分数的裂项裂差

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分数裂差.学生版

1、灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和2、能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

1、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯-2、对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 3、对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ 考试要求知识结构分数裂差()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦ ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

分数裂项变形

裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
练习： 1 1 1 L
1
135 35 7 5 79
2001 2003 2005
【巩固】 4 4 ......
4
4
135 35 7
。
18
54
108
180
270
11 2 1 3 1 4 1 L 20 1
例 4： 2 6 12 20
420
【巩固】计算： 1 1 2 2 4 2 6 15 35 77
____。
1 1 1 1
1
例 5： 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6
6 7 8 9 7 8 9 10
【巩固】 3 3 ......
3
1 23 4 23 45
17 1819 20
5 7 L 19
．
例 6： 1 2 3 2 3 4
8 9 10
【巩固】计算：1155（ 5 7 L 17 19 ）
234 345
8 9 10 9 10 11
练习： 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） a b a b 1 1 （2） a2 b2 a2 b2 a b
ab ab ab b a
ab ab ab b a
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为

1、分数的裂项

分数的裂项——分数裂差知识点睛（一）单位分数1. 单位分数是指分子为1的分数，每个分数都可以拆成若干个分母不同的单位分数之和，例如：3016151613121+=+=， 2. 61321322-32331-21=⨯=⨯⨯=，31-2161= （二）分数裂差的基本形式1. 分子为11n 1-11n n 1541431321211+=+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯）（ 2. 分子不为1）（）（1n 1-121n n 2542432322212+=+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯3. 分母两数之差不为12n 1-12n n 2972752532312+=+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯）（（三）分数裂差的三大特征1. 当分数数列满足“母积子差”可以直接裂项，如果不满足，就要去构造成“母积子差”的形式；2. 分子全部相同，最基本的形式是分子为1，如果是不为1，则需要转化为1；3. 分母之间的差是一个定值，而且是两个自然数乘积的形式，首尾相接。

例题精讲【例1】求100991431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。

【例2】求420120112161++++ 的值。

【例3】求23212752532312⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。

即学即练【练1】求901421301201++++ 的值。

【练2】求20181861641421⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。

【练3】两个自然数的倒数的和是 2411，这两个自然数中较小的是多少？【练4】求1412151210141081386126411⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的值。

课后作业【作业1】求1111101541431321⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。

【作业2】求99163135115131++++的值。

【作业3】求119199717751553133111⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的值。

【作业4】求136115110161311++++++ 的值。

裂项运算常用公式

裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有:)11(11ba ab b a --=⨯ (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） ab b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）abb a b a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n(3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式 1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n nn n S n 证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n nS n 2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n nn n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n nn 4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ，])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（ 2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=- 完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。

小学数学(分数裂项)

分数裂项本课将学习通过巧妙的计算将题目变简（一）分数裂差：1丶直接裂差：形如ba b a a b a b b a a b 11--=⨯⨯=⨯-此时，不难发现，当分母为两个数的乘积，分子正好为这两个数的差值时，可以将这个数裂为两个数作差（后面简称裂差）.2丶间接裂差：形如）（ba abc b a a b a b c b a c b a c 111-⨯-=⨯-⨯-=-⨯=⨯此时，不难发现，当此时分子并不为分母两数差值时，也可以裂项，不过此时会多了一个系数a b c-3丶多数裂差：形如ba b a c b a a c b a c c b a a c ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-1-1-此时，不难发现，当此时分母不为两数乘积时，也可裂和，两数裂成1个1个的作差，三数裂成两个两个的作差，同理多数，且此时差值由大减小决定（二）分数裂和：4丶裂和：形如ba b a a b a b b a a b 11+=⨯+⨯=⨯+当分母为两个数的乘积，分子正好为这两个数的和，这类型的数，可以直接裂和（三）平方差公式：()()22b a b a b a -=-+（四）思路剖析：5丶首先得明白这类型题的一个考察形式，目的就是让我们分数间相互抵消，或者相互凑整.6丶口诀：①：连加连减必裂差②：加减混合必裂和③：连乘必定会约分例题一：（1）3130130291131211211111101⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ （2）5614213012011216121++++++例题二：10098398963863643423⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ 例题三：1009799981079874654132⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 例题四：12200720083420092010200620072008200820092010200720082009201020082010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+例题五：10099981543143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 例题六：101100991543974329832199⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 例题七：10432994328432332211⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+ 例题八：）（）（999819776135493251011-515019831992101011⨯++⨯+⨯+⨯⨯⨯++⨯+⨯+⨯自我巩固巩固一：871761651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯巩固二：56174216301520141213612211++++++巩固三：101982141121182852⨯++⨯+⨯+⨯ 巩固四：22122166161151174743422211+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯巩固五：103211432113211211++++++++++++++ 巩固六：2019201943433232212122222222⨯+++⨯++⨯++⨯+ 巩固七：12959697459899100959697989910096979910097100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+ 巩固八：）（）（）（）（10219211043213214)321()21(3++⨯++++++++⨯+++++⨯+拓展练习拓展一：1311241192097167512538314⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯拓展二：11010990897271565542413029201912116521+++++++++拓展三：）（）（）（（））（）（（））（（20171141131121120171411311211413112113121121++++++++++++++ 拓展四：120171201712015120151717151513132222222222-++-+++-++-++-+拓展五：（21191727532531219172752532311114382⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯-⨯++⨯+⨯+⨯ 拓展六：10981943273215⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ 拓展七：272624231986517643154211⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯。

