实验误差分析
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1 x xi x n i1
珠峰高度为（29000 6）英尺
n
2. x 绝对误差平均值（早期曾用最大 误差）。
3.误差的有效位数一般保留一位，且 修约时只进不舍；当误差位小于等于 2时可以保留两位；测量结果的末位 与误差位看齐。
例题：米尺、卡尺、千分尺配合使用，测量一长方形平板
的体积（长约22厘米，宽约5厘米，厚约0.3厘米）。长、 宽、厚都要求有四位有效位数。将测量结果填入下表。 （注：1979年电视大学习题）
天津市质量技术监督系统
计量员培训辅导讲座（三）
经典误差理论和实验误差分析
实验离不开测量， 测量不可避免的产生误差。 ——误差公理
案例1：8’的误差推翻 了地心说
16世纪“星学之王”第谷的学 生开普勒（Kepler J,1571-1630） 在验算第谷的观测数据时，发现 火星轨道测量值与理论值相差8’， 显著大于仪器误差。 由此发现了开普勒三 定律，成为第一个以 科学实验为依据否定 地心学说的人。
s（ x ） i
1 n 2 ( x x ) i n 1 i 1
平均值的实验标准偏差
n s( xi ) 1 2 s（xi） ( x x ) i n(n 1) i 1 n
（不仅限于正态分布)
3.3粗大误差（测量异常值）
定义：明显超出规定测量条件下预期的误差， 它是统计的异常值。 3σ判据—拉伊达准则
随机误差=测量值 x i- 平均值 x
（1）随机误差的来源 仪器因素。 环境因素。 个人因素。
f (x)
（2）随机误差的分布规律
f (x)
1 ( x )2 exp( ) 2 2 2
单峰性。 对称性。 有界性。 抵偿性。
称为标准偏差。
P( ) f (x)d (x) 0.683
案例3：评委给选手打分。
解析1：不同评委同等条件下的打分误差是随机误差； 解析2：不同评委的打分误差服从高斯分布； 解析3：去掉一个最高分和最低分归因于剔除异常值； 解析4：对于高斯分布求算数平均值是最佳估计； 解析5：某选手的得分=平均值 最大误差。
珠峰高度：（29000
6）英尺。
瑞利（Rayleigh J W， 1842-1919)发现化学法制取 的氮气密度比空气法制取的 密度大0.46%，这个数值虽 然不大，但却超出实验误差 的22倍，引起他的注意。因 此他和化学家拉姆赛 （W.Ramsay）合作发现了惰 性气体，1904年获得诺贝尔 奖。
经典误差理论的定义：
以高斯分布为研究工具，以随机误差为研 究对象，用“误差”修正测量结果的误差理论。
对比的方法 。 理论分析的方法 。 检查实验条件的方法 。 数据分析的方法 。
（3）系统误差的消除或修正
从测量仪器入手消除系统误差。 从原理入手消除系统误差。 从实验方法入手消除系统误差。 从测量者入手消除系统误差。 注意：只能消除已定系统误差！
3.2随机误差
定义：在同一被测量的多次测量 过程中，以不可预知方式变化的那部 分误差称为随机误差。
V V
小
结
1.误差是对测量结果的评价，属于经典误差 理论的范畴，它是现代误差理论的基础。 2.系统误差和随机误差伴随测量过程始终。 3.误差=系统误差+随机误差。 4.系统误差和随机误差可以转换。 5.系统误差一定程度上可以消除，随机误差 不能消除,但可以计算。
谢谢大家!
