山东省烟台市第二中学2019-2020学年高一下学期3月月考数学试题(解析版)
专题05空间中的平行关系与垂直关系(解析版)
专题05空间中的平行关系与垂直关系1．在正四棱锥S ABCD -中，SO ⊥面ABCD 于O ，2SO =,P Q 分别在线段,BD SC 上移动，则,P Q 两点的最短的距离为（）A B C ．2 D ．1【答案】B,P Q 在,BD SC 上移动，则当PQ 为,BD SC 公垂线段时，,P Q 两点的距离最小；四棱锥S ABCD -为正四棱锥，SO ⊥平面ABCD ，O ∴为正方形ABCD 的中心，BD AC ∴⊥，又SO BD ⊥，SOAC O =，BD ∴⊥平面SOC ，过O 作OM SC ⊥，垂足为M ，OM ⊂平面SOC ，OM BD ∴⊥，OM ∴为,BD SC 的公垂线，又5SO OC OM SC ⋅===，,P Q ∴. 故选：B.2．【广西河池市2020-2021学年高一上学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（）．A ．5B C ．5D ．5【答案】D连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC //OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =， 由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥，则BE DE ===1122OD BD ==⨯=因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，sin5OD OED DE ∠===． 故选：D.3．【广西桂林市2020-2021学年高一上学期期末】已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α.B ．若直线m 、n 与平面α所成角相等，则//m n .C ．若m α⊂，n ⊂α且//m β，βn//，则//αβ.D ．若m α⊥，βn//且//αβ，则m n ⊥. 【答案】DA. 由题得//n α或n ⊂α，所以该选项错误；B. 由题得//m n 或,m n 相交或,m n 异面，所以该选项错误；C. 由题得//αβ或,αβ相交，所以该选项错误；D. 由题得m β⊥，又βn//，所以m n ⊥，所以该选项正确.故选：D4．【河南省天一大联考2020-2021学年高一上学期期末】在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】A∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．5．【河南省平顶山市2020-2021学年高一上学期期末】将如图的平面图形折成正方体，则在这个正方体中，正确的是（）A ．//AB CD ，AB EF ⊥ B ．AB CD ⊥，AB EF ⊥C ．//AB CD ，AB 与EF 所成的角为60 D ．AB CD ⊥，AB 与EF 所成的角为60【答案】D作出翻折后的正方体如下图所示：在正方体ANBF MCED -中，四边形MCED 为正方形，则CD ME ⊥，AM ⊥平面MCED ，CD ⊂平面MCED ，CD AM ∴⊥，AM ME M =，CD 平面ABEM ，AB CD ∴⊥，在正方体ANBF MCED -中，//AF CE 且AF CE =，所以，四边形ACEF 为平行四边形，所以，//AC EF ，所以，异面直线AB 与EF 所成的角为BAC ∠， 易知ABC 为等边三角形，所以，60BAC ∠=， 因此，AB 与EF 所成的角为60. 故选：D.6．【陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一上学期期末】已知α、β是平面，m 、n 是直线，下列命题中不正确的是（） A ．若//m α，n αβ=，则//m n B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥【答案】A对于A 选项，若//m α，则直线m 与平面α内的直线平行或异面， 由于n αβ=，则直线m 、n 平行或异面，A 选项错误；对于B 选项，若//m n ，m α⊥，则n α⊥，B 选项正确； 对于C 选项，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，C 选项正确；对于D 选项，若m α⊥，m β⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，D 选项正确. 故选：A.7．【河南省焦作市2020-2021学年高一上学期期末】如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线AB 与MN 所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒.故选：C ．8．【陕西省铜川一中2020-2021学年高一上学期期末】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，将四边形CDEF 沿EF 翻折，使得平面CDEF ⊥平面ABEF ，则异面直线BD 与AE 所成角的正弦值为（）AB．10C．10D【答案】D如图，连接BF 交AE 于点O ，取DF 的中点G ，连接OG ，AG ，则OG BD ∥且12OG BD =，所以AOG ∠(或其补角)为异面直线BD 与AE 所成的角.由在矩形ABCD中，AB =2BC =，则1DF FA ==，2AE BF ==，所以112AO AE ==. 平面CDFE ⊥平面ABEF ，平面CDFE ⋂平面ABEF EF =，DFEF ，DF ⊂平面DCEF ，所以DF ⊥平面BAFE ，又BF ，AF ⊂平面BAFE ，所以DF BF ⊥，DF FA ⊥，所以BD =所以12OG BD ==1122GF DF ==，所以AG ==在AOG中，112cos AOAOG GO ∠===sin 5AOG ∠=．所以异面直线BD 与AE. 故选：D ．9．【贵州省思南中学2019-2020学年高一下学期期末】如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若24CD AB ==，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A解：如图所示：取CB 的中点G ，连接EG ，FG ，则//EG AB ，//FG CD ，EF ∴与CD 所成的角为EFG (或其补角)， EF AB ⊥，EF EG ∴⊥，又112EG AB ==，122FG CD ==， ∴在Rt EFG 中，1sin 2EFG ∠=， EF ∴与CD 所成的角为30．故选：A ．10．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（） A ．1θθ≥ B ．1θθ≤C ．2θθ≥D ．2θθ≤【答案】A设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，DE CE ===2DC =，∴1cos 3θ==，233AO CO CE ===，∴13cos 33AO AD θ===， 取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥，又DF AF F ⋂=，∴BC ⊥平面AFD ，∴BC AD ⊥，∴290θ=︒， ∴21θθθ≥≥，排除B ，C ，当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ， 故选：A .11．如图（1），Rt ABC，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD△折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥'【答案】C设AH a =，则BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，又Rt ABC ，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，'C H ==Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ， 故选：C.12．在正方体1111ABCD A BC D -中，过点C 做直线l ，使得直线l 与直线1BA 和11B D 所成的角均为o 70，则这样的直线l （） A ．不存在 B ．2条C ．4条D ．无数条【答案】C因为11//B D BD ，过点C 做直线l 可以转化为过B 做直线l 与直线1BA 和BD 所成的角均为o 70，由于1BA 与BD 所成的角都等于o 60，所以当直线l 是1A BD ∠的角平分线时与1A B BD 、都成o 30，然后直线l 绕着点B 转动，在与平面1A BD 垂直的过程中有一条直线与两条直线都成o 70，同理在1A BD ∠的对顶角中也有一条直线l 与两条直线都成o70， 因为1A BD ∠的补角是o 120，角平分线与两条直线都成o 60，当直线l 绕着点B 从1A BD ∠一侧的补角角平分线开始转动，在与平面1A BD 垂直的过程中有一条直线与两条直线都成o 70，同理另一侧的补角也存在一条，所以共有4条. 故选：C.13．【山东省烟台市第二中学2019-2020学年高一下学期期末】我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng ）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中BCF △是正三角形，22AB BC EF ==，则以下两个结论：①//AB EF ；②BF ED ⊥，（）A ．①和②都不成立B ．①成立，但②不成立C ．①不成立，但②成立D ．①和②都成立【答案】B解：∵//AB CD ，CD 在平面CDEF 内，AB 不在平面CDEF 内， ∴//AB 平面CDEF ， 又EF 在平面CDEF 内，由AB 在平面ABFE 内，且平面ABFE 平面CDEF EF =，∴//AB EF ，故①对；如图，取CD 中点G ，连接BG ，FG ，由AB ＝CD ＝2EF ，易知//DE GF ，且DE ＝GF ，不妨设EF ＝1，则BG ==假设BF ⊥ED ，则222FG B G F B +=，即212FG +=，即FG ＝1，但FG 的长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立. 故选：B.14．【湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是（）A ．MN 与1AC 垂直B ．MN 与平面11ACC A 垂直 C ．MN 与平面1C BD 平行 D ．MN 与平面1A BD 平行【答案】C对于选项A ，连接1BC ，11B D ，由三角形中位线知识即可证得11//MN BD ，由选项B 可得11B D ⊥平面11ACC A ，所以MN 与1AC 垂直 对于选项B ，由三角形中位线知识即可证得11//MN B D ， 正方体中，易得1111B D AC ⊥及1AA ⊥平面1111D C B A ， 所以111AA B D ⊥，又1111B D AC ⊥所以11B D ⊥平面11ACC A ，所以MN 与平面11ACC A 垂直对于选项C ，因为M ∈1BC ，1BC ⊂平面1C BD ，所以MN 与平面1C BD 至少有一个公共点M ，MN 与平面1C BD 不可能平行.对于选项D ，由B 选项的证明可得11//MN B D ，又11//BD B D ， 所以//MN BD ，又MN ⊄平面1A BD 所以MN 与平面1A BD 平行 故选：C15．如图，在长方形ABCD 中，AD CD <，现将ACD △沿AC 折至1ACD △，使得二面角1A CD B --为锐二面角，设直线1AD 与直线BC 所成角的大小为α，直线1BD 与平面ABC 所成角的大小为β，二面角1A CD B --的大小为γ，则,,αβγ的大小关系是（）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．γαβ>>D ．不能确定【答案】B解决本题，先来了解最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于直线与平面内其他直线的夹角． 证明如下：直线AB 与平面α斜交，斜足为B ，AO ⊥平面α，BC OC ⊥，由AO ⊥平面α，BC OC ⊥， 可证明BC ⊥平面AOC ， 则BC AC ⊥． 则cos BOABO AB ∠=， cos BCABC AB ∠=，cos BCOBC BO∠=，所以cos cos BO BC BCABO OBC AB BO AB∠⋅∠=⨯=， 即cos cos cos ABC ABO OBC ∠=∠⋅∠， 故cos cos ABC ABO ∠<∠，ABC ABO ∠>∠．过点1D 作1D O ⊥平面ABC ， 过点B 作BO '⊥平面1ACD ， 连接OB .过O '作1O H CD '⊥， 连接BH ，如图：则1D BO ∠为直线1BD 与平面ABC 所成角， 即1D BO β∠=， 由BO '⊥平面1ACD ， 则1BO CD '⊥， 又1O H CD '⊥， 且BO O H O '''⋂= 所以1D C ⊥平面BO H '， 则1CD BH ⊥所以BHO '∠为二面角1A CD B --的平面角， 即BHO γ'∠=， 又11D ABC B AD C V V --=， 即111133ABC AD C S OD S O B '⨯⨯=⨯⨯△△， 且112AD C ABCDS ABC S S ==矩形△△， 所以1BO D O '=. 由sin ,BO BHO BH''∠=111sin D OD BO BD ∠=， 由1BH BD <，所以sin BHO '∠>1sin D BO ∠，即BHO '∠>1D BO ∠， 也即γβ>. 又在平面1AD C 内，111,AD DC O H DC '⊥⊥， 所以1//AD O H '.所以α等于直线O H '与BC 所成的角，BHO '∠也为直线O H '与平面1BCD 所成的角.根据上面已证的最小角定理有BHO α'∠<. 所以αγβ>>， 故选：B.16．【河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末】四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB 所成角的大小为______. 【答案】60°如图示，因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD , 所以异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD. 又各条棱长均为2，所以△ VCD 为等边三角形，所以∠VCD =60°，异面直线VC 与AB 所成角的大小为60°. 故答案为：60°17．【河南省濮阳市2020-2021学年高一上学期期末】空间三条直线a ，b ，c 两两异面，则与三条直线都相交的直线有___________条. 【答案】无数在a 、b 、c 上取三条线段AB 、CC '、A D ''， 作一个平行六面体ABCD A B C D -''''，如图所示在c 上，即在直线A D ''上取一点P ，过a 、P 作一个平面β 平面β与'DD 交于Q 、与CC '交于R ，则 由面面平行的性质定理，得//QR a ，于是PR 不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交，得直线PR 是与a ，b ，c 都相交的一条直线．根据点P 的任意性，得与a ，b ，c 都相交的直线有无穷多条． 故答案为：无数18．【河南省豫南九校2020-2021学年高一上学期期末】如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF所成的角的余弦值为______．设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ，EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，OE =EF =所以cos OE OEF EF ∠==故答案为：3．19．如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)的动点P 满足,AP BP 与底面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是___________.【答案】⎣⎦连结,PD PE ，由题意易知,APE APB ∠∠即分别为,AP BP 与底面DEF 的所成角， 故tan tan APE APB ∠=∠，即AE BDPE PD=，可得2PE PD =， 以,DF DE 作为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，设(,)P x y ，而(3,0),(0,3)F E ，可得22(1)4x y ++=， 即点P 在以圆心(0,1)M -，半径为2r的圆弧上运动(点P 在△DEF 内且包括边界).设圆M 与坐标轴正半轴交于点(0,1)N ，Q ，连结PF ，显然QF PF NF ≤≤，又3QF =NF =而3tan PF θ=tan θ≤≤.故答案为：⎣⎦.20．【辽宁省沈阳市第二中学2019-2020学年度下学期高一年级数学期末】已知：平面l αβ=，∈A l ，B l ∈，4AB =，C β∈，CA l ⊥，3AC =，D α∈，DB l ⊥， 3.DB =直线AC 与BD 的夹角是60︒，则线段CD 的长为_________．【答案】5如图，作//AE BD 且AE BD =，连接,ED EC ，则CAE ∠（或其补角）为异面直线,AC BD 所成的角，所以60CAE ∠=︒或120CAE ∠=︒，因为//AE BD 且AE BD =，所以ABDE 是平行四边形，所以//DE AB ，4DE AB ==， 因为,AB AC AB BD ⊥⊥，所以,ED AC ED AE ⊥⊥，AC AE A ⋂=，所以BD ⊥平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以ED CE ⊥，3AC AE ==，若60CAE ∠=︒，则3CE =，5CD ==，若120CAE ∠=︒，则23sin60CE =⨯︒=CD ．故答案为：521．【云南省昆明市2019-2020学年高一下学期期末】如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，G 分别是棱11A D ，1AA ，AB 的中点.下列四个结论：①1//CD FG ；②//AC 平面EFG ；③平面BAC ⊥平面EFG ；④1B D EG ⊥.其中正确结论的编号是___________.