细说函数的三种表示方法
函数表示方法
函数表示方法函数是数学中的一个重要概念，也是计算机科学中不可或缺的基本元素。
在数学中，函数是一种对应关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
在计算机科学中，函数是一段可重复使用的代码，用于实现特定的功能。
无论是在数学中还是在计算机科学中，函数的表示方法都是至关重要的。
在数学中，函数可以用多种方式来表示。
最常见的表示方法是用函数符号加上自变量和因变量的关系式来表示。
例如，函数f(x) = 2x + 1就表示了一个将自变量x映射到2x + 1的函数。
除了用函数符号表示外，函数还可以用图像、表格和公式等形式来表示。
图像表示可以直观地展现函数的变化趋势，表格表示可以清晰地列出函数的输入输出对应关系，公式表示则可以精确地描述函数的数学性质。
在计算机科学中，函数的表示方法主要是通过程序代码来实现的。
函数可以用各种编程语言来表示，比如C、Java、Python等。
不同的编程语言有不同的语法规则和表示方式，但它们都可以实现相同的功能，即将输入映射到输出。
在程序中，函数的表示方法除了包括函数名和参数外，还包括函数体和返回值。
函数体是实现函数功能的具体代码，返回值是函数执行后的输出结果。
通过合理地设计函数的表示方法，可以提高程序的可读性和可维护性，从而提高代码的质量和效率。
除了数学和计算机科学外，函数的表示方法还在其他领域有着广泛的应用。
在物理学中，函数可以表示物体的运动规律和变化规律；在经济学中，函数可以表示供需关系和市场变化；在生物学中，函数可以表示生物体的生长和变异。
无论在哪个领域，函数的表示方法都是研究和应用的基础，它为我们理解世界和改变世界提供了重要的工具和方法。
总之，函数表示方法是一个非常重要的话题，它涉及到数学、计算机科学以及其他各个领域。
通过深入理解函数的表示方法，我们可以更好地理解函数的本质和功能，从而更好地应用和拓展函数的理论和实践。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
函数的表示方法
收费标准如下：
每户每年用水不超过180m³时，水价为5元/ m³；
超过180m³不超过260m³时，超过的部分按7元/m³收费；
超过260m³时，超过的部分按9元/m³收费．
结合给出的数据（不考虑其他影响因素）
（1）求出每户每年应缴水费（元）与用水量（3 ）之间的函数解析式，并画出函
析法表示购买4支以内的签字笔时，应付款与签字笔支数之间的函数．
解 设表示购买签字笔的支数，表示应付款数（元），则 ∈ 1,2,3,4 ．
（1）列表法表示见表
（2）解析法表示为： = 6.5， ∈ 1,2,3,4 ．
例2 现阶段,我国很多城市普遍采用“阶梯水价”的办法计量水费，发挥市场价格作用，
（1）优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值。便于
用解析式来研究函数的性质。
（2）缺点：一些实际问题很难找到它的解析式；二是需要通过计算才能得到
所需要的函数值.
（3）用解析式表示函数时，需标明函数的定义域；
如未标明函数的定义域，我们约定，这时函数的定义域就是指所有
使函数解析式有意义的实数所组成的集合。
关于半径的解析式．
2．已知定义在R上的一次函数 = + 可以用下表
表示，写出它的解析式．
练 习： 3．已知函数 = ()的图像，如下图，则
（1）函数 = ()的定义域为
（2） 1.6 =
（3）函数 = ()的值域为
；
；
．
2， − 1 ≤ ≤ 0，
练 习： 4．已知函数() = ൞ + 2， 0 < < 2， 则
函数的表示法知识点总结
（B）2 或 5 2
（D）2 或 2 或 5 2
习题 3.
已知
f
(
x)
2x(x x 1(x
0) 0)
,若
f (a)
f (1) 0 ,则实数 a 的值等于________.
3.求分段函数自变量的取值范围
在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函
1 1
,
若
f 1 a f 1 a , 则 a 的 值 为
_________. 解:当1 a 1,即 a 0 时,1 a 1
∴ f 1 a 21 a a 2 a , f 1 a 1 a 2a 1 3a
几种常见的分段函数
1.取整函数 y x（ x表示不大于 x 的最大整数）.
其图象如图（1）所示.
y
3 2 1
–3 –2 –1 O –1
1 2 3x
–2
–3
值 值 1值 值 值 值 值 值 值 值
y
fx = x + 2
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 O –1
12x
值 值 2值 值 值 值 值 值 值 值 值
数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
例 3.
