【弹塑性力学】5 弹性应力应变关系解析
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弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解
平衡微 分方程
几何几学何学
几何方 程
应变与 位移的 关系
应变协 调方程 方程
物理物学理学
物理方 程
应力应 变关系
本构方 程方程
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试 验曲线
强度极限 屈服上限 屈服下限 弹性极限
残余变形
强化段 软化段
卸载 弹性变形
弹性极限 比例极限
3－1 拉伸和压缩时的应力应变曲线
屈服上限 塑性流动阶段
Tresca条件
O
1
3
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
3= 0 平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
Mises条件
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
应力空间屈服面
o
3
1
对Tresca屈服条件的评价
➢ Tresca屈服条件是主应力的线性函数，对 于主应力方向已知且不改变的问题，应用 较方便，但忽略了中间主应力的影响，且 屈服线上有角点，给数学处理带来了困难， 没有考虑平均应力对屈服的影响。
但却求不出应力i的值。只有给出0的值后， 才能求出i的值。
考虑弹性应变的本构关系
总应变偏量增量
deij deiej deipj
普朗特－罗伊
即
deij
dsij 2G
sijd
斯流本动构法方则程
展开后，为
de x
ds x 2G
sxd ,
de y
ds y 2G
s yd ,
dez
dsz 2G
szd ,
d
cos
s2
2 3
i
cos
120
s3
2 3
几何几学何学
几何方 程
应变与 位移的 关系
应变协 调方程 方程
物理物学理学
物理方 程
应力应 变关系
本构方 程方程
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试 验曲线
强度极限 屈服上限 屈服下限 弹性极限
残余变形
强化段 软化段
卸载 弹性变形
弹性极限 比例极限
3－1 拉伸和压缩时的应力应变曲线
屈服上限 塑性流动阶段
Tresca条件
O
1
3
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
3= 0 平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
Mises条件
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
应力空间屈服面
o
3
1
对Tresca屈服条件的评价
➢ Tresca屈服条件是主应力的线性函数，对 于主应力方向已知且不改变的问题，应用 较方便，但忽略了中间主应力的影响，且 屈服线上有角点，给数学处理带来了困难， 没有考虑平均应力对屈服的影响。
但却求不出应力i的值。只有给出0的值后， 才能求出i的值。
考虑弹性应变的本构关系
总应变偏量增量
deij deiej deipj
普朗特－罗伊
即
deij
dsij 2G
sijd
斯流本动构法方则程
展开后，为
de x
ds x 2G
sxd ,
de y
ds y 2G
s yd ,
dez
dsz 2G
szd ,
d
cos
s2
2 3
i
cos
120
s3
2 3
【弹塑性力学】5塑性应力应变关系a【课件】
d 1 p : d 2 p : d 3 p d 2 : d 1 : d 1 d 2 ( 1 ) : : 1
0 d1 1 d1d2
可在f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化，
这个变化区域称之为尖点应变锥
f
n n
f
• 一般地，在几个光滑势能面相交的奇异
点处，塑性应变增量表示成在该点相交
f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0
当应力点位于f1=0上
dipj
d1
f1 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (0 d1 d1)
当应力点位于f2=0上
dipj
d2
f2 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (d2 0 d2)
当应力点在f1=0和f2=0的交点上 dipd1 f1i d2 f2i
f
(
ij
d
ij
,
d
• 一致性条件：
f ij
dij
f
d
0
f (ij ,
• 随加载过程，内变量不断地增加 • 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变
总之：内变量只会增加，不会减少。 且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。 这是由塑性变形的不可逆性所决定的。
常用的强化模型
1. 等向强化 • 几何特点（在应力空间）：
• 其物理含义是：由本构方程，大小可以任意。 但变形必须始终保持协调而受到相互限制。 应变大小的确定需结合变形协调条件。
• 反过来若给定dij，则可以确定sij。
J21 2sijsijd2idjd2ij1 32 s
d 23dijdij s
sij 3 2sdij dijdij
dp 2dd2p1pd1dp3pd3p
0 d1 1 d1d2
可在f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化，
这个变化区域称之为尖点应变锥
f
n n
f
• 一般地，在几个光滑势能面相交的奇异
点处，塑性应变增量表示成在该点相交
f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0
当应力点位于f1=0上
dipj
d1