分数裂项六种题型

分数裂项六种题型一、整数裂项整数裂项是一种常见的数学问题，通过将整数拆分成两个整数之和或之差，从而简化计算或证明某些数学关系式。

以下是一些常见的整数裂项例子：1.将整数拆分成两个相邻整数之和或之差，例如：5=2+3，10=3+7。

2.将整数拆分成两个绝对值相等的数之和或之差，例如：10=3+(-3)，20=7+(-7)。

二、分数裂项分数裂项是将分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算或证明某些数学关系式。

以下是一些常见的分数裂项例子：1.将分数拆分成两个同分母的分数的和或差，例如：1/2=1/(4)+1/(4)，2/3=1/(3)+1/(3)。

2.将分数拆分成两个异分母的分数的和或差，例如：2/5=3/(15)+(-4)/(15)，4/7=3/(21)+4/(21)。

三、混合数裂项混合数裂项是指将整数、分数等不同类型的数拆分成两个或多个数之和或差。

以下是一些常见的混合数裂项例子：1.将混合数拆分成一个整数和一个分数的和或差，例如：3/2=2+(1/2)，5=3+(2/2)。

2.将混合数拆分成两个分数之和或差，例如：4/3=1/(2)+3/(4)，7/6=1/(3)+1/(2)。

四、裂项相消法裂项相消法是一种常见的数学方法，用于简化分数的计算。

其基本思想是将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于约简分数。

以下是一个裂项相消法的例子：求和：1/2+1/6+1/12+1/20+...的值。

解答：原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...通过约简，我们得到原式=1-1/n（当n趋于无穷大时）。

五、分式裂项相消法分式裂项相消法是一种将分式拆分成多个分式的和或差，然后约简的方法。

以下是一个分式裂项相消法的例子：求分式：(a^2-b^2)/(a^2+b^2)的值。

解答：原式=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)/(a^2+b^2)=(a-b)/(a+b)+(a+b) /(a-b)。

分数裂项简便计算04

分数裂项简便计算04一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

(1)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

【例 1】 111123234789+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112128935144⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭= 【巩固】计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】计算：1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】4444...... 135357939597959799 ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 2】11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1111111 31232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭11131238910⎛⎫=⨯-⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160=【答案】119 2160【巩固】333...... 1234234517181920 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯。

分数裂项和分数裂差

分数裂项和分数裂差首先，我们来解释分数裂项的概念。

分数裂项指的是将一个分数拆分成两个分数之和，其中拆分的部分分子和分母都是整数。

具体而言，给定一个分数a/b，我们可以找到两个整数c和d，使得a/b=c/d+(a-c)/(b-d)。

这个过程就是将分数a/b裂项成两个分数。

例如，我们考虑分数3/4，我们可以将其裂项成1/2和1/4，即3/4=1/2+1/4、又如，分数5/6可以裂项成1/3和2/6，即5/6=1/3+2/6。

接下来，我们来解释分数裂差的概念。

分数裂差指的是将一个分数拆分成两个分数之差，其中拆分的部分分子和分母都是整数。

具体而言，给定一个分数a/b，我们可以找到两个整数c和d，使得a/b=c/d-(c-a)/(d-b)。

这个过程就是将分数a/b裂差成两个分数。

举例来说，我们考虑分数7/8，我们可以将其裂差成15/16和1/16，即7/8=15/16-1/16、再如，分数4/5可以裂差成6/10和2/10，即4/5=6/10-2/10。

分数裂项和分数裂差的概念在分数运算中是很有用的。

通过裂项和裂差的操作，我们可以将一个分数拆分成更简单的形式，更方便地进行运算。

例如，对于分数的加法和减法，我们可以通过裂项和裂差将复杂的分数运算简化为整数运算的形式。

这有助于我们更好地理解和掌握分数运算的规则和性质。

总之，分数裂项和分数裂差是两个与分数运算相关的概念。

它们都能将一个分数拆分成两个分数之和或差，其中拆分的部分分子和分母都是整数。

这些概念有助于我们更好地理解和运用分数运算的规则和性质。

1、分数的裂项(裂差)

