材料物理性能答案

第一章：材料电学性能

1.导电能力 如何评价材料的导电能力？如何界定超导、导体、半导体和绝缘体材料？

用电阻率ρ或电阻率ζ评价材料的导电能力。按材料的电阻率，人们通常将材料划分为：

（1）绝缘体 ρ > 108 （Ω⋅m ）

（2）半导体 10-2 < ρ < 108 （Ω⋅m ）

（3）金属 10-8 < ρ < 10-2 （Ω⋅m ）

（4）超导体 ρ < 10-27 （Ω⋅m ）

2.经典导电理论/欧姆定律 经典导电理论的主要容是什么？它如何解释欧姆定律？它有哪

些局限性？

金属导体中，其原子的所有价电子均脱离原子核的束缚成为自由电子，而原子核及层

束缚电子作为一个整体形成离子实。所有离子实的库仑场构成一个平均值的等势电场，自

由电子像理想气体一样在等势电场中运动。若没有外部电场或磁场的影响，一定温度下其

中的离子实只能在定域作热振动，形成格波，自由电子则可以在较大围作随机运动，并不

时与离子实发生碰撞或散射，此时定域的离子实不能定向运动，方向随机的自由电子也不

能形成电流。施加外电场后，自由电子的运动就会在随机热运动基础上叠加一个与电场反

方向的平均分量，形成定向漂移，形成电流。自由电子在定向漂移的过程中不断与离子实或其它缺陷碰撞或散射，从而产生电阻。 J E σ= 电导率2e m e ==σητημ（其中2e m v E μτ==-，为电子的漂移迁移率，表示单位场强下电子的漂移速度），它将外加电场强度和导体的电流密度联系起来，表示了欧

姆定律的微观形式。

缺陷：该理论高估了自由电子对金属导电能力的贡献值，实际上并不是所有价电子都参与

了导电。（把适用于宏观物体的牛顿定律应用到微观的电子运动中，并承认能量的连续性）

3.自由电子近似 自由电子近似下的量子导电理论如何看待自由电子的能量和运动行为？

能量：自由电子近似下，电子的本证波函数是一种等幅平面行波，即振幅保持为常数；

行为：电子本证能量E 随波矢量的变化曲线是一条连续的抛物线。

4.自由电子近似概念 根据自由电子近似下的量子导电理论解释：准连续能级、能级的简

并状态、简并度、能态密度、k 空间、等幅平面波和能级密度函数。

准连续能级：电子的本征能量是量子化的，其能量值由主量子数n 决定，并且其能量值也是不连续的，能级差与材料线度L ²成反比，材料的尺寸越大，其能级差越小，作为宏观

尺度的材料，其能级差几乎趋于零，电子能量可以看成是准连续的。

能级简并状态：把同一能级下具有多种能态的现象称为能级的简并状态。

简并度：同一能级下的能态数目称为简并度。

能态密度：对某个电子体系，在k 空间单位体积能态的数量或倒易节点数称为波矢能态密

度ρ。ρ=V/(2π) ³，含自旋的能态密度应为2ρ

K 空间：若使用波矢量 k 的三个分量 k x , k y , k z 为单位矢量构筑坐标系，则每个能态在该坐标中都是一个整数点, 对于准连续的能级，此坐标系中的每个整数点都代表一个能态。人们把此坐标系常数称为k 空间或状态空间。 等幅平面波：量子导电理论中，在自由电子近似下用于描述电子运动行为的本征波函数，

其波幅保持为常数。 能级密度函数：电子的波失能态函数对其能量的分布函数，即在单位能量宽度上的能态分

布。表达式为

()312222()(4)2V N E dZ dE V m E π==

5.等能面 自由电子近似下的等能面为什么是球面？倒易空间的倒易节点数与不含自旋的

能态数是何关系？为什么自由电子的波矢量是一个倒易矢量？

①因为在k 空间，能量的大小仅与波矢k 的长度有关，而与波矢的方向无关，所以所有等

长的波矢均代表一个相同的能级，因此代表同一能级的所有状态点在k 空间中应分布在以

坐标原点为中心、以k 为半径的球面（等能面）上。

②倒易空间的倒易节点数=不含自旋的能态数 ③在波矢的计算中利用周期性边界条件、欧拉公式以及倒易矢量关系式得到如下关系式1112223330k N a k N a k N a ++= 如果令i 为任意整数，令2i i b a π=，则波矢量可写成

123112233222l l l k N a N a N a πππ=++123123123l l l b b b N N N =++，证明了电子波的波矢量 k 就是倒易矢量。

6.费米概念 自由电子在允许能级的分布遵循何种分布规律？何为费米面和费米能级？何

为有效电子？价电子与有效电子有何关系？如何根据价电子浓度确定原子的费米半径？

①允许能级中的电子在各能态的分布遵循费米--狄拉克统计分布规律。其分布函数为：

[]1()exp ()1F B f E E E k T =-+，其中E 为电子的能量，E F 为费米能量或化学势，k B 为玻尔

兹曼常数，T 为绝对温度。

分布函数的物理意义表示：T 温度下，能量为E 的能态被电子占据的概率为f （E ），如图：

绝对零度时（基态），E

f(E)=1；E

（E ）发生陡直的变化。

T 温度下（T>0的激发态），分布函数在费米能量附近的

陡直程度下降了，分布对应的能量围约为E F 附近±区间。

可见温度越高，分布变化所对应的能量围越宽。但E=EF 时，f(E)恒等于1/2.这种变

化的物理本质为：原来处于费米面以下临近费米能级的一部分电子。由于受到k B T 能量的

热激发而可以跃迁到费米面以上能区。

②费米面和费米能：按自由电子近似，电子的等能面k 空间是关于原点对称的球面。特别

有意义的是E=EF 的等能面，它被称为费米面，相应的能量成为费米能。

③有效电子：能量位于费米面附近的部分价电子，当它们受到某种能量的激发而跃迁到允

许电子存在的不满态能区时，才能成为真正意义上的自由电子，这些自由电子为有效电子。 ④价电子：有可能越过费米面而参与导电的所有电子的集合，属于原子中比较活跃的电子，有效电子属于价电子，只是它越过了费米面而进入了未满能带而能够参与导电。

⑤费米半径和价电子浓度N 的关系：费米半径：费米球面的球半径，即k 空间

k F =πN （一维空间） k F =（2πN ）1/2（二维空间） k F =（3π2N ）1/3（三维空间）

7.温度影响 自由电子的平均能量与温度有何种关系？温度如何影响费米能级？根据自由

电子近似下的量子导电理论，试分析温度如何影响材料的导电性。

①温度升高，自由电子的平均能量升高。

②温度升高时，因为部分电子被激发，费米半径减小，材料原子的费米面略微下降，但在

很大的温度围，可近似认为不受温度影响。

③对于自由电子，温度上升使其能量提高，运动速度加快，但均匀的温度场只能使其作方

向随机的热运动，只有不均匀的温度场才能使其产生定向漂移；对于费米面以下靠近费米

面的价电子，温度场能促进其激发，能增加材料的有效电子数量；对于离子，增加温度则

显著提高其热振动的振幅和频率，即增加声子的数量，其效果是极增加了离子实对电子的

散射几率；另外还可能改变晶格周期场和电子的有效质量。总体上材料的电阻率随温度增

加而增加，但材料不同，温度围不同，二者的相关规律不同。