f1 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (0 d1 d1)
当应力点位于f2=0上
dipj
d2
f2 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (d2 0 d2)
当应力点在f1=0和f2=0的交点上 dipd1 f1i d2 f2i
f
(
ij
d
ij
,
d
• 一致性条件：
f ij
dij
f
d
0
f (ij ,
• 随加载过程，内变量不断地增加 • 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变
总之：内变量只会增加，不会减少。 且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。 这是由塑性变形的不可逆性所决定的。
常用的强化模型
1. 等向强化 • 几何特点（在应力空间）：
• 其物理含义是：由本构方程，大小可以任意。 但变形必须始终保持协调而受到相互限制。 应变大小的确定需结合变形协调条件。
• 反过来若给定dij，则可以确定sij。
J21 2sijsijd2idjd2ij1 32 s
d 23dijdij s
sij 3 2sdij dijdij
dp 2dd2p1pd1dp3pd3p
4.应力应变关系
因此，在塑性变形时，应力和变形的关系是比 较复杂的，有各种理论。总的来说，有增量理论和全 量理论。
Levy-von Mises 增量理论 Prandtl-Reuss 全量理论
Stress-strain relations
4.2.1 Levy-Mises 增量理论
该理论认为应变增量与相应的偏应力分量成正比
2
(d x d y ) ( x y ) d (d y dz )2 ( y z )2 d2 (d z d x )2 ( z x )2 d2
2 2 2
9 2 2 2 2 2 2 2 d x y y z z x 6 xy yz zx 2
(4-6)
从方程式 (4-3),(4-4)中得，应力可以用应变表示：
ij 2G ij ij
式中,
(4-7)
1 1 2
E
x y z
1 [( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 6( xy 2 yz 2 zx 2 )] 2 ( x y ) 2 4G 2 ( x y ) 2
1 2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 2
2 2 2
Байду номын сангаас
6d yz 6 yz d2 2 2 6d zx 6 zx d2 2 2 6d zx 6 zx d2
(4-15)
平衡方程式:
x yx 0 y x xy y 0 y x
(4-16)
Levy-von Mises 增量理论 Prandtl-Reuss 全量理论
Stress-strain relations
4.2.1 Levy-Mises 增量理论
该理论认为应变增量与相应的偏应力分量成正比
2
(d x d y ) ( x y ) d (d y dz )2 ( y z )2 d2 (d z d x )2 ( z x )2 d2
2 2 2
9 2 2 2 2 2 2 2 d x y y z z x 6 xy yz zx 2
(4-6)
从方程式 (4-3),(4-4)中得，应力可以用应变表示：
ij 2G ij ij
式中,
(4-7)
1 1 2
E
x y z
1 [( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 6( xy 2 yz 2 zx 2 )] 2 ( x y ) 2 4G 2 ( x y ) 2
1 2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 2
2 2 2
Байду номын сангаас
6d yz 6 yz d2 2 2 6d zx 6 zx d2 2 2 6d zx 6 zx d2
(4-15)
平衡方程式:
x yx 0 y x xy y 0 y x
(4-16)
弹性与塑性力学应力应变关系[精]
![弹性与塑性力学应力应变关系[精]](https://img.taocdn.com/s3/m/b0684f7f964bcf84b9d57b88.png)
x2G x
y2Gy z2G z
xy G xy yz G yz zx G zx
(1E )(12) Lame′常数
(2 G 3)
Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity
2 平面上的屈服轨迹：正六边形。
o
2k 2
3
1
3
3. 平面应力状态： 3 0
1 2k
122k
2 2k
在主应力次序已知时使 用方便。
当主应力次序未知时， 数学表达式不连续，使 用不便。
2
2 2k
122k
1 2k
12k 0
2 2k
3
1 x 1 62123
x
y2 c3 oo0 s 3 c3 oo0 s
3
y 2223
体积应变与三个主应力的和成正比。
3K
3(1E2)0 体积应变与平均应力成正比。
03(1 E2)K
k E
3(1 2)
体积弹性模量
Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity
xE 1xyz
yE 1yzx zE 1zxy
§3–3 弹性应力应变关系——广义虎克定律
一、单拉下的应力--应变关系
y
x
x
x
E
y Ex z Ex
ij0(i,jx,y),z
E：弹性模量
z
x
：泊松比
二、纯剪的应力--应变关系
y
xy
xy
G
i 0(ix,y),z
G
弹性与塑性力学基础-第五章屈服准则与塑性应力应变关系
0
m
0 0 m
Uv
1 3 ( m m m m m m ) m m 2 2 1 m ( 1 2 3 ) 3
1 m ( 1 2 3 ) 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
积之和的一半(主坐标系中)
U
1 ( 1 1 2 2 3 3 ) 2
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
