矩阵的特征值和特征向量(1)

显然, n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项式.
ຫໍສະໝຸດ Baidu特征多项式的k重根也称为k重特征值. 当n5时, 特征 多项式没有一般的求根公式, 即使是三阶矩阵的特征 多项式, 一般也难以求根, 所以求矩阵的特征值一般 是三阶行列式求特征值,一般用0,1,-1,2, -2进行尝试 先得到一个根, 则剩下的两个根可用解一元二次方程 的办法解.
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2 1 -1
例
A
4
0
2
3 -2 4
1
X1
2
1
-2
X2
1
3
验证： X1, X 2 是否为A的特征向量
解
2 1 -1 1 3 1
AX1
4
0
3 -2
2 4
2
1
6 3
3
2 1
3X1
2 1 -1 -2 -6
AX 2
4
0
2
l 1 -1 0 det(lI - A) 4 l - 3 0 (l - 2)(l-1)2
-1 0 l - 2
A的特征值为l1=2, l2，3=1(二重特征值).
11 2020/4/4
当l1=2时, 由(l1I-A)X=0, 即
3 -1 0 x1 0
4 -1
-1 0
0 0
x2 x3
0 0
,
得其基础解系为X1=(0,0,1)T, 因此k1X1(k10为常数)
是A的对应于l1=2的特征向量.
12 2020/4/4
当l2=1时, 由(l2I-A)X=0, 即
2 -1 0 x1 0
4 -1
-2 0
0 -1
x2 x3
0 0
,
得其基础解系为X2=(1,2,-1)T, 因此k2X2(k20为常
值kla, lm, 1/l,detA/l的特征向量.
18 2020/4/4
证 已知AX=lX (i) kl是kA的特征值(k是任意常数),
这是因为(kA)X=k(AX)=klX, 即kl是kA的特征值, X是kA的属于特征值kl的特征向量.
(ii) A(AX)=A(lX)=l(AX)=l(lX), 即 A2X=l2X 再继续上述步骤m-2次, 就得AmX=lmX.
(l 1)(l - 2)2
A的特征值为 l1 -1, l2 l3 2
14 2020/4/4
当l1 -1时，解方程 （A I）X 0
-1
A I
0
-4
1 3 1
1
0
4
r3 - 4r1
r2 3
-1
0
0
1 1 -3
1 0 0
r1 - r2
1
0
r3 3r2 0
0 1 0
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例 设A是一个三阶方阵，1，2，3是它的三个
特征值，试求：
(1)A对角线上元素之和；(2)|A|；(3)|A2+A+I| 解 设A=(aij)由定理知
(1) a11+a22+a33=λ1+λ2+λ3=1+2+3=6 (2) |A|=λ1λ2λ3=1×2×3=6
(3) 因A的特征值为1，2，3，
(5.2)
定义 设n阶矩阵A=(aij), 则
f (l) det(lI - A)
l - a11
-a21 M
-an1
-a12 L
l - a22 L
MO
-an2 L
-a1n -a2n
M
l - ann
(5.3)
称为矩阵A的特征多项式, lI-A称为A的特征矩阵,
(5.2)式称为A的特征方程.
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向量的最大个数为s，则1 s k
(矩阵A对应于单特征值的线性无关的特征向量有且只有一个）
定理 设X1,L , Xm是矩阵A的特征向量，它们顺次对应的
特征值l1，L
，lm互不相同，则X 1，L
，X
线性无关。
m
推论 设 n 阶方阵A 有互不相同的特征值l1, l2 , , lm ，
(λiI– A)x= 0的基础解系为 ai1,ai2 , ,airi (i 1,2, , m) 则a11,a12, ,a1r1 ；a21,a22, ,a2r2；……；am1,am2 , ,amrm 线性 无关
1、设n阶矩阵A可逆的充要条件是它的每一个特 征值均不为0.
推论 0 是A的特征值 A 0
2、n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为l1,l2,...,ln. 则 (1) l1 l2 ln a11 a22 ann; (2) l1l2 ln A .
17 2020/4/4
矩阵的特征值和特征向量还有以下性质:
因此 A和AT有完全相同的特征值.
