )(+的展开式的中间项是222nnnnb a C 。
3． 求有理项例8．（00京改编）求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；44． 求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例9．（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：rrrr xT C )1(11111-=-+ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为462)1(5511-=-C （2） 一般的系数最大或最小问题 例10．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r CT ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--k k k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k ⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-∴K KK K 1922211解得43≤≤k ，∴系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =。
二项式定理的常见题型及解法特全版
Cxy
3 7
4
4
，和第 5 项
C
二、通项公式的应用
1 ．确定二项式中的有关元素
例 4．已知 (
a x 9 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为 ，常数 a 的值为 x 2 4
r 3 r 9
解： Tr 1 令
r 9 a x C ( ) 9r ( ) r C9r (1) r 2 2 a 9r x 2 x 2
9 令 18 3x 9, 则 r 3 ，从而可以得到 x 的系数为：
C
3 9
1 21 21 ( ) 3 ， 填 2 2 2
（备用题） ： （05 年山东卷）已知 (3x
1
3
x
2
) n , n N 的展开式中各项系数和为 128，则展
开式中
1 的系数是( x3
1 的展开式中没有 常数项， 且 2≤n≤8， n N* ， ．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。 （备用题） （05 年湖北卷） (
C
1
5
11
(1) 5 462
（2） 一般的系数最大或最小问题 例 12．求 ( x
2 x
4
) 8 展开式中系数最大的项；
解：记第 r 项系数为 Tr ，设第 k 项系数最大，则有
Tk Tk 1 Tk Tk 1
又 Tr
C
r 1 8
.2 r 1 ，那么有
高中数学完整讲义——二项式定理2.二项展开式2求展开式中的特定项
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...nn n n n nnnnC a C a b C ab C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r rnC a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rnC b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系知识内容求展开式中的特定项数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅，()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．） 常数项【例1】 在()2043x y+展开式中，系数为有理数的项共有 项．【例2】 的展开式中共有_____项是有理项．1003(23)+典例分析【例3】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【例5】 二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【例6】 若123a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【例7】 在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 ．61034(1)(1x x++【例8】 在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【例9】 如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 ．【例10】的展开式中常数项为 （用数字作答）【例11】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例12】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ．【例13】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于 （用数字作答）281(12)()x x x+-1()n x x+3(2)n x xn 2()n x x+60n【例14】的展开式中，常数项为15，则 ．【例15】 已知的展开式中没有常数项，，且，则______．【例16】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例17】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例18】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．021()n x x-n =231(1)()n x x x x+++n ∈*N 28n ≤≤n =123(x x-2()n x x-314-21i =-10()n n ∈N ≤nxx )1(23-n【例19】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】 的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例21】的展开式中常数项为 （用数字作答）【例22】 已知的展开式的常数项是第项，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【例23】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于 （用数字作答）【例24】的展开式中，常数项为15，则 ． 61034(1)(1)x x51(2)2x x+281(12)()x x x+-312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7n 789102()n x x+60n 21()n x x-n =【例25】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例26】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例27】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例28】 展开式中的常数项为（ ） A ． B ． C ． D ．【例29】 求展开式中的常数项．123(x x-2()n x x-314-21i =-10()n n ∈N ≤nxx )1(23-n 123x x ⎛- ⎝1320-1320220-220612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭【例30】 的展开式的常数项是 （用数字作答）【例31】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【例32】 的展开式中的第项为常数项，那么正整数的值是 ．【例33】 若的展开式中存在常数项，则的值可以是（ ） A ． B ． C ． D ．【例34】 在的展开式中常数项是 ，中间项是．6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2nx x ⎫⎪⎭60n 369121nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭5n nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n 10111214261(2)x x-________【例35】 已知的展开式中没有常数项，，且，则______．【例36】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ．【例37】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（ ） A ． B ． C ． D ．【例38】 若展开式中的二项式系数和为，则等于________；该展开式中的常数项为_________．【例39】 若的展开式中常数项为，则_____，其展开式中二项式系数之和为_________．231(1)()nx x x x+++n ∈*N 28n ≤≤n =3(2n x xn 2nx x ⎛- ⎝3141-145-4521nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭512n 921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭84a =【例40】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．B ．C ．D ．有理项 【例41】 求二项式的展开式中： ⑴常数项；⑴有几个有理项（只需求出个数即可）；⑴有几个整式项（只需求出个数即可）．【例42】的展开式中共有_______项是有理项．【例43】 二项式的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项；⑶有几个整式项．1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭102030120153x x 1003(23)+153(x x【例44】 已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列 ①求；②求展开式中的有理项．【例45】 二项展开式中，有理项的项数是（ ） A ． B ． C ． D ．【例46】 在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，则 A ．1 B ． C ． D ．【例47】的展开式中，含的正整数次幂的项共有（ ） A ．项B ．项C ．项D ．项【例48】 若（，为有理数），则（ ） 42nx x n 153x x 3456(11332x x p 10p x dx =⎰67761113123()x x x 4321(5122a b +=+a b a b +=A ．B ．C ．D ．系数最大的项【例49】 已知的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例50】 展开式中系数最大的项是第几项？【例51】 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于，求展开式中系数最大的项．【例52】 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____． A ． B ． C ． D ．【例53】 已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求．45557080(2n x x n 20(23)x +(13)n x +121132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭7-728-28lg 8(2)x x x +1120x【例54】 求的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例55】 已知展开式中的倒数第三项的系数为，求： ⑴含的项；⑵系数最大的项．【例56】 设，，的展开式中，的系数为．⑴求展开式中的系数的最大、最小值；⑴对于使中的系数取最小值时的、的值，求的系数．【例57】 已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大． ⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑴求展开式中系数最大的项．1032x x 3241nx x 453x m n +∈N ，1m n ，≥()(1)(1)m n f x x x =+++x 19()f x 2x ()f x 2x m n 7x 223(3)n x x +992【例58】 展开式中系数最大的项是第几项？【例59】 关于二项式有下列命题：⑴该二项展开式中非常数项的系数和是：⑴该二项展开式中第六项为；⑴该二项展开式中系数最大的项是第项与第项；⑴当时，除以的余数是．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 在的展开式，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【例61】 设的整数部分和小数部分分别为与，则的值为 ．20(23)x +2005(1)x -1619992005C x 100310042006x =2005(1)x -2006200532nx x ⎛ ⎝5)()21*174n n +∈N n M n m ()n n n m M m +【例62】 中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围．【例63】 二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为，且二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为___________．【例64】 如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为_______（用数字作答）．【例65】 在二项式的展开式中，存在着系数之比为的相邻两项，则指数的最小值为 ．12()m n ax bx +a b ，200m n mn +=≠，a b(1sin )n x +752x (0,2π)232(3)n x x -n ()1nx +57∶()*n n ∈N。