案例2：0.46%的密度偏差 导致了惰性气体的发现
系统误差、随机误差、粗大误差。
3.实验误差分析
3.1系统误差
定义：在同一被测量的多次测量过程中， 保持恒定或以可以预知方式变化的那部分误差 称为系统误差。 系统误差=平均值 x -真值 x0 （1）系统误差的来源 仪器误差。 理论（或方法）误差。 环境误差。 个人误差。
（2）发现系统误差的方法
国家标准GB4883-85指出，对于正 态样本异常值的四种处理办法为： （1）剔除 （2）保留 （3）剔除后补测 （4）找原因
卢瑟福和盖革
（1910年）
密立根油滴实验 （1917年）
4.测量结果的表示
x x x
说明：
1. x 剔除粗大误差和系统误差的测量 列算术平均值（测量结果）。
1 n x xi n i 1
测量项目
仪器名称及准确度 零点误差
长L（厘米）
宽B（厘米）
厚H（厘米）
尺 示 读 数
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
尺示平均值 实际平均值 最大误差 相对误差 体 积
L' Βιβλιοθήκη Baidu L L
B' B B
H' H H
（厘米3）
E V V L L B B H H
案例2：原子核的发现 1910年卢瑟福 用射线轰击各种物 质，以了解 射线 和物质的相互作用。
他和助手盖革（H.Geiger）发现入射 的 粒子每8000个有一个要反射回来， 经过进一步研究证明了原子核的存在。
主要内容
1.经典误差理论概述 2.测量与误差 3.实验误差分析 4.测量误差的表示
拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace，1749─1827年）1772年 开始寻找连续误差分布函数（拉氏 分布），并进一步证明了平均值的 优良性。在误差理论上另一个贡献 是，1810年结合高斯的研究成果， 提出了关于误差的中心极限定理。
误差的中心极限定理——当测量误差是由许多个 误差分量联合作用产生时，只要各分量的方差相对于 分量方差之和均匀的小，而不管各分量服从何种分布， 则这些分量之和的分布（各分量分布函数的卷积）趋 于正态分布。
高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）。 1809年发表了其数学和天 体力学的名著《绕日天体 运动的理论》。在此书中 第一次指明了误差的正态 分布，并严格推导出了误 差概率分布密度函数：
分布分散性的重要参数。正态分布 也称为高斯分布。
1 f ( x) e 2 f ( x )为正态分布曲线。 则是代表
P(2 )
2 2
x
f (x)d (x) 0.954
P(3 )
3
3
f ( x)d (x) 0.997
：是表示测量结果分散性的一个重要参数，
（3）标准偏差
根据贝塞尔公式： 样本（单点）的实验标准偏差
贝塞尔（1784～ 1846）Bessel 德国天文学家， 数学家
x2 2 2
以高斯分布(不涉及其他分布） 为研究工具，以随机误差（不涉及 系统误差）为主要研究对象，用 “误差”修正（片面修正）测量结 果的误差理论。
——经典误差理论定义
2.测量与误差
2.1测量 （ 1 ）直接测量： 凡是使用仪器或量具
能直接测得结果的测量就是直接测量。 （ 2 ）间接测量： 先经直接测量，然后 根据待测量与直接测量量值之间的函数关 系，通过计算得到测量量的结果，这类测 量称为间接测量。
1.经典误差理论概述
他对“观测误差”有三点描述： （1）所有观测值都有误差， 来源可归因于观测者、观测工具 和观测条件。 （2）观测误差对称地分布在0 的两侧。 （3）小误差出现的比大误差 更频繁。
他的另一个重要贡献是提 出了误差传递的概念。
伽利略 (G.Galileo， 1564—1642) 1632年第一个 在著作中提出观 测误差这个概念 （随机误差）。