第1讲分数的裂项（裂差）【内容综述】在分数裂项中可能用到整数的裂项公式，如：1）1+2+3+⋯+n =()12n n +； 2）1⨯2+2⨯3+⋯+n ⨯(n +1)=()()123n n n ++； 3）1⨯2⨯3+2⨯3⨯4+⋯+n ⨯(n +1)⨯(n +2)=()()()1234n n n n +++； 4）1⨯n +2⨯(n -1)+3⨯(n -2)+⋯+(n -1)⨯2+n ⨯1=()()126n n n ++； 5）()()()()222222+12+224626n n n n ⨯⨯++++= ；（n 为偶数） 6）()()()22222122+1135216n n n n -⨯⨯++++-= ；（n 为奇数） 7）2222123n ++++ =()()1216n n n ++； 8）3333123n ++++ =()2123n ++++ =()2214n n +；这节课我们学习分数的裂项——裂差，这种方法是分数多项计算常用方法，我们的目的能够达到下面的“咔咔算式”：（中间项可以咔咔抵消，剩下首尾有限项的算式命名为“咔咔算式”）11111111111223341n n n n n --+-+-++-=-=-裂差口诀：连加必裂差，裂差变咔咔，采用“撕分母”的方法．11b a a b a b -=-⨯，()11111n n n n =-++，()1111n n p p n n p ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭．例1. 计算：111112233499100++++⨯⨯⨯⨯ =________；【分析】整体共99个分数相加，不可能去通分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式．【解答】原式=1111111112233499100-+-+-++- =111100- =99100【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！例2. 计算：123101224474656++++⨯⨯⨯⨯ =_______；【分析】本题的分子虽然不同，但都恰好是分母中两个因数之差，仍然可以采用裂差法解题．【解答】原式=1224474656++++⨯⨯⨯⨯ =111111111224474656-+-+-++- =11156- =5556【评注】在分数裂差中，注意一定要把分子变成分母两个分数的之差，这时候大胆去“撕分母”，就可以得到咔咔算式的效果．例3. 计算：1111255881198101++++⨯⨯⨯⨯ =__________；【分析】整体共49个分数连加，分母中两个因数之差都是3，可以提取13，然后裂差吧．【解答】原式=133333255881198101⎛⎫++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭=1111111113255881198101⎛⎫-+-+-++- ⎪⎝⎭=11132101⎛⎫- ⎪⎝⎭=33202【评注】如果分子不是分母两个因数之差，一定先通过扩倍变成裂项公式的条件，然后才可以去裂项．例4. 计算：11111353575799799101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________；【分析】整体连加，且每个分母都是三个因数，不用裂差为三个分数，请你仔细观察，相邻两个分数的分母有哪些公共的因数，把公共的因数作为裂差后的分母，就到达咔咔算式的目的啦，本题应该先把分子都变为4，才可以撕分母，想想为什么？【解答】原式=1111111114133535575779979999101⎛⎫-+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭=11141399101⎛⎫- ⎪⨯⨯⎝⎭=8339999【评注】如果分母是三个因数的乘积，可以裂差：11(2)111(1)(2)2(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n ⎛⎫+-=⨯=⨯- ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⎝⎭； ()()11()()111()2()2()()n p n p n p n n p p n p n n p p n p n n n p ⎛⎫+--=⨯=⨯- ⎪-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎝⎭．1）1111122334(1)1n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯++ ； 2）111111112323434(1)(2)22(1)(52)n n n n n ⎛⎫++++=- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯++⨯+⎝⎭ ．例5. 计算：11111121231234123100+++++++++++++++ =_________；【分析】分母先使用公式：1+2+3+⋯+n =()12n n +，尽量不要约去分母中的2，分母就是分数裂项的敏感数列：1⨯2，2⨯3，3⨯4，4⨯6，……，可以直接裂项了．【解答】原式=11111251223103441001⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭=101121⎛⎫- ⎪⎝⎭=200101【评注】如果在连加的算式中，如果能使用公式的，尽量使用公式，相同位置上的数才可以约分，否则可以找不到规律．例6. 计算：222222221223342012016122334201201556++++++++⨯⨯⨯⨯ =__________；【分析】当你找不到解题方法的时候，不妨具体算出每个加数的大小，如果发现是假分数，最好化成带分数，以便，整数部分和小数部分分别计算．【解答】原式=1111222212233420120165⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（共2015项） =11112201122334201552016⎛⎫⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝+⎭ =1403012016⎛⎫- ⎪⎝⎭+ =201540302016【评注】一般地，2222222(1)212()111122(1)(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++===+=+-+++++，抱定必是裂差的思路，再次提醒大家：分数裂差分子一定是分母中两个因数之差才能顺利撕分母哦．同时裂差法不单单只用于分数的连加裂项，也适用于整数的裂项，以及分数的特殊裂项，如1）1+2+3+4+⋯+100（使用裂差法）=_________；（提示：(1)(1)2n n n n n +--=） 2）232012222+++++ （使用裂差法）=_________；（提示：2n n n =-）3）1239121231234123410++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________；华数知识点点击破陈拓老师讲义（提示：1111123123123(1)!!n n n n n n n -=-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯- ）【练习题】1. 计算：11111223344950++++⨯⨯⨯⨯ =__________；2. 计算：1111144771097100++++⨯⨯⨯⨯ =__________；3. 计算：()()()()()2310011212123129912100+++⨯++⨯+++++⨯+++ =__________；4. 计算：2341011212231223341223100101++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯++⨯ =__________；5. 计算：()()()()22221223349910012233499100++++++++⨯⨯⨯⨯ =__________；【参考答案】1、4950； 2、33100； 3、50495050；、 4、27573434； 5、99396100；。

