初中数学八年级上册 直角三角形 课件
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初中八年级数学课件《直角三角形全等的判定》
C
B
例题讲解
画法：1.画∠MCN=90 °. 2.在射线CM上取CB=a. 3.以B为圆心，c为半径画弧， 交射线CN于点A.
a
c
N A c
4.连接AB . △ABC就是所要画的直角三角形.
MB a C
例题讲解
例2.已知：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB， 垂足分别为C， D，且PC=PD. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
这两个直角三角形全等吗？
A
A'
全等，SAS
B
C B'
C'
合作探究
问题1.4 两个直角三角形中，两边对应相等，这两个直角三
角形全等吗？如何证明？
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，
A A'
∠C=∠ C′=90°，AB = A′B′ ，
AC= A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′.
B
C C'
已知：如图，线段a，c.
求作：△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c.
分析：首先作出边BC,由∠C为直角可以作出另
a
一直角边所在的射线，由AB=c可以确定点A。
c
例题讲解
作法：
（1）作线段CB=a，
（2）过点C，作MC⊥CB.
M
A
（3）以B为圆心，c为半径画弧，交CM于点A,
（4）连接AB.
其中正确的个数有___4___个.
当堂检测
4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE. 求证：△EBC≌△DCB.
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
A
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
冀教版初中八年级数学上册17-4直角三角形全等的判定课件
4.如图,在正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,则∠ACD+ ∠BDC= 90 °.
解析 如图,取格点E,连接AE,EC,AD,设AC,BD交于点F.
在Rt△AEC和Rt△DAB中,
AC∴RBt△D, AEC≌Rt△DAB
AE AD,
(HL),∴∠ACE=∠ABD.∵∠EAC+∠ACE=90°,∴∠EAC+
DE AD
EC, BE,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL),∴AE=BC,
∵AD+BC=7,∴AB=AE+BE=BC+AD=7.
9.(2023河北邯郸大名月考,19,★★☆)如图,点D在BC上,DE ⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若∠AFD= 145°,则∠EDF= 55° .
B.12 cm
C.12 cm或6 cm
D.以上答案都不对
解析 由题意可知∠C=∠QAP=90°.①当AP=CB时,在Rt△APQ
与Rt△CBA中, PAQP∴RCBt△BA,, APQ≌Rt△CBA(HL),此时AP= BC=6 cm;②当P运动到C点时,AP=AC,在Rt△QAP与Rt△BCA
中, QAPP∴RAAt△CB,,QAP≌Rt△BCA(HL),此时AP=AC=12 cm. 综上所述,AP=6 cm或12 cm.故选C.
3.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DF,若要用 “斜边、直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,还需 补充一个条件,这个条件可以是 BC=EF(或BE=CF) .
解析
补充条件BC=EF,在Rt△ABC和Rt△DFE中,
BC
AB
EF , DF ,
浙教版最新版八年级上册2.6直角三角形ppt课件
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直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一 半.
B D
A
1C
CD AB
2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
爱爱再数学学见数周学报
C
A
Ｄ
B
练一练：☞ 为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
1、直角三角形ABC中,AD是斜边BC上的高,
则图中共有等腰直角三角形__3__个.
A
B
D
C
２、如果三角形一边上的高平分这边所对的角,那么
此三角形一定是 ( A ).
(A)等腰三角形.
(B) 直角三角形.
(C) 等边三角形.
(D) 等腰直角三角形.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
３．如图：AF是Rt△ABC斜边BC边上的高， AD是∠BAC的平分线，且∠B＝35°，求 ∠FAC和∠DAF的度数.
Ｂ
Ｃ
Ｄ
ＡＥ
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
１．直角三角形的两个锐角互余． ２．在一个三角形中有两个角互余的三角形 是直角三角形． ３．等腰直角三角形的两个锐角都是45゜.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
三角形全等的判定(第四课时)教学课件(共19张PPT)初中数学人教版八年级上册
【总结】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全 等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
A
几何语言： 由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的
思路吗？在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
B
C
AB = A′B′，
A′
BC = B′C′，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）．
谢谢观看
∴ Rt ABE≌Rt BCDHL .