【答案】①②④对于①，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//CD BA ，1//BA FG ，所以1//CD FG ，故①正确；对于②，延长EF 交DA 的延长线于H ，连HG ，则1AH A E AG ==，所以//HG AC ，又HG ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ，所以//AC 平面EFG ，故②正确；对于③，平面BAC 与平面EFG 不垂直；故③不正确；对于④，在正方体中，因为11B D CD ⊥，1//CD FG ，所以1B D FG ⊥， 因为1B DAC ，//AC HG ，所以1B D HG ⊥，因为FG HG G ⋂=，所以1B D ⊥平面FHG ，又EG ⊂平面FHG ，所以1B D EG ⊥，故④正确. 故答案为：①②④22．如图在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，11AD AA ==，则点1B 到平面1D BC 的距离为______.解：设点1B 到平面1D BC 的距离为d ， 1111B BCD D BCB V V --=，∴11111133BCD BCB Sd SA B =．∴111111123232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯．d ∴=．． 23．【黑龙江省鸡西市第一中学2019-2020学年度高一下学期期末】如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且EF =现有如下四个结论：①AC BE ⊥； ②平面EFC//平面1A BD③异面直线,AE BF 所成的角为定值； ④三棱锥A BEF -的体积为定值， 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④①设AC 与BD 相交与G .根据正方体的性质可知1,AC BD AC BB ⊥⊥，而1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以AC BE ⊥.故①正确.②根据正方体的性质可知11//A B D C ，1A B ⊂/平面11B CD ，1D C ⊂面11B CD ，所以1//A B 平面11B CD .同理可证//BD 平面11B CD ，而1A B BD B ⋂=，所以平面1//A BD 平面11B CD ，也即平面//EFC 平面1A BD .故②正确.③由于正方体的边长为1，所以112BD B D BG ===，而EF =性质可知//EF BG ，所以四边形BGEF 是平行四边形，所以//BF GE ，所以AEG ∠是异面直线,AE BF 所成的角，所以tan AGAEG GE∠=，其中AG 为定值，GE 长度不固定，所以AEG ∠不是定值，所以③错误. ④由①可知AC ⊥平面11BDD B ，所以111113322212A BEFBEF V S AG -⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭为定值，所以④正确.故答案为：①②④24．已知正ABC 的顶点A 在平面α上，顶点B 、C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC 在平面α上的投影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的最小值为______.如图，结合题意绘出图像，AEF 即ABC 在平面α上的投影，作DG ⊥平面α于点G ，连接AG ，设BE a =，CF b =，2AB AC BC ===，则AD =， 因为AEF 即ABC 在平面α上的投影，D 为BC 的中点，所以点G 在线段EF 上且点G 是线段EF 的中点，22BE FCa bDG ， 因为AEF 是以A 为直角顶点的三角形，所以12GAEF ， 因为DG ⊥平面α于点G ，所以DG AG ⊥，DAG ∠即直线AD 与平面α所成角， 因为22224AE AB BE a ，22224AF AC CF b ，222EF AE AF =+，所以222228EF AE AF a b ，因为22222322EF a b AG AD DG ，即2212EFa b ，联立()22222128EF a b EF a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩，解得2ab =， 则323262sin 26633a b DGDAGa aADaa ，当且仅当a b ==AD 与平面α， 25．【辽宁省大连市2019-2020学年高一（下）期末】在正方体1111ABCD A BC D -中，P ，Q 分别为棱1AD ，1BC 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列命题中，所有正确命题的序号为______.①当点P 异于点A 时，直线1PB 与直线AQ 一定异面；②BPQ 的面积为定值；③P ，Q 运动过程中，均有BC PQ ⊥；④P ，Q 运动过程中，线段PQ 在面11BB C C 内射影所形成的区域面积是四边形11BB C C 面积的一半. 【答案】①③④ 对①，如图所示：当0PA >时，假设直线1PB 与直线AQ 是共面直线，则AP 与1B Q 共面， 与题意矛盾，所以直线1PB 与直线AQ 一定异面，故①正确； 对②，当点P 在A 处时，点Q 与1B 重合，如图所示：设正方体边长为1，111122BPQ S =⨯⨯=△. 当点P 在1AD 中点时，此时点Q 在1BC 的中点，如图所示：设正方体边长为1，11224BPQ S =⨯⨯=△， 故BPQ 的面积不是定值，故②错误；对③，过P 做PH AD ⊥，过Q 做QK BC ⊥，连接HK ，如图所示：因为1//PH DD ，1//QK BB ，1AP B Q =，11AD B C =，AD BC =， 所以11AP AH BQ BKAD AD B C BC===，即AH BK =. 所以四边形ABKH 为矩形，即BC HK ⊥. 又因为BC QK ⊥，QKHK K =，所以BC ⊥平面PHKQ .PQ ⊂平面PHKQ ，所以BC PQ ⊥，故③正确.对④，P 点在平面11BCC B 内的射影点的轨迹为线段1BC ， 设11BC B C O =，如图所示：线段PQ 在平面11BB C C 内射影所形成的区域为1B OB △和1C OC △，111112B OBC OCBB C C SSS +=四边形，故④正确. 故答案为：①③④26．在长方体1111A BCD A BC D -中，E ，F ，G 分别为所在棱的中点，H ，Q 分别为AC ，1AD ，的中点，连EF ，EG ，FG ，DQ ，CQ ，1D H ．（I ）求证：平面//EFG 平面ACQ（II ）问在线段CD 上是否存在一点P ，使得//DQ 平面1D PH ？若存在，求出P 点的位置若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析（2）当13DP DC =时，满足条件，证明见解析. 连接111,AC BC ,由E ，F ，G 分别为所在棱的中点 所以11//AC GF ,1//EF BC由11//AD BC ,所以1//AD EF ,又1AD ⊂平面ACQ , EF ⊄平面ACQ 所以//EF 平面ACQ又11//AC AC ,所以//GF AC ,又AC ⊂平面ACQ , GF ⊄平面ACQ 所以//GF 平面ACQ ,又GF EF F ⋂= 所以平面//EFG 平面ACQ（2）线段CD 上存在一点P ，当13DP DC =时，满足//DQ 平面1D PH . 证明如下：连接PH 并延长交AB 于点M ,连接1D M ，则平面1D PH 与平面1D PM 为同一平面.由H 为AC 的中点，则AMH 与CPH △全等.则2233AM AB CD == 取线段1D M 的中点N ，连接QN .由,Q N 分别为11,AD D M 的中点，所以111233QN AM AB DC ===且//QN AM又//DP AM 且13DP DC =, 即//QN DP 且QN DP = 所以四边形QDPN 为平行四边形，故//QD NP又QD ⊄平面1D PH ，NP ⊂平面1D PH ，所以//DQ 平面1D PH .27．【陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一上学期期末】如图，ABC 中，22AC BC AB ==，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．（1）求证：//GF 平面ABC ； （2）求证：AC ⊥平面EBC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. （1）证明：连接AE ．四边形ABED 为正方形，F 为BD 的中点，F ∴为AE 的中点， 又G 为CE 的中点，所以，//FG AC ，FG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//FG ∴平面ABC ；（2）证明：四边形ABED 为正方形，BE AB ∴⊥，因为平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，BE ⊂平面ABED ，BE ∴⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC BE ∴⊥，AC BC AB ==，由勾股定理可得222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥， BCBE B =，AC ∴⊥平面BEC .28．【河南省驻马店市2020-2021学年高一上学期期末】如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，2PA PD AD ===，点M ，N 分别是线段PC ，AD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥A NBM -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）14. （1）∵PA AD =，N 为AD 中点∴PNAD∵底面ABCD 为菱形，∴60BAD ∠=︒，∴三角形ABD 为等边三角形， ∴BN AD ⊥， ∵PNBN N ，∴AD ⊥面PNB（2）∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，PNAD∴PN面ABCD又∵2PA PD AD ===，3PN NB，1AN =，∴AD NB ⊥∴11122ABNSAN BN =⋅=⨯=∵M 为PC 中点，∴点M 到面ABN 的距离等于P 到面ABN 距离的12又∴1132A NBM M ANB ABNV V PN S --==⨯⋅∴111324A NBM V -=⨯= 29．【河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末】在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1BO//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =， 11B O DO ∴是平行四边形.11//BO DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ，1//B O ∴平面11DA C .（2）1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=，11AC ∴⊥平面11B D DB .∴平面11DAC ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO .在平面11B D DB 内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ， 即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1OOD OHD ∽△△，则11O D ODO O OH=，OH ∴==即点O 到平面11DA C30．【宁夏银川一中2020-2021学年高一上学期期末】如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，底面ABC 是直角三角形，4PA AB BC ===，O 是棱AC 的中点，G 是AOB∆的重心，D 是P A 的中点.（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求证：DG//平面PBC ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）证明：PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥， 底面ABC 是直角三角形且AB BC =，AB BC ∴⊥，又PA ⊂平面P AB ，AB 平面P AB ，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB .(2)证明：连结OG 并延长交AB 于点E ，连结DO ，DE ,G 是AOB ∆的重心，∴OE 为AB 边上的中线，∴E 为AB 边上的中点，又有D 为PA 边上的中点，∴//DE PB ，PB ⊂平面PBC ，//DE ∴平面PBC ，同理可得//DO 平面PBC ，又DE ⊂平面DOE ，DO ⊂平面DOE ，DE DO D ⋂=， ∴平面DOE //平面PBC ，又有DG ⊂平面DOE ，DG //∴平面PBC。
山东省烟台第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案(1)
山东省烟台第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若AD →＝2DB →，则|CD →|为（ ）A ．1 B.43C.53D ．2 2． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMCE -的体积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则=21V V （ ）1111] A ．41 B ．31 C ．21D ．不是定值，随点M 的变化而变化3． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A ．四棱柱B ．四棱锥C ．三棱台D ．三棱柱4． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，则这两个圆锥的体积之比为（ ） A ．2：1 B ．5：2 C ．1：4 D ．3：15． 极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．26． 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，N ，P 的关系（ ）A ．M P N =⊆B ．N P M =⊆C ．M N P =⊆D ．M P N ==7． 已知函数(5)2()e22()2xf x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（ ） A ．2e B ．e C ．1 D ．1e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力． 8． 已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动 时，的取值范围是（ ） A ． ()0,1 B．3⎛⎝ C．()1,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．(9． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 10．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.3y x = C.ln y x =D.y x =11．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．B ．C ．D ．12．4213532,4,25a b c ===，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是__________.111]14．已知向量,满足42=，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 15．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．16．已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A ．5-BC ．6- D【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．三、解答题（本大共6小题，共70分。
山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期中数学测试卷-附解析(精校版)
