图论与网络分析

1 1
（其中eit (vit1 , vit )）为连接vi 0与vik的一条链。
4 4 5 5
e4
2 2
3 3
有向图G不考虑方向，同样定义链和圈， 若链、圈上弧方向相同时，称为道路、回路。
连通图
点i和j点是连通的：i,j之间存在一条链
G是连通的：G中任意两点都是连通的 不连通图可以分为若干连通子图，每个称
第一节
图论的概念
图论的图与一般几何图形或函数图形是完全不同的 图论中的图:由一些点和连接点的线所组成的“图形” 点和线的位置是任意的 线的曲直、长短与实际无关，代表的只是点与点之 间的相互关系
v1 v2 v1 v2 v3 · ·v4 v3 v4
无向图的基本概念
e1
V={vi}——G的顶点集合
A (aij ) ，其中
1, aij 0, 当点i与点j邻接 否则
简单有向图 G (V , E ) 的邻接矩阵：一个 | V | | V | 阶矩 阵 A (aij ) ，其中
1, aij 0, 当有弧从i连向j 否则
邻接矩阵示例
右图的邻接矩阵是
1 2 3 4 5 1 0 2 1 3 1 4 1 5 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
E={ek}：G的有向边(弧)集合， 且ek=（vi,vj）为有序二元组, 表示弧ek从vi（始点）指向vj（终点）
出次，入次，次 简单有向图 有向完全图 多重边 环
3
G=(V,E)
以任意点为始点，另一点为 以顶点 v为始点的弧数为v的出次，记 始点和终点都相同的弧为 为 d (v)终点都有一条弧的简单有 ；以顶点v为终点的弧数为v 有向图中，始点、终点重 不含环和多重边的有向图， 向图，n 个顶点的有向完 多重边，如 e6 e7非多 的入次，记为 ；顶点 v的出次 d (v)， 合的弧为环，如 去掉e1 e1 全图有弧 n(n-1) 条 与入次之和为点 v的次。 重边。
图论起源
18世纪，哥尼斯堡城中有一条普雷格尔河，河上有七座桥将河中的 两个小岛与河岸连接起来。人们提出了这样的问题：一个散步者能否 从某地出发，走遍七桥且每座桥恰好经过一次，最后回到原地？ 陆地A 岛C
A
·
·C
岛D
D · · B
陆地B
1736年瑞士数学家欧拉将两岸和小岛抽象为四个点， 将桥抽象为七条边，此问题归结为一笔画问题。
e1
1 1 1
e4
2 4 5
e4
2 4
e4
2 4
3 3
道路，回路
e1
图G中的一个点边交替序列 (vi 0 , ei1 , vi1 , ei 2 , , vik 1 , eik , vik ) 该链中点不重，边不重为初等链； 该链中vi 0与vik 为同一点时为圈； 圈中点边不重为初等圈； 无向图链和圈也称为道路和回路。
1, 当弧k以点i为始点 bik 1, 当弧k以点i为终点 0, 否则
关联矩阵示例
右图的关联矩阵是
1 1 2 1 3 0 4 0 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0
网络（ห้องสมุดไป่ตู้权图）
在无向图的边（或有向图的弧）上标上实数， 称为该边（或弧）的权，无向（有向）图连 同它边上的权称为一个网络赋权图，简称网 络。（无向网络，有向网络）
子图
G (V , E ), 若E E ,V V , 且E 中的边仅与V 中的顶点关联，称G (V , E)为G的一个子图。 特别，若V V , 则G为G的生成子图(支撑子图)
无向图的基本概念
二部图：图G=(V,E)，顶点集合V可分为两个非 空子集X,Y，知X∪Y=V，X∩Y=Φ，E中每条边 的两个端点，一个在X中，一个在Y中，则称G为 二部图，记为G=（X,Y,E）
v1 v2 v1 v3
v3 ·
·v4
v4
v2
有向图的基本概念
e1
V={vi}：G的顶点集合
1
e4
2 4 5
1
e4
2 4 5
E={ek}—— G的边集合， 且ek=（vi,vj）为无序二元组, 表示ek连接vi,vj n(G)=|V|=n——G的顶点数 m(G)=|E|=m——G的边数
3
G=(V,E)
2 Kn有边 Cn 条
与顶点 v相关联的边数，即 每对顶点之间都有边相连 次为 1 0 的点为悬挂点。 的点为孤立点， 5为孤 次为奇数的点为奇点，次为 两点之间多于一条边，如 两边与同一顶点关联， 两顶点之间有一条边， 不含环和多重边的图，去 奇点，偶点 顶点相邻 孤立点 边相邻 多重边 简单图 完全图 环 次 两端点重合为一点的边， 悬挂点 以 v 为顶点的边数记为 d(v), 的无向简单图， 若 立点。 4 ， 5 之间有一条边，则 n 个顶点 5 即两边有共同的端点。 e6 ， e7 顶点为该边的端点，边 掉 e1 和 e7. （不特指 偶数的点为偶点。 如e1 与其端点关联。 都是简单图） 环记 2次。d(1)=4. 的无向完全图记为 为悬挂点。 Kn
为原图的分图。
图的矩阵表示 关联矩阵
简单图 G (V , E ) 的关联矩阵： | V | | E | 阶矩阵 B (bik ) ,其中
1, 当点 i与边 k关联 bik 0, 否则
简单有向图 G (V , E ) 的关联矩阵： | V | | E | 阶矩阵 B (bik ) ，其中
1 2
3 4 5
右图的邻接矩阵是
1 2 3 4 1 0 2 0 3 0 4 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
1
e1 e2 e6
3
2
e3
4
e4 e7 e8
e5
5
右图的关联矩阵是
1 1 1 0 0 0 2 1 0 1 1 0 3 0 1 1 0 1 4 0 0 0 1 1
e1
1
2
e4
4
e3 e2
3
e5
邻接矩阵
简单图 G (V , E ) 的邻接矩阵：一个 | V | | V | 阶矩阵