练习 5 如图，点 B、C、E、F 在同一直线上， BE CF，AC BC 于点 C， DF EF 于点 F， AB DE ， 求证： AB∥DE .
证明：∵ AC BC，DF EF ，
∴ ACB DFE 90 ，
∵ BE CF ，∴ BE CE CF CE ，
证明： DE AB ， DF AC ，
BED CFD 90，
D 是 BC 上的中点，BD CD ，
在
Rt△BED
和
Rt△CFD
中，
BD DE
CD DF
Rt△BED≌Rt△CFD(HL) ，B C .
斜边、直角边 （HL）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等（HL）
SSS、AAS、ASA、SAS适用于一般三角 形； HL只适用于直角三角形.
D A
C B
已知
一般三 角形
三边 两边一角
两角一边
方法 SSS
SAS
ASA AAS
直角三
两边
HL SAS
角形
一边一角
ASA AAS
特别说明
其中角为两边的夹角 对于两个三角形只需有两个角和一边
对应相等则其全等 两边可以为斜边和直角边，或两直角边
八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
测量角度
通过测量直角三角形中的两个锐角，可以计算出 第三个角的大小，从而解决一些测量问题。
建筑设计中直角三角形应用
建筑设计
01
在建筑设计中，直角三角形常被用于计算建筑物的角度、高度
和距离等参数，以确保建筑物的稳定性和美观性。
结构工程
02
在结构工程中，直角三角形可以帮助工程师计算结构的支撑力
、承载力和稳定性等关键参数。
AA相似条件在直角三角形中应用
AA相似条件：如果两个三角形 中有两个角分别相等，则这两 个三角形相似。
在直角三角形中，由于一个角 是90度，因此只需要再证明一 个角相等即可判定两个直角三 角形相似。
常见的证明方法包括利用余角 相等、利用平行线的性质等。
利用三边比例关系判断相似
三边比例关系：如果两个三角形的三边长度成比例，则这两个三角形相似。
在直角三角形中，可以利用勾股定理和已知边长求出未知边长，进而判断三边是否 成比例。
需要注意的是，由于直角三角形的特殊性，有时候只需要证明两边成比例即可判定 相似。
实例分析与解题技巧
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
勾股数
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方，即a² + b² = c²，其 中a、b为直角边，c为斜边。
满足勾股定理的三个正整数，称为勾 股数。例如，3、4、5是一组勾股数 ，因为3² + 4² = 5²。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三 角形，其中c为最长边。
通过测量直角三角形中的两个锐角，可以计算出 第三个角的大小，从而解决一些测量问题。
建筑设计中直角三角形应用
建筑设计
01
在建筑设计中，直角三角形常被用于计算建筑物的角度、高度
和距离等参数，以确保建筑物的稳定性和美观性。
结构工程
02
在结构工程中，直角三角形可以帮助工程师计算结构的支撑力
、承载力和稳定性等关键参数。
AA相似条件在直角三角形中应用
AA相似条件：如果两个三角形 中有两个角分别相等，则这两 个三角形相似。
在直角三角形中，由于一个角 是90度，因此只需要再证明一 个角相等即可判定两个直角三 角形相似。
常见的证明方法包括利用余角 相等、利用平行线的性质等。
利用三边比例关系判断相似
三边比例关系：如果两个三角形的三边长度成比例，则这两个三角形相似。
在直角三角形中，可以利用勾股定理和已知边长求出未知边长，进而判断三边是否 成比例。
需要注意的是，由于直角三角形的特殊性，有时候只需要证明两边成比例即可判定 相似。
实例分析与解题技巧
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
勾股数
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方，即a² + b² = c²，其 中a、b为直角边，c为斜边。
满足勾股定理的三个正整数，称为勾 股数。例如，3、4、5是一组勾股数 ，因为3² + 4² = 5²。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三 角形，其中c为最长边。
八年级数学上册直角三角形的性质课件ppt
A
（2）用右图的添线方法，完成性质定理2的证明
已知：在Rt△ABC中，ACB=90°，
CM是斜边AB上的中线.