二项式定理的常考题型
二项式定理的常考题型
二项式定理是代数中常见且重要的定理之一，它可以用来展开二项式的幂。
在数学考试中，常常会出现与二项式定理相关的题目。
下面介绍几种常见的与二项式定理相关的考题类型。
1. 二项式系数的求解：考生需要根据给定的条件，求解二项式展开
式中某一项的系数。
这类题目通常需要考生运用组合数的性质，结合二项式定理进行计算。
2. 二项式展开的特定项：考生需要根据给定的条件，求解二项式展
开式中某一特定项的值。
这类题目通常需要考生根据二项式定理按照对应的系数进行计算，并注意运用组合数的性质。
3. 二项式定理与多项式的展开：考生需要将一个多项式展开成二项
式的形式。
这类题目通常需要考生运用二项式定理的逆定理，即将一个多项式写成二项式的形式。
4. 二项式定理与数列的关系：考生需要根据给定的数列，利用二项
式定理推导数列的通项公式或者递推关系。
这类题目通常需要考生观察数列的特点，利用二项式定理进行变形推导。
除了上述常见考题类型，二项式定理还可以与其他数学概念进行结合，
如排列组合、数学归纳法等。
因此，在学习二项式定理时，需要注意将其与其他数学概念进行联系，深化对二项式定理的理解，并灵活运用于解决各类数学问题。
二项式定理经典题型及详细答案
二项式定理经典考点例析考点1：二项式系数与项的系数1、在28(2x -的展开式中，求： （1）第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）2x 的系数.2.若1()nx x+展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为___________.3.已知二项式102)3x求 （1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数考点2：二项式定理逆用1、5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-=_____________2、5432)12()12(5)12(10)12(10)12(51+-+++-+++-x x x x x =_____________考点3：求二项式展开式中的特定项、某一项【例题】 1、二项式3522()x x-的展开式中5x 的系数___________；2. 二项式43(1)(1x -的展开式中2x 的系数是___________.3.若4(1a +=+（,a b 为有理数），则a b +=___________.4.二项式8(2-展开式中不含4x 项的系数的和为___________.5、二项式53)31()21(x x -+的展开式中4x 的系数___________.【练习】1.二项式4(1)x +的展开式中2x 的系数为___________..2.二项式210(1)x -的展开式中，4x 的系数为___________.3.二项式6展开式中含2x 项的系数为___________. 4.二项式533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数___________.、常数项和有理项【例题】 1. 二项式61(2)2x x-的展开式的常数项是___________.2、二项式100的展开式中x 的系数为有理数的项的个数___________.3. 二项式261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为___________.4.二项式5)12(++xx 的展开式中常数项是___________. 【练习】1.8(2x -的展开式中的常数项___________. 2.在261()x x+的展开式中，常数项是___________.3.二项式5)44(++xx 的展开式中常数项是___________. 4.二项式54)31()21(xx -+的展开式中常数项是___________. 考点4：求展开式中的各项系数之和的问题1、已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++.求：（1）0a ； （2）763210a a a a a a ++++++ ；（3）763210a a a a a a -++-+-（4）6420a a a a +++；（5）7531a a a a +++；（6）2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++. （7）||||||||||||763210a a a a a a ++++++ .（8）7766321022842a a a a a a ++++++ ；（9）7766321022842a a a a a a ++++++； 2.在二项式9(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）所有项的系数的绝对值之和.3.利用二项式nn n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 432210)1(展开式nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 32842)4(2)3(0)1()2(2)1(3210153142032103210=+++++=+++=+++=-++-+-=+++++-考点5：多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式9)21(x +展开式中，(1)二项式系数的最大项 (2)系数的最大项 2、二项式12)21(x -展开式中（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项.（3）求展开式中系数最小的项.3、已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值．4、n xx )1(4+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为__________．【练习】1、2102()x x+的展开式中系数最大的项； 2、求7(12)x -展开式中系数最大的项．3、设x =50(1)x +展开式中第几项最大？4、已知()nx x 2323+展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.考点6：含参二次函数求解【例题】1.【特征项】在二项式25()a x x-的展开式中x 的系数是-10，则实数a 的值是___________.2.【常数项】若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是___________.3.【有理项】已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项________. 4.【特征项】在210(1)x px ++的展开式中，试求使4x 项的系数最小时p 的值.5.【系数最大】已知1(2)2nx +的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项． 【练习】1.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是-84，则a =___________.2.已知2)n x的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中2x 的系数_____. 3.若二项式22()nx x-的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为___________ 4.已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．考点7：求解某些整除性问题或余数问题1. 求证22*389()n n n N +--∈能被64整除.2. 9291被100整除所得的余数为_________ 3. 设21(*)n k k N =-∈，则11221777...7nn n n n n n C C C ---+⋅+⋅++⋅被9除所得的余数为_________4. 求证：（1）51511-能被7整除；（2）2332437n n +-+能被64整除.5. 如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n ，经过33(275)n n +++天是星期几？考点8：计算近似值1、求60.998的近似值，使误差小于0.001. 2、求51.997精确到的近似值.考点9：有关等式与不等式的证明化简问题1、求121010101010124...2C C C ++++的值. 2、化简：1231248...(2)nnn n n n C C C C -+-++-. 3、求证：01121*(2)!...()(1)!(1)!n nn n n n n n n C C C C C C n N n n -+++=∈-+.4、证明下列等式与不等式（1）123123 (2)nn n n n n C C C nC n -++++=⋅.（2）设,,a b c 是互不相等的正数，且,,a b c 成等差数列，*n N ∈，求证2nnna cb +>. 【练习】1、=++++nn n n n n C C C C 2222210 ；2、=-++-+-nn n n n n n n C C C C C 2)1(22232210 ； 3、求证：12122-⋅=+++n n n n n n nC C C4、求证：nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++5、已知7292222210=++++nn n n n n C C C C ，求n n n n C C C +++ 21考点10：创新型题目1、对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上） 2、规定!)1()1(m m x x x C m x +--=，其中x ∈R，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．(1) 求315-C的值；(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(xxC C 取得最小值(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．。
高中数学二项式定理题型总结.doc
高中数学二项式定理题型总结高中数学二项式定理题型总结二项式定理知识点归纳1．二项式定理及其特例：（1）(ab)CnaCnabCnan1rrn0n1nrnrbCnb(nN)，rnn（2）(1x)1CnxCnxx2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnarnrrnb(r0，1，2，n)3．常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角）(ab)展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：n(ab)展开式的二项式系数是Cn，Cn，Cn，，Cn．Cn可以看成以r为自变量的函数f(r)，定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnCnn2nmnmn012nr）直线rn2是图象的对称轴n12n1（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn（3）各二项式系数和：∵(1x)1Cnx