已知函数
f
(
x)
3x 2 2x 2
2x(x 1) 3(x 1)
,求使
f (x) 2 成立的 x 的取值范围.
解:由题意可得:
x 1
x 1
3x 2
2x
或 2
函数的几种表示方法
DCBA1.2.2 函数的表示方法 第一课时 函数的几种表示方法【教学目标】1．掌握函数的三种主要表示方法2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3．会画简单函数的图像 【教学重难点】教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高125135140156138172167158169用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x ，x ∈{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示变式练习1 设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。
函数的表示方法及图像画法
CHENLI
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函数的表示方法：
⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用 一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表 达式，简称解析式.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关 系；二是可以通过解析式求出任意一个自变 量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数 主要是用解析法表示的函数.
CHENLI
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例2 、 画出函数y=|x|的图象.
CHENLI
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函数的表示方法
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二．例题讲解：
例1 ． 某市“招手即停”公共汽车的票价按 下列规则制定：
（1） 5公里以内（含5公里），票价2元；
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加 1元（不足5公里按5公里计算）． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题 意，写出票价与里程之间的函数解析式，并 画出函数的图象．
一次函数 ｙ=k x + b（k,b为常数，且k ≠0）
k>0
y ox
k<0
k>0
y
k>0,b>0
y
ox
y
o
x k>0,b<0
ox
k<0 y
k<0,b>0
ox
y
k<0,b<0
ox
性质 应用
k>0时,在Ⅰ, Ⅲ象限; k<0时,在Ⅱ, Ⅳ象限.
k>0,b>0时在Ⅰ, Ⅱ,Ⅲ象限; k>0,b<0时在Ⅰ, Ⅲ, Ⅳ 象限 k<0, b>0时,在Ⅰ,Ⅱ, Ⅳ象限.
3.对称点的坐标关系是什么?
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结论：
平行于坐标轴直线上点的坐标特点：
函数的表示方法
函数的表示方法1．函数的表示方法：列表法，图象法，解析法；2．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则3．函数图象的一类基本变换①：将函数的图象关于y轴对称得到的新的图像就是的图像；②：将函数的图象关于x轴对称得到的新的图像就是的图像；③：将函数的图象在x轴下方的部分对称到x轴的上方，连同函数的图象在x轴上方的部分得到的新的图像就是的图像；④：将函数的图象在y轴左侧的部分去掉，函数的图象在y轴右侧的部分对称到y轴的左侧，连同函数的图象在y轴右侧的部分得到的新的图像就是的图像．4．函数值域的求法观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；配方法：若函数是二次函数形式，可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间上的二次函数最值的求法；分离常数法：形如的函数值域为；反函数法：如求函数的值域，解出，，解得；判别式法：求f（x）=（a12+a22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式1．关于分段函数的叙述,正确的有( )分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是一个函数；若分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，那么A．1个 B．2个 C．3个 D．0个2．已知，则（ ） A． B． C． D．3．函数的图象是（ ） A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．不是对称图形4．已知，则 5．函数y=的定义域为______________，值域为___________________6．函数的图像是（ ）7．已知，则8．函数的值域是1．B 2．A 3．B 4． 5．［－1，2］，［0，］ 6．A7． 8．函数的单调性1．增函数和减函数 对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数；⑵若当<时，都有 >,则说在这个区间上是减函数．2．单调性和单调区间 若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间，此时也说函数是这一区间上的单调函数．3．证明函数单调性的一般步骤⑴设,是给定区间内的任意两个值，且<；⑵作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断－的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据－的符号确定其增减性．4．复合函数单调性的判断对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为： “同增异减”．1．下列命题正确的是（）A．定义在上的函数，若存在，使得时有，那么在上为增函数B．定义在上的函数，若有无穷多对，使得时有，那么在上为增函数C．若在区间上为增函数，在区间上也为增函数，那么在上也一定为增函数D．若在区间上为增函数且，那么。
八年级函数全知识点讲解
八年级函数全知识点讲解函数是数学中非常重要的一个概念，是一种映射方法，用来描述两个变量之间的关系。
下面就为大家详细讲解八年级数学中的函数知识点。
一、函数的定义函数是一个映射方法，可以将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
通常用符号 f(x)表示，在其中 x 表示自变量，f(x) 表示因变量。
函数从一组数到另一组数的映射，也就是说函数是一种关系。
映射方法 f 将自变量 x 映射到因变量 y，在数学中用 (x, y) 表示这个映射关系。
函数常用于表示各种自然现象以及数学中导数、积分等运算。
二、函数的特点1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量 x 的所有取值，在这些区间内映射后得到的函数值定义了函数的值域。
例如，y = 2x + 1 这个函数的定义域为实数集合，值域为所有的实数集合。
2. 奇偶性函数的奇偶性指函数在自变量 x 为正或负时对应的函数值是否相等。
如果一个函数在自变量 x 为负时对应的函数值与 x 为正时对应的函数值相等，则这个函数具有偶性；如果函数在自变量 x 为负时对应的函数值与 x 为正时对应的函数值相反，则这个函数具有奇性。
3. 对称性函数的对称性包含水平和垂直两种对称性。
如果函数曲线在直线 y = k 垂直平面上对称，则称函数关于该垂直线具有对称性。
如果函数曲线在直线 x = k 水平平面上对称，则称函数关于该水平线具有对称性。
4. 单调性函数在定义域内是单增还是单减的性质称为它的单调性。
如果函数的导数恒大于0，该函数称为单调递增；如果函数的导数恒小于0，该函数称为单调递减。
三、函数的类型1. 线性函数线性函数的表达式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，也叫函数的斜率和截距。