小学奥数教程：分数裂项计算全国通用(含答案)

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

(完整版)六年级奥数-分数裂项(最新整理)

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= 16 × ( +
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1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7 7×8 8×9
1 11
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= 16 × 2 × (1 ‒ 2 + 2 ‒ 3 + … + 8 ‒ 9)
【巩固】 1 1 1 1 1 1 1 1 _______ 6 12 20 30 42 56 72 90
【巩固】 1 1 1 1 1 20 10 26 38 27 2 3 30 31 41 51 119 120 123 124
10 17 - 7 26 30 - 4
=
=
119 17 × 7 120 30 × 4
38 41 - 3 27 31 - 4
=
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123 41 × 3 124 31 × 4
教师版
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【巩固】计算： 1 3 2 5 7 9 10 11 19 3 4 5 7 8 20 21 24 35
1 3 2 5 7 4+5 3+7 3+8 5+7+7 = 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 4×5 + 3×7 + 3×8 + 5×7
【巩固】 1 2 3 7 9 11 17 25 3 5 7 12 20 28 30 42
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1
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【巩固】 251 251 251 251 251
4 8 8 12 12 16
2000 2004 2004 2008

【温故而知新】——裂项

4 101
3.
计算： 251 251 251 251 251
4 8 8 12 12 16
2000 2004 2004 2008
4.
计算：1 1 2 1 3 1 4 1 20 1
2 6 12 20
420
5. 计算： 1 2 3 7 9 11 17 25 3 5 7 12 20 28 30 42
5 59
93 97 901
3. 【解析】原式
251 16
1 1 2
1 2
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500
1
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1 501 502
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251 16
501 502
15
21 32
4. 【解析】原式
1
2
3
20
1 2
1 6
1 12
10. 计算：1 3 5 3 5 7 5 7 9 19 21 23
参考答案
1. 【解析】原式
1 2
( 2
2
4
4
2
6
6
2 8
8
2 10
98
2 100
)
1 (1 1 1 1 1 1 1 1 )
2 244668
98 100
49 200
2. 【解析】原式
(1 1) (1 1) ...... ( 1 1 ) ( 1 1 )
1 3
1 6
1 6
2 5
1 5
2 5
3 7
1 7
3 7
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1 4
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小学奥数裂项公式汇总资料

裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。

小学奥数裂项公式汇总知识分享

⼩学奥数裂项公式汇总知识分享裂项运算常⽤公式⼀、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ?1形式的，这⾥我们把较⼩的数写在前⾯，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a ab b a --=?(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续⾃然数乘积形式的分数，即有：+?+-+?=+?+?)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n+?+?+-+?+?=+?+?+?)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n⼆、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=?+?=?+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=?+?=?+2222裂和型运算与裂差型运算的对⽐：裂差型运算的核⼼环节是“两两抵消达到简化的⽬的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题⽬不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化⽬的。

裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n(3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n nn n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=?裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1(541)431321211+=+++?+?+?+?=n nn n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n nn n n S n Λ2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++?+?+?+?=n nn n S n Λ证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n Λ3.求和：13)13)(23(1 1071741411+=+-++?+?+?=n nn n S n Λ证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n Λ13)1311(31+=+-=n nn。

