结构力学静定拱
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取出一微段为隔离体，设微段两端横截面上弯矩、剪力均为 零，而只有轴力N和N＋dN。
由 MO 0
N (N dN) 0 dN 0 N为常数
由 S 0
2N sin d qd 0
2
27
§3-4 静定拱
径向均匀荷载 因 d 角极小，取sin d d ，上式成为： 22 N q 0 因 N 为常数，荷载 q 亦为常数，故 N R —常数 q 轴力为 N qR
主要内容
➢ 概述 ➢ 三铰拱的数值解 ➢ 三铰拱的合理拱轴
3
§3-4 静定拱
瑞士塞金纳特伯(Salginatobel)桥
建造于1930年的镰刀形上承式拱桥，被评为 20世纪最美的
桥梁的第一名。
4
§3-4 静定拱
拱
杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下会产生水平反力（称为推力），故也称推力 结构
P
拱和梁的区别？
6m
3m
l =12m
50.25kN 3m
58.5kN
15
§3-4 静定拱
示例
2.将拱轴沿水平方向分为8等分，
求各分段点截面的内力。
截面1的横坐标 x1＝1.5m，可求得：
tan 1
dy dx
2 9
(6
x)
1
y1 x1
由拱的内力计算式计算1截面的内力值：
M1 M10 Hy1
(75.51.5 141.51.5) 50.251.75 9.6kN m 2
➢ 当拱上所有截面的弯矩、剪力都等于零，而只有轴力时， 截面上的正应力是均匀分布的，材料能得以最充分地利用。 故称这时的拱轴线为合理拱轴线。
21
§3-4 静定拱
合理拱轴线的确定
➢ 拱的合理轴线可按弯矩为零的条件确定，竖向荷载作用
下，三铰拱任一截面的弯矩：
Mx
M
0 x
FH
y
y
M
0 x
FH
上式表明，竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴的纵坐标 y 与相应简支梁弯矩图的竖标成正比。
高跨比f/l是拱的一个重要的几何参数。工程实际中，高跨比在l~1／10之间，变
化的范围很大。
8
§3-4 静定拱
三铰拱的数值解
三铰拱是由两根曲杆与地基之间按三刚片规则组成的静定结构，共 有四个未知反力，其反力计算方法与三铰刚架相同。
➢ 取全拱为所隔体建立三个平衡方程； ➢ 取左（或右）半拱为隔离体，以中间铰C 为矩心，根据平
24
§3-4 静定拱
示例
y q qC y
RH
RH
y y qC 0
RH
RH
一般解为 y Acosh( x) B sinh( x) qC
双曲函数
RH
RH
边界条件： y |x0 ຫໍສະໝຸດ Baidu y |x0 0
为便于应用，变换为另一种形式：
y f [cosh(K ) 1] —列格氏悬链线
当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程，除以
常数FH，即可得合理拱轴线方程。
22
§3-4 静定拱
示例 试求均布荷载下的合理拱轴线
q
M
0 x
qlx
qx2 2
C
FH
M
0 C
f
ql 2 8f
A
l/2
f
B
l/2
y
M
0 x
FH
4f l2
(lx qx2 )
A
q
C
B
l
➢ 三铰拱在水平的均布荷载作用下，其合理拱轴线为二次抛物线。
形状无关；
（2）当荷载与拱跨l不变时，水平反力与拱高成反比：
① f 越大时，则FH越小；
② f 越小时，则FH越大，若 f ＝0，三铰共线，瞬变体系，FH＝∞。
11
§3-4 静定拱
内力的计算 求任意截面 K 的内力
y P1
P2
K
FHA
xy
x
FHB
FVA
P1
FVB
因拱常受压，故规定
轴力以压力为正。
➢ 在合理拱轴的抛物线方程中，拱高f 没有确定。具有合理高跨比的一组抛物
线都是合理轴线。
23
§3-4 静定拱
示例 求图示对称三铰拱在拱上填料重量作用下的合理拱轴线。拱上荷
载集度按q=qC+γy变化，其中qC为拱顶处荷载集度，γ为填料容重。
qC
解：根据图示坐标系，三铰拱任
q+γf
C
f
x 一截面的弯矩为：
FHA
任一截面K的内力
FVA
12
§3-4 静定拱
内力的计算
P1 C
K
FV0A
FS0K
FV0A
FS0K
P2
FH
FV0B
FH
FV0A
M K M K 0 FH y
QK FS0K cos FH sin
NK FS0K sin FH cos