求证：
CM=
1 2
AB.
E
（3）练习册 19.8(1)
C
M
B F
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
∠A +∠2=90 ° ∠A +∠B=90 °
∠1 +∠B=90 °
∠1 +∠2=90 °
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
直角三角形的判定定理
有两个角互余的三角形是直角三角形。
练习：(直接写出答案） 1）Rt△ABC中，∠C=90 ° ，∠B=28°， 则∠A=__. 2） 若∠C =∠A+∠B, 则△ABC是______ 三角形. 3）在△ABC中，∠A=90°， ∠B=3∠C，
中点
A
直角三角形斜边上的中点 等腰三角形底边上的中点
E
F
B
C
D
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
一试 ：
直角三角形的性质
如图1，在Rt △ ABC与Rt △ ACE中， ∠ ABC= ∠ AEC=90 °，
∴ MP ⊥ BE （等腰三角形三线合一）
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
八年级数学上册 17.2《直角三角形》课件
D
C
A
E
B
第三十页，共三十四页。
3、在△ ABC中， ∠ACB=900，CD是
边AB上的高，∠A=300
求证(qiúzhèng)：—B14D=
AB
A
C
D
B
第三十一页，共三十四页。
小结(xiǎojié)
• 直角三角形的性质(xìngzhì)
１．直角三角形的两个(liǎnɡ ɡè)锐角互余．
2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
又∵∠A+∠B=90°（ 直角三角形的两锐角(ruìjiǎo)互）余 ∠1+∠2=90° ∴ ∠2= ∠B
于是(yúshì)得 B D' =C D' ( 等角对等边
)
1 故得 B D' =A D' =C D' = 2 AB
所以D是斜边AB上的中点，即C D'是斜边AB上的中线，从而C D'与CD重合，并有CD= A1B
2
第八页，共三十四页。
1.阅读课本148页的“发现”的 证明过程。
2.通过(tōngguò)阅读你有什么发 现？
直角三角形的性质(xìngzhì)定理：
1 2
在直角三角形12 中，斜边上的中线(zhōngxiàn)等于斜边的一 半
∵CD是直角三角形ABC斜边上的中线
∴CD= A12 B
第九页，共三十四页。
Ｄ
=900，所以(suǒyǐ)∠C =900，于
是△ABC是直角三角形。
Ｂ
Ｃ
1.判定(pàndìng)定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
第二十三页，共三十四页。
观察思考(sīkǎo)，总结规律．
全国优质课一等奖人教版初中八年级上册数学《直角三角形全等的判定(HL)》公开课课件
证明:连接DC.
∵AC⊥AD，BC⊥BD，
∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
AB BA
AC
BD
∴Rt△ADC≌Rt△BCD (HL)，
∴AD=BC.
已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，求证：BC=DC．
证明：连接AC.
∵AB⊥BC,AD⊥DC,
∴∠B=∠D=90°,
（2）解：∠B+∠AFD＝180°，理由如下：
由（1）得：△ACD≌△AED， ∴DC＝DE，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
DC DE
DF
DB
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∵∠CFD+∠AFD＝180°，
∴∠CFD＝∠B，
∴∠B+∠AFD＝180°.