Cnxx，令x1，则2CnCnCnCnCn，Cn2取得最大值n1rrnn012rn题型讲解例1如果在（x+12x4）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项解：展开式中前三项的系数分别为1，r=C8r1n2，n(n1)8，由题意得2×n2=1+n(n1)8358，得n=8设第r+1项为有理项，T1r163rx42点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r，则r是4的倍数，所以r=0，4，8，有理项为T1=x4，T5=x，T9=1256x2例2求式子（｜x｜+解法一：（｜x｜+1|x|1|x|－2）3的展开式中的常数项－2）3=（｜x｜+1|x|－2）（｜x｜+1|x|1|x|－2）（｜x｜+1|x|－2）得到常数项的情况有：①三个括号11中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取3，一个括号取－2，得C3C2（－2）=－12，∴常数项为（－2）r+（－12）=－20解法二：（|x|+1|x|－2）3=（|x|－1|x|）6设第r+1项为常数项，则Tr1=C6（－1）r（1|x|）r|x|6r=（－1）6C6|x|r62r，得6－2r=0，r=3∴T3+1=（－1）3C6=－203例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+⑶求（1+x）+（1+x）++（1+x）的展开式中x的系数4x－4）4的展开式中的常数项；34503解：⑴原式=41x441x（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C846－1=14⑵（x+4x－4）=(x4x4)x42=(2x)x4，展开式中的常数项为C4824（－1）4=1120⑶方法一：原式(1x)[(1x)1](1x)1=(1x)(1x)x4展开式中x3的系数为C51方法二：原展开式中x3的系数为44C3+C3+C3++C3=C4+C3++C3=C5+C3++C3==C51505050444355点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键129例4求x展开式中x的系数2x解：Tr19Crr9x29r31r1183r令1r182rr12193C9xxC9x183r9,则r3,故x的系数为:C9＝－22x222rrr点评：①Cnanrb是ab展开式中的第r1项，r0,1,2,n②注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，rn1第4项的二项式系数是C，第4项x的系数为C，二者并不相同2393939例5求3xr32100展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数解：Tr1C1003x100r23r100rrC100xr100r3223依题意：100r2,r3Z，r为3和2的倍数，即为6的倍数，又0r100，rN，r0,6,,96，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由960(n1)6得n17，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征解法一：x051例6求x223x2展开式中x的系数53x2x1x24505144455555C5xC5xC5xC5C5xC5x2C5x2C524故展开式中含5C5xC52C5C5x2Tr1C5x1r455544240x，故展开式中x的系数为240，解法二：x3x2252x23x52245r3x0r5,rN，要使x指数为1，只有r1才有可能，即rT2C5x22，故x的系数为152240，解法三：x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2，由多项式的乘法法则，从23x15xx42x64x48x222228642442以上5个括号中，一个括号内出现x，其它四个括号出现常数项，则积为x的一次项，此时系数为C53C42240 点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用144例7设an=1+q+q2++qn1（n∈N*，q≠±1），An=Cna1+Cna2++Cnan12n（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3012nn024135n1点评：①记住课本结论：CnCnCnCn2，CnCnCnCnCnCn2②注意所求式中缺少一项，不能直接等于2例9已知2x解：令x1时，有22634a0a1xa2xa3xa4x，求a0a2a4a1a32342234a0a1a2a3a4，令x1时，有2234a0a1a2a3a4∵a0a2a4a1a3a0a1a2a3a4a0a1a2a3a4∴a0a2a4a1a322232434114点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三例10求x2y展开式中系数最大的项7rrr1r1Tr1项系数Tr项系数C72C72解：设第r1项系数最大，则有，即rrr1r1Tr1项系数Tr2项系数C72C727!7!rr1116222rr!7r!r1!7r1!r8r3又0r7,rN,r57!7!1312rr1r22r!7r!3r17rr1!7r1!故系数最大项为T6C7x2y5255672xy25点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项Tn的二项式系数最12大；当n为奇数时，中间两项Tn121，Tn12的二项式系数相等且为最大1小结：1在使用通项公式Tr1=Cnarnrbr时，要注意：①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项②展开式中第r+1项的二项式系数Cn与第r+1项的系数不同③通项公式中含有a，b，n，r，T rr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n2证明组合恒等式常用赋值法学生练习1已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于A29B49C39D1解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9∴已知条件中只需赋值x=－1即可答案：B22x+x）4的展开式中x3的系数是A6B12C24D48解析：（2x+3（2x3－x）4=x2（1+2x）4，在（1+22x）4中，x的系数为C242=24答案：C1x）7的展开式中常数项是3A14B－14C42D－42解析：设（2x－1x）的展开式中的第r+1项是T7r=C7r1（2x）37r（－1x）r=C727r（－1）xr23(7x)，24一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A20B219C220D220－1当－r+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C7（－1）621=14答案：A 解析：C1+C2++C20=220－1答案：D202X205已知（x－ax）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是B38A28C1或38D1或28rr4解析：Tr1=C8x8－r（－ax－1）r=（－a）rC8x8－2r，令8－2r=0，∴r=4，∴（－a）4C8=1120∴a=±2当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1，当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38答案：C36已知（x2+x13）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________（以数字作答）3解析：∵（x2+xr713）n的展开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得所有项系数和为2n=128，∴n=7设该二项展开式中3的r+1项为Tr1=C（x2）7r6nn32*7若（x+1）=x++ax+bx+cx+1（n∈N），且a∶b=3∶1，那么n=________（x136311r）r=Cxr76，令6311r=5即r=3时，x5项的系数为C7=35答案：353解析：a∶b=Cn∶Cn=3∶1，n=11答案：11328（x－1x）8展开式中x5的系数为_____________解析：设展开式的第r+1项为Tr1=C8x8－r（－答案：289若（x3+r1xrr）=（－1）C8xr83r2令8－3r22=5得r=2时，x5的系数为（－1）C8=2821xx）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________解析：Trr=Cnr1（x）3n－r（x32）=Cxrn3n92r，令3n－92r=0，∴2n=3r∴n必为3的倍数，r为偶数试验可知n=9，r=6时，Cn=C9=84答案：9610已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为202*0，求x的值解：由题意Cnn2＋Cnn1＋Cn=22，即Cn＋Cn＋Cn=22，∴n=6∴第4项的二项式系数最大∴C6（xn2103lgx）3=202*0，即x3lgx=1000∴x=10或x=1011若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11令x=1，得a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，所以a1+a2++a11=－26－1=－65（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+－a11=0②1①+②得a0+a2++a10=12点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－112在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项（－26+0）=－32（1）求它是第几项；（2）求rab－的范围解：（1）设Tr1=C12（axm）12r（bxn）r=C12a12rbrxm∴r=4，它是第5项（2）∵第5项又是系数最大的项，－r（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴有C12a8b4≥C12a9b3①C12a8b4≥C12a7b5②由①得43451211109432a8b4≥12111032a9b3，∵a＞0，b＞0，∴由②得94b≥a，即ab≤94ab≥85，∴854≤ab≤9413在二项式（x+1）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项2x分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项解：前三项系数为Cn，012解得n=8或n=1（舍去）Cn，114Cn，由已知Cn=Cn+3r421014Cn，即n2－9n+8=0，2Tr=C8r1（x）8－r（24x）－rr=C812rx4∵4－3r4∈Z且0≤r≤8，r∈Z，∴r=0，r=4，r=8∴展开式中x的有理项为T1=x4，T5=358x，T9=1256x－2点评：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－14求证：2 扩展阅读：高中数学二项式定理题型总结二项式定理知识点归纳1．二项式定理及其特例：0n1nrnrrnn（1）(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)，1rr（2）(1x)n1CnxCnxxn2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnranrbr(r0，1，2，n)3．常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角）(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：01，Cn，Cn2，，Cnn．Cnr可以看成以r为自变量(ab)n展开式的二项式系数是Cn的函数f(r)，定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnmCnnm）直线r是图象的对称轴n2（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C，C取得最大值1rr（3）各二项式系数和：∵(1x)n1CnxCnxxn，012rn令x1，则2nCnCnCnCnCn题型讲解n2nn12nn12n例1如果在（的有理项x+124x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中解：展开式中前三项的系数分别为1，n，n(n1)，由题意得2×n=1+n(n1)，2828得n=8设第r+1项为有理项，Tr1=Cr81r2x163r4，则r是4的倍数，所以r=0，4，8，有理项为T1=x4，T5=35x，T9=81256x2点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r例2求式子（｜x｜+ 1－2）3的展开式中的常数项|x|解法一：（｜x｜+1111－2）3=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－|x||x||x||x|3 2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）；②一个括号取｜x｜，1，一个括号取－2，得C13C12（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+|x|1（－12）=－20解法二：（|x|+－2）3=（|x|－1）6设第r+1项为常数项，则|x||x|一个括号取rTr1=C6（－1）r（1r）r|x|6r=（－1）6C6|x|62r，得|x|6－2r=0，r=3∴T3+1=（－1）3C36=－20例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+4－4）4x的展开式中的常数项；⑶求（1+x）3+（1+x）4++（1+x）50的展开式中x3的系数1x4解：⑴原式=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）1x24(2x)84444(x4x4)44C6－1=14⑵（x+－4）==4，展开式中的常数项为C8（－1）24xxx(1x)3[(1x)481](1x)51(1x)344=1120⑶方法一：原式==展开式中x3的系数为C51x(1x)1方法二：原展开式中x3的系数为3333434334C33+C4+C5++C50=C4+C4++C50=C5+C5++C50==C51点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键192例4求x展开式中x的系数2x9解9：339Tr1Cxr929r1r1183r1r182rrC9xxC9x2x22rrr令211183r9,则r3,故x的系数为:C＝－223nnrr点评：①Cr是展开式中的第r1项，r0,1,2,n②注意二项式系数与ababn1某项系数的区别在本题中，第4项的二项式系数是C，第4项x 