由广义虎克定律
1
1 2 [ 2 ( 1 3 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
式中， 为波桑系数，于是可得
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
单位体积变化位能Uv确定
取应力球张量及应变球张量
m T0
由此得
0
m
0 0 m
m T0
§5-10 全量理论
5.10.1 问题的背景及引出 5.10.2 亨盖理论(1924年) 5.10.3 那达依理论(1937年) 5.10.4 伊留申理论(1943年) 5.10.5 全量理论的问题与发展
弹性与塑性 力 学 基 础
第3章弹性与塑性应力应变关系(修改)解读
四、名义应力与真实应力
在一般的拉伸实验中，设 A0 为初始截面积，P为外载，
则有：
名义应力： P / A0
若试件标距长度为 l0，伸长为 l，则有：
2020/3/12周书敬
9
第三章 弹性与塑性应力应变关系
名义应变： l / l0
这里的 并不是试件截面上的真实应力，这是因为在
3-1中的 DO、HO ，可以看出当逐渐卸除拉力，应力和应变
关系将沿着与OB平行的斜线 DH 和 HO回到O 点和O点。
如果由点 O"开始再加载，则加载过程仍沿 O"H线' 进行， 直到H点后材料才开始屈服，因此材料的比例极限得到了提 高。
5、局部变形阶段： b点以后
在b点之前，试件处于均匀的应变 状态，到达b点之后，试件出现颈缩现
2020/3/12周书敬
8
第三章 弹性与塑性应力应变关系
一般认为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间的残余应 力引起的。 “包辛格效应”使材料具有各向异性性质。
理想包辛格效应：若一个方向屈服极限提高的数值和相 反方向屈服极限降低的数值相等，则称为理想包辛格效应。
包辛格效应的数学描述比较复杂，因而在塑性力学中， 对这一效应的数学描述经常要进行相应的简化。
E
（3－1）
式中：E—弹性模量（moculus of elastics） ；
2020/3/12周书敬
3
第三章 弹性与塑性应力应变关系
A点对应的应力称为比例极限（Propotional limit）
2、弹性变形阶段 ： AB段
这时， 与 之间的关系不再
是线性，但变形仍然是弹性的； B点 对 应 的 应 力 称 为 弹 性 极 限 (elastic limit)。
弹性与塑性应力应变关系
02
弹性应力应变关系
弹性应力应变定义
弹性应力
物体受到外力作用时，在内部产生的抵抗 力量。
弹性应变
物体在弹性应力作用下发生的形状变化。
弹性阶段
在弹性应力范围内，物体的应力和应变呈 线性关系，即应力与应变成正比。
胡克定律
胡克定律表述：在弹性范围内，物体的应力和应变满足线性关系，即应 力=弹性模量×应变。
多尺度与跨学科 研究
未来研究可以进一步探索不 同尺度下材料的应力应变行 为，从微观到宏观，深入了 解材料的内在机制。此外， 跨学科的研究方法将有助于 更全面地理解材料的力学性 能，推动相关领域的发展。
实验与数值模拟 的结合
结合实验与数值模拟的方法 ，可以更准确地预测材料的 应力应变行为。通过建立更 精确的数学模型和实验装置 ，可以进一步揭示材料的力 学特性，为工程应用提供更 有力的支持。
应变软化
在某些情况下，随着应变的增加，材 料的屈服强度和极限强度会降低，表 现出应变软化的现象。这种现象通常 出现在高温或长时间变形条件下。
05
实际应用
工程材料选择
弹性材料
在工程中，选择具有高弹性模量和良好稳定性的材料，以确保结构在承受载荷 时具有足够的刚度和稳定性。
塑性材料
对于需要承受较大塑性变形的结构，应选择具有良好塑性和韧性的材料，以避 免脆性断裂和灾难性失效。
应用领域
弹性与塑性应力应变关系在工程 领域中具有广泛的应用价值，如 结构分析、材料设计、机械零件 的强度校核等。了解材料的应力 应变关系有助于合理设计构件， 提高结构的稳定性和安全性。
对未来的展望
新材料与新技术 的应用
随着科技的发展，新型材料 和先进技术的应用将进一步 拓展弹性与塑性应力应变关 系的研究领域。例如，智能 材料、纳米材料等新型材料 的出现，将为该领域的研究 提供更多可能性。
弹性应力应变关系教学课件PPT_OK
c36 c46
C2311
C2322
C2333
C2312
C2323
C2331
c51
c52
c53
c54
c55
c56
C3111 C3122 C3133 C3112 C3123 C3131 c61 c62 c63 c64 c65 c66
取 11=1，22=2，33=3，23=4，13=5，12=6 两个矩阵均为对称矩阵。
式中cmn(m,n=1,6)是取决于材料性质的常数，共36个。
2021/8/23
16
线弹性材料的应力应变关系的矩阵表达
x c11 c12 c13 c14 c15 c16 x
y
c21
c22
c23
c24
c25
c26
y
z yz
cc3411
c32 c42
c33 c43
c34 c44
2G y
z
2G z
1
2G z
1
3K
2G z
xy 2G xy yz 2G yz zx 2G zx
式中 称为Lame 常数。
3K E
E
1
1 1 2 (1 )(1 2)
2021/8/23
13
整理最终的应力应变关系是
x 2G xx y 2G yy z 2G zz
y c3c333zz c3c434yz
yz c3c535zx
zx
c3c636xy
xy
yyzz c4411 xx c4422 yy c4433 zz c4444 yyzz c4455 zzxx c4466 xxyy
zzxx c5511 xx c5522 yy c5533 zz c5544 yyzz c5555 zzxx c5566 xxyy
应变和应力的关系公式
应变和应力的关系公式应变和应力是力学中非常重要的概念，它们描述了物体在外力作用下的变形和反抗变形的能力。
应变是物体在外力作用下发生变形的程度，而应力是物体对外力的反抗程度。
应变和应力之间存在着一定的关系，下面将通过分析和解释来阐述这一关系。
我们来看一下应变的定义。
应变通常用来描述物体的形变程度。