2019-2020学年山东省烟台市高一（下）期中数学测试卷一、选择题1．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20 B．2、6、10、14 C．2、4、6、8 D．5、8、11、142．圆x2+y2﹣8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是（）A．相交 B．内切 C．相离 D．外切3．样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2 D．4．某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300 B．150 C．30 D．155．若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．6．过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x+4）2+（y+2）2=207．从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．8．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜69．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．10．已知直线l过点（0，﹣4），P是l上的一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则直线的斜率为（）A．B．±C．±2D．±2二、填空题11．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=．（结果用最简分数表示）12．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，则交点连成的直线的方程为．13．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径的长度是．14．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为多少．15．对任意非零实数a、b，若a⊙b的运算原理如程序框图所示，则（3⊙2）⊙4的值是．三、解答题16．求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x﹣y﹣3=0上的圆的方程．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．18．甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率．19．已知圆x2+y2﹣x﹣6y+m=0与直线2x+y﹣3=0交于M、N两点，O为坐标原点，文是否存在实数m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值若不存在，请说明理由．20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．21．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．2019-2020学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20 B．2、6、10、14 C．2、4、6、8 D．5、8、11、14【考点】系统抽样方法．【分析】系统抽样，要求编号后，平均分租，每一组只抽一个样本，两个相邻的样本的编号间距相等【解答】解：从20人中用系统抽样抽4个人，须把20人平均分成4组，每一组只抽1人，且所抽取的号码成等差数列只有A选项满足故选A2．圆x2+y2﹣8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是（）A．相交 B．内切 C．相离 D．外切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把第一个圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r，再由第二个圆的方程找出圆心B的坐标和半径R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，发现d=R﹣r，从而判断出两圆位置关系是内切【解答】解：把圆x2+y2﹣8x+6y+16=0化为标准方程得：（x﹣4）2+（y+3）2=9，∴圆心A的坐标为（4，﹣3），半径r=3，由圆x2+y2=64，得到圆心B坐标为（0，0），半径R=8，两圆心间的距离d=|AB|=5，∵8﹣3=5，即d=R﹣r，则两圆的位置关系是内切．故选：B．3．样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2 D．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据已知中数据，代入平均数公式，计算出a值，进而代入标准差计算公式，可得答案．【解答】解：∵样本a，0，1，2，3的平均值为1，∴=1解得a=﹣1则样本的标准差s==故选D4．某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300 B．150 C．30 D．15【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【分析】根据频率分布直方图得出该校学生优秀等级的频率，即可求出该校学生优秀等级的人数是多少．【解答】解：根据频率分布直方图得，该校学生优秀等级的频率是0.015×=0.15；∴该校学生优秀等级的人数是1000×0.15=150．故选：B．5．若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】取出的两球中至少有一个白球的对立事件是取出的两个球都是红球，由此利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有一个白球的概率．【解答】解：∵一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，∴基本事件总数=21，∵取出的两球中至少有一个白球的对立事件是取出的两个球都是红球，∴取出的两球中至少有一个白球的概率为：p=1﹣=．故选：C．6．过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x+4）2+（y+2）2=20【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB 外接圆就是四边形AOBP的外接圆．【解答】解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，∵OP的中点为（2，1），OP=2，∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，∴△AOB外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：A7．从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】所有的取法有C92=36种，两数积是完全平方数的取法只有4种，故两数积是完全平方数的概率为．【解答】解：所有的取法有C92=36种，当取出的两个数是1和4，1和9，2和8，4和9时，两数积是完全平方数．故两数积是完全平方数的概率为=，故选A．8．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜6【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量i 的值到S并输出S，根据流程图所示，将程序运行过程中各变量的值列表如下：【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S i循环前/2 1第一圈是 1 3第二圈是﹣2 5第三圈是﹣7 7第四圈否所以判断框内可填写“i＜6”，故选D．9．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．【考点】几何概型．【分析】求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．【解答】解：三角形ABC的面积为，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S=，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=1﹣，故选：B10．已知直线l过点（0，﹣4），P是l上的一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则直线的斜率为（）A．B．±C．±2D．±2【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小，切线长为2，∴PA=PB=2．∴圆心到直线l的距离为d=，直线方程为y+4=kx，即kx﹣y﹣4=0，∴=，解得k=±2．则所求直线的斜率为：±2．故选：D．二、填空题11．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=．（结果用最简分数表示）【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，分别求两个事件的概率是我们熟悉的古典概型，这两个事件是不能同时发生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，∵事件A为“抽得红桃K”，∴事件A的概率P=，∵事件B为“抽得为黑桃”，∴事件B的概率是P=，∴由互斥事件概率公式P（A∪B）=．故答案为：．12．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，则交点连成的直线的方程为x+2y ﹣1=0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】对两圆的方程作差即可得出交点连成的直线的方程．【解答】解：由题意，∵圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，∴两圆的方程作差得2x﹣y﹣3=0，即交点连成的直线的方程为x+2y﹣1=0．故答案为：x+2y﹣1=0．13．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径的长度是4．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】求出点A关于x轴的对称点A′，则要求的最短路径的长为A′C﹣r（圆的半径），计算求得结果．【解答】解：由题意可得圆心C（2，3），半径为r=1，点A关于x轴的对称点A′（﹣1，﹣1），求得A′C==5，则要求的最短路径的长为A′C﹣r=5﹣1=4，故答案为：4．14．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为多少．【考点】几何概型．【分析】利用几何概率公式求解．【解答】解：以甲船到达泊位的时刻x，乙船到达泊位的时刻y分别为坐标轴，则由题意知：0≤x，y≤24．设事件A={有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件B={甲船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件C={乙船停靠泊位时必须等待一段时间}．则A=B+C，并且事件B与事件C是互斥事件．∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）．甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0＜x﹣y≤2，乙船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0＜y﹣x≤1，在如图所示的平面直角坐标系下，点（x，y）的所有可能结果是边长为24的正方形，事件A的可能结果由图中的阴影部分表示，=242=576．则S正方形=69.5，∴由几何概率公式得P（A）==．∴有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为．故答案为：．15．对任意非零实数a、b，若a⊙b的运算原理如程序框图所示，则（3⊙2）⊙4的值是．【考点】程序框图．【分析】根据a⊗b的运算原理知a=3，b=2，通过程序框图知须执行，故把值代入求解，类似地即可求得（3⊙2）⊙4的值．【解答】解：由题意知，a=3，b=2；再由程序框图得，3≤2不成立，故执行，得到3⊗2==2．同样：2⊙4=故答案为：．三、解答题16．求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x﹣y﹣3=0上的圆的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】由A和B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为﹣1求出直线AB垂直平分线的斜率，根据垂径定理得到圆心在弦AB的垂直平分线上，又圆心在已知直线上，联立两直线方程组成方程组，求出方程组的解集，得到圆心M的坐标，再利用两点间的距离公式求出|AM|的长，即为圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：∵A（5，2），B（3，2），∴直线AB的斜率为=0，∴直线AB垂直平分线与x轴垂直，其方程为：x==4，与直线2x﹣y﹣3=0联立解得：x=4，y=5，即所求圆的圆心M坐标为（4，5），又所求圆的半径r=|AM|==，则所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=10．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法；茎叶图．【分析】（I）根据求平均数及中位数的方法，即可求解x，y．（II）根据分层抽样方法求得抽到的“高精灵”和“帅精灵”的志愿者人数，再分类求得至少有1人是“高精灵”的抽法种数与从这5人中选2人的种数，代入古典概型概率公式计算．【解答】解：（I）由茎叶图得：，解得，x=5，y=7（II）由题意可得，高精灵有8人，帅精灵有12人，如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：，=3记抽取的高精灵分别为b1，b2，帅精灵为c1，c2，c3，从已经抽取的5人中任选2人的所有可能为：（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共10种结果记从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”为事件A，则A包括，（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共7种∴因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵的概率为18．甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率．【考点】线性回归方程．【分析】（1）由表中数据的分散程度可得结论；（2）由表中数据可得，，进而可得和，可得回归方程，令x=6可得预测值；（3）列举可得总的基本事件有10个，符合题意的有6个，由概率公式可得．【解答】解：（1）由表中数据可知，甲的纯收入比乙的纯收入集中，故甲的纯收入较稳定；（2）∵=（1+2+3+4+5）=3，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8）=3.8，（x i﹣）2=（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2=10，同理可得（x i﹣）（y i﹣）=4.9，∴==0.49，=3.8﹣0.49×3=2.33，∴所求回归方程为=0.49x+2.33，令x=6可得=0.49×6+2.33=5.27，∴预测甲在6月份的纯收入为5.27千元；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，记“恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中”为事件A，则A包括的基本事件有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种，∴恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率为P（A）==19．已知圆x2+y2﹣x﹣6y+m=0与直线2x+y﹣3=0交于M、N两点，O为坐标原点，文是否存在实数m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出M，N的坐标，根据OM⊥ON可推断出•=0，把M，N坐标代入求得关系式，把直线方程与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x M+x N和x M•x N，利用直线方程求得y M•y NN的表达式，最后联立方程求得m，利用判别式验证成立，答案可得．【解答】解：设点M（x M，y M），N（x N，y N）当OM⊥OM时，K oM•K ON=﹣1⇒x M x N+y M y N=0（1）又直线与圆相交于P、Q⇒的根是M、N坐标⇒是方程5x2﹣x+m﹣9=0的两根有：x M+x N=，x M•x N=，又M、N在直线2x+y﹣3=0上，则y M•y N=（3﹣2x M）•（3﹣2x N）=9﹣6（x M+x N）+4x M•x N，∴+﹣6×+9=0，解得：m=，且检验△＞O成立，故存在m=，使OM⊥ON．20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．【考点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数．（Ⅱ）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（Ⅲ）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．【解答】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．21．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）由已知中直线l1过点A（3，0），我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l1的方程；（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．【解答】解：（1）由题意，可设直线l1的方程为y=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k=0…又点O（0，0）到直线l1的距离为，解得，所以直线l1的方程为，即或…（2）对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．又直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为．解方程组，得，同理可得：．…所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为，半径长．所以圆C的方程为，…即=0即，又s2+t2=1故圆C的方程为，令y=0，则（x﹣3）2=8，所以圆C经过定点，y=0，则x=，所以圆C经过定点且定点坐标为。
山东省烟台市第二中学2019-2020学年高一数学下学期3月月考试题(含解析)(1)
【答案】D
【解析】
分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到 ，得到 为直径，所以 为直角三角形,求出三边的长求得 的值，利用两个向量的数量积的定义即可求得 的值．
详解：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 三点共线，且 为直径,
如图所示，所以 ，
因为 ，所以 ,
则 ,故选D．
点睛：本题主要考查了向量在几何问题中的应用、数量积的计算,以及向量垂直的充要条件等知识的应用，其中求出 为直角三角形即三边是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
12.已知单位向量 的夹角为 ，则 与 夹角的余弦值为（ )
A。 B。 C。 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出 ,应用向量夹角公式，即可求解。
【详解】单位向量 的夹角为 ,
，
,
设 与 夹角为 ,
。
故选：D.