六年级分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程;很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了;本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高;分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差;遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的;1对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1a b⨯形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+,1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的,我们有：知识点拨教学目标分数裂项计算裂差型裂项的三大关键特征：1分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是xx 为任意自然数的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算;2分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”3分母上几个因数间的差是一个定值;二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：111a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 22222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的;【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ; 考点分数裂项难度2星题型计算关键词美国长岛,小学数学竞赛【解析】原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提醒学生注意要乘以分母差分之一,如改为：111113355779+++⨯⨯⨯⨯,计算过程就要变为：111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭．答案56考点分数裂项难度2星题型计算【解析】原式111111111()()......()101111125960106012=-+-++-=-=答案112例题精讲【解析】原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715= 答案715考点分数裂项难度3星题型计算【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题;此类问题需要从最简单的项开始入手,通过公式的运算寻找规律;从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯,112(12)212232==+⨯+⨯,……, 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 答案991101考点分数裂项难度2星题型计算答案50101【巩固】计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭考点分数裂项难度2星题型计算关键词2009年,迎春杯,初赛,六年级【解析】原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++-⎪⎝⎭11251225⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2524225=⨯12=答案12考点分数裂项难度2星题型计算关键词2008年,台湾,小学数学竞赛,初赛【解析】原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭答案211532【巩固】计算：3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式1111111111111255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12= 答案12【例 2】计算：11111111()1288244880120168224288+++++++⨯=关键词2008年,101中学【解析】原式11111282446681618=++++⨯⨯⨯⨯⨯（）答案4289【巩固】 11111111612203042567290+++++++=_______考点分数裂项难度2星题型计算关键词2008年,第六届,走美杯,初赛,六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为：答案25考点分数裂项难度6星题型计算关键词2008年,第6届,走美杯,6年级,决赛【解析】原式111111212312341234567=+++++++++++++++++答案74【巩固】计算：1111111112612203042567290--------＝考点分数裂项难度3星题型计算关键词2006年,第4届,走美杯,6年级,决赛【解析】原式111111111()223344556677889910=-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案110【巩固】 11111104088154238++++= ;考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式11111255881111141417=++++⨯⨯⨯⨯⨯ 答案534【例 3】计算：1111135357579200120032005++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考点分数裂项难度3星题型计算关键词2005年,第10届,华杯赛,总决赛,二试【解析】原式11111114133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦答案100400312048045考点分数裂项难度3星题型计算关键词2007年,仁华学校【解析】原式79161111118290113355779133 1.2540.83-⨯+⎛⎫=⨯+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭-⨯⨯⨯ 答案2336【例 4】计算：11111123420*********+++++考点分数裂项难度3星题型计算关键词第五届,小数报,初赛【解析】原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭答案2021021【巩固】计算：11111200820092010201120121854108180270++++= ; 考点分数裂项难度2星题型计算【解析】原式1111120082009201020112012366991212151518=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 答案51005054【巩固】计算：1122426153577++++= ____; 考点分数裂项难度2星题型计算答案11【巩固】计算：1111111315356399143195++++++考点分数裂项难度3星题型计算【解析】分析这个算式各项的分母,可以发现它们可以表示为：232113=-=⨯,2154135=-=⨯,……,21951411315=-=⨯,所以原式11111111335577991111131315=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案715【巩固】计算：15111929970198992612203097029900+++++++= ．考点分数裂项难度3星题型计算关键词2008年,四中【解析】原式1111111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案198100考点分数裂项难度3星题型计算【解析】首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦答案35144【巩固】计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式11111111()21223233434989999100=⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案494919800【巩固】计算：1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式＝1135⨯⨯＋1357⨯⨯＋…+1192123⨯⨯+1246⨯⨯+…+1202224⨯⨯ ＝14113⨯－12123⨯＋14124⨯－12224⨯ ＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032＝38625340032答案38625340032 考点分数裂项难度3星题型计算答案32009603考点分数裂项难度3星题型计算【解析】 99123⨯⨯＝1001123-⨯⨯＝100123⨯⨯－123⨯＝100123⨯⨯－123⨯98234⨯⨯＝1002234-⨯⨯＝100234⨯⨯－2234⨯⨯＝100234⨯⨯－134⨯97345⨯⨯＝1003345-⨯⨯＝100345⨯⨯－3345⨯⨯＝100345⨯⨯－145⨯……199100101⨯⨯＝1009999100101-⨯⨯＝10099100101⨯⨯－9999100101⨯⨯＝10099100101⨯⨯－1100101⨯原式100100100100111...(...)123234345991001012334100101=++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案5124101考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式111111131232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++-⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭答案1192160考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式11111113[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案11396840【例 5】计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．考点分数裂项难度3星题型计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同,那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同,而是成等差数列,且等差数列的公差为2．相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数列该数列的第n 个数恰好为n 的2倍,原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质,可知分子的通项公式为23n +,所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+,再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．答案2315【巩固】计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）考点分数裂项难度3星题型计算关键词2009年,迎春杯,初赛,五年级【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列,而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形,使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523=+,734=+,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和,所以所以原式31115565155=⨯=．