2015年北京数学中考总复习课件专题突破四：中考圆中档题分析

例 1 [2014· 门头沟一模] 如图 Z4－ 1， ⊙ O 的直径 AB＝ 4， 点 P 是 AB 延长线上的一点，过点 P 作⊙ O 的切线，切点为 C，连接 AC. (1)若∠ CPA＝ 30°，求 PC 的长； (2)若点 P 在 AB 的延长线上运动， ∠ CPA 的平分线交 AC 于点 M.你认为∠ CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说 明理由；若不变化，求出∠ CMP 的大小．
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但是 2014 年圆的位置调整为第 21 题，与去 年相比较综合性有所提高．这些试题上的变化需 要引起我们的足够关注．
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热考一 圆的切线的性质与判定
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解： (1)连接 OC.∵ AB＝ 4，∴ OC＝ 2. ∵ PC 为⊙ O 的切线，∠ CPO＝ 30°， OC 2 ∴ PC＝ ＝ ＝ 2 3. tan30° 3 3 (2)∠ CMP 的大小没有变化． ∠ CMP＝∠ A＋∠MPA 1 1 ＝ ∠ COP＋ ∠ CPO 2 2 1 ＝ (∠ COP＋∠ CPO) 2 1 ＝ × 90°＝ 45° . 2
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Байду номын сангаас
方法点析
解决圆中有关线段的计算的一种重要方法是通过添 加辅助线，构建有特殊角的直角三角形进行计算，或是 构建直角三角形，利用等角代换将已知角的三角函数转 化为直角三角形中某一锐角的三角函数进行计算．
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热考四
运用方程思想解决圆的计算问题
例 5 [2012· 昌平一模 ] 如图 Z4－ 5， 已知直线 PA 交⊙ O 于 A，B 两点， AE 是⊙ O 的直径，C 为⊙O 上一点，且 AC 平分∠PAE，过点 C 作 CD⊥ PA 于点 D. (1)求证： CD 是⊙O 的切线； (2)若 AD∶ DC＝1∶3，AB＝8，求 ⊙O 的半径．
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方法点析
圆的切线的判定为中考考点之一，证明思路为： (1)有交点，连半径，证垂直．这是最常见的类型，这类证明又常分为两种情况： ①证明两个以上的角之和为 90 °，经常利用圆的有关性质( 半径相等，圆周角定理等) 进行等角代换； ②证明一角为 90°，经常通过证明两个直角三角形全等或是利用平行的性质得到． (2)无交点，作垂直，证半径．当此线与圆无交点时，过圆心向此线作垂线段，证明此 垂线段等于半径．
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(2)过点 E 作 EG⊥ BC 于点 G. 1 ∵∠ BAF＝∠ EBC，∴ sin∠BAF＝ sin∠ EBC＝ . 4 在△ AFB 中，∠ AFB＝ 90°， 1 ∵ AB＝ 8，BF＝ AB· sin∠ BAF＝ 8× ＝ 2. 4 ∴BE＝ 2BF＝ 4. 在△ EGB 中，∠ EGB＝ 90°， 1 ∴ EG＝ BE· sin∠ EBC＝ 4× ＝ 1. 4 ∵ EG⊥ BC， AB⊥BC， ∴ EG∥ AB. ∴△ CEG∽△ CAB. CE EG ∴ ＝ ， AC AB CE 1 即 ＝ . CE＋ 8 8 8 ∴ CE＝ . 7 8 64 ∴ AC＝ AE＋ CE＝ 8＋ ＝ . 7 7
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方法点析
在圆中利用相似三角形的性质与判定来计算有关线段长 度是常用方法之一．学生需要从结论入手展开思维，借助在 图形上标注已知量，寻找未知与已知的联系，从而找到解决 问题的突破口．在复杂图形中寻求或构建相似基本图形是解 题的关键．
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解： (1)证明：如图所示，连接 OD， BD. ∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ADB＝∠ BDC＝ 90° . 在 Rt△BDC 中， 1 ∵ E 是 BC 的中点，∴ DE＝ BC， 2 ∴ DE＝BE，∴∠ 1＝∠ 2. ∵ OD＝ OB，∴∠ 3＝∠ 4. ∵∠ ABC＝∠ 2＋∠ 4＝ 90°， ∴∠ ODE＝∠ 1＋∠ 3＝ 90°，即 OD⊥ DE. ∴ DE 是⊙ O 的切线． (2)∵∠ ABC＝∠ ADB，∠ A＝∠ A， ∴△ ABC∽△ ADB， AB AD 3 ∴ ＝ ＝ . AC AB 5 设 AB＝ 3x，则 AC＝ 5x. 在 Rt△ ABC 中，有 AB2＋BC2＝ AC2， 28 ∴ (3x)2＋ 2＝ (5x)2， 3 7 解得 x＝ . 3