例4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB 于E，点F在边AC上，连接DF． （3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n的代数
若AB=DE，AC=DF，此时△ABC与△DEF还会全等吗？
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得 ∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB. 把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上， 它们全等吗？
直角三角形“HL”判定方法 文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
式表示）．
（3）解：由（2）知，Rt△CDF≌Rt△EDB， ∴CF＝BE， 由（1）知AC＝AE， ∵AB＝AE+BE， ∴AB＝AC+BE， ∵AC＝AF+CF， ∴AB＝AF+2BE， ∵AB＝m，AF＝n， ∴BE＝12（m﹣n）．
2.6.1 直角三角形的性质(课件)八年级数学上册(浙教版)
（三角形三个内角的和等于180°）
∠C=90°（已知）
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°
则∠A+∠B=90°
C
B
合作学习
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
表示：“Rt△” 直角三角形可以记为Rt△ABC
直角三角形的性质定理：
直角三角形的两个锐角互余
在Rt△ABC中，∠C=90°
则∠A+∠B=__________
∴BC= AB
C
B
例题讲解
例2：如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系? 为什么?
解:在Rt△ACE中，
C
D
∠CAE=90°- ∠AEC
E
在Rt△BDE中，
∠DBE=90°- ∠BED
∵∠AEC= ∠BED
∴∠CAE= ∠DBE
A
B
例题讲解
例3：右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于
90°
A
直
角
边
C
斜边
直角边
B
巩固练习
已知直角三角形两个锐角的度数之比为3：2，求这两个锐角的度数。
解：∵三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90°
∴直角三角形的两个锐角度数的和是90°，
又3+2=5，
∴这两个锐角分别为：90°× =54°；
90°× =36°，
答：这个三角形两个锐角的度数分别是 54°，36°．
浙教版 八上
直角三角形的性质
目录
01 直角三角形
02 直角三角形锐角互余
03 斜中线性质
∠C=90°（已知）
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°
则∠A+∠B=90°
C
B
合作学习
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
表示：“Rt△” 直角三角形可以记为Rt△ABC
直角三角形的性质定理：
直角三角形的两个锐角互余
在Rt△ABC中，∠C=90°
则∠A+∠B=__________
∴BC= AB
C
B
例题讲解
例2：如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系? 为什么?
解:在Rt△ACE中，
C
D
∠CAE=90°- ∠AEC
E
在Rt△BDE中，
∠DBE=90°- ∠BED
∵∠AEC= ∠BED
∴∠CAE= ∠DBE
A
B
例题讲解
例3：右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于
90°
A
直
角
边
C
斜边
直角边
B
巩固练习
已知直角三角形两个锐角的度数之比为3：2，求这两个锐角的度数。
解：∵三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90°
∴直角三角形的两个锐角度数的和是90°，
又3+2=5，
∴这两个锐角分别为：90°× =54°；
90°× =36°，
答：这个三角形两个锐角的度数分别是 54°，36°．
浙教版 八上
直角三角形的性质
目录
01 直角三角形
02 直角三角形锐角互余
03 斜中线性质
初中数学八年级上册直角三角形的性质和判定
第1题图
第2题图
2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，
若∠BOD=38°，则∠A=__5_2_°____.
3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三
角形是直__角__三__角__形___.4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另
一个锐角的度数是（ B ）
A．40°
总结归纳
有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
应用格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．B
C
典例精析
例3 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三 角形吗？为什么？
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形.
A
1D E
2
C
B
例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是 直角三角形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴∠C+∠D=90°， ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠D=90°， ∴△ABD是直角三角形.
当堂练习
1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到 一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是____9_0_°__.
C．∠BCD和∠A
D．∠BCD
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是 AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角 三角形．
证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形.