【点睛】本题考查向量的模长、向量的数量积、向量夹角，考查计算求解能力，属于基础题.
13。若 外接圆的半径为1,圆心为 , 且 ，则 等于( )
A. B. C。 D.
【答案】B
【解析】
依题意有 ，由余弦定理得 ,由正弦定理得 。
点睛：本题主要考查三角形面积公式,考查正弦定理和余弦定理的应用。由于已知三角形的面积和三角形一个角和一条边，首先根据三角形面积公式求出另一条边，再根据余弦定理求出第三条边，最后利用正弦定理求得相应的比值.在解三角形的题目中往往正弦定理和余弦定理都需要考虑。
山东省烟台市第二中学2019—2020学年高一数学下学期3月月考试题（含解析)
注意事项：
1。答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
烟台市第二中学2019-2020学年高一数学下学期3月月考试题(含解析)(1)
注意事项：
1。答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2.请将答案正确填写在答题卡上；
卷Ⅰ(选择题)
一、选择题(本题共计16小题，每题5分，共计80分）
1.设 为虚数单位,则复数 的虚部为（ ）
A. B. C。 -1D。 1
根据已知 是平面内向量的一个基底，因此不共线,求出 不共线满足的条件，即可求出结果.
【详解】由题意可知，平面内的任一向量 都可以唯一表示成 ，
∴ 是平面内表示所有向量的一个基底,.
∴ 不共线, ∴ .
故m的取值范围是 。
故选B
【点睛】本题考查向量基本定理，考查向量不共线的坐标关系，属于基础题。
5.设 是两个不共线的向量，若 则（ ）
A。 B。 C. D.
【答案】B
【解析】
依题意有 ，由余弦定理得 ,由正弦定理得 .
点睛:本题主要考查三角形面积公式，考查正弦定理和余弦定理的应用。由于已知三角形的面积和三角形一个角和一条边，首先根据三角形面积公式求出另一条边，再根据余弦定理求出第三条边，最后利用正弦定理求得相应的比值.在解三角形的题目中往往正弦定理和余弦定理都需要考虑。
先根据 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量,确定 的方向
与 的角平分线一致，可得到 ，可得答案．
【详解】 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量
的方向与 的角平分线一致
又 ，
向量 的方向与 的角平分线一致
一定通过 的内心
故选： ．
【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．
8。在△ABC中， 分别为∠A,∠B，∠C的对边，且 ，若向量 和 平行,且sinB＝ ，当△ABC的面积为 时，则b＝（ ）
精品解析：山东省烟台市第二中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
一､单选题
1.下列条件中,能判断平面 与平面 平行的是（）
A. 内有无穷多条直线都与 平行B. 与 同时平行于同一条直线
C. 与 同时垂直于同一条直线D. 与 同时垂直于同一个平面
【答案】C
【详细解析】
【详细分析】
利用空间几何元素的位置关系对每一个选项逐一详细分析判断得解.
【详细详细解析】A. 内有无穷多条直线都与 平行,则 还可能和 相交,所以该选项错误;
又由圆的性质可知 ,且 ,
则 平面PAC.所以A正确;
对于B,由A可知 ,由题意可知 ,且 ,所以 平面 ,而 平面 ,所以 ,所以B正确;
对于C,由B可知 平面 ,因而 与平面 不垂直,所以 不成立,所以C错误.
对于D,由A、B可知, 平面PAC, 平面 ,由面面垂直的性质可得平面 平面PBC.所以D正确;
A. 630B. 615C. 600D. 570
【答案】D
【详细解析】
【详细分析】
根据分层抽样的方法,结合比例的性质计算即可.
【详细详细解析】高一年级共有学生1200人,
按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本,
样本中共有男生42人,
则高一年级的女生人数约为: .
故选:D.
【点睛】本题主要考查了分层抽样的运用,属于基础题.
3
4
5
6
7
16
15
13
14
17
记本次测试中, 两组数据的平均成绩分别为 , 两班学生成绩的方差分别为 , ,则（）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】C
【详细解析】
【详细分析】
利用平均数以及方差的计算公式即可求解.
2019-2020学年山东省烟台市高一(下)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年山东省烟台市高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( )．A. 这种抽样方法是一种分层抽样B. 这种抽样方法是一种系统抽样C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D. 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数2. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sinB =513，cosB =12ac ，则a +c =( )A. √37B. √13C. 3√7D. 2√63. 直线y =x 被圆x 2+(y −2)2=4截得的弦长为( )A. 3B. 3√3C. 2√2D. √24. 利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间[150,250]内的户数为( )A. 46B. 48C. 50D. 525. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于( )A. 1B.C.D. 26. 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率为( )A. 0.005B. 0.004C. 0.001D. 0.0027. 已知角α终边上一点P(−3,4)，则sin α+tan α的值为( )A. −815B. −2915C. −2720D. 1208. 已知Ω{(x,y|{y ≥0y ≤√4−x2}，直线=mx +2m 曲线=√4−x 2两个不同交点，它们围成的平面区域为M 向区Ω上随机投一点A ，点A 在区域M 的概为(M)，P(M[π−22π1，则实数m 的取值范围)A. [12,1]B. [0,√33] C. [√33,1] D. [0,1]9. 为了抽查某城市汽车年检情况，在该城市主干道上采取抽车牌个位数为6的汽车检查，这种抽样方法是( )A. 简单随机抽样B. 抽签法C. 系统抽样D. 分层抽样10. 已知则( )A.B.C.D.11. 圆x 2+y 2+2x −1=0的圆心到直线y =x +3的距离为( )A. 1B. 2C. √2D. 2√212. 圆x 2+y 2+4x −1=0关于原点O 对称的圆的方程为( )A. (x −2)2+y 2=5B. x 2+(y −2)2=5C. (x +2)2+(y +2)2=5D. x 2+(y +2)2=5二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知cosa =23，且−π2<a <0，tan(−a−π)sin(2π+a)cos(−a)tan(π+a)的值______ ．14. 下列说法：①扇形的周长为8cm ，面积为4cm 2，则扇形的圆心角弧度数为1rad ； ②函数f(x)=2cosx(sinx +cosx)的最大值为√2； ③若α是第三象限角，则y =|sin α2|sin α2+|cos α2|cosα2的值为0或−2；④若sinα=sinβ则α与β的终边相同； ⑤函数f(x)={0,x 为有理数1,x 为无理数为周期函数； 其中正确的是______(写出所有正确答案)．15. 已知△ABC 中一点P 满足：BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，在△ABC 中任取一点Q ，则△QBC 的面积小于△PBC 的面积的概率为______ ．16. 若圆O ：x 2+y 2=2的切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则|AB|的绝对值的最小值______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知a，b为实数，函数f(x)=x2+ax+1，且函数y=f(x+1)是偶函数，函数g(x)=−b⋅f(f(x+1))+(3b−1)⋅f(x+1)+2在区间(−∞,−2]上的减函数，且在区间(−2,0)上是增函数(1)求函数f(x)的解析式；(2)求实数b的值；(3)设ℎ(x)=f(x+1)−2qx+1+2q，问是否存在实数q，使得ℎ(x)在区间[0,2]上有最小值为−2？若存在，求出q的值；若不存在，说明理由．18.(本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．(Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值;(Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;19. 已知曲线C 上任意一点到A(1,−2)的距离与到点(2,−4)的距离比为√22．(1)求曲线C 的方程；(2)设P(x,y)在轨迹C 上，若x +2y +m ≥0恒成立，求m 的取值范围．20. 通过市场调查，得到某产品的广告投入x(万元)与获得的利润y(万元)的数据，如表所示：表中w i =log 2x i ，w =15∑w i 5i=1(Ⅰ)画出数据对应的散点图；并根据散点图判断，y =a +b ⋅2x 与y =c +dlog 2x 中，哪一个适宜作为利润y 关于广告费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测投入8万元时获得的利润．附：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…(u n ,v n )，其回归直线v =βu +α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β̂=ni=1i −u)(v i −v)∑(n u −u)2；a ̂=v −b ̂u ．21.已知三角形△ABC的两顶点为B(−2,0)，C(2,0)，它的周长为10，求顶点A轨迹方程．22.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0(m∈R)．(1)证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．【答案与解析】1.答案：C解析： 男=(86+94+88+92+90)=90， 女=(88+93+93+88+93)=91， =(42+42+22+22+02)=8，s 2男 =(32+22+22+32+22)=6．2.答案：C解析：解：∵sinB =513，cosB =12ac ， ∴sin 2B +cos 2B =1， 即(513)2+(12ac )2=1， 则(12ac )2=1−(513)2=(1213)2， ∴ac =13，cosB =12ac =1213 ∵a ，b ，c 成等比数列， ∴ac =b 2=13，∵b 2=a 2+c 2−2accosB ，∴13=(a +c)2−2ac −2ac ×1213=(a +c)2−26−2×13×1213=(a +c)2−50， ∴(a +c)2=63， 即a +c =√63=3√7， 故选：C ．根据同角的三角关系式求出ac 的值，结合余弦定理进行求解即可得到结论． 本题主要考查解三角形的应用，根据等比数列以及余弦定理是解决本题的关键．3.答案：C解析：解：圆x2+(y−2)2=4的圆心坐标为(0,2)，半径为2=√2，∵圆心到直线y=x的距离为2√2∴直线y=x被圆x2+(y−2)2=4截得的弦长为2√4−2=2√2．故选C．确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形求得弦长．4.答案：D解析：解：这些用户中，用电量落在区间[150,250]内的频率为1−(0.0024+0.0036+0.0024+0.0012)×50=0.52∴用电量落在区间[150,250]内的户数为100×0.52=52．故选：D．根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可．的应用问题，是基础题目．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量5.答案：C解析：试题分析：设球心，两圆的圆心为，公共弦中点为，中又构成矩形考点：球的截面圆问题点评：本题考查一定的空间想象能力6.答案：A解析：解：记“从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌”为事件A由题意可得，所求的概率属于几何概率=0.005，由几何概率的计算公式可得P(A)=2400故选：A．由题意可得，所求的概率属于几何概率，代入几何概率的计算公式可得答案．本题主要考查了几何概率的判断及计算公式的应用，几何概率的特点是：无限性，等可能性．7.答案：A解析：解：∵角α终边上一点P(−3,4)，∴x=−3，y=4，r=|OP|=5，∴sinα=yr =45，∴tanα=yx=−43，∴sinα+tanα=45+(−43)=−815，故选：A．利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和tanα的值，可得sinα+tanα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．8.答案：D解析：解：出形，不发现直线恒过定点(2,0)，的斜率范围[0,1]．圆是上圆，直过(−2,)(0,2)时，它们成的域M，向区域Ω上随机投一点A，当线与x轴重时，P(M=1；故选．画图形，不难发直过定点(−2,0)，结合概率范围可直与圆关系，直线(−,0)点为中顺时针转至与x轴重，从而定直线的率范围．题查线的方程的应用，几概型，线系，数形结合数学思想，是好题，难度较大．9.答案：C解析：解：根据系统抽样的定义可知，抽取抽取车牌个位数为6，号码间距相同，符合系统抽样的定义，故该抽样方法为系统抽样．故选：C．根据系统抽样的定义进行判断即可．本题主要考查抽样方法的判断，利用系统抽样的定义是解决本题的关键，比较基础．10.答案：D解析：试题分析：．考点：同角三角函数的基本关系11.答案：C解析：解：圆x2+y2+2x−1=0的圆心(−1,0)，圆x2+y2+2x−1=0的圆心到直线y=x+3的距离为：√2=√2．故选：C．求出圆的圆心，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查圆的方程，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．12.答案：A解析：求出圆心关于原点O对称点的坐标，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查对称点坐标的求法，比较基础．解：圆x2+y2+4x−1=0的标准方程为(x+2)2+y2=5，圆心(−2,0)，半径为√5，∴圆x2+y2+4x−1=0关于原点O对称的圆的方程为(x−2)2+y2=5，故选A．13.答案：√52．