第一+二节(傅里叶级数和积分)

代入展开式: 代入展开式 g(x) = a0 + ∑(ak cosωk x + bk sin ωk x) 即可. 然后取极限 l → ∞ 即可 对于系数a 如果 对于系数 0,如果 lim
l →∞ −l
∫
l
f (ξ )dξ 有限 则有 有限,则有
1 l lim a0 = lim ∫ f (ξ )dξ = 0 l →∞ l → ∞ 2l −l
kπx kπx f (x) = a0 + ∑ak cos + bk sin l l k =1
叫做周期函数f(x)的 的 叫做周期函数
傅里叶级数展开式 展开系数称为傅里叶系数 展开式, 展开系数称为傅里叶系数
满足:(1)处处连续或者在每个周期 狄里希利定理: 若函数f(x)满足 狄里希利定理: 若函数 满足 处处连续或者在每个周期 中只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期中只有有限个极值 在每个周期中只有有限个极值 中只有有限个第一类间断点 则级数收敛,且 点,则级数收敛 且 则级数收敛
f ( x) 级数和 = 1 2 { f ( x + 0) + f ( x − 0)} (连续点x) (间断点x )
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(二) 奇函数及偶函数的傅里叶展开
若周期函数f(x)是奇函数 则傅里叶系数的计算公式可得 是奇函数,则傅里叶系数的计算公式可得 若周期函数 是奇函数 a0及ak都等于零 则展开式变为 都等于零,则展开式变为 则展开式变为: ∞ kπx f (x) = ∑bk sin l k=1 由于对称性,展开系数为 这里称为傅里叶正弦级数,由于对称性 展开系数为 由于对称性 展开系数为:
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又 l →∞
∆ω k =
π
l
→ 0 离散参量 ω k 成为连续参量
记为 ω. 对k的求和就变成对连续参量 ω 的积分 即: 的求和就变成对连续参量 的积分,即
∫
∞
0
1 π
∞
∫
∞
−∞
f (ξ ) cos ωξdξ cos ωxdω
同理,正弦部分的极限是 同理 正弦部分的极限是: 正弦部分的极限是
1 l lim ∑ ∫ f (ξ ) sin ω kξdξ sin ω k x −l l →∞ k =1 l =∫
则在 l → ∞
∞ 0
1 π
∫
∞
−∞
f (ξ ) sin ωξdξ sin ωxdω
∞ k =1
极限形式为: g(x) = a0 + ∑(ak cosωk x + bk sin ωk x) 极限形式为
∞ ∞ 0 0
f (x) = ∫ A(ω) cosωxdω + ∫ B(ω)sin ωxdω
分别为: 其中 A(ω), B(ω) 分别为
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1 A(ω ) = π B(ω ) = 1 π
∞ 0
∫ ∫
∞
−∞ ∞
f (ξ ) cos ωξdξ f (ξ ) sin ωξdξ
余弦部分为: 余弦部分为
1 l lim ∑ ∫ f (ξ ) cos ω kξdξ cos ω k x −l l →∞ k =1 l 1 = lim ∑ l →∞ k =1 π
∞
∞
∫
l
−l
f (ξ ) cos ω kξdξ cos ω k x ⋅ ∆ω k
第五章
傅里叶变换
在许多实际问题中， 在许多实际问题中，人们往往通过适当的变换把一个复杂 的问题化成简单的问题研究。例如，通过对数变换， 的问题化成简单的问题研究。例如，通过对数变换，把除法 化为加减运算，通过分式变换把复杂区域化为简单区域等。 化为加减运算，通过分式变换把复杂区域化为简单区域等。 傅里叶变换在电学 力学、控制理论等许多工程和科学领域 电学、 傅里叶变换在电学、力学、控制理论等许多工程和科学领域 中有广泛的应用。 中有广泛的应用。 傅里叶级数的应用可在力学中振动和波动部分找到： 傅里叶级数的应用可在力学中振动和波动部分找到：任何 振动和波动部分找到 振动和波动都可以表示为谐振动和谐波的叠加——傅里叶级数 傅里叶级数 振动和波动都可以表示为谐振动和谐波的叠加 展开. 展开
2 l kπξ bk = ∫ f (ξ ) sin dξ 0 l l