冀教版八年级上册数学《直角三角形》PPT教学课件
做一做
证明：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。
已知：如图，在RtABC中，ABC 90，A 30. A
求证：BC 1 AC
2
D
B C
分析：如果中线CD=
1 2
AB,则有∠ACD= ∠A。
于是受到启发，在图中，过R
顶点C作射线CD'交AB于D'，使∠1=∠A，
则有A D' =C D' ( 等角对等边)
如果一个三角形的两个角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形
学习目标
• 1.掌握直角三角形的性质定理和判定 定理
• 2.掌握含30º角的直角三角形的性质
学习重点和难点
• 重点： • 直角三角形的性质定理和判定定理 • 难点： • 含30º角的直角三角形的性质
1.如图，在R
∠A+∠B= 90 °
直角三角形的性质定理：
1 2
在直角三角形12 中，斜边上的中线等于斜边的一半
∵CD是直1 角三角形ABC斜边上的中线 ∴CD= 2 AB
如图，在R
取线段AB的中点D，1连结CD，即CD为R 2
C
A
由此可得出结论：
B
D
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对 的直角边等于斜边的一半
想 一 你能用等边三角形的性质来证明直角三角形的 想 这条性质吗？
1
如图，在R
2
由此可得出结论：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°
例2
在A岛周围20海里（1海里=1852 m）水域内有暗礁，
一轮船由西向东航行到O处时，发现A到在北偏东60°
直角三角形的性质课件初中数学PPT课件
24
利用三角函数解决非直角三角形问题策略
已知两边求夹角
01
当已知非直角三角形的两边长时，可以利用正弦或余
弦定理求出夹角的大小。
已知一角和两边求另一角或第三边
02 通过正弦、余弦或正切函数，结合已知的角度和边长
信息，可以求出未知的角度或边长。
利用三角形内角和定理
03
在任何三角形中，三个内角的和等于180度。利用这
一性质，可以求出非直角三角形中的未知角度。
2024/1/28
25
案例分析
案例一
已知非直角三角形的两边长分别 为a和b，夹角为C，求第三边c的 长度。此时可以利用余弦定理 c²=a²+b²-2ab×cosC求出c的值 。
案例二
已知非直角三角形的两个角度分 别为A和B，以及一边长a，求另 一边b的长度。此时可以利用正弦 定理a/sinA=b/sinB求出b的值。
SSS判定
三边对应相等的两个三角形全 等。
ASA判定
两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等。
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分 别对应相等，则称这两个三角 形全等。
2024/1/28
SAS判定
两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等。
AAS判定
两角和其中一个角的对边对应 相等的两个三角形全等。
证明勾股定理。
欧几里得证明法
02
在《几何原本》中，欧几里得利用相似三角形的性质证明了勾
股定理。
加菲尔德总统证明法
03
美国第20任总统加菲尔德提出了一种简洁的勾股定理证明方法
，利用两个相似直角三角形的面积关系进行证明。
9
勾股定理逆定理及应用
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【点拨】由题知c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，所以c2(a2－b2) －(a2－b2)(a2＋b2)＝0.所以(a2－b2)[c2－(a2＋b2)]＝0.所以a2－ b2＝0或c2－(a2＋b2)＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2.所以△ABC为 等腰三角形或直角三角形．故从③开始出现错误，其原因是 不能确定a2－b2是否为0.
