不等式选讲 知识点#精选.

不等式选讲 知识点

一、绝对值不等式

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a,b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab ≥0时，等号成立。

注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a r ，b r 不共线时，|a r +b r |≤

|a r |+|b r |，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。

（2）不等式|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab ≥0，左侧“=”成立的条件是ab ≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≤0，左侧“=”成立的条件是ab ≥0且|a|≥|b|。

定理2：如果a,b,c 是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。

2．绝对值不等式的解法

（1）含绝对值的不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解集

注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x 到原点O 的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x 到点a,b 的距离之和（差）

（2）|ax+b|≤c(c ＞0)和|ax+b|≥c(c ＞0)型不等式的解法

①|ax+b|≤c ⇔-c ≤ax+b ≤c;

②| ax+b|≥c ⇔ ax+b ≥c 或ax+b ≤-c.

（3）|x-a|+|x-b|≥c(c ＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c ＞0)型不等式的解法

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。

二、证明不等式的基本方法

1．比较法

（1）作差比较法

①理论依据：a ＞b ⇔a-b ＞0;a ＜b ⇔ a-b ＜0.

②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论。

注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。

（2）作商比较法 ①理论依据：0,

1;a b a b b

>>⇒> 0,1;a b a b b <>⇒< ②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论。

2．综合法

（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。

（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。

3．分析法

（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。

（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。

注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。

4．放缩法

（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。

（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。

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