注：内力与荷载间微分关系不适用于拱（轴线为曲线）。
13
Mk
M
0 k
FH ( f
y)
A
B 由 M=0，有
l/2
l/2
y
f y M0 FH
由于荷载集度 q 随拱轴线纵坐标y 而变，而 y 未知，故相应简支梁的弯矩方
程M0 无法写出，因而不能由上式直接求出合理拱轴线方程。
为此，将上式两边分别对x求导两次，得
y 1 RH
d
2
M
0 k
dx2
q RH
——填土荷载下合理拱轴的微分方程
m 1
➢ 填土荷载作用下，拱的合理轴线为悬链线。
25
§3-4 静定拱
径向均匀荷载
试求图示三铰拱在垂直于拱轴的均布荷载作用下的合理拱轴线。
分析：非竖向荷载作
用，不能应用内力计算 式。
假定拱处于无弯 矩状态，根据平衡条件 推求合理拱轴线的方程。
q
C
A
l/2
f
B
l/2
26
§3-4 静定拱
径向均匀荷载
➢ 可见在径向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线为圆弧线。
28
§3-4 静定拱
合理拱轴线 小结： ➢ 三铰拱在不同的荷载作用下，具有不用的合理拱轴线。 ➢ 如果某三铰拱要承受多种不同荷载作用，在设计中，通 常以主要荷载作用下的合理拱轴作为三铰拱的轴线。
29
14
§3-4 静定拱
示例
试作图示三铰拱的内力图，拱轴为抛物线，其方程为
y
4f l2
x(l x)
解：1. 求支座反力 由支座反力计算式可得：
FVA FV0A 75.5kN
q=14kN/m
P=50kN
FVB FV0B 58.5kN
FH
M
0 C
f
50.25kN
50.25kN 75.5kN
f=4m
HA
三铰拱
VA
HA 0
梁
➢ 1. 杆轴线的曲直? ➢ 2. 在竖向荷载作用下是否产生水平反力。
HB
VB
P
HA 0
P
曲梁
VA
VB
5
§3-4 静定拱
拱常用的形式
无铰拱 —超静定结构
拱 两铰拱 —超静定结构 无拉杆—静定结构
三铰拱 有拉杆—静定结构
三铰拱
两铰拱
无铰拱
6
§3-4 静定拱
拱的优缺点
➢ 主要优点：由于水平推力的存在使得拱的弯矩要比跨度、荷载相同的梁的 弯矩小得多，并主要是承受压力。
2、内力计算
B F’HB
FH F’VB
19
§3-4 静定拱
思考
在非竖向荷载作用下怎样计算三铰拱的反力和内力？能否使用本节中 的反力和内力计算公式？
例
如何求带拉杆的半圆三铰拱截 面K的内力？？
20
§3-4 静定拱
合理拱轴线
➢ 当荷载及三个铰的位置给定时，三铰拱的反力与各铰间拱 轴线形状无关；三铰拱的内力则与拱轴线形状有关。
示例 斜拱的支座反力和内力计算
1、支座反力
为避免求解方程组，将支座反力沿起拱线和竖向分解。
MC
0
FHA
M
0 C
f
FH
FHA cos
M
0 C
f
C
P2
P1
f f’
FVA FV0A
FVB FV0B
FH
A
FVA FV0A FH tan
F’HA F’VA
l/2
l/2
FVB FV0B FH tan
简支梁相同。
10
§3-4 静定拱
支座反力的计算
a1 P1
b1
a2
C
P2
f
A
b2
B
l
A P1
C P2
B
l
X 0
FHA FHB FH
MC 0
FVA
l 2
P1
(
l 2
a1
)
FHA
f
0
FHA
FHB
FH
M
0 C
/
f
M
0 C
—相应简支梁对应拱顶位置的弯矩。
（1）竖向荷载作用下拱有水平反力，与荷载及三个铰的位置有关，而与各铰间拱轴
结构力学
Structural Mechanics
周强
土木工程学院风工程试验研究中心 E-mail：qzhou85@126.com
第三章 静定结构的内力计算
§3-1 单跨静定梁 §3-2 多跨静定梁 §3-3 静定刚架 §3-4 静定拱 §3-5 静定桁架 §3-6 静定结构的特征
§3-4 静定拱
➢ 主要缺点：由于支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或 支承结构（墙、柱、墩、台等）。
P P
拉杆
拉杆来代替支座承受水平推力
提高净空
7
§3-4 静定拱
三铰拱的构造
拱趾
拱顶 起拱线 拱高 f
跨度
拱轴线 拱趾
拱顶：拱的最高点。 拱趾：支座处。 跨度：两支座之间的水平距离， 用l表示。 拱高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。
§3-4 静定拱
拱的内力特征