么a2∶b2∶c2＝2∶1∶1. 其中正确的是( ) A．①② B．①③ CC．①④ D．②④
11．下列各组数为勾股数的是___①_____． ① 6，8，10；② 7，8，10；③ 35，45，1. 【易错总结】首先要注意勾股数必须是一组正整数，
其次要满足两个较小数的平方和等于最大数的平
方．本题易误认为③也是勾股数．实际上，正确答案
第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
提示：点击 进入习题
1 2 45 3A 4C
5B 6C 7C 8B
答案显示
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9D
10 C
11 ①
12 见习题
答案显示
13 见习题 14 见习题
15 见习题
1．阅读以下解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝ a4－b4，试判断△ABC的形状． 错解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，① 所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，② 所以c2＝a2＋b2.③ 所以△ABC为直角三角形．④
(3)若解a：－因ab＋为ca＝－12ab(＋a＋c＝cb＋12(ca)＋，c试b＋说c明)，：△ABC 是直角三角形． 所以 ac＝12(a＋b＋c)(a－b＋c)＝12[(a2＋2ac＋c2)－b2]， 所以 2ac＝a2＋2ac＋c2－b2，所以 a2＋c2＝b2，
所以△ABC 是直角三角形．
10．给出下列说法： ①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是一组勾股数； ②如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么另一边长的平方必为25； ③如果一个三角形的三边长分别是12，25，21，那么此三角形必是直
角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中a是斜边长，那
8．下面几组数中，为勾股数的一组是( B ) A．4，5，6 B．12，16，20 C．－10，24，26 D．2.4，4.5，5.1
9．下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③7，24， 25；④n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整数)，其中是 勾股数的有( D ) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
(2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求 ∠BPC的度数．
解：如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形， 所以∠CDP＝45°.易得△CPB≌△CDA，所以∠BPC＝ ∠ADC，AD＝BP＝1.所以AD2＋DP2＝AD2＋(CD2＋ CP2)＝9.因为AP2＝9，所以AD2＋ DP2＝AP2.所以∠ADP＝90°.所以 ∠ADC＝135°.所以∠BPC＝135°.
MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；
再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，
连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【点拨】如图，依据作图即可得到AC＝AN＝2＋2＝4， BC＝BM＝2＋1＝3，AB＝2＋2＋1＝5，进而得出AC2＋ BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形． 【答案】B
14．【2019•河北】已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式 B>0. 尝试 化简整式A. 发现 A＝B2，求整式B. 联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n>1时， n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示，填 写下表中B的值．
解：尝试 A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋ 2n2＋1＝(n2＋1)2. 发现 因为A＝B2，B>0，所以B＝n2＋1. 联想 17；37
【点拨】①中，因为∠A＝∠B－∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠B＝90°，所以△ABC 是直角三角形；②中，由∠A∶∠B∶ ∠C＝3∶4∶5 得△ABC 中最大角∠C＝180°×152＝75°，则△ABC 为 锐角三角形；③中，a2＝(b＋c)(b－c)＝b2－c2，即 a2＋c2＝b2，所以 △ABC 是直角三角形；④中，因为 a∶b∶c＝5∶12∶13，所以 a2＋b2＝c2，故△ABC 是直角三角形，故选 C. 【答案】C
ห้องสมุดไป่ตู้
13．【2019•呼和浩特】如图，在△ABC中，内角A，B， C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与 ∠C的大小关系； 解：∠A＋∠B<∠C.
(2)试说明：△ABC的内角和等于180°； 解：如图，过点B作MN∥AC， 则∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C(两直线平行，内错角相等)． 因为∠MBA＋∠ABC＋∠NBC＝180°(平角的定义)， 所以∠A＋∠ABC＋∠C＝180°(等量代换)， 即△ABC的内角和等于180°.
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代 号：____③____；
(2)错误的原因是________不__能__确__定__a_2_－__b_2是__否__为__0________； (3)本题正确的结论是__△__A_B_C__为__等__腰__三__角__形__或__直__角__三__角__形___．
只有①.
12．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，(1)求四边 形ABCD的面积； 解：S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ 12×5×2＋12×5×3＝225.
(2)求∠ABC的度数． 解：因为AB2＝22＋42＝20， BC2＝12＋22＝5，AC2＝52＝25， 所以AB2＋BC2＝AC2. 所以∠ABC＝90°.
6．五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为8，9，12，15， 17 ， 现 将 它 们 摆 成 两 个 直 角 三 角 形 ， 其 中 正 确 的 是 ( C)
7．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件： ①∠A＝∠B－∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5； ③a2＝(b＋c)(b－c)；④a：b：c＝5：12：13. 其中能判定△ABC是直角三角形的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内 一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD.