当物体受到外力作用时，它的形状会发生改变，这种形变程度就是应变。
应变可以分为线性应变和非线性应变。
线性应变是指物体的形变与受力成正比，比如拉伸或压缩后物体的长度或体积的变化。
非线性应变则是指物体的形变与受力不成正比，比如物体的弯曲或扭转。
而应力则是物体对外力的反抗程度。
当物体受到外力作用时，它会产生内部的应力，以抵抗外力的作用。
应力可以分为正应力和剪应力。
正应力是指物体内部的应力沿着受力方向的成分，比如拉伸或压缩时物体内部的张力或压力。
剪应力则是指物体内部的应力与受力方向垂直的成分，比如物体发生弯曲或扭转时的切向应力。
应变和应力之间的关系可以通过胡克定律来描述。
胡克定律是力学中一个重要的定律，它描述了弹性体的应力和应变之间的线性关系。
根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体产生的应变与外力成正比，且比例常数为弹性模量。
弹性模量是描述物体抵抗形变能力的物理量，通常用符号E表示。
胡克定律的数学表达式为：应力=弹性模量×应变。
这个关系可以简洁地表示了应变和应力之间的关系。
根据这个关系，我们可以推导出应变和应力之间的其他关系。
比如，如果已知应变和弹性模量，可以通过应变乘以弹性模量来计算应力。
同样地，如果已知应力和弹性模量，可以通过应力除以弹性模量来计算应变。
除了胡克定律，还有其他的应变与应力之间的关系，比如柯西应变与柯西应力之间的关系、拉梅应变与拉梅应力之间的关系等。
这些关系都是通过实验和理论推导得到的，它们描述了不同应变与应力之间的关系，适用于不同的物体和力学问题。
总结起来，应变和应力之间存在着一定的关系，可以通过胡克定律或其他相关定律来描述。
弹性应力-应变关系和单轴状态下材料的特征、模型
《弹塑性力学与有限元》
弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
弹性固体的应变能和余能密度
其中，W为单位体积的应变能或应变能密度，且δW为应变能密度的
增长率。
W ij ij
因为应变能W定义上讲只是ɛ的函数，所以微分形式为：
W
W
ij
ij
《弹塑性力学与有限元》
弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
引言
本章假设材料特性是与时间无关的。 本章假设材料特性忽略力学与热学过程的相互作用。 弹性模型能很好描述处于工作荷载水平下的许多工程材
料的性能，因此弹性本构关系是在不同的工程问题中得 到广泛应用的弹性理论基础。
《弹塑性力学与有限元》
弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
上式是在简单拉伸试验中所测得的应力-应变线性相关性的简单推广，
因此常将上式称为广义胡克（hooke）定律。
《弹塑性力学与有限元》
弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
由于σij和ɛij都是对称的，固有如下对称条：
Cijkl C jikl Cijlk C jilk ij Cijkl kl
量之间存在一种简洁的分离形式，即：ij k k ij 2 ij
3p 3 2kk 3 2Gkk
K
3
2
3
p Kkk kk
在线弹性范围内，体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。
《弹塑性力学与有限元》
弹性应力-应变关系和单轴状态下材料 的特征、模型
各向同性材料的线弹性应力-应变关系（广义Hooke定律）
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，并对每个单元进行数学建模，从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据，是弹塑性 力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基 础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质。
弹塑性力学讲义 第四章应力应变关系
A 中有体积分和面积分，利用柯西公式和散度定理将面积分换成
体积分。
S Fiui dS S ( ijui )n j dS V ( jiui ), j dV
上式代入外力功增量
A ( fi ji, j )ui dV jiui, j dV ijijdV WdVU
弹性主轴
x3 为弹性主轴或材料主轴， 并取另一坐标系 x’i
， 且 x’1
= x1， x’2=x2， x’3=-x3。
4
在两个坐标下，弹性关系保持不变，则[C]中元素减少为 13 个独立系数。
Qi’j
x’1 = x1 x’2=x2 x’3=-x3
代入
x1
1 0 0 1
x2
0 0 0 -1
x3
0
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
2
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
得
x ' x1 ， x ' x 2
1
3 1
，
x ' x3
3
，
x ' x ' x1 x 2
1 2
x ' x ' x3 x1 ， x ' x ' x3 x 2
3 2
应变分量具有相同关系式。
[C]
为对称矩阵
[C]= [C]T。
最后 Eijkl 的独立系数为 21 个——材料为各向异性线弹性材料。 *对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生 剪应力。 弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可简化 [C] 中系数。 2.2 具有一个弹性对称面的材料 若物体内各点都有这样一个平面， 对此平面对称方向其弹性性质相同，则 称此平面为弹性对称面，垂直弹性对称面 的方向称为弹性主轴。 如取弹性对称面为 x1 —x2 面， x1 x3’ x2 x3
弹塑性力学 应力和应变之间的关系
我所认识的应力和应变之间的关系在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。