➢ 1.三铰拱的内力值不但与荷载及三个铰的位置有关，而且 与各铰间拱轴线的形状有关。
➢ 2.由于水平推力的存在，使得拱截面上的弯矩比跨度、荷 载相同的梁的弯矩小得多，并主要是承受压力。
➢ 3.由于拱内主要产生轴向压力，所以拱可以采用抗压性能 良好而抗拉性能较差的材料来建造。
衡条件ΣMc=0 建立一个方程，从而求出所有的反力。
9
§3-4 静定拱
支座反力的计算
a1 P1
A
A P1
b1 a2
C P2
f
l
C P2
l
b2
B B
MB 0 MA 0
FAV
FA0V
P1b1 P2b2 l
FVB
FV0B
P1a1
l
P2a2
FV0A、FV0B —相应简支梁的竖向支反力；
支座反力的特点：1、两拱趾在同一水平线且承受竖向荷载的拱，其竖向反力与相应
Q1 Q10cos1 Hsin1
(75.5 141.5) 0.707 50.250.707 3.0kN
N1 Q10 sin1 H cos1
(75.5 141.5) 0.707 50.250.707 74.0kN
16
§3-4 静定拱
示例
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§3-4 静定拱
示例
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§3-4 静定拱
由 MO 0
N (N dN) 0 dN 0 N为常数
由 S 0
2N sin d qd 0
2
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§3-4 静定拱
径向均匀荷载 因 d 角极小，取sin d d ，上式成为： 22 N q 0 因 N 为常数，荷载 q 亦为常数，故 N R —常数 q 轴力为 N qR
主要内容
➢ 概述 ➢ 三铰拱的数值解 ➢ 三铰拱的合理拱轴
3
§3-4 静定拱
瑞士塞金纳特伯(Salginatobel)桥
建造于1930年的镰刀形上承式拱桥，被评为 20世纪最美的
桥梁的第一名。
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§3-4 静定拱
拱
杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下会产生水平反力（称为推力），故也称推力 结构
P
拱和梁的区别？
6m
3m
l =12m
50.25kN 3m
58.5kN
15
§3-4 静定拱
示例
2.将拱轴沿水平方向分为8等分，
求各分段点截面的内力。
截面1的横坐标 x1＝1.5m，可求得：
tan 1
dy dx
2 9
(6
x)
1
y1 x1
由拱的内力计算式计算1截面的内力值：
M1 M10 Hy1
(75.51.5 141.51.5) 50.251.75 9.6kN m 2
➢ 当拱上所有截面的弯矩、剪力都等于零，而只有轴力时， 截面上的正应力是均匀分布的，材料能得以最充分地利用。 故称这时的拱轴线为合理拱轴线。
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§3-4 静定拱
合理拱轴线的确定
➢ 拱的合理轴线可按弯矩为零的条件确定，竖向荷载作用
下，三铰拱任一截面的弯矩：
Mx
M
0 x
FH
y
y
M
0 x
FH
上式表明，竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴的纵坐标 y 与相应简支梁弯矩图的竖标成正比。
高跨比f/l是拱的一个重要的几何参数。工程实际中，高跨比在l~1／10之间，变
化的范围很大。
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§3-4 静定拱
三铰拱的数值解
三铰拱是由两根曲杆与地基之间按三刚片规则组成的静定结构，共 有四个未知反力，其反力计算方法与三铰刚架相同。
➢ 取全拱为所隔体建立三个平衡方程； ➢ 取左（或右）半拱为隔离体，以中间铰C 为矩心，根据平
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§3-4 静定拱
示例
y q qC y
RH
RH
y y qC 0
RH
RH
一般解为 y Acosh( x) B sinh( x) qC
双曲函数
RH
RH
边界条件： y |x0 ຫໍສະໝຸດ Baidu y |x0 0