(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求 ∠BPC的度数；
解：如图①，连接 DP，过点 D 作 DN⊥PC 于点 N，由题意 可 知 CD ＝ CP ， ∠ PCD ＝ 60°. 所 以 ∠ CDP ＝ ∠ CPD ＝ 180°－ 2 60°＝60°.易得△DCN≌△DPN.所以 DP＝DC＝8.易 得△CPB≌△CDA，所以∠BPC＝∠ADC， AD＝BP＝6.所以 AD2＋DP2＝AP2.所以∠ADP ＝90°.所以∠ADC＝150°.所以∠BPC＝150°.
3．【2018•南通】下列长度的三条线段能组成直角三角形
的是( A )
A．3，4，5
B．2，3，4
C．4，6，7
D．5，11，12
4．【中考•南京】下列长度的三条线段能组成钝角三角形 的是( C )
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
* 5.【2019• 益 阳 】 已 知 M ， N 是 线 段 AB 上 的 两 点 ， AM ＝
* 2.【2019• 北 京 】 如 图 所 示 的 网 格 是 正 方 形 网 格 ， 则 ∠PAB＋∠PBA＝________°(点A，B，P是网格线的 交点)．
【点拨】如图，延长AP交网格边线于D，连接BD，设每个小正 方形的边长为1， 易知点D为格点，则PD2＝BD2＝ 12＋22＝5，PB2＝12＋32＝10， 所以PD2＋DB2＝PB2，PD＝BD. 所以∠PDB＝90°，所以△PDB为等腰直角三角形． 所以∠DPB＝180°－∠APB＝∠PAB＋∠PBA＝45°. 【答案】45
么a2∶b2∶c2＝2∶1∶1. 其中正确的是( ) A．①② B．①③ CC．①④ D．②④
11．下列各组数为勾股数的是___①_____． ① 6，8，10；② 7，8，10；③ 35，45，1. 【易错总结】首先要注意勾股数必须是一组正整数，
其次要满足两个较小数的平方和等于最大数的平
方．本题易误认为③也是勾股数．实际上，正确答案
第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
提示：点击 进入习题
1 2 45 3A 4C
5B 6C 7C 8B
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9D
10 C
11 ①
12 见习题
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13 见习题 14 见习题
15 见习题
1．阅读以下解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝ a4－b4，试判断△ABC的形状． 错解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，① 所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，② 所以c2＝a2＋b2.③ 所以△ABC为直角三角形．④
(3)若解a：－因ab＋为ca＝－12ab(＋a＋c＝cb＋12(ca)＋，c试b＋说c明)，：△ABC 是直角三角形． 所以 ac＝12(a＋b＋c)(a－b＋c)＝12[(a2＋2ac＋c2)－b2]， 所以 2ac＝a2＋2ac＋c2－b2，所以 a2＋c2＝b2，
所以△ABC 是直角三角形．
10．给出下列说法： ①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是一组勾股数； ②如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么另一边长的平方必为25； ③如果一个三角形的三边长分别是12，25，21，那么此三角形必是直
角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中a是斜边长，那
8．下面几组数中，为勾股数的一组是( B ) A．4，5，6 B．12，16，20 C．－10，24，26 D．2.4，4.5，5.1
9．下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③7，24， 25；④n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整数)，其中是 勾股数的有( D ) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
(2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求 ∠BPC的度数．
解：如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形， 所以∠CDP＝45°.易得△CPB≌△CDA，所以∠BPC＝ ∠ADC，AD＝BP＝1.所以AD2＋DP2＝AD2＋(CD2＋ CP2)＝9.因为AP2＝9，所以AD2＋ DP2＝AP2.所以∠ADP＝90°.所以 ∠ADC＝135°.所以∠BPC＝135°.
MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；
再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，
连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【点拨】如图，依据作图即可得到AC＝AN＝2＋2＝4， BC＝BM＝2＋1＝3，AB＝2＋2＋1＝5，进而得出AC2＋ BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形． 【答案】B
14．【2019•河北】已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式 B>0. 尝试 化简整式A. 发现 A＝B2，求整式B. 联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n>1时， n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示，填 写下表中B的值．
解：尝试 A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋ 2n2＋1＝(n2＋1)2. 发现 因为A＝B2，B>0，所以B＝n2＋1. 联想 17；37
【点拨】①中，因为∠A＝∠B－∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠B＝90°，所以△ABC 是直角三角形；②中，由∠A∶∠B∶ ∠C＝3∶4∶5 得△ABC 中最大角∠C＝180°×152＝75°，则△ABC 为 锐角三角形；③中，a2＝(b＋c)(b－c)＝b2－c2，即 a2＋c2＝b2，所以 △ABC 是直角三角形；④中，因为 a∶b∶c＝5∶12∶13，所以 a2＋b2＝c2，故△ABC 是直角三角形，故选 C. 【答案】C
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13．【2019•呼和浩特】如图，在△ABC中，内角A，B， C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与 ∠C的大小关系； 解：∠A＋∠B<∠C.
(2)试说明：△ABC的内角和等于180°； 解：如图，过点B作MN∥AC， 则∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C(两直线平行，内错角相等)． 因为∠MBA＋∠ABC＋∠NBC＝180°(平角的定义)， 所以∠A＋∠ABC＋∠C＝180°(等量代换)， 即△ABC的内角和等于180°.
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代 号：____③____；
(2)错误的原因是________不__能__确__定__a_2_－__b_2是__否__为__0________； (3)本题正确的结论是__△__A_B_C__为__等__腰__三__角__形__或__直__角__三__角__形___．
只有①.
12．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，(1)求四边 形ABCD的面积； 解：S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ 12×5×2＋12×5×3＝225.
(2)求∠ABC的度数． 解：因为AB2＝22＋42＝20， BC2＝12＋22＝5，AC2＝52＝25， 所以AB2＋BC2＝AC2. 所以∠ABC＝90°.
6．五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为8，9，12，15， 17 ， 现 将 它 们 摆 成 两 个 直 角 三 角 形 ， 其 中 正 确 的 是 ( C)
7．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件： ①∠A＝∠B－∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5； ③a2＝(b＋c)(b－c)；④a：b：c＝5：12：13. 其中能判定△ABC是直角三角形的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内 一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD.
(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求 ∠BPC的度数；
解：如图①，连接 DP，过点 D 作 DN⊥PC 于点 N，由题意 可 知 CD ＝ CP ， ∠ PCD ＝ 60°. 所 以 ∠ CDP ＝ ∠ CPD ＝ 180°－ 2 60°＝60°.易得△DCN≌△DPN.所以 DP＝DC＝8.易 得△CPB≌△CDA，所以∠BPC＝∠ADC， AD＝BP＝6.所以 AD2＋DP2＝AP2.所以∠ADP ＝90°.所以∠ADC＝150°.所以∠BPC＝150°.
3．【2018•南通】下列长度的三条线段能组成直角三角形
的是( A )
A．3，4，5
B．2，3，4
C．4，6，7
D．5，11，12
4．【中考•南京】下列长度的三条线段能组成钝角三角形 的是( C )
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
* 5.【2019• 益 阳 】 已 知 M ， N 是 线 段 AB 上 的 两 点 ， AM ＝
* 2.【2019• 北 京 】 如 图 所 示 的 网 格 是 正 方 形 网 格 ， 则 ∠PAB＋∠PBA＝________°(点A，B，P是网格线的 交点)．
【点拨】如图，延长AP交网格边线于D，连接BD，设每个小正 方形的边长为1， 易知点D为格点，则PD2＝BD2＝ 12＋22＝5，PB2＝12＋32＝10， 所以PD2＋DB2＝PB2，PD＝BD. 所以∠PDB＝90°，所以△PDB为等腰直角三角形． 所以∠DPB＝180°－∠APB＝∠PAB＋∠PBA＝45°. 【答案】45