kπx kπx | x =0 = 0, sin | x =l = 0 级数和在 又 sin 级数和在x=0和x=l处都为零 处都为零. 和 处都为零 l l 若周期函数f(x)是偶函数 则由傅里叶系数 k=0,展开式为 是偶函数,则由傅里叶系数 展开式为: 若周期函数 是偶函数 则由傅里叶系数b 展开式为 ∞ kπx f (x) = a0 + ∑ak cos l k=1 由于对称性,展开系数为 这里称为傅里叶余弦级数,由于对称性 展开系数为 由于对称性 展开系数为:
+ π / 4, 0 < x < +π f ( x) = − π / 4, − π < x < 0
S m ( x) =
∑
sin(2n − 1) x 2n − 1 n =1
m
m →∞
lim S m ( x) = f ( x)
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§5.2
பைடு நூலகம்
傅里叶积分与傅里叶变换
(一) 实数形式的傅里叶变换
设f(x)为定义在区间 ( −∞ < x < +∞ ) 上的函数 一般地，非周期 为定义在区间 上的函数,一般地， 一般地 函数不能展开成傅里叶级数 为了能让这类函数可以展开 函数不能展开成傅里叶级数,为了能让这类函数可以展开 采用 展开成傅里叶级数 为了能让这类函数可以展开,采用 如下办法:将非周期函数 看成某个周期函数g(x)当周期 如下办法 将非周期函数f(x)看成某个周期函数 将非周期函数 看成某个周期函数 当周期 的极限形式, 这样g(x)的傅里叶级数展开 形式 的傅里叶级数展开 2l → ∞ 的极限形式 这样
dξ
∗
这里虽然f(x)是实函数 但傅里叶系数有可能是复数 并且可得 是实函数,但傅里叶系数有可能是复数 这里虽然 是实函数 但傅里叶系数有可能是复数,并且可得
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傅立叶展开的意义： 傅立叶展开的意义： 理论意义： 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角 级数表示； 级数表示； 应用意义： 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的 周期函数。 周期函数。 例如： 例如：对称方波的傅立叶展开
kπ x kπ x g(x) = a0 + ∑ ak cos +bk sin l l k =1
∞
在 l → ∞ 的极限形式就是要找的非周期函数 的极限形式就是要找的非周期函数f(x)的傅里叶展开 的傅里叶展开. 的傅里叶展开 引入不连续参量 ω k = kπ / l (k = 0,1,2...), ∆ω k = ω k − ω k −1 = π / l
∞
f(x)的 f(x)的傅里叶变换式
称为傅里叶积分
−∞
f (x) = ∫ A(ω) cosωxdω + ∫ B(ω)sin ωxdω
0
为非周期函数f(x)的傅里叶积分表达式 为非周期函数 的傅里叶积分表达式. 的傅里叶积分表达式
傅里叶积分定理: 傅里叶积分定理:
∞
函数在f(x)区间 (−∞, ∞) 满足 在任一 区间 满足(1) 函数在
f (0) = f (l ) = 0 f ′(0) = f ′(l ) = 0
应延拓成奇的周期函数. 应延拓成奇的周期函数 应延拓成偶的周期函数. 应延拓成偶的周期函数
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(四) 复数形式的傅里叶级数
取复指数函数
−i kπx l −i 2πx l −i
πx
⋯, e ,⋯, e , e l , 1 , e l , e ,⋯ e ,⋯ 作为基本函数族,可以将周期函数 可以将周期函数f(x)展开成复数形式的 展开成复数形式 作为基本函数族 可以将周期函数 展开成复数形式的
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
4
(一 )
周期函数的傅里叶展开
f ( x + 2l ) = f ( x )
函数f(x)以2l为周期 即有 以 为周期 即有: 为周期,即有 函数
则可取三角函数族 πx 2πx kπx 1, cos , cos , ⋯ cos ⋯ l l l 2πx πx kπx sin , sin , ⋯ sin ⋯ l l l 作为基本函数族， 作为基本函数族，将f(x)展为傅里叶级数 展为傅里叶级数
1
§5.1
傅里叶级数