单次测量、多次测量(等精度测量、不等精度测量)。
2.2误差
（1）误差的表示
绝对误差： 相对误差：
x x x0
E (x / x0 ) 100%
真值：理论真值、约定真值 约定真值： 国际计量大会通过的公认值、高
一级仪器的测量值、多次测量的算术平均值。
残差：
i x x
（2）误差的分类
辛普森(Thomas Simpson 1710—1761)1755年，第一个提 出“观测平均值”的人。他根据 伽利略的理论假设了一种误差分 布（三角分布），然后从数学上 证明了取多次观测的平均值比取 “最佳值”误差更小。
p( e 1) 0.725 p( e 2) 0.967 p( e1 1) 0.444 p( e1 2) 0.667
珠峰高度为（29000 6）英尺
n
2. x 绝对误差平均值（早期曾用最大 误差）。
3.误差的有效位数一般保留一位，且 修约时只进不舍；当误差位小于等于 2时可以保留两位；测量结果的末位 与误差位看齐。
例题：米尺、卡尺、千分尺配合使用，测量一长方形平板
的体积（长约22厘米，宽约5厘米，厚约0.3厘米）。长、 宽、厚都要求有四位有效位数。将测量结果填入下表。 （注：1979年电视大学习题）
天津市质量技术监督系统
计量员培训辅导讲座（三）
经典误差理论和实验误差分析
实验离不开测量， 测量不可避免的产生误差。 ——误差公理
案例1：8’的误差推翻 了地心说
16世纪“星学之王”第谷的学 生开普勒（Kepler J,1571-1630） 在验算第谷的观测数据时，发现 火星轨道测量值与理论值相差8’， 显著大于仪器误差。 由此发现了开普勒三 定律，成为第一个以 科学实验为依据否定 地心学说的人。
s（ x ） i
1 n 2 ( x x ) i n 1 i 1
平均值的实验标准偏差
n s( xi ) 1 2 s（xi） ( x x ) i n(n 1) i 1 n
（不仅限于正态分布)
3.3粗大误差（测量异常值）
定义：明显超出规定测量条件下预期的误差， 它是统计的异常值。 3σ判据—拉伊达准则
随机误差=测量值 x i- 平均值 x
（1）随机误差的来源 仪器因素。 环境因素。 个人因素。
f (x)
（2）随机误差的分布规律
f (x)
1 ( x )2 exp( ) 2 2 2
单峰性。 对称性。 有界性。 抵偿性。
称为标准偏差。
P( ) f (x)d (x) 0.683
案例3：评委给选手打分。
解析1：不同评委同等条件下的打分误差是随机误差； 解析2：不同评委的打分误差服从高斯分布； 解析3：去掉一个最高分和最低分归因于剔除异常值； 解析4：对于高斯分布求算数平均值是最佳估计； 解析5：某选手的得分=平均值 最大误差。
珠峰高度：（29000
6）英尺。
瑞利（Rayleigh J W， 1842-1919)发现化学法制取 的氮气密度比空气法制取的 密度大0.46%，这个数值虽 然不大，但却超出实验误差 的22倍，引起他的注意。因 此他和化学家拉姆赛 （W.Ramsay）合作发现了惰 性气体，1904年获得诺贝尔 奖。
经典误差理论的定义：
以高斯分布为研究工具，以随机误差为研 究对象，用“误差”修正测量结果的误差理论。
对比的方法 。 理论分析的方法 。 检查实验条件的方法 。 数据分析的方法 。
（3）系统误差的消除或修正
从测量仪器入手消除系统误差。 从原理入手消除系统误差。 从实验方法入手消除系统误差。 从测量者入手消除系统误差。 注意：只能消除已定系统误差！
3.2随机误差
定义：在同一被测量的多次测量 过程中，以不可预知方式变化的那部 分误差称为随机误差。
V V
小
结
1.误差是对测量结果的评价，属于经典误差 理论的范畴，它是现代误差理论的基础。 2.系统误差和随机误差伴随测量过程始终。 3.误差=系统误差+随机误差。 4.系统误差和随机误差可以转换。 5.系统误差一定程度上可以消除，随机误差 不能消除,但可以计算。
谢谢大家!