线性函数的图形是一条直线，反映了固定比例的关系。
2. 二次函数二次函数的标准表达式为 y = ax² + bx + c，其中 a, b, c 都是常数。
它的图形是一个抛物线。
3. 幂函数幂函数的表达式为 y = x^n，其中 n 为常数。
函数的表示法
2023函数的表示法contents •函数的基本概念•函数的图像表示法•函数的表格表示法•函数的解析表示法•三种表示法的比较目录01函数的基本概念1函数的定义23函数是一种特殊的关系，它把输入值（或自变量）映射到输出值（或因变量）。
函数是一种关系函数定义了输入值和对应的输出值，即函数确定了输入值所对应的输出值。
函数定义了输入和输出函数通常由数学表达式表示，可以用于解决各种数学问题。
函数是数学表达式的组成部分符号表示法使用函数符号来表示函数，例如 $f(x) = x^2$ 表示一个函数，其中 $f$ 是函数符号，$x$ 是自变量，$x^2$ 是因变量。
表格表示法使用表格来表示函数，表格中列出输入值和对应的输出值。
图表示法使用图形来表示函数，图形的纵坐标表示输出值，横坐标表示自变量。
函数的表示方法函数的基本性质对于任意一个自变量，函数都有唯一确定的输出值与之对应。
确定性函数的输出值必须在一定范围内，即函数的值域是有界的。
有界性函数在一定区间内单调递增或单调递减，即因变量随自变量的增大（或减小）而增大（或减小）。
单调性对于任意两个自变量，如果它们的和也是自变量，那么函数的和等于两个自变量的和分别带入函数求得的结果的和。
可加性02函数的图像表示法首先确定函数的定义域，即自变量的取值范围。
函数图像的绘制确定函数定义域根据函数解析式，在坐标系中描点、连线，画出函数的图像。
画出函数图像检查所画图像是否符合函数解析式，确保准确性。
检查图像准确性图像的平移与伸缩图像的平移根据平移规则，将函数图像沿x轴或y轴方向移动一定距离。
图像的伸缩根据伸缩规则，将函数图像沿x轴或y轴方向放大或缩小一定倍数。
平移与伸缩的结合根据需要，可以将图像先平移再伸缩，或先伸缩再平移。
函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性根据奇偶性定义，判断函数图像关于原点对称还是关于y轴对称。
函数的周期性根据周期性定义，判断函数图像是否具有重复出现的规律。
函数性质的应用了解函数具有的性质对解题和应用的帮助。
函数的概念及表示方法
函数及其表示方法1.函数的概念：一般的，设A ，B 是 非空实数集，如果按照某种确定的 对应关系f ，使对于集合A 中的 每一个实数，在集合B 中都有 唯一确定的实数)(x f y =和x 对应，那么就称 f 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y = ， 其中 x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做 定义域 ，与x 的值相对应的y 值叫做 函数值 ，函数值的集合 叫做函数的 值域，显然，值域是集合B 的子集。
注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2.构成函数的三要素： 值域 , 定义域 , 对应关系 .3. 函数相等:若两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 在本质上也是相同的,则称两个函数相等。
4、函数的三种表示方法（1）解析法:_用解析式把把x 与y 的对应关系表述出来，最常见的一种表示函数关系的方法。
举例：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。
优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法：用表格的方式把x 与y 的对应关系一一列举出来.比较少用.举例： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。
优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质.优点：直观形象地表示自变量的变化。
5、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间不同的对应关系，这样的函数通常叫做 分段函数 。
拓展一 判断相同函数例1、下列函数f （x ）与g （x ）是表示同一个函数的是？ （ ）A. f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ;B. f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x C ．f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 、D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 拓展二 函数的判断例2、下列函数图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是 （ ）拓展三 求函数的定义域函数定义域的一般求法（开偶次方根，分式，零次幂）例3、（1） ()x x f 2=+()01+x （2）1()(12)(1)f x x x =-+；(3)()4f x x =-复合函数求定义域若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
函数的基本概念和表示方法
函数的概念及其表示方法【知识点一】函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a≤x≤b}=[a，b]；；；.【知识点二】函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．【知识点三】映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b 叫做a的象，a叫做b的原象.注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B的函数，记为y=f(x).注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.规律方法指导1.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.解：(1)，对应关系不同，因此是不同的函数；(2)的定义域不同，因此是不同的函数；(3)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；(4)定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；(3)是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；(2)；(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)的定义域为x2-2≠0，；(2)；(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3).思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．解：(1)当|x-2|-3=0，即x=-1或x=5时，无意义，当|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为{-2}.总结升华：小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.解：f(3)=3×32+5×3-2=27+15-2=40；；；.举一反三：【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，的值；(3)当a＞0时，求f(a)×f(a-1)的值.解：(1)由；(2)；；(3)当a＞0时，.【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．解：(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4；.思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；(2)；(3)；(4)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞). 类型二、映射与函数5. 