在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。
对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。
所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。
这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。
各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。
2.体积应力与体积应变成比例。
3.应力强度与应变强度成比例。
4.应力偏量与应变偏量成比例。
工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。
在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为()21E G μ=+。
屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。
习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。
对于加载过程如图1OA: 比例阶段；线性弹性阶段AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。
在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。
如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变eε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。
弹性与塑性应力应变关系
1/1/2023周书敬
分析式（3-9），该式中只包括了材料常数 和 ，故不能描述应力应变曲线旳全部特征；又因为在 处解析体现式有变化，给详细计算带来一定困难。 该力学模型抓住了韧性材料旳主要特征，因而与实际情况符合得很好。
2、(双)线性强化弹塑性模型（图b）
1/1/2023周书敬
a. 理想弹塑性材料 在塑性变形时，需要考虑塑性变形之前旳弹性变形，而不考虑硬化旳材料，也即材料进入塑性状态后，应力不再增长可连续产生塑性变形。 b. 弹塑性硬化材料 在塑性变形时，既要考虑塑性变形之前旳弹性变形，又要考虑加工硬化旳材料，这种材料在进入塑性状态后，如应力保持不变，则不能进一步变形。只有在应力不断增长，也即在加载条件下才干连续产生塑性变形。 4、刚塑性材料 在研究塑性变形时不考虑塑性变形之前旳弹性变形。 这
1/1/2023周书敬
第三节 广义胡克定律
这里研究旳是复杂应力状态下旳弹性本构方程。
对各向同性均匀材料，其广义胡克定律为：
1/1/2023周书敬
其中，E为弹性模量（modulus of elasticity）
G为剪切弹性模量(Shear modulus of elasticity)
1/1/2023周书敬
在弹性变形阶段，把应力与应变之间看成是一种线性关系。
1、理想弹性塑性（材料）模型（见图a）
当材料进入塑性状态后，若不考虑材料旳强化性质，则可得到理想弹塑性模型。这里旳强化指旳是当材料在经过塑性形变后，于第二次加载时旳弹性极限提升了。
1/1/2023周书敬
1/1/2023周书敬
一般以为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间旳残余应力引起旳。 “包辛格效应”使材料具有各向异性性质。 理想包辛格效应：若一种方向屈服极限提升旳数值和相反方向屈服极限降低旳数值相等，则称为理想包辛格效应。 包辛格效应旳数学描述比较复杂，因而在塑性力学中，对这一效应旳数学描述经常要进行相应旳简化。
分析式（3-9），该式中只包括了材料常数 和 ，故不能描述应力应变曲线旳全部特征；又因为在 处解析体现式有变化，给详细计算带来一定困难。 该力学模型抓住了韧性材料旳主要特征，因而与实际情况符合得很好。
2、(双)线性强化弹塑性模型（图b）
1/1/2023周书敬
a. 理想弹塑性材料 在塑性变形时，需要考虑塑性变形之前旳弹性变形，而不考虑硬化旳材料，也即材料进入塑性状态后，应力不再增长可连续产生塑性变形。 b. 弹塑性硬化材料 在塑性变形时，既要考虑塑性变形之前旳弹性变形，又要考虑加工硬化旳材料，这种材料在进入塑性状态后，如应力保持不变，则不能进一步变形。只有在应力不断增长，也即在加载条件下才干连续产生塑性变形。 4、刚塑性材料 在研究塑性变形时不考虑塑性变形之前旳弹性变形。 这
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第三节 广义胡克定律
这里研究旳是复杂应力状态下旳弹性本构方程。
对各向同性均匀材料，其广义胡克定律为：
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其中，E为弹性模量（modulus of elasticity）
G为剪切弹性模量(Shear modulus of elasticity)
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在弹性变形阶段，把应力与应变之间看成是一种线性关系。
1、理想弹性塑性（材料）模型（见图a）
当材料进入塑性状态后，若不考虑材料旳强化性质，则可得到理想弹塑性模型。这里旳强化指旳是当材料在经过塑性形变后，于第二次加载时旳弹性极限提升了。
1/1/2023周书敬
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一般以为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间旳残余应力引起旳。 “包辛格效应”使材料具有各向异性性质。 理想包辛格效应：若一种方向屈服极限提升旳数值和相反方向屈服极限降低旳数值相等，则称为理想包辛格效应。 包辛格效应旳数学描述比较复杂，因而在塑性力学中，对这一效应旳数学描述经常要进行相应旳简化。
弹性力学 第四章 应力和应变关系.