解析：解：∵cosa=23，且−π2<a<0，∴sinα=−√1−cos2α=−√53，∴tan(−a−π)sin(2π+a) cos(−a)tan(π+a)=(−tanα)sinαcosαtanα=−tanα=−−√5323=√52．故答案为：√52．由已知利用同角三角函数关系式可求sinα，根据诱导公式化简所求后即可代入求值． 本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用，属于基础题．14.答案：⑤解析：解：①设扇形所在圆的半径为r ，圆心角为α，则由题意知：αγ+2γ=8,12αγ2=4，解得r =2，α=2，故①错误；②函数f(x)=2cosx(sinx +cosx)=sin2x +2cos 2x =sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1，其最大值为√2+1，故②错误； ③若α是第三象限角，则π+2kπ<α<3π2+2kπ，∴π2+kπ<α2<3π4+kπ,k ∈Z ．则y =|sin α2|sin α2+|cos α2|cosα2=0，故③错误；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或关于y 轴对称，故④错误； ⑤任何一个非零有理数都是函数f(x)={0,x 为有理数1,x 为无理数的周期，故⑤正确．故答案为：⑤．设出扇形所在圆的半径为r ，圆心角为α，由题意列式求出α判断①；直接求出函数f(x)=2cosx(sinx +cosx)的最大值判断②；利用三角函数的化简求值求得y =|sin α2|sin α2+|cos α2|cosα2的值判断③；由sinα=sinβ得到α与β的关系判断④；利用周期函数的概念判断⑤．本题考查命题的真假判断与应用，考查了扇形的弧长和面积公式，考查三角函数最值的求法，训练了周期函数的判定方法，是中档题．15.答案：59解析：解：由题意，∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗=13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴△PBC 中BC 边上的高是△ABC 中BC 边上的高的13，过P 作DE//BC ，则Q 落在四边形DECB 内时，△QBC 的面积小于△PBC ， ∴△QBC 的面积小于△PBC 的面积的概率为1−49=59．。
2019学年山东省高一3月月考数学试卷【含答案及解析】
2019学年山东省高一3月月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（________ ）A．5，10，15，20，25 ____________________ B．2，4，8，16，32C．1，2，3，4，5_______________________________ D．7，17，27，37，472. 运行程序后输出的结果是（________ ）A．5，8 ______________ B．8，5 ______________ C．8，13____________________________ D．5，133. 执行下面的程序框图，如果输入的是6，那么输出的是（）A ． 120B ． 720C ． 1440D ． 50404. 对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（）A．相离 ______________B．相切 ______________C．相交但直线不过圆心 ___________D．相交且直线过圆心5. 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个，则（________ ）A．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同6. 某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10．则此射手在一次射击中不够8环的概率为（________ ）A．0.90 ___________ B．0.30 ___________ C．0.60 ______________D．0.407. 连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于6的概率为（________ ）A． ______________ B． ______________ C．____________________ D．8. 已知地铁列车每10 min （含在车站停车时间）一班，在车站停1 ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（________ ）A． ______________ B． ______________ C． ______________D．9. 如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（________ ）A． ____________________ B．___________________________________ C．____________________________ D．无法计算10. 有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和身体健康情况；④圆的半径与面积；⑤汽车的重量和每千米耗油量．其中两个变量成正相关的是（________ ）A．②④⑤ ______________ B．②④ ______________ C．②⑤ ______________ D．④⑤11. 圆与圆的公切线有且仅有（________ ）A．1条 ________________________ B．2条 ____________________ C．3条____________________________ D．4条12. 设两圆都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离（________ ）A．4 ______________ B． ______________ C．8 ____________________ D．二、填空题13. 某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是________人．14. 在面积为的内部任取一点，则的面积大于的概率是________．15. 在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：）的数据如下：试判断选谁参加某项重大比赛更合适？________________．16. 给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环：”与：“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”④从装有2个红球和2 个黑球的口袋内任取2 个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”其中属于互斥事件的是_______（把你认为正确的命题的序号都填上）．三、解答题17. 画出计算的程序框图，要求框图必须含有循环结构．18. 从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．（1）求所选2人中恰有一名男生的概率；（2）求所选2人中至少有一名女生的概率．19. 某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单们：），将数据进行分组，得到如下频率分布表：（1）补充完成频率分布表（结果保留两位小数），并在上图中画出频率分布直方图；（2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为，试求这批乒乓球的直径误差不超过的概率；（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是40.00作为代表，据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）．20. 有一个不透明的袋子，装有4个完全相同的小球，球上分别编有数字1，2，3，4．（1）若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；（2）若先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求直线与圆有公共点的概率．21. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到数据如下：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（坐标系见答题纸）（2）求出关于的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式22. 已知圆的方程为．（1）求过点且与圆相切的直线的方程；（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；（3）圆上有一动点，若点为的中点，求动点的轨迹方程．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019-2020学年烟台二中高一(下)第一次月考数学试卷(含解析)
2019-2020学年烟台二中高一(下)第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.两圆相交于点A(1,3)、B(m,−1)，两圆的圆心均在直线x−y+c=0上，则m+c的值为()A. −1B. 2C. 3D. 03.已知圆C与圆(x+1)2+(y+2)2=4关于直线y=−x对称，则圆C的方程是()A. (x−2)2+(y−1)2=4B. (x+2)2+(y−1)2=4C. (x−2)2+(y+1)2=4D. (x+2)2+(y+1)2=44.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为()A. 280B. 320C. 400D. 1005.空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式()A. 正确B. 错误6.若圆(x−1)2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线2x−y+6=0的距离等于√5，则r的取值范围是()A. (0,2√5)B. (√5,3√5)C. (√5,2√5)D. (2√5,3√5)7.已知点Q(−1,m)，P是圆C:(x−a)2+(y−2a+4)2=4上任意一点，若线段PQ的中点M的轨迹方程为x2+(y−1)2=1，则m的值为()A. 1B. 2C. 3D. 48.研究人员随机调查统计了某地n名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图．若第三组的人数为200，则第二组的人数是()A. 450B. 400C. 350D. 3009.已知点N(x,y)为圆x2+y2=1上任意一点，则yx+2的取值范围()A. [−√33,√33] B. [−√3,√3]C. (−∞,−√33]∪[√33,+∞) D. (−∞,−√3]∪[√3,+∞)10.执行下图所示的程序框图，如果输入t=0，则输出S=()A. 26B. 18C. 10D. 611.已知两圆x2+y2=10和(x−1)2+(y−3)2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是()A. x−4y+3=0B. x−4y+5=0C. 4x+y+5=0D. x+3y−5=012.执行程序框图，若t∈[−1,2]，则s∈()．A. [−1,1)B. [0,2]C. [0,1)D. [−1,2]二、填空题（本大题共5小题，共30.0分）13.已知圆x2+y2=4上一定点A(6,0)，P为圆上的动点.则线段AP中点的轨迹方程是_____________；14.若曲线y=√1−x2与直线y=x+b始终有交点，则b的取值范围是______．15.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的s=________．16.已知样本5，6，7，m，n的平均数是6，方差是12，则mn=_______517.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知圆满足：①截y轴所得弦长为2 ②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1 ③圆心到直线l：x−2y=0的距离为√5，求该圆的方程．519.已知A(0,−1)，B(4,−1)，以AB为直径的圆C截过点M(−1,0)的直线l所得的弦长为2√2．(1)求圆C的标准方程；(2)求直线l的方程．20.一次学科测试成绩的频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．已知50～60分的有两个数，60～70分的有7个数，70～80分的有10个数，(1)求参加测试的总人数及分数在[80,90)之间的人数，补齐频率分布直方图；(2)请由频率分布直方图估计平均成绩和该组数据的中位数．21.已知线段AB的端点B的坐标为(1,3)，端点A在圆C：(x+1)2+y2=4上运动．(1)求线段AB的中点M的轨迹方程；(2)过B点的直线l与圆C有两个交点D，E，且CD⊥CE，求直线l的方程．22.某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费x对年销售额y(单位：万元)的影响，对近6年的年宣传费x i和年销售额y i(i=1,2，…6)数据进行了研究，发现宣传费x i和年销售额y i具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值(Ⅰ)根据表中数据，建立y关于x的回归方程(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程预测该公司如果对该产品的宣传费支出为10万元时是销售额附：回归直线的倾斜率截距的最小二乘估计公式分别为．b̂=ni=1i−x)(y i−y)∑(n x−x)2，â=y−b̂x．【答案与解析】1.答案：C解析：根据题意，求出圆x2+y2=1的圆心到直线y=x+b的距离d，由直线与圆的位置关系分析可得“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分必要条件；即可得答案．本题考查直线与圆位置关系的判断，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．解：根据题意，圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径r=1，圆心(0,0)到直线y=x+b的距离d=2，若“|b|≤√2”，则d≤r，直线与圆相交或相切，直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点；则“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分条件；若“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”，则有d≤r，即2≤1，解可得“|b|≤√2”，则“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的必要条件；故“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分必要条件；故选：C．