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正三角形便可成为映射．总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．举一反三：【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0没有象.【变式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B与x对应；(2)A中的某个元素在B中可以没有象；(3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象；(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；(5)B中的元素在A中都有原象；(6)B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x；(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|；(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象.解：∴A中元素的象为故.举一反三：【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什么？解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以A中元素的象为；又因为x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因为A={x|x＞0}，所以B中元素-1的原象为2；(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2，4)；又因为由有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象为(2，1).类型三、函数的表示方法7. 求函数的解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则；(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x2+2x-1；(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1∴f(x)=x2+2x-1；(法3)设f(x)=ax2+bx+c则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象.(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；(2)为分段函数，图象是两条射线；(3)为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；(4)图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.举一反三：【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：举一反三：【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅲ. 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；Ⅱ：当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；Ⅲ：若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）采用第二种方式：200=0.6x，∴应采用第一种(全球通)方式.基础达标一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸2．函数y=的定义域是()A．-1≤x≤1B．x≤-1或x≥1 C．0≤x≤1 D．{-1，1}3．函数的值域是( )A．(-∞，)∪(，+∞)B．(-∞，)∪(，+∞)C．R D．(-∞，)∪(，+∞)4．下列从集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( )A． 1 B． 2 C． 3 D． 45．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( )A．A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象B．B中元素可以有两个原象C．A中的任何元素有且只能有唯一的象D．A与B必须是非空的数集6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )A．(，1)B．(1，3) C．(2，6)D．(-1，-3)7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( ) A．y=B．y=C．y=x D．y=x28．下列图象能够成为某个函数图象的是( )9．函数的图象与直线的公共点数目是( )A．B．C．或D．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( )A．B．C．D．11．已知，若，则的值是( )A．B．或C．，或D．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( ) A．沿轴向右平移个单位B．沿轴向右平移个单位C．沿轴向左平移个单位D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．4．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．2．求函数的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(2)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；(3)已知；能力提升一、选择题1．设函数，则的表达式是( )A．B．C．D．2．函数满足则常数等于( )A．3 B．-3 C．D．3．已知，那么等于( )A．15 B．1 C．3 D．304．已知函数定义域是，则的定义域是( ) A．B．C．D．5．函数的值域是( )A．B．C．D．6．已知，则的解析式为( )A．B．C．D．二、填空题1．若函数，则=_______________．2．若函数，则=_______________．3．函数的值域是_______________．4．已知，则不等式的解集是_______________．5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围_______________．三、解答题1．设是方程的两实根，当为何值时，有最小值?求出这个最小值．2．求下列函数的定义域(1)；(2)．3．求下列函数的值域(1)；(2)．综合探究1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是( )2.如图所表示的函数解析式是( )A. B.C. D.3．函数的图象是( )。
函数的几种表示方法
1.2.2 函数的表示方法第一课时函数的几种表示方法【教学目标】1．掌握函数的三种主要表示方法2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系3．会画简单函数的图像【教学重难点】教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数【教学过程】一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t，A=π2r，S=2rlπ,y=a2x+bx+c(a≠0),y=2-x(x≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买x∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5x，x∈{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示变式练习1 设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。
函数的表示方法
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.