的系数为C，239939二者并不相同10033x2例5求展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数100rr,Z，r为3和232的倍数，即为6的倍数，又0r100，rN，r0,6,,96，构成首项为0，解：Tr1Cr1003x100r23rCxr100100r3100r22依题意：r3公差为6，末项为96的等差数列，由960(n1)6得n17，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6求x23x2展开式中x的系数555解法一：x23x2x1x25145C50x5C5xC54xC5C50x5C51x42C54x24C5525故展开式中含x的项为4554C5xC525C5C5x2424x0，故展开式中x的系数为240，解法二：TCx23x0r5,rN，要使x指数为1，只有r1才有可能，即TCx23x15xx42x64x48x2，故x的系数为152240，解法三：x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2，由多项式的x23x2x223xr115r525rr248556424422522222乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现x，其它四个括号出现常数项，则14积为x的一次项，此时系数为C53C424240点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用n例7设an=1+q+q2++qn1（n∈N*，q≠±1），An=C1na1+C2na2++Cnan（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3 ∴a0a2a42a1a322323141点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三例10求x2y7展开式中系数最大的项44rrr1r1Tr1项系数Tr项系数C72C72解：设第r1项系数最大，则有，即rrr1r1Tr1项系数Tr2项系数C72C727!7!rr1121622rr!7r!r1!7r1!r8r3又0r7,rN,r57!7!1312r2r2r17rr13r1!7r1!r!7r!52故系数最大项为T6C7x25y5672x2y5点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项Tn的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项Tn1，Tn1212121的二项式系数相等且为最大小结：1在使用通项公式Tr1=Crnanrbr时，要注意：①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项②展开式中第r+1项的二项式系数Crn与第r+1项的系数不同③通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n2证明组合恒等式常用赋值法课堂练习1已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于A29B49C39D1解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9∴已知条件中只需赋值x=－1即可答案：B22x+x）4的展开式中x3的系数是A6B12C24D482解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为C22=24答4案：C3（2x3－1x）7的展开式中常数项是B－14A14C42D－42解析：设（2x3－r=C727r1xr）7的展开式中的第r+1项是Tr1=C7（2x3）7r（－1x）（－1）x2rr3(7x)2，61当－r+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C67（－1）2=14答案：A4一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A20B219C220D220－1202X解析：C120+C2++C=2－1答案：D202X5已知（x－a）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各x项系数的和是A28B38C1或38D1或28rr解析：Tr1=C8x8－r（－ax－1）r=（－a）rC8x8－2r，令8－2r=0，∴r=4，4∴（－a）4C8=1120∴a=±2当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1，当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38答案：C6已知（x+x）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________（以数字作答）3213解析：∵（x+x）n的展开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得所有项r系数和为2=128，∴n=7设该二项展开式中的r+1项为Tr1=C7（x）7r （x）3213n3213rr=C7x6311r6，令6311r=5即r=3时，x5项的系数为C37=35答案：357若（x+1）=x++ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=________2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11答案：11nn68（x－1x）8展开式中x5的系数为_____________r解析：设展开式的第r+1项为Tr1=C8x8－r（－1xr）=（－1）C8x83r2令8－3r22=5得r=2时，x5的系数为（－1）2C8=28答案：289若（x3+1xx）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________解析：Tr1=Crn （x3）n－r（x）r=Crnx3293nr2，令3n－9r=0，∴2n=3r∴n必26为3的倍数，r为偶数试验可知n=9，r=6时，Crn=C9=84答案：9 10已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为202*0，求x的值2n1n10解：由题意Cn即C2∴n=6∴第4项的二项n＋Cn＋Cn=22，n＋Cn＋Cn=22，33lgxlgx式系数最大∴C3（x）=202*0，即x=1000∴x=10或x=611若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11令x=1，得a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，所以a1+a2++a11=－26－1=－65（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+－a11=0②110①+②得a0+a2++a10=1（－26+0）=－322点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－112在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项（1）求它是第几项；（2）求a的范围rr解：（1）设Tr1=C12（axm）12－r（bxn）r=C12a12－rbrxm（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项（2）∵第5项又是系数最大的项，4345∴有C12a8b4≥C12a9b3①C12a8b4≥C12a7b5②b由①得1211109a8b4≥121110a9b3，43232∵a＞0，b＞0，∴9b≥a，即a≤94b4由②得a≥8，∴8≤a≤9b55b413在二项式（x+124x）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项111212210解：前三项系数为C0，C，C，由已知C=C+C，即n－9n+8=0，nnnnnn244解得n=8或n=1（舍去）rTr1=C8（x）8－r（24x）－r1r=C8r2x43r4∵4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z，∴r=0，r=4，r=8∴展开式中x的有理项为T1=x4，T5=35x，T9=8点评：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－3r∈Z即可，而不需要指数441256x－2－3r∈N414求证：2友情提示：本文中关于《高中数学二项式定理题型总结》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，高中数学二项式定理题型总结：该篇文章建议您自主创作。
二项式定理十大典型问题及例题
学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：高二 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：教学内容1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r r r nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()n b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理的常见题型解析
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划 要 求 ：新 桥 ＢＣ 与 河 岸 ＡＢ 垂 直 ；保 护 区 的 边 界 为 圆 心 Ｍ 在线段 ０Ａ上并与 ＢＣ相切 的圆．且古桥 两端 ０和 Ａ到该 圆 上任 意一点 的距 离均不少于 ８０ ｍ．经测量 ，点Ａ位 于点 Ｏ正 北 方向 ６０ ｉｎ处 ，点 ｃ位于点 ０正东方 向 １７０ ｍ处（ＯＣ为河
一 、 求 特 定 项 特定项 是指含指定幂的项 、常 数项 、中间项 、有 理项 、系 数最 大的项等 ，这类 题 常利用 二项式 展开 式 的通项 公式 来 求解 ．
例１ （１）若（√ 展开式中前三项系数成等差
数列 ，求展 开式 中所有 的有理项． 思路导析 通过第一 、二 、三项系数成等差数列可求 出
Ｃｌ ￣ｏ
，
相加得
２Ｓ＝１０·２ 即
Ｓ＝５·２ ，所以
Ｅ ａｎｂ２ ＝
∑ｎＣｉ＇ｏ＋∑ｃ ＝５·２ ＋２ 一１＝６ １４３．
四 、整 除 问题 利 用二项式展开式来 解决整 除 问题很 方便 ，关键是 如 何 拆 分 成 二 项 的 和 ．
（下转 １２１页 ）
酸学 学 习 与 研 究 ２０１８．３
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解 题 技 巧 与 方 法
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孽●、 或 定理的常驰题 解橱
◎杨 丙华 （江苏省如 东县丰利 中学 ，江苏 南通 ２２６４０８）
二项式定 理在高 考 中经常 考查 ，其 内容是初 中所学 多 项式乘法 的继 续 ，它所 研究 的是 一种 特殊 的 多项 式—— 二 项式乘方 的展 开式 ，是培 养观察 、归 纳 能力 的好题 材．在 高 中数学 中二 项式 定 理 主要有 以下 几种 题 型 ：求 特 定项 、系 数 、求 值等问题 ；证 明整 除 问题 ；证 明等式 和不 等式 成立 问 题 ．下面就这几种题 型加 以阐述 ．
二项式定理疑难解析
二项式定理疑难解析一、推导二项式定理，其主要内容是：（ 1）一个二项式为首项系数等于0的偶次方项。
（ 2）一个二项式为首项系数等于0的奇次方项。
（ 3）若公式成立，则以首项系数等于0的奇次方项为系数的任何式子均为方程。
二、推导方法：1、，在直线上取点a、 b，连接ab。
2、在x轴上取点c，连接cb。
3、用两点法做直线的垂线，得直线y=。
4、将点a、 b的坐标代入y=，解方程即可。
2、，在平面上取点p（ p>0），设p在第三象限，连接be。
3、令f(p)=0，解出p在第三象限所有的值。
得f的三个分量中，只有当f为其他分量时，才有极小值，其它两个分量均无极小值，故可设f的最大值为max。
4、令p的最小值为min，在方程的四个未知数处，取出四个数（即min-min、 max-min、 min-max、 max-max），代入方程求出各个分量的最大值，然后依次求出每个分量的最小值。
3、，利用公式，计算。
（ 1）由于根系中，均含有高次幂的幂指函数，所以不存在多项式与单项式之间的相等关系。
（ 2）若式g+h(x)+4(y)2=0，代入上式，得当x为1， y为y时，当x=1， y=2时，此式等价于4y=6，从而有y=4；当x为0， y为-1时，此式等价于4y=12，从而有y=-6；当x为-2， y为2时，此式等价于4y=48，从而有y=-48。
（ 3）若式g+h(x)+4(y)2=0，代入上式，得当x为-2，y为-4时，当x=-2， y=-16时，此式等价于16y=24，从而有y=-24；当x为-2， y为-16时，此式等价于24y=48，从而有y=-48。
（ 4）若式g+h(x)+4(y)2=0，代入上式，得当x为2， y为-8时，当x=-2，y=-32时，此式等价于32y=48，从而有y=-48。
（ 5）若式g+h(x)+4(y)2=0，代入上式，得当x为-2， y为-8时，当x=-2， y=-20时，此式等价于20y=32，从而有y=-20。
二项式定理中的特殊项问题
⼆项式定理中的特殊项问题《⼆项式定理中的特殊项问题》导学案学习⽬标：1．进⼀步熟悉⼆项式定理及⼆项展开式的通项公式； 2．学会利⽤“赋值”的⽅法解决有关问题。
学习重点：⼆项式系数性质的应⽤；学习难点：⼆项式系数性质的应⽤。
学习过程：学习提纲：nn n r r n r n n n n n n b b a b a a b a C C C C )(110+++++=+--ΛΛ，是⼆项式展开式定理，主要研究了以下⼏个⽅⾯的问题：（1）展开式；（2）通项公式；（3）⼆项式系数及其有关性质。
1．求523)12()1(+-x x 的展开式中2x 项的系数。