案例2：0.46%的密度偏差 导致了惰性气体的发现
系统误差、随机误差、粗大误差。
3.实验误差分析
3.1系统误差
定义：在同一被测量的多次测量过程中， 保持恒定或以可以预知方式变化的那部分误差 称为系统误差。 系统误差=平均值 x -真值 x0 （1）系统误差的来源 仪器误差。 理论（或方法）误差。 环境误差。 个人误差。
（2）发现系统误差的方法
国家标准GB4883-85指出，对于正 态样本异常值的四种处理办法为： （1）剔除 （2）保留 （3）剔除后补测 （4）找原因
卢瑟福和盖革
（1910年）
密立根油滴实验 （1917年）
4.测量结果的表示
x x x
说明：
1. x 剔除粗大误差和系统误差的测量 列算术平均值（测量结果）。
1 n x xi n i 1
测量项目
仪器名称及准确度 零点误差
长L（厘米）
宽B（厘米）
厚H（厘米）
尺 示 读 数
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
尺示平均值 实际平均值 最大误差 相对误差 体 积
L' Βιβλιοθήκη Baidu L L
B' B B
H' H H
（厘米3）
E V V L L B B H H
案例2：原子核的发现 1910年卢瑟福 用射线轰击各种物 质，以了解 射线 和物质的相互作用。
他和助手盖革（H.Geiger）发现入射 的 粒子每8000个有一个要反射回来， 经过进一步研究证明了原子核的存在。
主要内容
1.经典误差理论概述 2.测量与误差 3.实验误差分析 4.测量误差的表示
拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace，1749─1827年）1772年 开始寻找连续误差分布函数（拉氏 分布），并进一步证明了平均值的 优良性。在误差理论上另一个贡献 是，1810年结合高斯的研究成果， 提出了关于误差的中心极限定理。
误差的中心极限定理——当测量误差是由许多个 误差分量联合作用产生时，只要各分量的方差相对于 分量方差之和均匀的小，而不管各分量服从何种分布， 则这些分量之和的分布（各分量分布函数的卷积）趋 于正态分布。
高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）。 1809年发表了其数学和天 体力学的名著《绕日天体 运动的理论》。在此书中 第一次指明了误差的正态 分布，并严格推导出了误 差概率分布密度函数：
分布分散性的重要参数。正态分布 也称为高斯分布。
1 f ( x) e 2 f ( x )为正态分布曲线。 则是代表
P(2 )
2 2
x
f (x)d (x) 0.954
P(3 )
3
3
f ( x)d (x) 0.997
：是表示测量结果分散性的一个重要参数，
（3）标准偏差
根据贝塞尔公式： 样本（单点）的实验标准偏差
贝塞尔（1784～ 1846）Bessel 德国天文学家， 数学家
x2 2 2
以高斯分布(不涉及其他分布） 为研究工具，以随机误差（不涉及 系统误差）为主要研究对象，用 “误差”修正（片面修正）测量结 果的误差理论。
——经典误差理论定义
2.测量与误差
2.1测量 （ 1 ）直接测量： 凡是使用仪器或量具
能直接测得结果的测量就是直接测量。 （ 2 ）间接测量： 先经直接测量，然后 根据待测量与直接测量量值之间的函数关 系，通过计算得到测量量的结果，这类测 量称为间接测量。
1.经典误差理论概述
他对“观测误差”有三点描述： （1）所有观测值都有误差， 来源可归因于观测者、观测工具 和观测条件。 （2）观测误差对称地分布在0 的两侧。 （3）小误差出现的比大误差 更频繁。
他的另一个重要贡献是提 出了误差传递的概念。
伽利略 (G.Galileo， 1564—1642) 1632年第一个 在著作中提出观 测误差这个概念 （随机误差）。
单次测量、多次测量(等精度测量、不等精度测量)。
2.2误差
（1）误差的表示
绝对误差： 相对误差：
x x x0
E (x / x0 ) 100%
真值：理论真值、约定真值 约定真值： 国际计量大会通过的公认值、高
一级仪器的测量值、多次测量的算术平均值。
残差：
i x x
（2）误差的分类
辛普森(Thomas Simpson 1710—1761)1755年，第一个提 出“观测平均值”的人。他根据 伽利略的理论假设了一种误差分 布（三角分布），然后从数学上 证明了取多次观测的平均值比取 “最佳值”误差更小。
p( e 1) 0.725 p( e 2) 0.967 p( e1 1) 0.444 p( e1 2) 0.667