法二上面的方法是最直观的转化方法,但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列,而等差数列的通项公式为a nd +,其中d 为公差．如果能把分子变成这样的形式,再将a 与nd 分开,每一项都变成两个分数,接下来就可以裂项了．11223413112220311422055=-+-=-=, 所以原式31115565155=⨯=．法三本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：所以原式31115565155=⨯=．法四对于这类变化较多的式子,最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：21(1)(2)n n a n n n +=++2n =,3,……,9如果将分子21n +分成2n 和1,就是上面的法二；如果将分子分成n 和1n +,就是上面的法一．答案651【巩固】计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考点分数裂项难度3星题型计算【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数,就会是5个连续自然数的乘积,所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消,需要对分子进行分拆,考虑到每一项中分子、分母的对称性,可以用平方差公式：23154=⨯+,24264=⨯+,25374=⨯+……原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案75616考点分数裂项难度4星题型计算【解析】原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案36287993628800考点分数裂项难度4星题型计算【解析】原式131********121231234123451234561234567-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案50395040【巩固】计算：23993!4!100!+++= . 考点分数裂项难度4星题型计算【解析】原式为阶乘的形式,较难进行分析,但是如果将其写成连乘积的形式,题目就豁然开朗了．原式23991231234123100=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯答案112100!-考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋5012251275⨯ ＝11-13＋13-16＋16-110＋11225-11275＝12741275 答案12741275考点分数裂项难度3星题型计算【解析】 2111(12)112=-⨯++,311(12)(123)12123=-+⨯+++++,……, 10011(1299)(12100)129912100=-+++⨯+++++++++,所以原式1112100=-+++答案50495050考点分数裂项难度2星题型计算【解析】原式234101()13366104555=-++++⨯⨯⨯⨯ 答案155【例 6】22222211111131517191111131+++++=------ . 考点分数裂项难度3星题型计算关键词仁华学校【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-⨯+,原式111111()()()()()()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案314【巩固】计算：222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-= 考点分数裂项难度3星题型计算【解析】 2111131(1)(1)22222-=-⨯+=⨯,2111241(1)(1)33333-=-⨯+=⨯,……所以,原式1324485022334949=⨯⨯⨯⨯⨯⨯1502524949=⨯=答案2549【巩固】计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式22222222222222222132438712233478----=++++⨯⨯⨯⨯答案6364【巩固】计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案9979971996【巩固】计算：22222222222213243598100213141991++++++++=---- ．考点分数裂项难度3星题型计算【解析】 2221310213+=-,2222420318+=-,22235344115+=-,……由于104233=,204288=,34421515=,可见原式222244442222213141991=++++----答案47511984950【巩固】计算：22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ．考点分数裂项难度3星题型计算【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-,241-,261-,……,21001-,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍,所以可以先将原式乘以4后进行计算,得出结果后除以4就得到原式的值了．原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭答案6312101考点分数裂项难度3星题型计算答案310 考点分数裂项难度3星题型计算关键词第三届,祖冲之杯,人大附中【解析】原式=36233445566736111111 (57233445566757233467)+++++++++++=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯=4 答案4 巩固计算：1325791011193457820212435++++++++= 考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式13257111111213457845373857=++++++++++++111115=++++= 答案5 考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式12311111121133573445475667=++++++++++++ 答案334 考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案127考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式5791113153718612203042568⎡⎤⎛⎫=-+-+-⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 答案10【巩固】计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+ 考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式23344556677889910123344556677889910++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 答案35考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式111111112111453445355646=+++++++++++答案3考点分数裂项难度3星题型计算【解析】原式1232341918192021919...217362123431819201912020=++++++++++=+⨯+= 答案193620考点分数裂项难度4星题型计算【解析】原式=2008111200711(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =2008111200711(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =1200820082008120072007(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++ =11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++ =1111()2008200720072015028⨯+= 答案12015028【例 7】计算：11111123459899515299+++++++=⨯⨯⨯ 考点分数裂项难度5星题型计算【解析】原式11111111124983599515299⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111224503549525498⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11111111124503549262749⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111122424352526284850⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11111111112424352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111112241235111416245025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111112412351178125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 1111111111224635810125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⨯+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1111111111246354565025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11491502550=+-= 答案4950【例 8】计算：24612335357357911++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 考点分数裂项难度4星题型计算【解析】原式31517113133535735791113----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 111111133535791133535791113⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1135791113=-⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 135134135135= 答案135134135135【例 9】计算：28341112222221335571719135357171921⎛⎫++++-+++= ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 考点分数裂项难度5星题型计算【解析】 3411992222244221353571719211335355717191921+++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 892242213355717191921=++++-⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】所以原式889122224221335171913355717191921⎛⎫=+++-++++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭【解析】 921512133379192113399399-=-==⨯⨯ 答案379399。