变式1：9()ax x-的展开式中3x 的系数是84-，求a 的值。
2．求⼆项式3521()x x -的展开式中的常数项。
3．求11的展开式中的有理项。
4．已知22)()nn N x∈*的展开式中第五项的系数与第三项的系数的⽐是10:1。
（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含32x 的项；（3）求展开式中系数最⼤的项和⼆项式系数最⼤的项。
5．若8280128()x a a a x a x a x -=++++gg g ，且556a =，求0128a a a a ++++g g g 的值。
当堂检测：1．（2011 陕西⾼考）6(42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是（）.20A - .15B - .15C .20D2．若423401234(1)x a a x a x a x a x -=++++，则024a a a ++的值为。
3．若(0)x ∈+∞，，则15(12)x +的⼆项展开式中系数最⼤的项为。
4．已知(1)nx -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则(1)nx -的展开式中系数最⼩的项是。
5．若1(3)nx x+的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项。
作业：课本40P A 组1～9题；B 组1～5题附加题：若41()2n x x+展开式中前三项系数成等差数，求展开式中系数最⼤项．补充作业：1．若0166777a +x a +....+x a +x a =)1-x 3(，求（1）1237a a a a ++++gg g ；（2）7531a +a +a +a ；（3）01237||||||||||a a a a a +++++L2．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（） A ．160B ．240C ．360D ．8003．已知2()ni x x-的展开式中第三项与第五项的系数之⽐为314-，其中21i =-，则展开式中系数为实数且最⼤的项为（） A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第5项或第6项4．设()(1)(1)m n f x x x =+++（m 、n ∈N*），若其开展式中关于x ⼀次项的系数和为11，问m 、n 为何值时，含x 项的系数取最⼩值并求这个最⼩值．5．若72701227(12)x a a x a x a x a x -=+++++L 则01237||||||||||a a a a a +++++=L6．若n 为偶数，则1 + 3123133n nn n n n nC C C C C -+++++L 的值等于 7．若2006220060122006(12)x a a x a x a x -=++++L （x ∈R ），则010203()()()a a a a a a ++++++…+02006()a a += ；2200553122006420)a +......+a +a +(a -)a +.....+a +a +a (= 。
二项式定理问题的题型与解题思路 (精品干货)
二项式定理问题的题型与解题思路下面通过对一些近几年高考题的分析，谈谈与二项式定理有关的问题的题型与解题思路。
一、求展开式中的某一项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式T 1+r 。
1、求常数项例1 、（08年江西卷） 610(1(1展开式中的常数项为（ ） A ．1 B ．46 C ．4245 D ．4246解：先求6(1的展开式中的通项．133166(),0,1,2,3,4r r rr r T C x C x r +===．再求10(1的展开式中的通项． 14411010(),0,1,2,3,4,,10k k kk k T C x C x k --+===两通项相乘得：36r r C x 34410610r k k k r k C xC C x--=，令34r k-=0，得4r=3k ，这样一来，（r ，k ）只有三组：（0，0），（3，4），（6，8）满足要求。
故常数项为：346861061014246C C C C ++= 例2、（08年辽宁卷15）已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2≤n ≤8，则n =______．分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。
依题31()nx x +对*,28n N n∈剟中，只有5n =时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x 、2x 乘积为常数的项。
故填5。
（备用题）（05年湖北卷）5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项等于 。
解：因为5)212(++x x ＝10)12(xx +，所以常数项为正中间的项2263)12(55106=∙=x x C T ． 练习题：1）、（08年山东卷）（X -31x）12展开式中的常数项为（ ）（A ）-1320（B ）1320 （C ）-220 (D)2202）、（08年全国二7）64(1(1的展开式中x 的系数是（ ） A ．4- B ．3- C ．3 D ．4答案：1）（C ）；2）（B ）。
高中数学 2二项式定理(带答案)
二项式定理一．二项式定理1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式2.各项的系数r n C 叫做二项式系数3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==L4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n二．二项式系数的性质性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -=性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++=性质3 ()na b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C +++=L （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）性质4 ()na b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即022132112.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=L L L L （令1,1a b ==-即得）性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n n C -12n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）【题型精讲】题型一、展开式中的特殊项1．21()n x x -的展开式中，常数项为15，则n = A ．3 B ．4 C ．5 D ．62.在()()1n x n N *+∈的二项展开式中，若只有5x 的系数最大，则n = A ．8 B. 9 C. 10 3．如果2323n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10题型二、展开式的系数和1.已知()()()()100210001210012111.x a a x a x a x +=+-+-++-L 求：（1）0a ；（2）012100a a a a ++++L （3）13599a a a a ++++L ；2.（江西理4）已知33nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 3.（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++L ，则01211a a a a ++++L 的值为（ ）Ａ．2-Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．2 4.(安徽文12)已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++, ())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 .题型三、一项展开:拆成两项除以9的余数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8题型四、多项展开：1.（|x |＋||1x －2）3展开式中的常数项是（ ） A ．12B ．－12C ．20D ．－20 2.求()()()2111n x x x ++++++L 展开式中3x 项的系数.二项式定理1、展开式中的特殊项1．解．21()n x x -的展开式中，常数项为15，则223331()()15n n n n C x x -=，所以n 可以被3整除，当n=3时，13315C =≠，当n=6时，2615C =，选D 。
二项式定理知识点及典型题型总结(经典)强烈推荐
二项式定理知识点及典型题型总结(经典)强烈推荐二项式定理是高中数学中的重要概念之一。
它表示了一个二元多项式的n次幂可以用二项式系数展开成一系列项的和。
其中，二项式系数是组合数，表示从n个元素中选取r个元素的方案数。
展开式共有n+1项，每一项的系数即为二项式系数。
展开式的指数有一些特点：a的指数从n开始递减，b的指数从0开始递增，a和b的指数之和为n。
需要注意的是，展开式是一个恒等式，a，b可以取任意的复数，n为任意的自然数，一般n≥2.二项式系数具有一些性质。
首先是对称性，即在二项展开式中，与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等。
其次是增减性与最值，二项式系数先增后减，在中间取得最大值。
当n 是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值。
此外，二项式系数的和也有一些特殊的形式。
奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，这可以通过二项式定理的特殊情况得到。
另外，奇数项的系数和与偶数项的系数和也可以用展开式表示出来。
总之，二项式定理是高中数学中的基础概念之一，具有很多特殊的性质。
熟练掌握这些概念和性质，对于高中数学的研究和应用都有很大的帮助。
题型一：利用通项公式求xn的系数例1、在二项式(4x+3)2n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？解析：由条件知系数等于二项式系数，Cn=45，解出n=10，代入展开式中可得：T7=C10,7(4x)7(3)3=210(4)7(3)3=所以含有x3的项的系数为.例2、求展开式(1+x)5中x4的系数。
解析：根据二项式定理可得：1+x)5=C5,0(1)5x0+C5,1(1)4x1+C5,2(1)3x2+C5,3(1)2x3+C5, 4(1)x4+C5,5x5所以x4的系数为C5,4=5.题型二：利用通项公式求常数项例3、求展开式(2x+3)6中的常数项。
解析：根据二项式定理可得：2x+3)6=C6,0(2x)6(3)0+C6,1(2x)5(3)1+C6,2(2x)4(3)2+C6,3( 2x)3(3)3+C6,4(2x)2(3)4+C6,5(2x)(3)5+C6,6(3)6所以常数项为C6,0(2x)6(3)0=2^6=64.题型五：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和。
二项式定理九种常见的考查题型归纳
二项式定理常见的题型归纳吴友明 整理题型一：指定项有关的问题 例1.在12)13(xx -展开式中,3-x 的系数为 . 解析:由二项式定理的通项公式得1121212211212(3)(3(1)r r rr r r r rr T C x C x x ----+=⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅ 312122123(1)rrrr C x--=⋅-⋅⋅.令31232r -=-可得10r =,即121010103311123(1)594T C x x ---=⋅-⋅⋅=.故3-x 项的系数为594.点评:解决此类问题的一般策略是：先求二项式展开式的通项，再利用化简后的通项与指定项之间的联系求解。
特别题型解题之前先确认题目是求二项式的展开式的系数或二项式的系数，另外二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用.练习.若n xx x )1(3+的展开式的常数项为84,则n = .解析:由二项式定理的通项公式得333321()r r n rrr n rr nnT C x C xx---+=⋅⋅=⋅⋅932n rr nC x-=⋅.令9302n r -=可设3,2n k r k ==,其中k N +∈. 故有23384r k kn k k C C C ===,解得3k =.故39n k ==.题型二：有理项有关的问题例2. 二项式24展开式中，有理项的项数共有（ ）项A. 3B. 4C. 5D. 7 解析:由二项式定理的通项公式得241136424r !2424T ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭rrr r r C x x C x，其中0,1,2,,24r =L ， 由题意得364r Z -∈，则0,4,8,12,16,20,24r =，所以共有7个有理项点评: 有理项是指变量的指数是整数（可以是正整数，也可以是负整数和零）的项，所以此类问题的一般解题思路是：先求二项式的展开式的通项，化简后令x 的指数为整数解决问题。
二项式定理各种题型归纳
应用一：二项式展开