第四章应力和应变关系知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系一、内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程,几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的,因此,必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的,有应力就有应变;反之,有应变则必有应力。
对于每一种材料,在一定的温度下,应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性,因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态,应力应变关系的实验测试是有困难的,因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理;具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式;各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二、重点1、应变能函数和格林公式;2、广义胡克定律的一般表达式;3、具有一个和两个弹性对称面的本构关系;4、各向同性材料的本构关系;5、材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形,因此外力在变形过程中作功。
同时,弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系,可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化,因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式,并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系,容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能,即应变能函数。
探讨应变能的全微分,可以得到格林公式,格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的,则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理,可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
弹性与塑性应力应变关系
1 H / H 0 （3－6）
2013-7-25周书敬
第三章 弹性与塑性应力应变关系
13
第二节 简单应力状态的本构方程
• 对于不同的材料，不同的应用领域，其本构方程是
完全不同的 ，特别是对于塑性力学问题其应力应变关系为
非线性，叠加原理不能应用，而且应力应变关系还和变形 的历史有关。 • 根据不同材料简单拉压试验，提出以下几种不同的 简化力学模型（本构方程），在第0章已给出过，在此给 出具体分析。
2013-7-25周书敬 第三章 弹性与塑性应力应变关系 1
间的联系，所以，平衡方程和几何方程是两类完全相互独立 的方程，它们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来
讲，因为未知量数目多于任何一类方程的个数，所以，无法
利用这两类方程求得全部未知量。 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式， 这些关系式即是所谓的本构关系。本构关系反映可变形固体 材料的固有特性，故也称为物理关系，它实际上是一组联系
1 x (1 ) x E 1 y (1 ) y E 1 z E (1 ) z
间的关系是线性的，即可用胡克 定律(Hooke) 表示。
E
（3－1）
式中：E—弹性模量（moculus of elastics） ；
2013-7-25周书敬 第三章 弹性与塑性应力应变关系 3
A点对应的应力称为比例极限（Propotional limit） 2、弹性变形阶段 ： AB段
2013-7-25周书敬 第三章 弹性与塑性应力应变关系
随动强化模型
20
ห้องสมุดไป่ตู้
在塑性成形理论中的多数情况下，塑性应变一般都比弹
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yz = c55yz+ c56zx zx = c56yz+ c66zx 13个独立常数
• 正交各向异性材料
具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个
x =c11x+ c12y+ c13z
y =c12x+ c22y+ c23z
z =c13x+ c23y+ c33z xy = c44xy yz = c55yz zx = c66zx
5 本构关系
5.1 弹性应力应变关系
• • • • • •
5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6
一般表示 材料对称性 各向同性弹性体 弹性常数的测定 矩阵形式表达 弹性应变能
5.1.1 一般表示
•
应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 x= x(x，y，z，xy，yz，zx) y= y (x，y，z，xy，yz，zx) ……. zx= zx (x，y，z，xy，yz，zx)
各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料
• 横观各向同性材料
存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同 性。
将x，y轴互换时，材料弹性关系不变 c11=c22， c13=c23，
c55=c66 将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变，得 c44=0.5(c11 c12)
x =c11x+ c12y+ c13z
使用物理方程，xy = 2Gxy，
xy xy G xy 2 xy
G是剪切模量。
• 单轴应变实验 • 有唯一应变分量 11 • 约束模量：
11 M 2G 11
• 各向同性弹性本构关系用其他参数表示：
E E ij ij kk ij 1 (1 )(1 2 )
E [ D] (1 )(1 2 )
[D]
0 0 0 (1 2 ) / 2 0 0 0 0 (1 2 ) / 2 0 0 0 0 0 (1 2 ) / 2
1 1 1 对 称
根据能量平衡，单位体积的应变能应是
所以
W dW ijd ij
0 0
ij
ij
dW=ijdij
对于弹性体，应变能只取决于状态，是应变状态的单值
函数W=W(ij)，应变能增量dW必须是全微分
W dW＝ d ij ij
于是对于任意的应变增量dij都应成立：
以最后一个方程为例
zx 反号，而x，y，z和xy不变，c61＝c62＝c63＝c64＝0