特别提醒：
列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。
函数的表示方法
1、能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；
2、了解简单的分段函数，并能简单应用；
一、函数的常用表示方法简介：
1、解析法
如果函数 中， 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如， =60 ， = ， , 等等都是用解析式表示函数关系的。
答案：D
3.函数 的图像是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：C
4.已知函数 ，则( )
A、 B、 C、 D、不能确定大小
答案: A
5.如图，已知函数 的图象关于直线 对称，则满足不等式 的实数 的取值范围是。
答案： 或
6.根据函数 ，可以知道， ， ， (横线上填“>”或“<”符号)
答案：
7.设 ，求函数 的最大值。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：
用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
特别提醒：
图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
新教材高中数学第二章函数2函数 函数的表示法第1课时函数的表示法课件北师大版必修第一册
列表法
量对应的函数值
对应的函数值
基础自测
1．已知 f(x)＝π(x∈R)，则 f(π2)等于
A．π2
B．π
C． π
D．不确定
[解析] 因为π2∈R,所以f(π2)＝π．
( B)
2．已知函数y＝f(x)的图象如图,则f(x)的定
义域是
( C)
A．(－∞,1)∪(1,＋∞)
B．R
C．(－∞,0)∪(0,＋∞)
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
列表法表示函数
例 1某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收 款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[ 分 析 ] 函 数 的 定 义 域 是 {1 , 2 , 3 , … , 10} , 值 域 是 {3 000 , 6 000 , 9 000,…,30 000},可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y与x关系的解 析式,注意定义域．
[解析] (1)列表法：
x(台) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 18 21 24 27 30
y(元) 3 000 6 000 9 000 000 000 000 000 000 000 000
(2)图象法：如图所示： (3)解析法：y＝3 000x,x∈{1,2,3,…,10}．
第1课时 函数的表示法
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点 表示函数的三种方法
解析法 列表法 图象法
用__数__学__表__达__式____表示两个变量之间的对应关系 列出__表__格____来表示两个变量之间的对应关系 用__图__象____表示两个变量之间的关系
函数的概念及表示方法
【考点精讲】1. 函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。
如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值。
2.对函数概念的理解应注意以下几点：①变化过程中； ②两个变量；③一个变量随另一个变量的变化而变化； ④对于自变量x 的每一个确定的值，函数y 都有唯一的值与它对应（但有可能有多个不同的自变量数值对应一个函数值）。
3. 函数的表示方法：函数是从数量角度反映变化规律的数学模型。
解析式法、图象法和列表法是函数的三种常用表示方法。
①解析式法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式。
用解析式来表示函数关系的方法叫做解析式法。
②列表法：用表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
③图象法：用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。
【典例精析】例题1 下列关于x ，y 的关系式：① 5x －2y ＝1；② y ＝3|x|；③ x·y 2＝2，其中表示y 是x 的函数的是（ ）A. ②B. ②③C. ①②D. ①②③思路导航：在x·y 2＝2中，即22y x，当x ＝1时，y y x 对应着两个y 值，和函数的概念不相符，所以它不是函数。
