恒成立问题常见类型及解法

自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
以下是 常规题型讲解
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一、一次函数型
f(x)=ax+b,x [α,β]，则： f(x)>0恒成立＜ ＞
f()>0 f()>0 f()<0 f()<0
f(x)<0恒成立＜
＞
y 只要该函数是一次函数，那么它一定是单调函数， 不管它在给定的区间是增函数还是减函数， 只要满足两端点所对应的函数值同时大于或小于零就足够了
f ( x)在x D上恒成立 m [ f ( x)]max
m f ( x)在x D上恒成立 m [ f ( x)]min
说明： f ( x)
指该函数值域的边界 Max或min
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典例导悟
3 f x 4m2 f ( x) f ( x 1) 4 f (m) , 设函数 f ( x) x 1，对任意 x 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。
f (2)＜0 7 1 3 1 ，解得 ＜x＜ , 2 2 f (2)＜0
即 x 的取值范围是（
7 1 3 1 ， ）. 2 2
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二、二次函数型
ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是： a >0 a=b=0 或
C>0 Δ=b2-4ac<0
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3 3 2 5 当 x 时函数 y 2 1 取得最小值 ， 2 x x 3 1 5 2 2 2 所以 2 4m ，即 (3m 1)(4m 3) 0 ， m 3
3 3 解得 m 或m 。 2 2
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典例导悟
若不等式 log a x sin 2 x (a 0且a 1) 对于任意 x ∈ (0, ] 都 4
成立，求 a 的取值范围.
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【解析】作出函数 y sin 2 x 的图
象来自百度文库由题意知 在 x ∈(0, ］上， 4
函 数 y loga x 的 图 象 总 在 函 数
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一、恒成立问题常见的题型
1. 函数、数列的恒成立问题
2. 由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围
3. 证明不等式恒成立
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二、解决恒成立问题常用的方法
1
函数性质法
常用 方法
4
2
变量分离法
3
数形结合法
换元法
2
，
x2 【解析】 依据题意得 2 1 4m2 ( x2 1) ( x 1)2 1 4(m2 1) 在 m
3 x [ , ) 上恒定成立， 2 1 3 2 3 2 即 2 4m 2 1 在 x [ , ) 上恒成立。 m x x 2
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四、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题
【理论阐释】
若把不等式进行合理的变形后，能非常容
易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把 一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图
象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解
决问题。
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典例导悟
若关于X的不等式(m 1)x 2 (m 1)x 2 0解集为R，求m的范围。 解析：（1）当m-1=0时，原不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）当 m 1 0 所以
m 1 0 时，只需 2 ( m 1 ) 8(m 1) 0
______________________。
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是： a<0 a=b=0 或
2-4ac<0 C <0 Δ = b ______________________。
如果把“＞（或＜）”变成“≥ （或≤）”，充要条件还一样吗？ 自己不勇敢，没人替你坚强
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浅谈“恒成立”问题
主讲人：江万鹏
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高考探究
“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉 及到一次函数、二次函数、指数函数、对 数函数的性质、图象,渗透着换元、化归、 数形结合、函数与方程等思想方法,在培养 思维的灵活性、创造性等方面起到了积极 的作用. 因此也成为历年高考的一个热点。
m [1,9)
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三、变量分离型
【理论阐释】
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变 量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易 通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的 两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求 解。
思路1： m
思路2：
y sin 2 x 的图象的上方.
0 a 1。
作 直 线 x = ， 与 y loga x 和 4
y sin 2 x 的图象分别交于 A、B 两
点，为保证 y loga x 在区间
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（0， ］上的图象在 y sin 2 x 图象的上方，不难从图中得到其条件 4 是点 A 在点 B 的上方。
α
o
β
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典例导悟
若不等式 2 x 1> m x 2 1 对一切 m 2,2 都成立，求实数 x 的取值范围。
【解析】令 f (m) ＝（ x 2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的 一次函数 y f ( m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区 间端点，只要
当 x = 时 ， log 4
< a <1。 4

a
sin(2 ) 1 log a a , 又 0 a 1 ， 得 4 4

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