为便于应用，变换为另一种形式：
y f [cosh(K ) 1] —列格氏悬链线
当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程，除以
常数FH，即可得合理拱轴线方程。
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§3-4 静定拱
示例 试求均布荷载下的合理拱轴线
q
M
0 x
qlx
qx2 2
C
FH
M
0 C
f
ql 2 8f
A
l/2
f
B
l/2
y
M
0 x
FH
4f l2
(lx qx2 )
A
q
C
B
l
➢ 三铰拱在水平的均布荷载作用下，其合理拱轴线为二次抛物线。
形状无关；
（2）当荷载与拱跨l不变时，水平反力与拱高成反比：
① f 越大时，则FH越小；
② f 越小时，则FH越大，若 f ＝0，三铰共线，瞬变体系，FH＝∞。
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§3-4 静定拱
内力的计算 求任意截面 K 的内力
y P1
P2
K
FHA
xy
x
FHB
FVA
P1
FVB
因拱常受压，故规定
轴力以压力为正。
➢ 在合理拱轴的抛物线方程中，拱高f 没有确定。具有合理高跨比的一组抛物
线都是合理轴线。
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§3-4 静定拱
示例 求图示对称三铰拱在拱上填料重量作用下的合理拱轴线。拱上荷
载集度按q=qC+γy变化，其中qC为拱顶处荷载集度，γ为填料容重。
qC
解：根据图示坐标系，三铰拱任
q+γf
C
f
x 一截面的弯矩为：
FHA
任一截面K的内力
FVA
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§3-4 静定拱
内力的计算
P1 C
K
FV0A
FS0K
FV0A
FS0K
P2
FH
FV0B
FH
FV0A
M K M K 0 FH y
QK FS0K cos FH sin
NK FS0K sin FH cos
注：内力与荷载间微分关系不适用于拱（轴线为曲线）。
13
Mk
M
0 k
FH ( f
y)
A
B 由 M=0，有
l/2
l/2
y
f y M0 FH
由于荷载集度 q 随拱轴线纵坐标y 而变，而 y 未知，故相应简支梁的弯矩方
程M0 无法写出，因而不能由上式直接求出合理拱轴线方程。
为此，将上式两边分别对x求导两次，得
y 1 RH
d
2
M
0 k
dx2
q RH
——填土荷载下合理拱轴的微分方程
m 1
➢ 填土荷载作用下，拱的合理轴线为悬链线。
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§3-4 静定拱
径向均匀荷载
试求图示三铰拱在垂直于拱轴的均布荷载作用下的合理拱轴线。
分析：非竖向荷载作
用，不能应用内力计算 式。
假定拱处于无弯 矩状态，根据平衡条件 推求合理拱轴线的方程。
q
C
A
l/2
f
B
l/2
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§3-4 静定拱
径向均匀荷载
➢ 可见在径向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线为圆弧线。
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§3-4 静定拱
合理拱轴线 小结： ➢ 三铰拱在不同的荷载作用下，具有不用的合理拱轴线。 ➢ 如果某三铰拱要承受多种不同荷载作用，在设计中，通 常以主要荷载作用下的合理拱轴作为三铰拱的轴线。
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14
§3-4 静定拱
示例
试作图示三铰拱的内力图，拱轴为抛物线，其方程为
y
4f l2
x(l x)
解：1. 求支座反力 由支座反力计算式可得：
FVA FV0A 75.5kN
q=14kN/m
P=50kN
FVB FV0B 58.5kN
FH
M
0 C
f
50.25kN
50.25kN 75.5kN
f=4m
HA
三铰拱
VA
HA 0
梁
➢ 1. 杆轴线的曲直? ➢ 2. 在竖向荷载作用下是否产生水平反力。
HB
VB
P
HA 0
P
曲梁