答案：C点评：y 是x 的函数用函数关系式表示时，应用含有x 的式子表示y 。
因此，本题应首先对式子进行变形，用含有x 的式子表示y 。
例题2 下列曲线中不能表示y 是x 的函数的是（ ）思路导航：从图象可以看出每个图象中y 都随着x 的变化而变化，并且都存在两个变量，所以当x 是一个确定的值时，y 有唯一确定的值与之对应，就是函数，当不是唯一确定的值与之对应时，就不是函数。
答案：C点评：解决本类题的技巧是：过x 轴上的一点，作x 轴的垂线，这条直线与图象的交点为一个时，就是函数关系，当出现多个交点时，就不是函数关系。
函数的三种表示方法
２．用解析式与图象法表示等边三角形 周长L是边长a的函数．
解：因为等边三角形的周长L是边长a 的3倍．所以周长L与边长a•的函数关系 可表示为：
L=3a （a>0）
我们可以用描点法来画出函数L=3a 的图象．列表：
a…1 2 L…3 6
描点、连线：
3 4… 9 12 …
3.甲车速度为20米／秒，乙车速度 为25米／秒．现甲车在乙车前面500 米，设x秒后两车之间的距离为y 米．求y随x（0≤x≤100）变化的函 数解析式，并画出函数图象．
相比较而言，列表法不如解析式法全面， 也不如图象法形象；而解析式法却不如列表 法直观，不如图象法形象；图象法也不如列 表法直观准确，不如解析式法全面．
例题解析
一水库的水位在最近5小时内持续上 涨，下表记录了这5小时的水位高度．Biblioteka t/时 012
3
4
5
…
y/米 10 10．05 10．10 10．15 10．20 10．25 …
解：由题意可知：x秒后两车行驶路程分别是： 甲车为：20x 乙车为：25x 两车行驶路程差为：25x-20x=5x 两车之间距离为：500-5x 所以：y随x变化的函数关系式为： y=500-5x （0≤x≤100）
用描点法画图：
函数的三种表示方法
1、列表法：
X ┅ -3 -2 -1 0 1 2 3 ┅ y ┅ -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 ┅
2、解析式法：y=x+0.5
3、图象法：
函数的几种表示方法的优缺点：
列表法比较直观、准确地表示出函数 中两个变量的关系。解析式法则比较准确、 全面地表示出了函数中两个变量的关系。至 于图象法它则形象、直观地表示出函数中两 个变量的关系。
函数的三种表示方法
函数的三种表示方法
函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在数学中，函数可以用不同的方式来表示，下面我们将介绍函数的三种表示方法。
一、显式表示法。
显式表示法是指通过一个公式或者表达式来表示函数。
例如，函数y = 2x + 3就是一个显式表示法的函数。
在这个表示法中，我们可以直接通过公式或者表达式来计算函数在任意一点的取值，非常直观和方便。
二、参数方程表示法。
参数方程表示法是指用另外一个变量t来表示函数的自变量和因变量。
例如，对于圆的参数方程表示为x = rcos(t)，y = rsin(t)，其中r为圆的半径，t为参数。
这种表示方法在描述一些曲线、曲面等几何图形时非常方便，可以将复杂的曲线简化为参数方程的形式。
三、隐式表示法。
隐式表示法是指用一个方程来表示函数，其中自变量和因变量之间的关系并不是直接展现出来的。
例如，对于圆的隐式表示为x^2 + y^2 = r^2。
在这种表示方法中，函数的形式可能会比较复杂，但是在一些情况下，隐式表示法可以更好地描述函数的性质。
总结。
以上就是函数的三种表示方法，它们分别是显式表示法、参数方程表示法和隐式表示法。
每种表示方法都有着自己的特点和适用范围，选择合适的表示方法可以更好地描述和应用函数。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的表示方
法来进行分析和计算，从而更好地理解和利用函数。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
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1、细说函数的三种表示方法2、一次函数漏（错）解例析3、求函数最值问题请注意取值范围4、画好实际问题中的一次函数图象5、运用一次函数图象解题6、一次函数与不等式（组）结合来解题1、细说函数的三种表示方法本章的学习，我们将遇到函数的三种表示方法，即解析式法、列表法、图象法。
下面与大家细说这三种方法的优缺点：一、解析式法用数学式子表示函数关系的方法叫解析式法．如：y＝2x＋4，s＝－5t＋600等．例1、有一个水箱，它的容积为500L，水箱内原有水200L，现要将水箱注满，已知每分钟注入水10L．请你写出水箱内水量Q（L）与时间t（分）的函数关系式，并注明取值范围．【分析】本题是求实际问题的函数解析式，要求我们会用函数解析式表示变量之间的关系．解：所列函数关系式为：Q＝200＋10t（0≤t≤30）．解析式法的优点：简单明了，能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算。
缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算；但有些函数，不一定能用解析式法表示或表示出来非常繁琐。
二、列表法列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法。
优点：直观，即对于表中自变量的每一个值，不通过计算，就可从表中找到与它对应的函数值。
缺点：有局限性，即在表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中也不易看不出变量间的对应规律。
如下表，就是邮局信件的一种邮资表：信件的质量m(克) 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 邮费y（元）0.8 1.2 1.6 2.4从表中可以直观地看出y与m的对应关系。
三、图象法在平面直角坐标系中，以自变量的每一个值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数的方法称为图象法。
优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念图形化。
缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。
如，右图是“龟兔赛跑”的图象图：从图中我们可以直观地看出兔子跑了一段时间后看到缓慢爬行的乌龟还在后面，就骄傲起来，睡了一觉。
当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点。
（S表示路程，t为时间）函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点，因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法。
在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图象。
2、一次函数漏（错）解例析在解与一次函数有关的问题时，若考虑片面，思维不周，或方法不当，就会造成漏解现象，下面试举几例，加以剖析，以引起同学们的注意．一、匆视定义错解例1．若函数y＝(2m－8)x||3m-＋1是一次函数，求m的值．错解：根据一次函数的定义，得|m|－3＝1，∴m＝±4．【剖析】错解中忽略了一次函数y＝k x＋b（k≠0）中的隐含条件“k≠0”．正解：根据一次函数的定义，得||31280.mm-=⎧⎨-≠⎩，∴44.mm=±⎧⎨≠⎩，∴m＝－4．二、忽视正比例函数是特殊的一次函数而造成错解例2．一次函数b kx y +=不经过第三象限，则下列正确的是（ ）．Ａ．0,0><b k Ｂ．0,0<<b k Ｃ．0,0≤<b k Ｄ．0,0≥>b k错解： 由于一次函数b kx y +=不经过第三象限，则它必经过一、二、四象限，故0,0><b k ，选Ａ．【剖析】由于正比例函数是特殊的一次函数，因而b kx y +=不经过第三象限，则它可能经过一、二、四象限，此时满足0,0><b k ，也可能是只经过二、四象限的正比例函数，此时满足0,0=<b k ，故应选Ｄ．二、用坐标表示线段方法不当漏解例3．直线y ＝k x ＋b 过点A （－3，0），且与y 轴交于点B ，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线的解析式．错解：设点B 的坐标为（0，y ），则OA ＝2，OB ＝y ．∵ S ∆＝12·OA ·OB ＝3， ∴ 12×3×y ＝3，得y ＝2． ∴ 点B 的坐标为（0，2）．∵ 直线y kx b =+过点A （－2，0），B （0，2），∴ 20,2.k b b -+=⎧⎨=⎩ 解得1,2.k b =⎧⎨=⎩∴直线的解析式为y ＝x ＋2．【剖析】直线与y 轴交于点B 有两种情况，本解法只考虑了与y 轴正半轴相交，忽视了与y 轴负半轴相交的情况，导致漏解，在设点B 的坐标时应设成（0，|y |）．正解：设点B 的坐标是（0，|y |）．则OA ＝2，OB ＝|y |．∵ S ∆＝12·OA ·OB ＝3， ∴ 12×3×|y |＝3，得|y |＝2，∴ y ＝±2． ∴ 点B 的坐标为（0，2）或（0，－2）．①当直线y kx b =+过点A （－2，0），B （0，2），∴ 20,2.k b b -+=⎧⎨=⎩ 解得1,2.k b =⎧⎨=⎩ ∴直线的解析式为y ＝x ＋2．②当直线y kx b =+过点A （－2，0），B （0，－2），∴ 20,2.k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得1,2.k b =-⎧⎨=-⎩∴直线的解析式为y＝－x－2．