x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy
y =c12x+ c22y+ c23z+ c24xy
z =c13x+ c23y+ c33z+ c34xy
xy =c14x+ c24y+ c34z+ c44xy
令 c12=， c11 c12=2G 、G称为Lame（拉梅）弹性常数 x=2Gx + y=2Gy + z=2Gz + =x + y + z 是体积应变 xy =Gxy yz = Gyz zx = Gzx
• 广义Hooke定律的张量形式 ij=kkij +2Gij ij =Cijklkl Cijkl=ijkl+G(ikjl+iljk)
• 单轴有
y x 2(G )
E (1 )(1 2 )
E G 2(1 )
纯剪实验
0 xy 0 ij yx 0 0 0 0 0
将物理方程ij =Cijklkl代入dW=ijdij，考虑对称性，则
dW C ijkl kl d ij 1 1 1 C ijkl d ij kl C ijkl ij d kl d C ijkl ij kl 2 2 2
1 W= 1 Cijklijkl = ijij
• 平面应力情况
z yz zx 0
x E y 2 1 xy 0 1 x 1 0 y 0 0 ( 1 ) / 2 xy
z ( x y ) ( x y ) E 1
xy =c41x+ c42y+ c43z+ c44xy+ c45yz+ c46zx
yz =c51x+ c52y+ c53z+ c54xy+ c55yz+ c56zx
zx =c61x+ c62y+ c63z+ c64xy+ c65yz+ c66zx
系数cmn共36个，取决于材料弹性性质，与坐标系选取
式中0=(x+ y+z)/3是平均应力。 0=K 式中 K = (3+2G)/3 是体积变形模量。
• 偏应力与偏应变关系
x=2Gx + sx+0=2G(ex +
1 3
)+
将体应力与体应变关系代入： sx=2Gex 同理可得： sy=2Gey sz=2Gez
张量形式表示为
某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零
应力的主方向与应变的主方向重合
• 应变用应力表示 kk=(3+2G)kk
ij 1 ij ij kk 2G 2G(3 2G)
• 体积应力与体积应变关系
将等式对应相加，可得平均应力与体积应变的
关系：
30=(2G+3)
x 1 2 yx 1 zx 2
x 1 2 yx 1 zx 2
1 xy 2
y
1 zy 2
1 xz 2 1 yz 2 z
1 1 xy - xz 2 2 1 y - yz 2 1 - zy z 2
弹性系数cmn也应具有对称性
cmn＝cnm
5.1.2 材料对称性
• 弹性对称面 该面对称的两个方向具有相同的弹性关系
x xy xz yx y yz zx zy z
x xy - xz yx y - yz zy z zx
y =c12x+ c11y+ c13z
z =c13x+ c13y+ c33z
xy =0.5(c11 c12) xy
yz = c55 yz
zx = c55 zx
独立的弹性常数减少到5个。例如：层状结构的岩体。
5.1.3 各向同性弹性体
• 广义Hooke定律
将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关
有关
• 张量形式表示
ij =Cijklkl
其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。 同样也取
决于坐标系，服从四阶张量的坐标变换定律
• 弹性张量的对称性
（1）根据应力张量和应变张量的对称性
Cijkl= Cjikl
（2）根据应力张量和应变张量的对称性
Cijkl= Cijlk 独立的分量也是36个。
yz zx 0,
z ( x y )
5.1.6 弹性应变能
• 一维情况 一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长
量为L，外力功为
U
Pd ( L)
0
L
由于应力x=P/S，x=L/L，上式可写成
U SL
x
0
x d x
• 单位体积的应变能W为
• 平面应变情况（重力坝）
z yz zx 0
x 1 E 1 y ( 1 )( 1 2 ) 0 0 xy x 0 y (1 2 ) / 2 xy 0
U W SL
x
x
0
x d x
1 2 W E x 2
x
W x
W
x
• 求应变能相对应变的偏导
x
W x
• 三维情况
考察微小六面体，应力分量ij产生的应变分量ij，各应
力分量ij都只在与它相同的应变分量ij上做功，
W ijd ij
0
ij
（3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称
Cijkl= Cklij 独立的弹性常数共有21个
• 两种表示方式之间的关系
弹性系数c的下标 1、 2、 3、 4、 5、6
对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31 例如： c11＝C1111 • c12＝C1122 c13＝C1133 c14＝C1112
• 正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。 • 每个应变等于各个应力单独作用时产生的应变
1 ij ij kk ij E E
之和。
• 弹性常数的限制 • 实验结果表明，E、G、K总为正值，有
1 0.5
• 大多数材料为正值，而
0 .5
，有
E G , 1/ K 0 3
• 即材料弹性不可压缩，如橡胶。
5.1.5 矩阵形式表达
x y z x E E
z x y E E y
xy
21 xy E
21 yz E
yz
z x y z E E
sij = 2Geij
在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形
• 正交各向异性材料
具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个
x =c11x+ c12y+ c13z
y =c12x+ c22y+ c23z
z =c13x+ c23y+ c33z xy = c44xy yz = c55yz zx = c66zx
5 本构关系
5.1 弹性应力应变关系
• • • • • •
5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6
一般表示 材料对称性 各向同性弹性体 弹性常数的测定 矩阵形式表达 弹性应变能
5.1.1 一般表示
•
应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 x= x(x，y，z，xy，yz，zx) y= y (x，y，z，xy，yz，zx) ……. zx= zx (x，y，z，xy，yz，zx)
各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料
• 横观各向同性材料
存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同 性。