VA
VB
5
§3-4 静定拱
拱常用的形式
无铰拱 —超静定结构
拱 两铰拱 —超静定结构 无拉杆—静定结构
三铰拱 有拉杆—静定结构
三铰拱
两铰拱
无铰拱
6
§3-4 静定拱
拱的优缺点
➢ 主要优点：由于水平推力的存在使得拱的弯矩要比跨度、荷载相同的梁的 弯矩小得多，并主要是承受压力。
2、内力计算
B F’HB
FH F’VB
19
§3-4 静定拱
思考
在非竖向荷载作用下怎样计算三铰拱的反力和内力？能否使用本节中 的反力和内力计算公式？
例
如何求带拉杆的半圆三铰拱截 面K的内力？？
20
§3-4 静定拱
合理拱轴线
➢ 当荷载及三个铰的位置给定时，三铰拱的反力与各铰间拱 轴线形状无关；三铰拱的内力则与拱轴线形状有关。
示例 斜拱的支座反力和内力计算
1、支座反力
为避免求解方程组，将支座反力沿起拱线和竖向分解。
MC
0
FHA
M
0 C
f
FH
FHA cos
M
0 C
f
C
P2
P1
f f’
FVA FV0A
FVB FV0B
FH
A
FVA FV0A FH tan
F’HA F’VA
l/2
l/2
FVB FV0B FH tan
简支梁相同。
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§3-4 静定拱
支座反力的计算
a1 P1
b1
a2
C
P2
f
A
b2
B
l
A P1
C P2
B
l
X 0
FHA FHB FH
MC 0
FVA
l 2
P1
(
l 2
a1
)
FHA
f
0
FHA
FHB
FH
M
0 C
/
f
M
0 C
—相应简支梁对应拱顶位置的弯矩。
（1）竖向荷载作用下拱有水平反力，与荷载及三个铰的位置有关，而与各铰间拱轴
结构力学
Structural Mechanics
周强
土木工程学院风工程试验研究中心 E-mail：qzhou85@126.com
第三章 静定结构的内力计算
§3-1 单跨静定梁 §3-2 多跨静定梁 §3-3 静定刚架 §3-4 静定拱 §3-5 静定桁架 §3-6 静定结构的特征
§3-4 静定拱
➢ 主要缺点：由于支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或 支承结构（墙、柱、墩、台等）。
P P
拉杆
拉杆来代替支座承受水平推力
提高净空
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§3-4 静定拱
三铰拱的构造
拱趾
拱顶 起拱线 拱高 f
跨度
拱轴线 拱趾
拱顶：拱的最高点。 拱趾：支座处。 跨度：两支座之间的水平距离， 用l表示。 拱高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。
§3-4 静定拱
拱的内力特征
➢ 1.三铰拱的内力值不但与荷载及三个铰的位置有关，而且 与各铰间拱轴线的形状有关。
➢ 2.由于水平推力的存在，使得拱截面上的弯矩比跨度、荷 载相同的梁的弯矩小得多，并主要是承受压力。
➢ 3.由于拱内主要产生轴向压力，所以拱可以采用抗压性能 良好而抗拉性能较差的材料来建造。
衡条件ΣMc=0 建立一个方程，从而求出所有的反力。
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§3-4 静定拱
支座反力的计算
a1 P1
A
A P1
b1 a2
C P2
f
l
C P2
l
b2
B B
MB 0 MA 0
FAV
FA0V
P1b1 P2b2 l
FVB
FV0B
P1a1
l
P2a2
FV0A、FV0B —相应简支梁的竖向支反力；
支座反力的特点：1、两拱趾在同一水平线且承受竖向荷载的拱，其竖向反力与相应
Q1 Q10cos1 Hsin1
(75.5 141.5) 0.707 50.250.707 3.0kN
N1 Q10 sin1 H cos1
(75.5 141.5) 0.707 50.250.707 74.0kN
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§3-4 静定拱
示例
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§3-4 静定拱
示例
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§3-4 静定拱