2.答案：C解析：解：由题意可知：直线x−y+c=0是线段AB的垂直平分线，又直线x−y+c=0的斜率为1，则3−(−1)1−m =−1①，且m+12−3−12+c=0②，由①解得m=5，把m=5代入②解得c=−2，则m+c=5−2=3．故选C3.答案：A解析：本题考查关于直线对称的圆的方程，属基础题，求出圆心关于直线y=−x的对称点，继而得到圆C 的方程．解：由题意可知，圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心为(−1,−2)，半径为2，设圆C 的圆心为(a,b)，则{b+2a+1=1a−12+b−22=0，解得{a =2b =1， 故圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=4，故选A ．4.答案：C解析：本题主要考查分层抽样，属于基础题．结合题意，求得分层抽样后青年职工所抽出的人数，再根据每人被抽出的概率，即可求得答案． 解：∵青年、中年、老年职员的人数之比为10：8：7，从中抽取200名职员作为样本，∴要从该单位青年职工中抽出1010+8+7×200=80，∵每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职工共有800.2=400．故选C ． 5.答案：A解析：本题考查空间直角坐标系，属基础题．解：空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点特征是纵坐标为0，故其坐标一定是(a,0，c)的形式，此说法正确．故选A ．6.答案：B解析：解：∵圆(x −1)2+(y +2)2=r 2(r >0)的圆心到直线2x −y +6=0的距离为d =√5=2√5，当r =√5时，圆上只有一个点到直线的距离等于√5，当r =3√5时，圆上有三个点到直线的距离等于√5，∴圆(x −1)2+(y +2)2=r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线2x −y +6=0的距离等于√5时， 圆的半径r 的取值范围是：√5<r <3√5，故选：B ．先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考虑，求出圆上有三个点到直线的距离等于√5，以及圆上只有一个点到直线的距离等于√5的条件，可得要求的r 的范围．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．7.答案：D解析：本题考查轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．设出M 的坐标以及P 的坐标，利用中点坐标公式以及点在圆上，推出轨迹方程，即可求解m 的值． 解：设P(x,y)，PQ 的中点为M(x 0,y 0)，则由中点坐标公式得{x 0=x−12,y 0=y+m 2.因为点M(x 0,y 0)在圆x 2+(y −1)2=1上，所以(x−12)2+(y+m 2−1)2=1，即(x −1)2+(y +m −2)2=4， 将此方程与方程(x −a)2+(y −2a +4)2=4比较可得{a =1,2a −4=−(m −2),解得m =4，故选D ． 8.答案：B解析：本题考查了利用频率分布直方图的应用问题，属于基础题．根据频率分布直方图可求出n ，a ，进而可得第二组的人数．解：由频率分布直方图可知n =2000.2=1000，则2a =1−(0.24+0.2+0.16)，得a =0.20，所以第二组的人数是1000×0.40=400．故选B ．9.答案：A解析：本题主要考查直线的斜率公式，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．y x+2转化为圆上的点P(x,y)与点M(−2,0)连线的斜率，由圆心到直线距离公式，即可求解．解：y x+2表示圆上的点P(x,y)与点M(−2,0)连线的斜率，设为k ，则过点M 的圆的切线方程为y =k(x +2)，即kx −y +2k =0，由圆心到切线的距离等于半径， 可得√k 2+1=1，求得k =±√33， 故y x+2的取值范围为[−√33,√33]. 故选A ．10.答案：B解析：本题考查程序框图和循环结构，属于基础题．利用程序框图，结合循环结构模拟运算得结论.解： 第一次执行循环体后，S =1，不满足退出循环的条件，t =1；再次执行循环体后，S =2，不满足退出循环的条件，t =3；再次执行循环体后，S =2×3=6，不满足退出循环的条件，t =6+3=9；再次执行循环体后，S =2×9=18，满足退出循环的条件，故输出的S 值为18．故选B ．11.答案：D解析：本题考查相交弦所在的直线的方程，当两圆相交时，将两个圆方程作差，即得公共弦所在的直线方程，当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程．解：因为两圆相交于A ，B 两点，则A ，B 两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程将两个圆方程作差，得直线AB 的方程是：x +3y −5=0 ，故选D ．12.答案：D解析：解：由判断框中的条件为t <1，可得：函数分为两段，即t <1与t ≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s =t ；不满足条件时，即t ≥1时，函数的解析式为：s =2t −2故分段函数的解析式为：s ={t,t <12t −2,t ≥1， 如果输入的t ∈[−1,2]，当t ∈[−1,1)时，s ∈[−1,1)当t ∈[1,2]时，s ∈[0,2]则输出的s 属于[−1,2]．故选：D ．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t <1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式，求出函数的值域可得答案．要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析是条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．13.答案：(x −3)2+y 2=1解析：本题主要考查圆的方程及几何性质、直接法求轨迹方程，属于中档题．设出AP 的中点坐标，利用中点坐标公式求出P 的坐标，据P 在圆上，将P 的坐标代入圆方程，即可求出中点的轨迹方程．解：设PA中点为M(x,y)，由中点坐标公式可知，P点的坐标(2x−6,2y)，P点在圆x2+y2=4上，(2x−6)2+(2y)2=4，故线段AP中点的轨迹方程为(x−3)2+y2=1．故答案为(x−3)2+y2=1．14.答案：[−1,√2]解析：本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由曲线y=√1−x2，得到此曲线的图象为一个半圆，由圆心到直线距离等于半径求得直线与半圆相切时的b值，数形结合得答案．解：由y=√1−x2，得x2+y2=1(y≥0)，表示半圆，图象如图所示．=r=1，当直线与半圆相切时，圆心(0,0)到直线y=x+b的距离d=√2解得b=√2，b=−√2(舍去)，当直线过(−1,0)时，把(−1,0)代入直线方程y=x+b中，解得b=1;当直线过(1,0)时，把(1,0)代入直线方程y=x+b中解得b=−1．所以当有一个交点时，b的取值范围为：[−1,1)∪{√2}；当有两个交点时，b的取值范围是：[1,√2).综上所述，b的范围为[−1,√2].即直线与圆有交点时，b的取值范围是：[−1,√2].故答案为：[−1,√2].15.答案：46解析：本题主要考查循环结构的程序框图．根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件i>4，跳出循环体，确定输出的s的值．解：由条件得i=2时，s=4；i=3时，s=10；i=4时，s=22；i=5时，s=46．因为此时i>4，所以输出s为46．故答案为46．16.答案：31解析：【试题解析】本题考查平均数和方差的计算，属于基础题．利用平均数和方差定义，列出方程组即可求解.解：∵样本5，6，7，m，n的平均数是6，方差是125，∴{5+6+7+m+n5=6①(5−6)2+(6−6)2+(7−6)2+(m−6)2+(n−6)25=125②,由①得m+n=12，由②得m2+n2−12(m+n)=−62，即m2+n2=82，所以mn=31，故答案为31．17.答案：[−34,+∞)解析：本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，属于基础题．M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M为弦AB的中点时满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离d+2≥3，从而可得实数k的取值范围．解：以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，只要求点M 为弦AB 的中点时满足，其它的点都满足，即圆心C 到直线l 的距离d +2≥3， 所以√k 2+12≥3， 所以k ≥−34．故答案为：[−34,+∞)． 18.答案：解：设圆P 的圆心为P(a,b)，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截x 轴所得的弦长为√2r.故r 2=2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有r 2=a 2+1.从而得2b 2−a 2=1；又因为P(a,b)到直线x −2y =0的距离为√55，所以d =√5=√5 5，即有a −2b =±1，由此有{2b 2−a 2=1a −2b =1或{2b 2−a 2=1a −2b =−1 解方程组得{a =−1b =−1或{a =1b =1，于是r 2=2b 2=2， 所求圆的方程是：(x +1)2+(y +1)2=2，或(x −1)2+(y −1)2=2．解析：设出圆P 的圆心坐标，由圆被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，得到圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，根据垂径定理得到圆截x 轴的弦长，找出r 与b 的关系式，又根据圆与y 轴的弦长为2，利用垂径定理得到r 与a 的关系式，两个关系式联立得到a 与b 的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出P 到直线x −2y =0的距离，让其等于√55，得到a 与b 的关系式，将两个a 与b 的关系式联立即可求出a 与b 的值，得到圆心P 的坐标，然后利用a 与b 的值求出圆的半径r ，根据圆心和半径写出圆的方程即可．本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力，是一道中档题． 19.答案：解：(1)依题意得圆心C(2,−1)，半径r =12|AB|=12√(0−4)2+(−1+1)2=2， ∴圆C 的标准方程为(x −2)2+(y +1)2=4；(2)当直线l 与x 轴垂直，即直线l 方程为x =−1时，显然不符合题意，即直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k(x +1)，即kx −y +k =0，则圆心C 到直线l 的距离d =√k 2+1=√k 2+1∵圆C 截直线l 所得的弦长为2√2，∴d =√22−(2√22)2=√2， ∴√k 2+1=√2，解得k =−1或k =17，∴直线l 的方程为y =−1·(x +1)或y =17⋅(x +1)，即x +y +1=0或x −7y +1=0．解析：本题考查了圆的方程求解以及直线与圆的位置关系，属于中档题．(1)由题意求解圆的圆心与半径，即可求解．(2)利用弦长求圆心到直线的距离，然后可求直线方程．20.答案：解：(1)成绩在[50,60)内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成绩在[90,100]内同样有2人；由2n =10×0.008，解得n =25；成绩在[80,90)之间的人数为25−(2+7+10+2)=4人；∴参加测试人数n =25，分数在[80,90)的人数为4；补齐频率分布直方图如图所示．=0.28，(2)成绩在[60,70)内的频率为725=0.4；在[70,80)内的频率为1025平均成绩为0.08×55+0.28×65+0.4×75+0.16×85+0.08×95=73.8；设这组数据的中位数为x，则0.08+0.28+(x−70)×0.04=0.5，解得x=73.5，即平均成绩为73.8，中位数为73.5．解析：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，考查了画图能力，是基础题．(1)由频率分布直方图得出成绩在[90,100]内的人数，求出样本容量n以及各分数段内的人数，补齐频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图求出数据的平均数与中位数即可．21.答案：解：(1)设A(x1,y1)，M(x,y)，由中点公式得x1=2x−1，y1=2y−3，)2=1，因为A在圆C上，所以(2x)2+(2y−3)2=4，即x2+(y−32)为圆心，1为半径的圆；故点M的轨迹是以(0,32(2)由题意得直线l的斜率存在，设l的斜率为k，则l的方程为y−3=k(x−1)，即kx−y−k+3=0，因为CD⊥CE，所以△CDE为等腰直角三角形，由题意知，圆心C(−1,0)到l 的距离为2=√2． 由点到直线的距离公式得√k 2+1=√2，∴4k 2−12k +9=2k 2+2．∴2k 2−12k +7=0，解得k =3±√222， 所以直线l 的方程为(3+√222)x −y −√222=0或(3−√222)x −y +√222=0．解析：本题考查轨迹方程，考查直线与圆位置关系的运用，正确运用代入法求轨迹方程是关键．(1)利用代入法，求线段AB 的中点M 的轨迹方程；(2)由题意知，圆心C(−1,0)到l 的距离为√2=√2.由点到直线的距离公式得√k 2+1=√2，求出k ，即可求直线l 的方程．22.答案：解：(I)由题意可设y =b ̂x + a ̂，由表中数据可得b ^=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=130020=65， ∴a ̂=y −b ̂x =500−65×6=110，故得：y 关于的x 线性回归方程是y =65x +110．(II)由(I)知线性回归方程是y =65x +110，将x =10代入线性回归方程y =65x +110得y =760， 可预测该公司如果对这产品的宣传费支出为10万元，那么销售额是760万元．解析：(Ⅰ)利用公式求出b̂， a ̂，即可得y 关于的x 线性回归方程； (Ⅱ)根据(Ⅰ)中的性回归方程，当x =10时，带入计算即可得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．。
山东省烟台市莱州第二中学2019年高一数学文月考试题含解析
