分数的裂项 裂差

第1讲 分数的裂项（裂差）

【内容综述】

在分数裂项中可能用到整数的裂项公式，如：

1）1+2+3+⋯+n =

()12

n n +； 2）1⨯2+2⨯3+⋯+n ⨯(n +1)=()()123

n n n ++； 3）1⨯2⨯3+2⨯3⨯4+⋯+n ⨯(n +1)⨯(n +2)=()()()1234

n n n n +++； 4）1⨯n +2⨯(n -1)+3⨯(n -2)+⋯+(n -1)⨯2+n ⨯1=()()126

n n n ++； 5）()()()()222222+12+224626

n n n n ⨯⨯++++= ；（n 为偶数） 6）()()()22222122+1135216

n n n n -⨯⨯++++-= ；（n 为奇数） 7）2222123n ++++ =()()1216n n n ++； 8）3333123n ++++ =()2123n ++++ =()2

214n n +； 这节课我们学习分数的裂项——裂差，这种方法是分数多项计算常用方法，我们的目的能够达到下面的“咔咔算式”：（中间项可以抵消，剩下首尾有限项的算式命名为“咔咔算式”）

11111111111223341n n n n n --+-+-++-=-=-

裂差口诀：连加必裂差，裂差变咔咔，采用“撕分母”的方法。

11b a a b a b -=-⨯，()11111n n n n =-++，()1111n n p p n n p ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭

。 例1. 计算：111112233499100

++++⨯⨯⨯⨯ =________； 【分析】整体共99个分数相加，不可能去通分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式。

【解答】原式=1111111112233499100

-+-+-++- =111100

- =99100

【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！

例2. 计算：123101224474656

++++⨯⨯⨯⨯ =_______； 【分析】本题的分子虽然不同，但都恰好是分母中两个因数之差，仍然可以采用裂差法解题。

【解答】原式=2142745646----++++

=111111111224474656

-+-+-++- =11156

- =

5556

【评注】在分数裂差中，注意一定要把分子变成分母两个分数的之差，这时候大胆去“撕分母”，就可以得到咔咔算式的效果。

例3. 计算：1111255881198101++++⨯⨯⨯⨯ =__________； 【分析】整体共49个分数连加，分母中两个因数之差都是3，可以提取13

，然后裂差吧。 【解答】原式=133333255881198101⎛⎫++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭

=1111111113255881198101⎛⎫-+-+-++- ⎪⎝⎭

=11132101⎛⎫- ⎪⎝⎭

=33202

【评注】如果分子不是分母两个因数之差，一定先通过扩倍变成裂项公式的条件，然后才可以去裂项。

例4. 计算：11111353575799799101

++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________； 【分析】整体连加，且每个分母都是三个因数，不用裂差为三个分数，请你仔细观察，相邻两个分数的分母有哪些公共的因数，把公共的因数作为裂差后的分母，就到达咔咔算式的目的啦，本题应该先把分子都变为4，才可以撕分母，想想为什么？

【解答】原式=1111111114133535575779979999101⎛⎫-+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭

=11141399101⎛⎫- ⎪⨯⨯⎝⎭

=8339999

【评注】如果分母是三个因数的乘积，可以裂差：

11(2)111(1)(2)2(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n ⎛⎫+-=⨯=⨯- ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⎝⎭

； ()()11()()111()2()2()()n p n p n p n n p p n p n n p p n p n n n p ⎛⎫+--=⨯=⨯- ⎪-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎝⎭

。

例5. 计算：11111121231234123100

+++++++++++++++ =_________； 【分析】分母先使用公式：1+2+3+⋯+n =

()12

n n +，尽量不要约去分母中的2，分母就是分数裂项的敏感数列：1⨯2，2⨯3，3⨯4，4⨯6，……，可以直接裂项了。

【解答】原式=1111125

1223103441001⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ =101121⎛⎫- ⎪⎝⎭

=200101

【评注】如果在连加的算式中，如果能使用公式的，尽量使用公式，相同位置上的数才可以约分，否则可以找不到规律。

例6. 计算：22222222

1223342012016122334201201556

++++++++⨯⨯⨯⨯ =__________； 【分析】当你找不到解题方法的时候，不妨具体算出每个加数的大小，如果发现是假分数，最好化成带分数，以便，整数部分和小数部分分别计算。

【解答】原式=1111222212233420120165⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（共2015项） =11112201122334201552016⎛⎫⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝+⎭

=1403012016⎛⎫- ⎪⎝⎭

+ =201540302016

【评注】一般地，2222222(1)212()111122(1)(1)1

n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++===+=+-+++++，抱定必是裂差的思路，再次提醒大家：分数裂差分子一定是分母中两个因数之差才能顺利撕分母哦。

【练习题】

1. 计算：

11111223344950++++⨯⨯⨯⨯ =__________；

2. 计算：

1111144771097100

++++⨯⨯⨯⨯ =__________；