1-5 分数裂项(解析)

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =−⨯− (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =−⨯+⨯+⨯+++ 知识点拨教学目标分数裂项计算1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =−⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

小学奥数裂项公式汇总

a ⨯b = b - a an ⨯ (n + 1) ⨯ (n + 2) = 1 ⎛1 2 ⎝ n ⨯ (n + 1) - (n + 1) ⨯ (n + 2) ⎭ (n + 1) ⨯ (n + 2) ⨯ (n + 3) ⎪⎭a ⨯b = aa ⨯b + b a ⨯ b = 1（1） a + b ⎝a ⨯b = a b + ba ⨯b = a ⨯ b(1)1⨯ 2 + 2 ⨯ 3 + 3 ⨯ 4 + ...... + (n - 1) ⨯ n = (n - 1)n (n + 1)裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1形式的，这里我们把较小的数写在前面，a ⨯ b即 a ＜b ，那么有:1 1 1 1( - )b(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：11 ⎫⎪⎪1 1 ⎛ 1 n ⨯ (n + 1) ⨯ (n + 2) ⨯ (n + 3) = 3  n ⨯ (n + 1) ⨯ (n + 2) -二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：1b + a1 ⎫⎪（2） a 2 + b 2 a 2 b 2+a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式13(3)n (n + 1) = n (n + 1)(n + 2) - (n - 1)n (n + 1)(4) n (n + 1)(n + 2) = n (n + 1)(n + 2)(n + 3) - (n - 1)n (n + 1)(n + 2)证： S = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + Λ + ( - ) = 1 - =证： S = (1 - ) + ( - ) + ( - ) +Λ + ( - )3 4 3 4 7 3 7 10 3 3n - 2 3n + 1(2)1⨯ 2 ⨯ 3 + 2 ⨯ 3 ⨯ 4 + 3 ⨯ 4 ⨯ 5 + ...... + (n - 2) ⨯ (n - 1) ⨯ n = 1(n - 2)(n - 1)n (n + 1)41 13 3n(n + 1) = n 2 + n1 14 4(5)n ⨯ n != (n + 1)!- n !裂项求和部分基本公式1.求和： S = n 1 1 1 1 1 n+ + + + ...... + =1⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 n (n + 1) n + 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn 2 2 3 3 4 4 5 n n + 1 n + 1 n + 12.求和： S = n证： S = n 1 1 1 1 1 n+ + + +Λ + =1⨯ 3 3 ⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 (2n - 1)(2n + 1) 2n + 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n(1 - ) + ( - ) + ( - ) + Λ + ( - ) = (1 - ) =2 3 2 3 5 2 5 7 2 2n - 1 2n + 1 2 2n + 1 2n + 13.求和： S = n 1 1 1 1 n+ + +Λ + =1⨯ 4 4 ⨯ 7 7 ⨯ 10 (3n - 2)(3n + 1) 3n + 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1n1 1 n= (1 - ) =3 3n + 1 3n + 1+ + +Λ + = - 1⨯ 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 ⨯ 4 3 ⨯ 4 ⨯ 5 n(n + 1)(n + 2) 2 ⎝ 2 (n + 1)(n + 2) ⎪⎭= [ - ] ，∴ S = 12 1⨯ 2 2 ⨯3 2 2 ⨯ 3 3 ⨯4 2 n (n + 1) (n + 1)(n + 2) 12 + 32 + 52 + Λ +（2n - 1）2 = =1 1 1 + 2+Λ + n (4.求和： S = n证： S = n5.求和： S = n证：因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + +Λ + = (1 + - - )1⨯ 3 2 ⨯ 4 3 ⨯ 5 4 ⨯ 6 n (n + 2) 3 2 n + 1 n + 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) +Λ + ( - )2 3 2 2 4 2 3 5 2 4 6 2 n - 1 n + 11 1 1 1 1 1 1 + ( - ) = (1 + -- - )2 n n + 23 2 n + 1 n + 21 1 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎫1 1 1 1n (n + 1)(n + 2) 2 n (n + 1) (n + 1)(n + 2)1 1 1 1 1 1 1 1( - ) + ( - ) +Λ + [ - ]n1 1 1 = [ - ]2 2 (n + 1)(n + 2)特殊数列求和公式1 +2 + 3Λ n = n(n + 1)21 +2 +3 + Λ +（n - ）+ n +（n - ）+ Λ + 3 + 2 + 1 = n 21 + 3 + 5 + 7Λ +（2n - ）= n 212+ 22+ Λ + n 2= n (n + 1)(2n + 1)6n (2n + 1)(2n - 1) n ⨯ (4n2 - 1)3 313 3 3 = 1 + 2 + Λ n )2=n2 (n + 1)2 4平方差公式a 2 -b 2 = (a + b )(a - b )完全平方和（/差）公式(a±b)2=a2±2ab+b2。

(完整)六年级奥数-分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：分数裂项计算教学目标知识点拨（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