二项式展开是指将二项式(a+b)^n通过二项式定理拆开求解。这种方法使得计算大指数的表达式更加快速和方 便，同时也展示了数学中的美妙和规律。
应用二：二项式系数
二项式系数是二项式定理中的系数部分，表示每一项的系数。二项式系数具 有很多有趣的性质和应用，如计算排列组合、数学归纳法等，帮助解决实际 问题。
二项式定理各种题型归纳
二项式定理是一种重要的数学定理，它在许多数学问题中都有广泛的应用。 本次演示将归纳介绍二项式定理的不同题型和应用，帮助大家更好地理解和 运用该定理。
二项式定理的定义
二项式定理是指数为自然数的二项式的展开公式，它用于计算形如(a+b)^n的表达式。在计算多项式乘方以及 排列组合中，二项式定理起到关键的作用。
Байду номын сангаас
应用三：二项式定理的逆运算
二项式定理的逆运算是通过已知多项式求解其对应的二项式系数。这个逆运 算在计算概率和统计问题中十分重要，帮助我们从结果获取更多有关的信息。
应用四：二项式定理在排列组合中的应用
排列组合是运用二项式定理解决问题的重要领域。通过应用二项式定理，我们可以计算组合、计算概率、解决 生产排列问题等，为我们提供更多的解决思路。
总结和应用建议
通过本次演示，我们归纳了二项式定理的不同题型和应用。学习和理解这些 内容有助于我们更好地掌握和运用二项式定理，解决各种实际问题，提高数 学思维和计算能力。
二项式定理典型例题(含解答)
二项式定理典型例题典型例题一例1 在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n rr n r n r x x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t nn ， 由已知：)1(8112312-+=+=n n n tt t ，∴8=n 通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r rr rr T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有典型例题四例4（1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为：5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x 1251)21(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x ．由121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式的通项公式r rrrrr x x T--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．典型例题五例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+展开． 解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+=其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-．∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -⋅⋅． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到222516)(C C x x -⋅⋅． 合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6．典型例题六例6 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ；（2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n nn n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++ ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =⋅=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-⋅+=+11C 11)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++ 的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(⋅+⋅++⋅+⋅+=+ 10101091092102C 2C 2C 21021++++⨯+= )C 2C 2C 210(21101099108210+++++=从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++ ． 典型例题七例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n 98)18(98911--+=--=++n n n n9818C 8C 8C 81211111--+⋅+⋅++⋅+=+-+++n nn n n n n n981)1(88C 8C 8211111--+++⋅++⋅+=-+++n n n n n n n 2111118C 8C 8⋅++⋅+=-+++n n n n n 64)C 8C 8(112111⋅++⋅+=-+-++n n n n n 是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．典型例题八例8 展开52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ．分析1：用二项式定理展开式．解法1：52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 2232524150250523)2(23)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C x x C x x C52554245322352323)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x C x x C x x C10742532243840513518012032xx x x x x -+-+-= 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．解法2：10535232)34(232x x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-233254315530510)3()4()3()4()4([321-+-+=x C x C x C x ])3()3()4()3()4(5554134532335-+-+-+C x C x C)243716204320576038401024(321369121510-+-+-=x x x x x x10742532243840513518012032x x x x x x -+-+-=． 说明：记准、记熟二项式nb a )(+的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．典型例题九例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-⋅+=++=++10010101010)(])[()(k k k kz y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式ky x -+10)(展开，不同的乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）．其中每一个乘积展开后的项数由ky x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．故原式展开后的总项数为66191011=++++ ，∴应选D ．典型例题十例10 若nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21转化为nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+；当0<x 时，同理nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，解出n ． 解：当0>x 时nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其通项为rn r n r r rn r n r x C xx C T 222221)()1()1()(--+-=-=，令022=-r n ，得r n =， ∴展开式的常数项为n nnC2)1(-；当0<x 时，nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+， 同理可得，展开式的常数项为n n n C 2)1(-．无论哪一种情况，常数项均为nn n C 2)1(-． 令20)1(2-=-nn n C ，以 ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．典型例题十一例11 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________．分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可． 解： 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 有意义必须0>x ；依题意有43T T <即3373102382101)(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x C x x C ．∴31123891012910xx ⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯（∵0>x ）．解得5648980<<x ．∴x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<5648980x x ．∴应填：5648980<<x ．典型例题十二例12 已知n xx)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ， 即321!)1)(1(!!)(!!!)1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=⇒n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xx C ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．典型例题十三例13 nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有8226655=⇒=n C C n n ． ∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==．设第1+r 项系数最大，则有65222211881188≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--r C C C C r r r r r r r r ． ∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0 ∈r ）．∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．典型例题十四例14 设nm x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后用二次函数性质探讨最小值．解：1111=+=+m n C C n m ．211)(21222222-+=-+-=+n m n n m m C C n m 499)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ．∵+∈N n ， ∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25．说明：二次函数499)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-n 的最小值在5=n 或6=n 处取得．典型例题十五例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=- ，求(1) 721a a a +++ ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．解：(1)令0=x ，则10-=a ，令1=x ，则128270167==++++a a a a ． ①∴129721=+++a a a ．(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ②由2②①-得：8256]4128[2177531=--=+++）（a a a a (3)由2②①+得：6420a a a a +++][210123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++=8128])4(128[217-=-+=． 说明：（1）根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式nn n x a x a x a a q px x g ++++=+= 2210)()(，)(x g 的各项的系数和为)1(g ：)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g ． 典型例题十六例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是___. 分析(1)：将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．解：3230-3)2(103-=3)8(10-=3)17(10-+=37771010910911010010-++++=C C C C2]77[791081109010-+++⨯=C C C又∵余数不能为负数，需转化为正数。
