插值与数据拟合模型

第二讲 插值与数据拟合模型

函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。 在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是数据拟合问题。

一、插值方法简介

插值问题的提法是，已知1+n 个节点n j y x j j ,,2,1,0),,( =，其中j x 互不相同，不妨设

b x x x a n =<<<= 10，求任一插值点)(*j x x ≠处的插值*y 。),(j j y x 可以看成是由某个函数)(x g y =产生的，g 的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式。也可以未知。

求解的基本思路是，构造一个相对简单的函数)(x f y =，使f 通过全部节点，即),,2,1,0()(n j y x f j j ==，再由)(x f 计算插值，即*)(*x f y =。

1．拉格朗日多项式插值 插值多项式

从理论和计算的角度看，多项式是最简单的函数，设)(x f 是n 次多项式，记作

0111)(a x a x a x a x L n n n n n ++++=-- （1）

对于节点),(j j y x 应有

n j y x L j j n ,,2,1,0,

)( == （2）

为了确定插值多项式)(x L n 中的系数011,,,,a a a a n n -，将（1）代入（2），有

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=++++=++++=++++---n n n n n n n

n n

n n n n

n n n y

a x a x a x a y a x a x a x a y a x a x a x a 0111

0111110001010

（3） 记

T

n T n n n n

n n

n n n n

y y y Y a a a A x x x x x x X ),,,(,),,,(,11110011111

100

==⎪⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=---- 方程组（3）简写成

Y XA = （4）

注意X det 是Vandermonde 行列式，利用行列式性质可得

∏≤<≤-=

n

k j j k

x x

X 0)(det

因j x 互不相同，故0det ≠X ，于是方程（4）中A 有唯一解，即根据1+n 个节点可以确定唯一的n 次插值多项式。

拉格朗日插值多项式

实际上比较方便的做法不是解方程（4）求A ，而是先构造一组基函数：

n i x x x x x x x x x x x x x x x x x l n i i i i i i n i i i ,,2,1,0,)

())(()()

())(()()(110110 =--------=

+-+- （5）

)(x l i 是n 次多项式，满足

n j i j

i j

i x l j i ,,2,1,0,,0,1)( =⎩⎨

⎧≠== （6）

令

∑==n

i i i n x l y x L 0

)()( （7）

显然)(x L n 是满足（2）的n 次多项式，由方程（4）解的唯一性，（7）式表示的)(x L n 的解与（1）式相同。（5）、（7）称拉格朗日插值多项式，用)(x L n 计算插值称拉格朗日多项式插值。

误差估计

插值的误差通过插值多项式)(x L n 与产生节点),(j j y x 的)(x g 之差来估计，记作)(x R n 。虽然我们可能不知道)(x g 的解析表达式，但不妨设)(x g 充分光滑，具有1+n 阶导数。利用泰勒展开可以推出，对于任意],[b a x ∈。

),()()!1()()()()(0

)1(b a x x n g x L x g x R n

j j n n n ∈-+=-=∏=+ξξ （8） 若可以估计

1)1(|)(|++≤n n M g ξ （9）

则

),(,||)!1(|)(|0

1b a x x n M x R n

j j n n ∈-+=∏=+ξ （10） 实际上因为1+n M 常难以确定，所以（10）式并不能给出精确的误差估计。但是可能看出，n 增加，

|)(|x R n 减少；g 越光滑，1+n M 越小，|)(|x R n 越小；x 越接近j x ，|)(|x R n 越小。

例 将区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2,

0πn 等分，用x x g y cos )(==产生1+n 个节点，然后作拉格朗日插值多项式。用)(x L n 计算6

cos π

（取4位有效数字）。估计|)(|x R n （取2,1=n ）。

解 若1=n ，则)1,0(),(00=y x , ⎪⎭

⎫

⎝⎛=0,2),(11πy x 。由（5）、（7）式

ππ

x x x l y l y x L 2102

002021)(11001-=--⋅+--

⋅

=+= 6667.066cos 1=⎪⎭⎫

⎝⎛=ππL

若2=n ，则)1,0(),(00=y x ，⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,2),(,7071.0,4),(2211ππy x y x ，由（5）、（7）式。

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=++=4202)4)(0(024042)0(7071.02040241)(2211002ππππππππππππx x x x x x l y l y l y x L ⎪⎭⎫ ⎝⎛

-⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=27071.01624822πππππx x x x

8508.066cos 2=⎪⎭

⎫

⎝⎛=ππL 。

估计|)(|x R n ：对于x x g cos )(=可设11=+n M ，记节点间隔n

h 2π

=。当()1,+∈j j x x x 时

4

||||2

1h x x x x j j <--+