中考数学必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型
模型1：角的8字模型
如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．
O
D
C B
A
模型分析 证法一：
∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二：
∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．
模型实例
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；
图图①
F
D C B
A
E E
B
C
D
A
图③
2
1O A
B
图④
G F 12
A
B E
解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ．
∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°．
解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ．
∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．
（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．
图②
F
D
C
B
A
E
312图⑤
P O Q
A B
F
C D
图⑥
2
1E
D
C
F
O
B
A
（2）解法一：
如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ．
∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°． 解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型）
∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°） 练习：
1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ；
图
图①
O
O
E
E
D
D
C
C
B
B
A
A
解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：
（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝ ．
图②
O
E
D
C
B
A
解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE ，∠EAD=∠B+∠D ，
又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝180°
解法二：
2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝ ．
H
G
F
E
D
C
B
A
解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2， ∵∠B+∠2+
∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360° 解法二：
模型2：角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．
A
D
C
图①
4
3
2
1A
D 4
32
1
A
D
模型分析
解法一：如图①，作射线AD ．
∵∠3是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B ＋∠1，∵∠4是△ACD 的外角，∴∠4＝∠C ＋∠2 ∴∠BDC ＝∠3＋∠4，∴∠BDC ＝∠B ＋∠1＋∠2＋∠C ，∴∠BDC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C 解法二：如图②，连接BC ．
∵∠2＋∠4＋∠D ＝180°，∴∠D ＝180°－（∠2＋∠4）
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A ＝180°，∴∠A ＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D ＝∠A ＋∠1＋∠3.
（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 模型实例
如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．
解答：利用角的飞镖模型
如图所示，连接DM 并延长．∵∠3是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM ， ∵∠4是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM ，∵∠AMC ＝∠3＋∠4
∴∠AMC ＝∠1＋∠ADM ＋∠CDM ＋∠2，∴∠AMC ＝∠1＋∠2＋∠ADC ．（角的飞镖模型）
∵AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，∴12BAD ∠∠=
，22
BCD
∠∠=， ∴22
BAD BCD
AMC ADC ∠∠∠=++∠，∴()3602B ADC AMC ADC ︒-∠+∠∠=
+∠（四边形内角和360°），∴3602
B ADC
AMC ︒-∠+∠∠=，∴2∠AMC ＋∠B －∠ADC ＝360°.
练习：
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
D
E
【答案】230°
提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .
A
A
【答案】220°
提示：如图所示，连接BD.
∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C ，
∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º
模型3 边的“8”字模型
如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论AC+BD>AD+BC
．
C
A
D
模型分析
∵OA+OD>AD ①， OB+OC>BC ②， 由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.
模型实例
如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。

求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD ；
(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.
B
证明：(1)∵AB+BC>AC ①， CD+AD>AC ②， AB+AD>BD ③， BC+CD> BD ④
由①+②+③+④得： 2 (AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD). 即AB+BC+CD+AD >AC+BD.
(2) ∵AD<OA+OD ① ，BC<OB+OC ②， 由①+②得： AD+BC< OA+OD+OB+OC ．
∴AD+BC<AC+BD.（边的8字模型）， 同理可证：AB+CD <AC+BD. ∴AB+BC+CD+AD< 2AC+2BD.
模型4 边的飞镖模型
如图所示有结论：
AB+AC> BD+CD.
A
B
A
模型分析
如图，延长BD 交AC 于点E 。

∵AB+AC=AB+AE+EC ，AB+AE>BE ，∴AB+A C>BE+EC.① ，∵BE+EC=BD+DE+EC ， DE+EC> CD ，∴BE+EC>BD+CD. ② ，由①②可得：AB+AC>BD+CD.
模型实例
如图，点O 为三角形内部一点．
求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC ；
(2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.
A B
B
证明：(1)∵OA+OB>AB①，OB+OC>BC②，OC+OA>AC③
由①+②+③得：2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC
(2)如图，延长BO交AC于点E，
∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+AC>BE+EC. ①
∵BE+EC=BO+OE+EC，OE+EC>CO，∴BE+EC>BO+CO，②
由①②可得：AB+AC>BO+CO.③（边的飞镖模型）
同理可得：AB+BC>OA+OC.④，BC+AC>OA+OB.⑤
由③+④+⑤得：2 (AB+BC+AC)>2 (AO+BO+CO). 即AB+BC+AC>AO+BO+CO. 1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。

求证：AB+AC>AD+AE.
B
【答案】
证法一：如图①，将AC平移至BF，AD延长线与BF相交于点G，连接DF。

由平移可得AC=BF ，∵AC∥BF ，∴∠ACE=∠BFD ，∵BD=CE
∴△AEC≌△FDB ，∴DF=AE
如图，延长AD交BF于点G，∵AB+BF=AB+BG+GF. ∵AB+BG>AG，
∴AB+BF>AG+GF①，∵AG+GF=AD+DG+GF，∵DG+GF>DF，
∴AG+GF>AD+DF②，由①②可得：AB+BF>AD+DF.（飞镖模型）
∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE. ∴AB+AC>AD+AE.
B
证法二：如图②，将AC平移至DF，连接BF ，则AC=DF ，∵AC∥DF，∴∠ACE=∠FDB. ∵BD=CE，∴△AEC≌△FBD. ∴BF=AE. ∵OA+OD>AD①，OB+OF>BF②
由①+②得：OA+OD+OB+OF>BF+AD. ∴AB+DF>BF+AD.（8字模型）
∴AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD. ∴AB+AC>AD+AE.
F
2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．
(1)如图①，△ABC 中，P 为边BC 一点，请比较BP+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由． (2)如图②，将(1)中的点P 移至△ABC 内，请比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．
(3)图③将(2)中的点P 变为两个点1P 、2P ，请比较四边形12BPP C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由.
B
B B
【答案】
（1）如图①，BP+PC<AB+AC.
理由：三角形两边之和大于第三边。

（或两点之间线段最短） （2）△BPC 的周长小于△ABC 的周长。

证明：如图②，延长BP 交AC 于M 。

在△ABM 中，BP+PM<AB+AM ① 在△PMC 中，PC<PM+MC ②
，由①+②得：BP+PC<AB+AC. ∴△BPC 的周长小于△ABC 的周长。

B
（3）四边形12BPP C 的周长小于△ABC 的周长。

证法一：如图③，分别延长1BP 、2CP 交于M ，由（2）知，BM+CM<AB+AC.
又∵12P P <1
2PM P M ，∴1BP +12P P +2P C <BM+CM<AB+AC. ∴四边形12BPP C 的周长小于△ABC 的周长.
B
A
B
证法二：如图④，做直线12P P 分别交AB 、AC 于M 、N 。

在△BM 1P 中，1BP <BM+1MP ① 在△AMN 中，1MP +12P P +2P N <AM+AN ② ，在△2P NC 中，2P C <2P N +NC ③ 由①+②+③得：∴1BP +12P P +2P C <AB+AC. ∴四边形12BPP C 的周长小于△ABC 的周长.。