二项式定理十大典型问题及例题
學科教師輔導講義學員編號： 年 級：高二 課 時 數： 3 學員姓名： 輔導科目：數學 學科教師：教學內容1．二項式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二項式展開式：右邊の多項式叫做()n a b +の二項展開式。
②二項式係數:展開式中各項の係數rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③項數：共(1)r +項，是關於a 與b の齊次多項式④通項：展開式中の第1r +項r n r rn C a b -叫做二項式展開式の通項。
用1r n r r r nT C a b -+=表示。
3．注意關鍵點：①項數：展開式中總共有(1)n +項。
②順序：注意正確選擇a ,b ,其順序不能更改。
()n a b +與()nb a +是不同の。
③指數：a の指數從n 逐項減到0，是降冪排列。
b の指數從0逐項減到n ，是升冪排列。
各項の次數和等於n .④係數：注意正確區分二項式係數與項の係數，二項式係數依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅項の係數是a 與b の係數（包括二項式係數）。
4．常用の結論：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性質：①二項式係數の對稱性：與首末兩端“對距離”の兩個二項式係數相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二項式係數和：令1a b ==,則二項式係數の和為0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，變形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。
高考数学二项式定理题型归类及求解
一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。
1、求常数项例1、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A. －45iB. 45iC. －45D. 45解析：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。
2、求有理项例2、已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。
解析：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得即解得n=8（n=1舍去）于是若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。
故展开式中所有的有理项为3、求幂指数为整数的项例3、在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项解析：所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。
4、求系数最大的项例4、已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。
解析：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8又设第r+1项的系数最大，则有解得又，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。
例5、的展开式中整理后的常数项为________。
解析：对于二项式的展开式中要得到常数项需10－r=5，则r=5所以常数项为例6、在展开式中，含的项的系数是（）A. 74B. 121C. －74D. －121解析：的展开式中，含的项为，故选D。
三、求展开式中某一项的二项式系数或系数此类问题仍然是利用二项式的通项公式来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。
二项式定理——求特定项系数
高三数学补弱二项式定理——求特定项系数一、二项式系数的计算=nm C例：=35C =68C练习：=46C =310C二、已知二项式求其特定项（或系数）例1.（1）（2021•宝山区一模）已知二项式612⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ，则其展开式中的常数项为 ．（2）（2020•松江区一模）522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中4x 的系数为 ．（3）（2020•3月份模拟）771⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式的第2项为 ．（4）（2020•潍坊模拟）二项式62⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中含3x 项的系数是160，则a 的值是 ．跟踪训练：1．（2020•东城区一模）在62⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为 ．（用数字作答）2．（2020•北辰区模拟）在621⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含3x 项的系数为 ．（用数字作答）3．（2020•驻马店模拟）8212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式的第5项的系数为 ．4．（2020•吴忠模拟）()52y x -的展开式中，32y x 的系数为 ．5．（2020•天津二模832⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的展开式中常数项为112，则实数a 的值为 ．三、已知因式之积求其特定项（或系数）例2.（1）（2020•桃城区模拟）在()8311⎪⎭⎫⎝⎛--x x x 的展开式中含21x 项的系数等于 ．（2）（2020•衡水模拟）()5221⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x 的展开式中的常数项为 ．（3）（2020•福建模拟）()()62y x y x -+的展开式中，43y x 的系数为 ．跟踪训练：1．（2020•运城模拟）()()125+-x x 的展开式中，x 3的系数是 ．2．（2020•山东模拟）展开式中的常数项为．3．（2020•青岛模拟）（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为．4．（2020•宜春模拟）在()()52yxyx-+的展开式中，24yx的系数为．四、已知三项式求其特定项（或系数）例3.（1）（2020•攀枝花模拟）()322--xx的展开式中，含4x的项的系数是．（2）（2020•梅州二模）322441⎪⎭⎫⎝⎛++xx展开式的常数项为．（3）（2020•广东二模）()62++yx的展开式中，3xy的系数为．跟踪训练：1．（2020•山西模拟）展开式中，常数项是．2．（2020•临汾模拟）()522yxx++的展开式中，25yx的系数为．3．（2020•九江一模）的展开式中x2的系数为．4．（2020•汕头一模）在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为．5．（2020•河南模拟）的展开式中，常数项为．高三数学补弱二项式定理1——求特定项系数五、二项式系数的计算=nm C例：=35C =68C练习：=46C =310C六、已知二项式求其特定项（或系数）例1.（1）（2021•宝山区一模）已知二项式（2x +）6，则其展开式中的常数项为 ． 【解答】二项式展开式的通项公式为T r +1＝•（2x ）6﹣r •x ﹣r ＝26﹣r ••x 6﹣2r ，令6﹣2r ＝0，求得r ＝3，故展开式中的常数项为 23•＝160，故答案为：160．（2）（2020•松江区一模）（x 2+）5的展开式中x 4的系数为 40 ． 【解答】根据题意得，T r +1＝（x 2）5﹣r（）r＝2r x10﹣3r，令10﹣3r ＝4，得r ＝2∴（x 2+）5的展开式中x 4的系数为22＝40；故答案为40．（3）（2020•3月份模拟）（x ﹣）7的展开式的第2项为 ．【解答】（x ﹣）7的展开式的第2项为T 2＝••x 5＝﹣x 5，故答案为：﹣x 5．（4）（2020•潍坊模拟）已知二项式的展开式中含x 3项的系数是160，则实数a 的值是 2 ． 【解答】二项式的展开式的通项公式为 T r +1＝•a r •x 12﹣3r ，令12﹣3r ＝3，求得r ＝3，可得展开式中含x 3项的系数是 •a 3＝160，解得实数a ＝2，故答案为：2． 跟踪训练：1．（2020•东城区一模）在（x +）6的展开式中常数项为 ．（用数字作答）【解答】在的展开式中的通项公式为T r+1＝•2r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为•23＝160，故答案为：160．2．（2020•北辰区模拟）在（x2+）6的展开式中，含x3项的系数为．（用数字作答）【解答】由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣3r，令12﹣3r＝3，解得r＝3，故展开式中x3的系数是＝20，故答案为：20．3．（2020•驻马店模拟）（2x﹣）8展开式的第5项的系数为70 ．【解答】解：（2x﹣）8展开式的第5项为T5＝••24•x2，故第5项的的系数为＝••24＝70，故答案为：70．4．（2020•吴忠模拟）（2x﹣y）5的展开式中，x2y3的系数为．【解答】T r+1＝（2x）5﹣r（﹣y）r，令r＝3，可得：x2y3的系数为×22×（﹣1）3＝﹣40．故答案为：﹣40．5．（2020•天津二模）的展开式中常数项为112，则实数a的值为．【解答】通项公式为T r+1＝•（﹣）r＝（﹣2a）r••x，令＝0，解得r＝2，所以常数项为（﹣2a）2•＝112，解得a＝±1．七、已知因式之积求其特定项（或系数）例2.（1）（2020•桃城区模拟）在的展开式中含项的系数等于．【解答】∵（﹣）8的通项公式为T r+1＝••（﹣）r＝（﹣1）r••x，令﹣8＝﹣5得r＝2；令﹣8＝﹣2得r＝4；根据二项式定理，含项的系数等于．（2）（2020•衡水模拟）的展开式中的常数项为．【解答】∵的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x5﹣2r，∴（x2+x+1）＝（x2+x+1）（x5﹣10x3+40x﹣80x﹣1+80x﹣3﹣32x﹣5），则的展开式中的常数项为﹣80．（3）（2020•福建模拟）（x+2y）（x﹣y）6的展开式中，x3y4的系数为．【解答】因为（x+2y）（x﹣y）6的展开式中，所以含x3y4的项为x••x2•（﹣y）4+2y••x3•（﹣y）3＝（﹣2）•x3•y4＝﹣25x3y4．跟踪训练：1．（2020•运城模拟）（2﹣x）5（x+1）的展开式中，x3的系数是．【解答】（2﹣x）5展开式的通项公式是T r+1＝•25﹣r•（﹣x）r；则x3的系数是•22•（﹣1）3+•23•（﹣1）2＝﹣40+80＝40．2．（2020•山东模拟）展开式中的常数项为．【解答】∵＝（1﹣x2）（x6﹣6x4+15x2﹣20+15x﹣2﹣6x﹣4+x﹣6），故展开式中的常数项为﹣20﹣15＝﹣35．3．（2020•青岛模拟）（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为．【解答】（x﹣）6展开式的通项公式为：T r+1＝•x6﹣r•＝（﹣1）r••x6﹣2r，令6﹣2r＝0，解得r＝3，∴T3+1＝（﹣1）3•＝﹣20；令6﹣2r＝﹣2，解得r＝4，∴T4+1＝（﹣1）4••＝15•；∴（x2+2）（x﹣）6展开式中常数项为：2×（﹣20）+15＝﹣25．4．（2020•宜春模拟）在（2x+y）（x﹣y）5的展开式中，x4y2的系数为．【解答】在（2x+y）（x﹣y）5的展开式中，要得到含x4y2的项，可以用2x乘以（x﹣y）5的展开式中含x3y2的项；也可以用y乘以（x﹣y）5的展开式中含x4y的项，故含x4y2的项系数为2+•（﹣1）＝15．八、已知三项式求其特定项（或系数）例3.（1）（2020•攀枝花模拟）（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是．【解答】∵（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），含x4的项的系数为3﹣6×3+12＝﹣3．（2）（2020•梅州二模）（+4x2+4）3展开式的常数项．【解答】∵（+4x2+4）3＝[]3＝，（1+2x2）6的展开式中的通项公式为T r+1＝•2r x2r，r＝0，1，…，6，∴T4＝•23x6＝160x6，所以（+4x2+4）3展开式的常数项为160．（3）（2020•广东二模）（x+y+2）6的展开式中，xy3的系数为．【解答】把（x+y+2）6的展开式看成6个因式（x+y+2）的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含xy3的项；故含xy3项的系数为：•×22＝240．故选：C．故原式展开后，常数项为﹣220．跟踪训练：1．（2020•山西模拟）展开式中，常数项是．【解答】由于，本题即求分子展开式中x6项的系数．分子二项展开式的通项为，令24﹣2r＝6，解得r＝9，此时，x6项的系数为2．（2020•临汾模拟）（x2+2x+y）5的展开式中，x5y2的系数为．【解答】由（x2+2x+y）5＝[（x2+2x）+y]5，通项公式可得：T r+1＝•（x2+2x）5﹣r•y r；∵要求x5y2的系数；故r＝2，此时（x2+2x）3＝x3•（x+2）3；其对应x5的系数为：•x2•21＝6．∴x5y2的系数为：×6＝60．3．（2020•九江一模）的展开式中x2的系数为28．【解答】∵，∵（x﹣1）8中x6的系数为＝28．∴展开式中x2的系数为．4．（2020•汕头一模）在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为．（﹣2）3+C C（﹣2）2＝120．5．（2020•河南模拟）的展开式中，常数项为145．【解答】根据题意，＝[（3x﹣）﹣1）]4，其展开式的通项T r+1＝C4r（3x﹣）4﹣r（﹣1）r，r＝0、1、2、3、4，当r＝0时，有T1＝（3x﹣）4，其中常数项为C42（3x）2（﹣）2＝216，当r＝2时，有T3＝C42（3x﹣）2，其中常数项为C42C21（3x）1（﹣）1＝﹣72，当r＝4时，有T5＝（﹣1）4，其中常数项为1，则的展开式中，常数项为216﹣72+1＝145；故答案为：145。