在工程计算中, 无论是电学还是力学 电学还是力学, 在工程计算中 无论是电学还是力学 经常要和随 时间而变的周期函数f 打交道 例如: 打交道. 时间而变的周期函数 T(t)打交道 例如
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代 表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即 每秒重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
利用三角函数的正交性,可得展开系数为 利用三角函数的正交性 可得展开系数为: 可得展开系数为
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1 l kπξ ak = f (ξ ) cos dξ ∫−l δ kl l b = 1 l f (ξ ) sin kπξ dξ k l ∫−l l
∞
2 其中 δ = 1
( k = 0) (k ≠ 0)
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2 l kπξ ak = ∫0 f (ξ ) cos l dξ δkl 余弦的导数为正弦,余弦级数的和的导数在 余弦级数的和的导数在x=0和x=l为零 为零. 余弦的导数为正弦 余弦级数的和的导数在 和 为零
(三) 定义在有限区间上的函数的傅里叶展开
对于在有限区间,如 有定义的函数f(x),可以采用延拓的方法 可以采用延拓 对于在有限区间 如(0,l)有定义的函数 有定义的函数 可以采用延拓的方法 ,让它称为某个周期函数 让它称为某个周期函数g(x),且在 且在(0,l)上 g ( x) ≡ f ( x) 然后再对 让它称为某个周期函数 且在 上 g(x)作傅里叶级数展开 其级数和在区间 作傅里叶级数展开,其级数和在区间 上代表f(x). 作傅里叶级数展开 其级数和在区间(0,l)上代表 上代表 外无定义,可以有无数种延拓方式 又f(x)在(0,l)外无定义 可以有无数种延拓方式 便有无数种展开 在 外无定义 可以有无数种延拓方式,便有无数种展开 但这些展开在区间(0,l)上代表 上代表f(x),若对函数 若对函数f(x)在边界的行为有 但这些展开在区间 上代表 若对函数 在边界的行为有 限制,满足一定的边界条件 就决定了如何延拓 限制 满足一定的边界条件,就决定了如何延拓 例: 满足一定的边界条件 就决定了如何延拓,例
g(x) = a0 + ∑(ak cosωk x + bk sin ωk x)
k =1
∞
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其傅里叶系数为: 其傅里叶系数为
1 l ak = δ l ∫−l f (ξ ) cos ω kξdξ k b = 1 l f (ξ ) sin ω ξdξ k k l ∫−l
∞ k =1
kπx kπx f (x) = a0 + ∑ ak cos +bk sin l l k=1
∞
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函数族正交
即任意两个函数的乘积在一个周期上积分为零
kπx l ∫−l 1 ⋅ cos l dx = 0(k ≠ 0) l 1 ⋅ sin kπx dx = 0 ∫−l l l kπx nπx cos dx = 0(k ≠ n) ∫−l cos l l kπx nπx l ∫−l sin l sin l dx = 0(k ≠ n) l cos kπx sin nπx dx = 0 ∫−l l l
t
2
最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(ωt+ϕ) 其中ω=2π/T
t
而Asin(ωt+ϕ)又可以看作是两个周期函数 sinωt和cosωt的线性组合 Asin(ωt+ϕ)=asinωt+bcosωt
3
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系 列的三角函数的线性组合来逼近.
傅里叶级数
i
πx
i
2πx l
i
kπx l
f ( x) =
k = −∞
∑c e
k
∞
i
kπx l
且利用复指数函数的正交性,可求出傅里叶系数为 且利用复指数函数的正交性 可求出傅里叶系数为: 可求出傅里叶系数为
1 l ck = ∫ f (ξ ) e 2l −l
∗ c− k = c k
kπξ i l