山东省烟台市莱州第二中学2019年高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：D【分析】先化简“”和“”，再利用充分必要条件的定义分析判断得解.【详解】由得，由得，所以“”不能推出“”，所以“”是“”的非充分条件；因为“”不能推出“”，所以“”是“”的非必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，，，则B1在底面ABC上的射影H必在A. 直线AC上B. 直线BC上C. 直线AB上D. △ABC内部参考答案：A3. 若,,,则满足上述条件的集合的个数为（）A．５B．６C．７D．８参考答案：D略4. 设，且，则A. B. C. D.参考答案：D5. 若数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}的前n项和为()A. B.C. D.参考答案：C【分析】采用分组相加法，求数列的前项和.【详解】∵a n=2n+2n-1，设，易知{}为等比数列，{}为等差数列，且.则数列{a n}的前n项和：，故选C.【点睛】本题考查了求数列的前n项和，考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式. 若，且{} 、{}为等差数列或等比数列，可采用分组求和法，求{}的前n项和.6. 若，则（）A．B． C.D．参考答案：A由条件可得，故故得到.7. 函数与的图象（）A.关于原点对称B.关于轴对称C.关于轴对称.D.关于直线对称参考答案：D8. 设集合，则A． B． C． D ．参考答案：B略9. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】考查k=0,1,2的情形即可确定角所表示的范围.【详解】当时，即，即选项C中第一象限所示的部分；当时，即，即选项C中第三象限所示的部分；当时，其所表示的角的范围与表示的范围一致.综上可得，选项C表示集合中的角所表示的范围.故选：C.10. 偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图象有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在等比数列中，________。
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2020年高一数学注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2.请将答案正确填写在答题卡上；卷Ⅰ（选择题）一、选择题（本题共计16小题，每题5分，共计80分）1.设i 为虚数单位，则复数321i z i =-的虚部为（ ） A. i B. i -C. -1D. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算求出复数z 的代数形式，然后可得复数的虚部． 【详解】由题意得()212112i i i z i i ----===-+-， 所以复数z 的虚部为1． 故选D ．【点睛】解答本题容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ，解题的关键是得到复数的代数形式和熟记相关的概念，属于基础题．2.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，设向量(),sin m a b C =+u r，),sin sin c B A n +-=r ，若//m n u r r，则角B 的大小为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】D 【解析】 【分析】由//m n u r r，得到ABC ∆边角关系，用正弦定理化角为边，利用余弦定理即可求解.【详解】(),sin m a b C =+u r ，),sin sin c B A n +-=r ，//m n u r r ，()(sin sin ))sin 0a b B A c C ∴+--+=，由正弦定理可得2220b a c --=，222cos 2a c b B ac +-∴== 0180,150B B ︒<<︒∴=︒Q .故选:D.【点睛】本题以向量坐标关系为背景，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.3.设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于()A. 1i -B. 1i -+C. 1i +D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】化简复数得到答案.【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.4.已知平面直角坐标系内的两个向量(3,2),(1,2)a m b m =-=-v,且平面内的任一向量c v都可以唯一表示成c a b λμ=+v v v(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( )A. 6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UC. (,2)-∞D. (,2)(2,)-∞-⋃-+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据已知,a b r r 是平面内向量的一个基底,因此不共线，求出,a b r r不共线满足的条件，即可求出结果.【详解】由题意可知,平面内的任一向量c r都可以唯一表示成c a b λμ=+r r r,∴,a b r r是平面内表示所有向量的一个基底,. ∴,a b r r 不共线,3(2)20m m -+≠ ∴65m ≠.故m 的取值范围是66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .故选B【点睛】本题考查向量基本定理，考查向量不共线的坐标关系，属于基础题.5.设,m n u v v 是两个不共线的向量，若5,28,42,AB m n BC m n CD m n =+=-+=+u u u v u u u v u u u v v v v v v v则（ ）A. ,,A B D 三点共线B. ,,A B C 三点共线C. ,,A C D 三点共线D. ,,B C D 三点共线【答案】A 【解析】因为BC uuu v +CD uuu v=510,m n +v v =2AB u u u v，故,,A B D 三点共线. 故答案为A.6.在ABC ∆中.已知D 是BC 延长线上一点.点E 为线段AD 的中点.若2BC CD =u u u r u u u r .且34AE AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r.则λ=( )A. 14-B.14C. 13-D.13【答案】A 【解析】 【分析】通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由1,2AE AD AD BD BA ==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r ,32BD BC =u u ur u u u r ,求解AE u u u r,结合条件,即可求得答案.【详解】Q 1,2AE AD AD BD BA ==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r ,32BD BC =u u ur u u u r ,可得:()1122AE AD BD BA ==-u u u r u u u r u u u r u u u r 1122BD AB +=u u ur u u u r 2341BC AB =+u u ur u u u r ()1234BA AC AB =++u u u r u u u r u u u r 123344AB AC AB =-++u u ur u u u r u u u r1344AB AC =-+u u ur u u u r由34AE AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r∴14λ=-故选:A【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.7.O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心【答案】A 【解析】 【分析】先根据||AB AB u u u ru u ur 、||AC AC u u u r u u u r 分别表示向量AB u u u r 、AC u u u r 方向上的单位向量，确定||||AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r 的方向 与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，可得答案． 【详解】Q ||AB AB u u u ru u u r 、||AC AC u u u r u u u r 分别表示向量AB u u u r 、AC u u u r 方向上的单位向量∴||||AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r 的方向与BAC ∠的角平分线一致 又Q ()||||AB ACOP OA AB AC λ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ， ∴()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .的∴向量AP u u u r的方向与BAC ∠的角平分线一致 ∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．8.在△ABC 中，,,a b c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c b a >>，若向量(,1)m a b =-r 和(,1)m b c =-r平行，且sinB ＝45，当△ABC 的面积为32时，则b ＝（ ）B. 2C. 4D. 2【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由//m n r r得a b b c -=-，即2b a c =+，由c b a >>知B 为锐角，所以3cos 5B =，所以2222cos b a c ac B =+-222616()55a c ac a c ac =+-=+-，即2216(2)5b b ac =-，21615b ac =，由1sin 2S ac B =得2352ac =，154ac =，代入得24b =，2b =．故选B ．考点：向量平行的坐标表示，余弦定理，三角形的面积．9.在ABC V 中，()2BC BA AC AC +⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABC V 的形状一定是（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以222a c b -=，即ABC V 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．10.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，若点P 为CD 的中点，且AP AB AE λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A 3B.52C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】以向量,AB AD u u u r u u u r 为基底，将,AP AE u u u r u u u r用基底表示，即可得到,λμ的方程，求解即可. 【详解】P Q 为CD 的中点，DE CD =()AP AB AE AB AD AB λμλμ=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()12AB A B D A AD λμμ=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r13,2211λμλμμ⎧⎧-==⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪==⎩⎩，52λμ+=. 故选;B.【点睛】本题考查向量的线性运算、向量基本定理，属于基础题. 11.在ABC V 中，60A =︒，1b =，ABC S =V sin cC =（ ）A.B.C.D. 【答案】B 【解析】依题意有1sin 6042S bc c ===o，由余弦定理得a ==，由正弦定理得sin sin c a C A ===. 点睛：本题主要考查三角形面积公式，考查正弦定理和余弦定理的应用.由于已知三角形的面积和三角形一.个角和一条边，首先根据三角形面积公式求出另一条边，再根据余弦定理求出第三条边，最后利用正弦定理求得相应的比值.在解三角形的题目中往往正弦定理和余弦定理都需要考虑.12.已知单位向量12,e e u r u u r 的夹角为3π，则122e e +u r u u r 与2e u u r 夹角的余弦值为（ ）A.23B.34C.3D.7【答案】D 【解析】 【分析】分别求出12122(|2|,2)e e e e e ++⋅u r u u u r u r u u u rr ，应用向量夹角公式，即可求解. 【详解】单位向量12,e e u r u u r 的夹角为3π，2212121212|2|(2)547,|2|e e e e e e e e +=+=+⋅=∴+=u r u u r u r u u r u r u u r u r u u r 212122(2)12e e e e e +⋅⋅=+=u u r u r u u r u r u u r， 设122e e +u r u u r 与2e u u r夹角为θ，222112(cos 2)|2|||e e e e e e θ+===⋅+⋅u r u u r u r u u u r u u r u r 故选:D.【点睛】本题考查向量的模长、向量的数量积、向量夹角，考查计算求解能力，属于基础题.13.若ABC V 外接圆的半径为1，圆心为O ，20OA AB AC ++=u u u v u u u v u u u v v 且OA AB =u u uv u u u v ,则CA CB ⋅u u u v u u u v 等于（ ） A.32B.C. D. 3【答案】D 【解析】分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到OB OC =-u u u r u u u r，得到BC 为直径，所以ABC ∆为直角三角形，求出三边的长求得ACB ∠的值，利用两个向量的数量积的定义即可求得CA CB ⋅u u u r u u u r的值．详解：因为20OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r r ，所以0OA AB OA AC +++=u u u v u u u v u u u v u u u v v ．所以OB OC =-u u u r u u u r，所以,,O B C 三点共线，且BC 为直径，如图所示，所以AB AC ⊥．因为1,2,OA AB BC AC ====u u u v u u u v ，所以6ACB π∠=．