裂项相消法—分数裂差型运算

49 50
2、 1 1 1 1
1 4 4 7 710
97 100
裂差型裂项的三大关键特征：
小结
〔1〕分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。
〔2〕分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接〞
22334
8 9 9 10
首尾1 1 10
解： 1 1 1 1
1 2 23 3 4
9 10
＝1 1 1 1 1 1 1 1
22334
9 10
＝1 1 10
＝9 10
学习探究二
课堂练习〔难点稳固〕Fra bibliotek2、计算
22 2 2 2 13 35 5 7 79 911
【解析】 2 ＝2 1 ＝2 1 （1 1）＝1 1
1 ＝1 1 。 9900 99 100
就能出现我们刚学的裂项的形式。
解：原式＝ 1 1 1 1 1
1 2 23 3 4 45
99100
＝1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2233445
99 100
＝1 1 100
＝ 99 100
练习稳固
1、 1 1 1 1
1 2 23 35
学习探究一
1、计算
1 1 1 1
1 2 23 3 4
9 10
【解析】 1 ＝1 1 1 2 2
，
2
1
＝1 32
1 3
，
1 3
4
＝1 3
1 4
，，
1 8
＝1 98
1 9
，

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11b a a b a b -=-⨯，()11111n n n n =-++，()1111n n p p n n p ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭。

例1. 计算：111112233499100
++++⨯⨯⨯⨯ =________；【分析】整体共99个分数相加，不可能去通分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式。

【解答】原式=1111111112233499100
-+-+-++- =111100
- =99100
【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！
例2. 计算：123101224474656
++++⨯⨯⨯⨯ =_______；【分析】本题的分子虽然不同，但都恰好是分母中两个因数之差，仍然可以采用裂差法解题。

【解答】原式=2142745646----++++
=111111111224474656
-+-+-++- =11156
- =
5556
【评注】在分数裂差中，注意一定要把分子变成分母两个分数的之差，这时候大胆去“撕分母”，就可以得到咔咔算式的效果。

例3. 计算：1111255881198101++++⨯⨯⨯⨯ =__________；【分析】整体共49个分数连加，分母中两个因数之差都是3，可以提取13
，然后裂差吧。

【解答】原式=133333255881198101⎛⎫++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭
=1111111113255881198101⎛⎫-+-+-++- ⎪⎝⎭
=11132101⎛⎫- ⎪⎝⎭
=33202
【评注】如果分子不是分母两个因数之差，一定先通过扩倍变成裂项公式的条件，然后才可以去裂项。

例4. 计算：11111353575799799101
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________；【分析】整体连加，且每个分母都是三个因数，不用裂差为三个分数，请你仔细观察，相邻两个分数的分母有哪些公共的因数，把公共的因数作为裂差后的分母，就到达咔咔算式的目的啦，本题应该先把分子都变为4，才可以撕分母，想想为什么？
【解答】原式=1111111114133535575779979999101⎛⎫-+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
=11141399101⎛⎫- ⎪⨯⨯⎝⎭
=8339999
【评注】如果分母是三个因数的乘积，可以裂差：
11(2)111(1)(2)2(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n ⎛⎫+-=⨯=⨯- ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⎝⎭
； ()()11()()111()2()2()()n p n p n p n n p p n p n n p p n p n n n p ⎛⎫+--=⨯=⨯- ⎪-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎝⎭。

例5. 计算：11111121231234123100
+++++++++++++++ =_________；【分析】分母先使用公式：1+2+3+⋯+n =
()12
n n +，尽量不要约去分母中的2，分母就是分数裂项的敏感数列：1⨯2，2⨯3，3⨯4，4⨯6，……，可以直接裂项了。

【解答】原式=1111125
1223103441001⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ =101121⎛⎫- ⎪⎝⎭
=200101
【评注】如果在连加的算式中，如果能使用公式的，尽量使用公式，相同位置上的数才可以约分，否则可以找不到规律。

例6. 计算：22222222
1223342012016122334201201556
++++++++⨯⨯⨯⨯ =__________；【分析】当你找不到解题方法的时候，不妨具体算出每个加数的大小，如果发现是假分数，最好化成带分数，以便，整数部分和小数部分分别计算。

【解答】原式=1111222212233420120165⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（共2015项） =11112201122334201552016⎛⎫⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝+⎭
=1403012016⎛⎫- ⎪⎝⎭
+ =201540302016
【评注】一般地，2222222(1)212()111122(1)(1)1
n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++===+=+-+++++，抱定必是裂差的思路，再次提醒大家：分数裂差分子一定是分母中两个因数之差才能顺利撕分母哦。

【练习题】
1. 计算：
11111223344950++++⨯⨯⨯⨯ =__________；
2. 计算：
1111144771097100
++++⨯⨯⨯⨯ =__________；
3. 计算：
()()()()()2310011212123129912100+++⨯++⨯+++++⨯+++ =__________；
4. 计算：2
3
4101
1212231223341223100101++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯++⨯ =__________；
5. 计算：()()()()
2222
1223349910012233499100++++++++⨯⨯⨯⨯ =__________；
【参考答案】1、4950； 2、33100； 3、5049
5050；、 4、2757
3434；
5、99396100；。

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