将x，y轴互换时，材料弹性关系不变 c11=c22， c13=c23，
c55=c66 将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变，得 c44=0.5(c11 c12)
x =c11x+ c12y+ c13z
使用物理方程，xy = 2Gxy，
xy xy G xy 2 xy
G是剪切模量。
• 单轴应变实验 • 有唯一应变分量 11 • 约束模量：
11 M 2G 11
• 各向同性弹性本构关系用其他参数表示：
E E ij ij kk ij 1 (1 )(1 2 )
E [ D] (1 )(1 2 )
[D]
0 0 0 (1 2 ) / 2 0 0 0 0 (1 2 ) / 2 0 0 0 0 0 (1 2 ) / 2
1 1 1 对 称
根据能量平衡，单位体积的应变能应是
所以
W dW ijd ij
0 0
ij
ij
dW=ijdij
对于弹性体，应变能只取决于状态，是应变状态的单值
函数W=W(ij)，应变能增量dW必须是全微分
W dW＝ d ij ij
于是对于任意的应变增量dij都应成立：
以最后一个方程为例
zx 反号，而x，y，z和xy不变，c61＝c62＝c63＝c64＝0
x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy
y =c12x+ c22y+ c23z+ c24xy
z =c13x+ c23y+ c33z+ c34xy
xy =c14x+ c24y+ c34z+ c44xy
令 c12=， c11 c12=2G 、G称为Lame（拉梅）弹性常数 x=2Gx + y=2Gy + z=2Gz + =x + y + z 是体积应变 xy =Gxy yz = Gyz zx = Gzx
• 广义Hooke定律的张量形式 ij=kkij +2Gij ij =Cijklkl Cijkl=ijkl+G(ikjl+iljk)
• 单轴有
y x 2(G )
E (1 )(1 2 )
E G 2(1 )
纯剪实验
0 xy 0 ij yx 0 0 0 0 0
将物理方程ij =Cijklkl代入dW=ijdij，考虑对称性，则
dW C ijkl kl d ij 1 1 1 C ijkl d ij kl C ijkl ij d kl d C ijkl ij kl 2 2 2
1 W= 1 Cijklijkl = ijij
• 平面应力情况
z yz zx 0
x E y 2 1 xy 0 1 x 1 0 y 0 0 ( 1 ) / 2 xy
z ( x y ) ( x y ) E 1
xy =c41x+ c42y+ c43z+ c44xy+ c45yz+ c46zx
yz =c51x+ c52y+ c53z+ c54xy+ c55yz+ c56zx
zx =c61x+ c62y+ c63z+ c64xy+ c65yz+ c66zx
系数cmn共36个，取决于材料弹性性质，与坐标系选取
式中0=(x+ y+z)/3是平均应力。 0=K 式中 K = (3+2G)/3 是体积变形模量。
• 偏应力与偏应变关系
x=2Gx + sx+0=2G(ex +
1 3
)+
将体应力与体应变关系代入： sx=2Gex 同理可得： sy=2Gey sz=2Gez
张量形式表示为
某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零
应力的主方向与应变的主方向重合
• 应变用应力表示 kk=(3+2G)kk
ij 1 ij ij kk 2G 2G(3 2G)
• 体积应力与体积应变关系
将等式对应相加，可得平均应力与体积应变的
关系：
30=(2G+3)
x 1 2 yx 1 zx 2
x 1 2 yx 1 zx 2
1 xy 2
y
1 zy 2
1 xz 2 1 yz 2 z
1 1 xy - xz 2 2 1 y - yz 2 1 - zy z 2
弹性系数cmn也应具有对称性
cmn＝cnm
5.1.2 材料对称性
• 弹性对称面 该面对称的两个方向具有相同的弹性关系
x xy xz yx y yz zx zy z
x xy - xz yx y - yz zy z zx
y =c12x+ c11y+ c13z
z =c13x+ c13y+ c33z
xy =0.5(c11 c12) xy
yz = c55 yz
zx = c55 zx
独立的弹性常数减少到5个。例如：层状结构的岩体。
5.1.3 各向同性弹性体
• 广义Hooke定律
将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关
有关
• 张量形式表示
ij =Cijklkl
其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。 同样也取
决于坐标系，服从四阶张量的坐标变换定律
• 弹性张量的对称性
（1）根据应力张量和应变张量的对称性
Cijkl= Cjikl
（2）根据应力张量和应变张量的对称性
Cijkl= Cijlk 独立的分量也是36个。
yz zx 0,
z ( x y )
5.1.6 弹性应变能
• 一维情况 一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长
量为L，外力功为
U
Pd ( L)
0
L
由于应力x=P/S，x=L/L，上式可写成
U SL
x
0
x d x
• 单位体积的应变能W为
• 平面应变情况（重力坝）
z yz zx 0
x 1 E 1 y ( 1 )( 1 2 ) 0 0 xy x 0 y (1 2 ) / 2 xy 0
U W SL
x
x
0
x d x
1 2 W E x 2
x
W x
W
x
• 求应变能相对应变的偏导
x
W x
• 三维情况
考察微小六面体，应力分量ij产生的应变分量ij，各应
力分量ij都只在与它相同的应变分量ij上做功，
W ijd ij
0
ij
（3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称
Cijkl= Cklij 独立的弹性常数共有21个
• 两种表示方式之间的关系
弹性系数c的下标 1、 2、 3、 4、 5、6
对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31 例如： c11＝C1111 • c12＝C1122 c13＝C1133 c14＝C1112
• 正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。 • 每个应变等于各个应力单独作用时产生的应变
1 ij ij kk ij E E
之和。
• 弹性常数的限制 • 实验结果表明，E、G、K总为正值，有
1 0.5
• 大多数材料为正值，而
0 .5
，有
E G , 1/ K 0 3
• 即材料弹性不可压缩，如橡胶。
5.1.5 矩阵形式表达
x y z x E E
z x y E E y
xy
21 xy E
21 yz E
yz
z x y z E E
sij = 2Geij
在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形