5、对角矩阵
a1
a2
O
的全部特征值
an
是 a1，a2，L ，an。
20 2020/4/4
6、设A为n阶方阵，f (x) a0 a1x am xm,若λ为A的特 征值，则 f (l) a0 a1l amlm 是f(A)的特征值
7、设λ为A的k重特征值,A关于λ的线性无关的特征
x1 x2
0 0
x1 - x2
对应的特征向量可取为 X 2
-1
1
A属于l 2 的全部特征向量：K1X1(K1 0)
A属于l 4 的全部特征向量：K2 X 2 (K2 0)
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例 求矩阵
-1 1 0 A -4 3 0
1 0 2
的特征值和特征向量. 解 矩阵A的特征多项式为
1
-2
3 -2 4 13 4
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注1 非零n维向量X是n阶方阵A的特征向量的 充分必要条件是：向量AX与X线性相关。
注2 如果X是矩阵A的对应特征值l的特征向量， 则kX（k 0）也是A的对应特征值l的特征向量。
注3 如果 X1, X 2 是A对应于特征值 l 的特征向量，
设f(x)=x2+x+1,由性质知 A2+A+I的特征值:1+1+1=3，22+2+1=7,32+3+1=13
再由性质知 |A2+A+I|=3×7×13=273
（|A-1+2A+A*+I|？） 例 如果A是一个三阶方阵，且A3-3A+2I=0，求|A|
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1
X2
4
0
1
X3
0
4
15 2020/4/4
例 主对角元为a11,a22,...,ann的对角阵A或上(下)三角阵 B的特征多项式是
|lI-A|=|lI-B|=(l-a11)(l-a22)...(l-ann),
故A,B的n个特征值就是n个主对角元.
16 2020/4/4
5.1.2 特征值和特征向量的性质
数)是A的对应于l2=1的特征向量.
13 2020/4/4
例 求矩阵的特征值和特征向量
-2 1 1
A
0 -4
2 1
03
解 A的特征多项式为
2 l -1 -1
2 l -1
lI - A 0
l-2
0 (l - 2)
4
l -3
4 -1 l - 3
(l - 2)(l2 - l - 6 4) (l - 2)(l2 - l - 2)
5.1 矩阵的特征值和特征向量
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5.1.1 特征值和特征向量的基本概念 定义 设A为数域F上的n阶矩阵, 如果存在数
lF和非零的n维列向量X, 使得 AX=lX
就称l是矩阵A的特征值, X是A的属于(或对应 于)特征值l的特征向量.
注意: 特征向量X0; 特征值问题是对方阵而言 的, 本章的矩阵如不加说明, 都是方阵.
2 2020/4/4
AX=lX
根据定义, n阶矩阵A的特征值, 就是齐次
线性方程组 (lI-A)X=0 有非零解的l值. 即满足方程
det(lI-A)=0 即 lI - A 0
的l都是矩阵A的特征值. 因此, 特征值是l的多项式det(lI-A)的根.
3 2020/4/4
AX=lX,
det(lI-A)=0
-1
0
0
得基础解系 X1 （1，0，1）T
对应于l1 -1的全部特征向量为k1X（1 k1 0） 得基础解
当l2 l3 2时，解方程 （2I - A）X 0
系
4
2I
-
A
0
4
-1 0 -1
-1
0
r3
-
r1
-1
1
0
0
-1/ 4 0 0
-1/ 4
0
0
对应于l2 l3 2的全部特征向量为 k2 X 2 k3 X 3 （k2，k3不同时为0）
A的特征值为l1 2, l2 4
当l1
2时，
-1 1
1 -1
x1 x2
0 0
对应的特 征向量可 取为
即
x1 - x2 0 -x1 x2 0
x1
x2
1 X1 1
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当l2 4时
1 1
1 1
x1 x2
0 0
-1 -1
-1 -1
则
k1X1 k2 X 2 (k1X1 k2 X 2 也0是) A对应于特
征值 的l特征向量。
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注4 如果 X1, X 2 是A对应于特征值 l 的线性无关
特征向量，则 k1X1 k2 X 2 (k1, k2不全为0) 也是
A对应于特征值 l 的特征向量。
注5 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的
3、若l是矩阵A的特征值, X是A属于l的特征向量, 则 (i) kla是kA+aI的特征值(k,a是任意常数), (ii) lm是Am的特征值(m是正整数); (iii) 当A可逆时, l-1是A-1的特征值; (iv) 当A可逆时, detA/l是A*的特征值.
且X仍是矩阵kA+aI, Am, A-1,A*的分别对应于特征
(iii) 当A可逆时, l0, 由AX=lX可得 A-1(AX)=A-1(lX)=lA-1X
因此 A-1X=l-1X 故l-1是A-1的特征值, 且X也是A-1对应于l-1的特征向量
19 2020/4/4
4、矩阵A和AT的特征值相同.
证 因为(lI-A)T=(lI)T-AT=lI-AT
所以 det(lI-A)=det(lI-AT)
X 0， AX l1X， AX l2 X
l1 X
- l2 X
0 （l1 - l2）X
X 0
0
l1
- l2
0
8 2020/4/4
例 求下列矩阵的特征值和特征向量
A
3 -1
-1
3
解 A的特征多项式为
l - 3 1 (3 - l)2 -1 l2 - 6l 8 (l - 2)(l - 4) 1 l-3