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解： (1)证明：连接 AF. ∵ AB 为直径，∴∠ AFB＝ 90° . ∵ AE＝ AB，∴△ ABE 为等腰三角形， 1 ∴∠ BAF＝ ∠ BAC，∴∠BAF＝∠ EBC， 2 ∴∠FAB＋∠ FBA＝∠ EBC＋∠FBA＝ 90° . ∴∠ ABC＝ 90°， ∴BC 与⊙ O 相切．
专题四
北京中考圆中档题分析
与预测
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京 考 探 究
考 情 分 析
圆的中档解答题在第 20 题左右， 分值为 5 分， 难度中等偏上，是每一位考生力争满分的题型之 一． 所考查知识点相对稳定， 考查学生对圆、 相似、 解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力 . 从 题 目 本身 来 看， 一 般都 是 采 取很 标 准的 两问 式． 第一问证明切线， 考查切线判定定理以及切线 性质定理及推论， 第二问通常会给定一线段长度和 一角的三角函数值， 求其他线段长， 综合考查圆与 三角形的知识点．
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解：(1)证明：连接 OC. ∵OC＝ OA， ∴∠OAC＝∠OCA. ∵AC 平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC. ∵CD⊥PA，∴∠ADC＝∠OCD＝90°， 即 CD⊥OC. ∵点 C 在⊙ O 上， ∴CD 是⊙O 的切线．
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热考二
运用解直角三角形计算圆中有关线段的长
例 3 [2013· 海淀二模] 如图 Z4－ 3，在 △ABC 中，E 是 AC 上一点，且 AE＝AB， 1 ∠EBC＝ ∠BAC， 以 AB 为直径的⊙O 交 AC 2 于点 D，交 EB 于点 F. (1)求证：BC 与⊙O 相切； 1 (2)若 AB＝8， sin∠EBC＝ ， 求 AC 的长． 4
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方法点析
尝试用列方程的思想方法解决几何 的计算问题是一种重要的思想方法．
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(2)过点 O 作 OF⊥ AB 于点 F， ∴∠ OFA＝ 90° . ∵ AB＝ 8，∴ AF＝ 4. 在 Rt△ AFO 中，∠ AFO＝ 90°，∴ AO2＝ 42＋ OF2. ∵∠ FDC＝∠ OFA＝∠ DCO＝ 90°， ∴四边形 DFOC 是矩形， ∴ OC＝ DF， OF＝ CD. ∵ AD∶ DC＝ 1∶ 3，∴设 AD＝ x，则 DC＝OF＝3x， OA＝ OC＝ DF＝ DA＋ AF＝ x＋ 4， ∴在 Rt △ OAF 中，由勾股定理得， (x＋ 4)2 ＝ 42 ＋ (3x)2， 解得 x1＝ 0(不合题意，舍去 )， x2＝ 1.则 OA＝ 5. ∴⊙ O 的半径是 5.
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例 2 如图 Z4－2， ⊙O 经过菱形的三个顶点 A， C，D，且与 AB 相切于点 A. (1)求证：BC 为⊙O 的切线； (2)求∠B 的度数．
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解： (1)证明：如图，连接 AO， CO， OB. ∵ AB 是⊙ O 的切线， ∴ OA⊥ AB.∴∠BAO＝ 90° . ∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB＝BC. ∵ AO＝ CO， BO＝BO， ∴△ BAO≌△BCO(SSS)， ∴∠ BCO＝∠BAO＝ 90°， 即 OC⊥ BC，∴BC 为⊙ O 的切线． (2)连接 OD，由菱形、圆的对称性，知 BD 过圆心，即 B， O， D 三点共线． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB＝ AD，∴∠ ABO＝∠ ADO. ∵ OA＝ OD，∠ OAD＝∠ ODA. ∴∠ AOB＝ 2∠ ADO＝ 2∠ ABO. ∵∠ ABO＋∠ AOB＝ 90°， ∴∠ ABO＋ 2∠ ABO＝ 90°， ∴∠ ABO＝ 30°， ∴∠ ABC＝ 2∠ ABO＝ 2× 30°＝ 60° .
热考三
运用相似三角形的性质与判定计算圆中有关线段的长
例 4 [2013· 丰台一模 ] 已知：如图 Z4－ 4，在 Rt△ ABC 中，∠ ABC＝ 90°， 以 AB 为直径的⊙ O 交 AC 于点 D， E是 BC 的中点，连接 DE. (1)求证： DE 与⊙O 相切； 3 (2)连接 OE，若 cos∠ BAD＝ ， BE 5 14 ＝ ，求 OE 的长． 3