则cos362CA CB CA CB π⋅=⋅==u u u v u u u v u u u v u u u v，故选D．点睛：本题主要考查了向量在几何问题中的应用、数量积的计算，以及向量垂直的充要条件等知识的应用，其中求出ABC ∆为直角三角形即三边是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．14.（理）已知a v 与b v 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:P 1a b ->vv 是命题5:[,)26Q ππθ∈的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件 D. 非充分且非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量数量积求向量夹角范围，再根据包含关系确定选项.【详解】1||11+1211cos 1cos 2a b θθ->⇒-⨯⨯⨯>⇒<r r因为[0,]θπ∈，所以(,]3πθπ∈因为5[,)26ππn (,]3ππ，所以命题:P ||1a b ->r r 是命题5:[,)26Q ππθ∈的必要非充分条件 故选：B【点睛】本题考查充要关系的判定以及向量夹角计算，考查综合分析求解能力，属基础题.15.某观察站B 在A 城的南偏西20°的方向，由A 出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B 处测得此公路上距B 处30km 的C 处有一人正沿此公路骑车以40km/h 的速度向A 城驶去，行驶了15min 后到达D 处，此时测得B 与D 之间的距离为，则此人到达A 城还需要（ ） A. 40minB. 42minC. 48minD. 60min【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，可得45,30,10,A BC CD BD =︒===BCD ∆中，求出cos C ，进而求出sin C ，在ABC ∆中，求出AC ，再求出AD ，即可求解.【详解】B 在A 城的南偏西20°的方向， 由A 出发的一条公路的走向是南偏东25°，45A ∴=︒，一人正沿此公路骑车以40km/h 的速度向A 城驶去， 从C 处行驶了15min 后到达D 处，10CD ∴=，在BCD ∆中，30,10,BC CD BD ===2221009006403cos 2210305CD BC BD C BC CD +-+-∴===⋅⨯⨯，434sin ,sin sin(45)5252510C B C ∴==︒+=+=，在ABC ∆中，sin sin AC BCB A==42,3210AC AD ∴===， 326048(min)40⨯=，∴此人到达A 城，还需48分钟. 故选:C.【点睛】本题考查三角应用问题，转化为余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.16.已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，若120A ∠=o，2AB AC ⋅=-u u u v u u u v ，则AG u u u v 的最小值是（ ）A.3B.2C.23D.34【答案】C 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解AG u u u v 的最小值即可.【详解】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得()2133AG AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r,120,2A AB AC ∠=⋅=-o u u u v u u u vQ ．根据向量的数量积的定义可得cos1202AB AC AB AC ⋅=⨯⨯=-o u u u v u u u v u u u v u u u v , 设,AB x AC y ==u u u v u u u v ．则4AB AC xy ⨯==u u u v u u u v．13AG AB AC =+=u u u v u u u v u u u v23=≥=． 当且仅当x y =，即AB AC =u u u r u u u r．△ABC 等腰三角形时等号成立.综上可得AG u u u v 的最小值是23.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.卷Ⅱ（非选择题）二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）17.已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且0578a b c GA GB GC ++=u u ur u u u r u u u r r ，则角B 的大小是__________． 【答案】3π是【解析】由向量的平行四边形法则可得GA GC BG +=u u u r u u u r u u u r ，代入0578a b c GA GB GC ++=u u ur u u u r u u u r r 可得()()05787a b c b GA GC -+-=u u u r u u u r r ，故578a b c==，则5,7,8a t b t c t ===．由余弦定理可得22222564491cos 802t t t B t +-==，故3B π=，应填答案3π． 点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为()()05787a b c b GA GC -+-=u u u r u u u r r ，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系578a b c==，最后运用余弦定理求出3B π=，使得问题获解．18.在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且60C =︒，c ==________.【答案】4 【解析】由正弦定理知2sin sin a c A C ==，所以2sin a A =．则sin a A B+=04sin(60)4sin A B+==.19.△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．. 【解析】 【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得cos A =，进一步求得bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===. 【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o 、45o 、60o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20.如图所示，已知点O 为ABC V 的重心，OA OB ⊥，6AB =，则AC BC ⋅u u u v u u u v的值为___________.【答案】72 【解析】 【分析】由三角形的重心的性质以及平面向量的线性运算法则可得()OC OA OB =-+u u u v u u u v u u u v,由向量运算的三角形法则可得()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，再由向量垂直的条件、平面向量数量积的运算和勾股定理,计算即可得到所求值.【详解】连接CO 延长交AB 于M ， 因为O 为重心，所以M 为中点,且122()()2OC OM OA OB OA OB =-=-⨯+=-+u u u r u u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ,因为,6OA OB AB ⊥=,所以0,OA OB ⋅=u u u r u u u r 22236OA OB AB +==u u u r u u u r u u u r ，则()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()22(2)(2)52OA OB OB OA OA OB OA OB=+⋅+=⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r023672=+⨯=,故答案为72.【点睛】本题考查三角形重心的向量表示,考查向量垂直的条件,考查平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=r r r r；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =r r .三、解答题（本题共计4小题，共计50分）21.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知2sin cos 2sin sin B C A C =-. （1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆外接圆的面积为43π，且4a c +=，求AC 边上的高BD 的长.【答案】（1）3π（2）BD =【解析】 【分析】（1）将sin sin()A B C =+代入已知等式，展开整理，求出cos B ，即可求解；（2）根据已知求出外接圆半径，进而求出b ，由余弦定理，结合4a c +=，求出ac ，可得ABC S ∆，即可求出结论.【详解】（1）因为2sin cos 2sin sin B C A C =-，2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-， 12cos sin sin ,0,sin 0,cos 2B C C C C B π=<<∴>=0B Q π<<，3B π∴=.（2）设ABC ∆外接圆的半径为R ，则243R ππ=，故R =由正弦定理知2sin 22b R B ===，22224()3163b a c ac a c ac ac ==+-=+-=-，解得4ac =， 所以1sin 2ABC S ac B ∆=142=⨯=. 又12ABC S AC BD ∆=⋅=122BD ⨯⨯=故BD =点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.22.若a r 、b r是两个不共线的非零向量，（1）若a r与b r起点相同，则实数t 为何值时，1(b)3a tb a +r rv、、三个向量的终点A ，B ，C 在一直线上？ （2）若||||a b =rr，且a r与b r夹角为60°，则实数t 为何值时，||a tb -rr的值最小？ 【答案】（1）12t = （2）12t = 【解析】 【分析】（1）由三点A ，B ，C 共线，必存在一个常数t 使得AB AC λ=u u u r u u u r，由此等式建立起关于λ，t 的方程求出t 的值；（2）由题设条件，可以把||a tb -rr的平方表示成关于实数t 的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x 的值.【详解】（1）12AB ,AC 33tb a b a =-=-u u u r u u u r ，AB //AC u u u r u u u r Q ，即AB AC λ=u u u r u u u r1233b a b a λ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，可得113t 2213t λλ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-=-⎪⎩；故存在12t =时，A 、B 、C 三点共线； （2）设||||a b k ==rr【()2222222213||||||2||||cos60124a tb a t b t a b k t t k t ︒⎛⎫-=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭r r r r r r ， 12t ∴=时，||a tb -rr 的值最小.【点睛】本题考查了利用向量解决共线和最值问题，意在考查学生的计算能力. 23.如图，在ABC V 中．D 为AB 边上一点．且DA DC =．已知4B π=．1BC =.．1）若ABC V 是锐角三角形．3DC =．求角A 的大小． ．2）若BCD V 的面积为16．求AB 的长. 【答案】（1）3A π=.．2．3. 【解析】．试题分析．(1)在BCD ∆中,利用正弦定理可求得sin 2BDC?,得到π3BDC ∠=,利用等腰的性质可知π3A =.(2)利用三角形的面积公式可求得BD ,利用余弦定理可求得CD ,由此求得AB 的长. ．试题解析．（1）在BCD V 中．4B π=．1BC =．DC =．由正弦定理得sin sin BC CD BDC B =∠．解得1sin BDC ⨯∠==．所以3BDC π∠=或23π. 因为ABC V 是锐角三角形．所以23BDC π∠=. 又DA DC =．所以3A π=.．2）由题意可得11sin 246BCD S BC BD V π=⋅⋅⋅=．解得3BD =．由余弦定理得2222cos4CD BC BD BC BD π=+-⋅⋅= 251219329+-⨯⨯=．解得3CD =．则AB AD BD CD BD =+=+=.所以AB 24.如图，在ABC ∆中，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，又2BD DC =u u u r u u u r ，2a =r ，1b =r ，向量,a b r r 的夹角为3π.（1）用,a b r r表示AD u u u r；（2）若点E 是AC 边的中点，直线BE 交AD 于F 点，求AF BC ⋅u u u r u u u r⋅【答案】（1）1233a AD b =+r u u u r r （2）35-【解析】 【分析】（1）由已知2BD DC =u u u ru u u r，转化为以A 为起点的向量表示，整理即可；（2）利用,,A F D 三点共线和,,B F E 三点共线，结合向量基本定理，将AF u u u r用基底表示，即可求解.【详解】（1）2,22BD DC AD AB AC AD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,121232,3333AD AB AC AD AB AC a b =+∴=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r（2）,,A F D Q 共线，233AF AD a b λλλ∴=+=r ru u u r u u u r ， ,,B F E Q 共线，1)1(2AF A A a B b E μμμμ∴+--+==r ru u u r u u u r u u u r ，31223λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3125,1555AF a b λμ⎧=⎪⎪∴=+⎨⎪=⎪⎩u u uv v v ， 2212121)()55555(a b b a AF a b BC a b ∴+⋅-=-+-⋅⋅=u u u r u u r r r r r u r r r r421131255525=-+-⨯⨯⨯=-【点睛】本题考查向量的线性运算、向量基本定理、共线向量的充要条件、向量的数量积，考查计算求解能力，属于中档题.。