二项式定理的应用--求特殊项
而
( x 1)5k 2x
的通项为
C5rk
(
x 2
)5k
r
(
1 x
)r
C x 2 r 52rk k r5 5k
令5-2r-k=0
，则k+2r=5
,可得
k=1 r=2
或
k=3 r=1
或
k=5 r=0
当k=1,r=2时，得展开式中项为
1
C51C42 22 22
15 2
2
当k=3,r=1时，得展开式中项为 C53C212 2 21 20 2
另法：
因
(2
1 )6 3x
(1 23 x2
x )6
故
T4
C63 (23 x2
x )3
160 x
纯属运气！
试试看：若求第二项，结果还会一样吗……
(5)课本P：37 A组 Ex4
①因 Tr1 C1r5(2x)r 故 T1 1 ,T2 30x ,T3 420x2, T4 3640x3
② T8 2099520a9b14 ③ T7 924
(
x 1 )24 3x
的展开式中有理数项共有
A.3项
B.4项
C.5项
D.6项
析1：展开式中的有理数项，即幂指数是整数的项
析2： Tr1 C2r4 (
x )24r (3
x)r
C2r4
12 5r
x6
析3：令 12
5r 6
为整数，且0≤r≤24
则 r = 0，6，12，18，24. 共5 个r
5
5r
另法： (
(1)(2012年重庆)
x
1 2x
8
的展开式中常数项为
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《二项式定理中的特殊项问题》导学案学习目标：1． 进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式； 2． 学会利用“赋值”的方法解决有关问题。
学习重点：二项式系数性质的应用； 学习难点：二项式系数性质的应用。
学习过程： 学习提纲：nn n r r n r n n n n n n b b a b a a b a C C C C )(110+++++=+-- ，是二项式展开式定理，主要研究了以下几个方面的问题：（1）展开式；（2）通项公式；（3）二项式系数及其有关性质。
1．求523)12()1(+-x x 的展开式中2x 项的系数。
变式1：9()ax x-的展开式中3x 的系数是84-，求a 的值。
2． 求二项式3521()x x -的展开式中的常数项。
3． 求11的展开式中的有理项。
4． 已知22)()nn N x ∈*的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。
（1） 求展开式中各项系数的和； （2） 求展开式中含32x 的项；（3） 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。
5． 若8280128()x a a a x a x a x -=++++，且556a =，求0128a a a a ++++的值。
当堂检测：1．（2011 陕西高考）6(42)()xx x R --∈的展开式中的常数项是（ ）.20A - .15B - .15C .20D2．若423401234(1)x a a x a x a x a x -=++++，则024a a a ++的值为 。
3．若(0)x ∈+∞，，则15(12)x +的二项展开式中系数最大的项为 。
4．已知(1)nx -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则(1)nx -的展开式中系数最小的项是 。
5．若1(3)nx x+的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项。
作业：课本40P A 组1～9题；B 组1～5题附加题：若41()2n x x+展开式中前三项系数成等差数，求展开式中系数最大项．补充作业：1．若0166777a +x a +....+x a +x a =)1-x 3(，求（1）1237a a a a ++++ ；（2）7531a +a +a +a ； （3）01237||||||||||a a a a a +++++2．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ） A ．160B ．240C ．360D ．8003．已知2()nx x-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中系数为实数且最大的项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第5项或第6项4．设()(1)(1)m n f x x x =+++（m 、n ∈N*），若其开展式中关于x 一次项的系数和为11，问m 、n 为何值时，含x 项的系数取最小值并求这个最小值．5．若72701227(12)x a a x a x a x a x -=+++++则01237||||||||||a a a a a +++++=6．若n 为偶数，则1 + 3123133n nn n n n nC C C C C -+++++的值等于 7．若2006220060122006(12)x a a x a x a x -=++++（x ∈R ）， 则010203()()()a a a a a a ++++++…+02006()a a += ；2200553122006420)a +......+a +a +(a -)a +.....+a +a +a (= 。
8．若1002100012100(12)(1)(1)(2)x a a x a x a x +=+-+-++-，求13599a a a a ++++的值．9．求证：1-n nn 3n 2n 1n 2•n =nC +.....+C 3+C 2+C10．求证：1121C 3C 2C 1C 1210+-=++++++n n n n nn n n11．已知(a ＋b )n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于 ( )． A ．11 B ．10 C ．9 D ．812． ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是 ( )． A ．第8项 B ．第9项 C ．第8项或第9项 D ．第11项或第12项13．设(3－x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若n ＝4，则a 0－a 1＋a 2＋…＋(－1)na n ＝ ( )．A ．256 B ．136 C ．120 D ．1614．在二项式(1－2x )6的展开式中，所有项的系数之和为________． 15．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．16．设(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，当a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝254时，求n 的值．17．若(x ＋3y )n 展开式的系数和等于(7a ＋b )10展开式中的二项式系数之和，则n 的值为 ( )．A ．5 B ．8 C ．10 D ．1518．(2012·济宁高二检测)如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x3的系数是 ( )． A ．7 B ．－7 C ．21 D ．－21 19．在(a －b )10的二项展开式中，系数最小项是________． 20．若(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 012x2 012(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 012)＝________．(用数字作答)21．已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14， 求(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.22．(创新拓展)对于二项式(1－x )10.(1)求展开式的中间项是第几项写出这一项； (2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和； (3)写出展开式中系数最大的项．23．（2013 全国新课标卷 9题）设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b 。
若137a b =，则m =（ ）.5A .6B .7C .8D24．（2013 全国新课标卷 5题）已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ）.4A - .3B - .2C - .1D -25．（2013 全国大纲卷 7题）84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）.56A .84B .112C .168D26．（2013 四川卷 11题）二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是（用数字作答）27．（2013安徽卷 11题）若83()x x+的展开式中4x 的系数为7，则实数a = 28．（2013辽宁卷 7题）使(3)()n x n N x x+∈*的展开式中含有常数项的最小的n 为 29．（2013浙江卷 11题）设二项式53()x x-的展开式中常数项为A ，则A = 30．（2013江西卷 5题）2532()x x-展开式中的常数项为 31．（2013天津卷 10题）6()x x-的二项展开式中的常数项为07学案 参考答案1．解法一：在3)1(x -中2x 项的系数为3)1(C 223=-，常数项为1在52)12(+x 中2x 项的系数为102C 24=，常数项为1故在523)12()1(+-x x 的展开式中2x 项的系数为1311013=⨯+⨯。
解法二：523)12()1(+-x x个共522)12()12()1)(1)(1(++---=x x x x x由于积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的积，故展开式中2x 项的系数为1312C 11)(C 7156223=⋅⋅+⋅-变式1：解：992199()()k k k k k k k k T C x x a a C x ---+=-=-，令9233k k -=⇒=，3x ∴的系数为33984a C -=-，31,1a a ∴==2．解：15515(1)r r r r T C x -+=-，令15503r r -=⇒=，故展开式中的常数项为335(1)10C -=-3．解：因为二项展开式中共有12项，其通项公式3311113611111(3)(2)3(2)r rrrr rrk T C x x C x---+=-=-，01211r =⋅⋅⋅，，，，其中只有当3r =或9r =时，才是有理项。
4．解：（1）1；（2）展开式中含32x 的项为32216T x =-；（3）系数最大的项为1171792T x -=，二项式系数最大的项为651120T x -=5．82当堂检测：1．C 2．8 3．第11项 4．310x - 5．52113524327015T x T x T x -===，， 附加题：解．由已知条件得021211222nn nC C C +⋅=⋅，所以n = 8．记第k 项的系数为t k ，设第k 项系数最大，则有1k k t t +≥且1k k t t -≥所以11881122882222k k k k k k k k C C C C --+---+--+⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩， 所以8!8!2,(1)!(9)!!(8)!8!8!2,(1)!(9)!(2)!(10)!k k k k k k k k ⎧⋅≥⎪-⋅-⋅-⎪⎨⎪≥⋅⎪-⋅---⎩的所以29,102(1),k k k k ≥-⎧⎨-≥-⎩所以3≤k ≤4，所以系数最大的项分别为第3项和第4项，分别是5724447,7T x T x =⋅=⋅ 补充作业：2． B 3．C4．解．解:1111,m n C C m n +=+=所以2222222211111021199()1155()22224mnm n mn C C m m n n n n +--+=-+===-+=-+． 因为n ∈N*，所以n = 5或6，m = 6或5时，含x 2项的系数最小，最小值为25． 5．2187． 6．12n +．7．2006． 8．解：已知等式 令x = 2得100012100(14)a a a a +=++++，令x = 0得01231001a a a a a =-+-++，两式直减得1001399512()a a a -=+++．所以10011599522a a a a -++++=． 10．证明：左边)!(!!11C 11k n k n k k k n -⋅+=+)!()!1()!1(11k n k n n -++⋅+=11C 11+++=k n n ∴1C 3C 2C 1C 210+++++n n n nn n )C C (C 11112111++++++++=n n n n n =-+=+)12(111n n 右边故原式得证。