点评：在用坐标表示线段时，若坐标的符号不确定应加绝对值．本例的直线，可以经过一、二、三象限，也可经过二、三、四象限，有时也可画草图帮助理解（如图）．3、求函数最值问题请注意取值范围=+，具有以下性质：对于一次函数y kx b①当k>0时，y随x的增大而增大；②当k<0时，y随x的增大而减小．这实际上就是一次函数的增减性．利用这一增减性，我们可以解决实际问题中的一些最值问题．【例题】为支援新农村建设，某公司在甲、乙两座仓库分别放有农用车12辆和6辆，现需要调往A乡镇10辆，调往B乡镇8辆．已知从甲仓库调用一辆车到A乡镇和B乡镇的运费分别是40元和80元；从乙仓库调用一辆车到A乡镇和B乡镇的运费分别是30元和50元.（1）设从乙仓库调往A乡镇农用车x辆，求总费用y与关于x的函数关系式；（2）若要求总费用不超过900元，问共有几种调用方案?（3）求出总费用最低的调用方案，最低费用是多少元？.分析：解好本题我们首先要弄清车辆的调配情况：因乙仓库调往A乡镇农用车x辆，所以调往B乡镇为(6－x)辆，甲仓库调往A乡镇农用车为(10－x)辆，甲仓库调往B乡镇农用车为(x＋2)辆．解：（1）调往A乡镇农用车x辆，y＝30x＋50(6－x)＋80(x＋2)＋40(10－x) 即y＝20x＋860．（2）依题意得，20x＋860≤900，解得x≤2．因为0≤x≤6，所以0≤x≤2．又因为x为整数，所以x的取值为0，1，2．因此，共有三种调配方案．（3）由y＝20x＋860．k＝20＞0，所以函数值y随x的增大而增大．所以在0≤x≤2的范围内，当x＝0时，y的值最小，且最小值为860元．此时的调运方案是：乙仓库的 6辆全部运往B乡镇，甲仓库2辆调往B乡镇，10辆调往A乡镇，总运费最低为860元．【点评】构建一次函数模型解应用性问题是近年中考的热点，对于本题我们正是结合不等式，再利用一次函数的性质来解实际应用问题．恰当地运用了一次函数的增减性性质，加上自变量的取值范围，避免了进行分类讨论．4、画好实际问题中的一次函数图象一次函数b kx y +=（b k ,是常数，k ≠0）的图象是经过点(0，b)且平行于直线kx y =的一条直线。
但在许多实际问题中，由一些量之间建立的一次函数数学模型，由于受自变量取值的限制，其图象往往并非都是直线，而是直线上的部分，归纳起来可有以下三种情况。
一、图象是线段例1．汽车由A 站驶往B 站，两站之间的距离800千米，汽车的平均速度为每小时40千米/时，写出汽车离B 站的距离s (千米)与行驶时间t (时)之间的函数关系式，并画函数的图象.分析：汽车从A 到B ，路程随时间的变化而变化，且随时间的延长，剩下的时间越来越短，最后为0.所以它的图象是一条线段.解: 据题意，得y 与x 之间的函数关系式为:80040y t =-(0≤t ≤20).因此函数为一次函数，取点A （0，800）与B(20，0)，可作出函数80040y t =-的图象是直线AB 。
∴80040y t =-(0≤t ≤20)的图象是线段AB ，如图1。
图1注意：函数80040y t =-与函数80040y t =-(0≤t ≤20)不是同一个函数，因为它们的自变量取值范围不同。
二、图象是射线例2．小明骑自行车离开家1千米后，以12千米/时的平均速度前进了t 小时，求小明骑车离开家的距离S （千米）与时间t （时）之间的函数关系式，并画出其图象。
解：据题意，得S ＝12t ＋1 (t ≥0)。
取A （0，1）和B(1，13)两点，可作出一次函数S ＝12t ＋1的图象。
由于受自变量取值的限制，函数S ＝12t ＋1 (t ≥0)图象应为射线AB 如图2。
三、图象是一直线上的某些间断点例3．小明用4.5元钱为同学铅笔，每支铅笔0.25元，写出铅笔支数x 与所剩人民币y (元)之间的函数关系式，并画出图象。
解：据题意，可得y 与x 间的函数关系式为:y ＝4.5－0.25x （0≤x ≤18，x 为正整数）；函数y ＝4.5－0.25x 的图象为过A(0，4.5)和B(2，4)两点的一条直线，而受自变量取值的限制，函数y ＝4.5－0.25x（0≤x ≤18，x 为整数）的图象是直线上的18个间断点，如图（3）。
4 x （支） y (元） A B 0 图2列表： x （支） 0 1 2 …… 17 18 y （元）4.5 4.25 4 …… 0.25 05、运用一次函数图象解题函数是研究现实世界数量关系的重要数学模型，是一种重要的数学思想，同时还是数形结合思想的体现．而利用一次函数的图象来解题，是大家应掌握的基本技能．一、利用图象确定字母的取值例1．(2007年福州市)已知一次函数(1)y a x b =-+的图象如图1所示，那么a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ＞0D ．a ＜0【析解】从图中一次函数图象的走势可以得出a －1＞0，所以a ＞1．故选（A ）．二、利用图象确定函数解析式例2．(2007年温州市)如图2，矩形PMON 的边OM ，ON 分别在坐标轴上，且点P 的坐标为（-2，3）。