四川大学数学分析考研试题(2000-2012年)

òò （2）
x + ydxdy ，其中 D 是由抛物线 x + y = 1， x = 0 及 y = 0 所围成的区域.
D
òòò （3） x2 + y2dxdydz ，其中 W 是锥面 x2 + y 2 = z 2 与上半球面 x2 + y 2 + z 2 = 3a2 所围成区域. W
òò （4） (xy + yz + zx)dS ，其中 S 是锥面 z = x2 + y2 被柱面 x2 + y2 = 2ax 所截部分. S
n+ 1 2
n
+
1 n
÷÷ø
二、（第一小题 5 分，第二小题 10 分，共 15 分）
1.叙述实数 R 上的区间套定定理和确界原理；2.用区间套定定理证明确界原理
三、（第一小题 10 分，第二小题 5 分，共 15 分）设 f (x) 在[a, b] 上有连续的二阶导数且 f (a) = f (b) = 0 ，
0
+¥ 0
cos 1+
ax x2
dx
.
ò+¥ x sin ax
2.求
0
1 + x2 dx
五 、（ 10 分 ） 证 明 ： 若 f (x) 在 R 上 非 恒 为 零 ， 存 在 任 意 阶 导 数 ， 且 对 任 意 的 x Î R ， 有
f
(n) (x) -
f
(n-1) (x)
<
1 n2
，则 lim n®¥
1 ÷ön+xn nø
=
e
成立.求：
lim
n®¥
xn
òò 三、（本题满分 15 分）计算二重积分： e-(x+y)2 dxdy ，其中 D 由 x + y = 1， y = x ， x = 0 所围成. D
四、（本题满分 15 分）若 - ¥ < a < b < c < +¥ ， f (x) 在[a, c] 上连续，且 f (x) 在 (a, c) 上二阶可导，
f (1 n
n i=1
xi ) £
1 n
n i=1
f (xi ) （每小题 10 分，共 20 分）
四、设函数 f (x) 在[a, b] 上有连续导数且 f (a) = 0 。
ò 证明： M 2
£ (b - a)
b
[ f ' (x)]dx ，其中 M
=
sup
f (x)
（15 分）
a
a£x£b
五、设 f (x, y) 为 n 次齐次函数，即满足：对任何 t > 0 ， f (tx, ty) = t n f (x, y) ，且 f 可微，证明在
1.
lim
nêéçæ1+
1
÷ön
-
ù eú
n®+¥ êëè n ø úû
2.
lim(sec x - tan x)
x®p 2
3.
n n! lim n®¥ n
二、（每小题 10 分，共 60 分）计算下列积分
ò （1）设
f (x) =
ì1 - x2
í î
1
+
x
x<0 x ³ 0 ，求
1 -2
f ( f (x))dx
三、（每小题 10 分，共 20 分）
1.设对每个正整数
n
，
un
(x)
是
(0,1)
内的单调递减连续函数，且
lim
x®1-0
un
(x)
=
1，
¥
¥
¥
å å å 证明：若
n=1
an
收敛，则
lim
x®1-0
n=1
anun (x)
=
n=1
an
å 2.证明：
lim
x®1-0
¥ n=1
(-1)n-1 xn n(1 + xn )
x2 其中 S 为椭球面 a 2
+
y2 b2
+ z2 c2
= 1（ a ， b ， c > 0 ）的外侧
1
四川大学 2005 年攻读硕士学位研究生入学考试题
å 一、（本题满分
15
分）设求极限
lim
n®¥
n k =1
sin
k n2
二、（本题满分
15
分）已知数列
{xn
}
满足：对一切
n
都有：
çæ1 è
+
ò f (x)
证明:1.对任意 x Î[a, b] ， (x - a)(x - b)
£1 b-a
b a
f ' '(x)dx
ò 2.
4 max f (x) £ b - a xÎ[a,b]
b a
f ' '(x)dx
四、（每小题 7 分，共 14 分）
ò ò 1
1.利用公式 1 + x2
=
+¥ e- y(1+x2 )dy ，计算
f
(n) (x)
= Cex ，其中 C 是常数。
xn 六、（10 分）若 n ³ 1及 x ³ 0 ， y ³ 0 ，证明不等式：
+
yn
³ (x +
y)n
2
2
å¥ xn
七、（10 分）求级数 n=1 n(n + 1)
òò 八 、（ 10 分 ） 计 算 曲 面 积 分 xzdydz + (x2 - z) ydzdx - x2 zdxdy ， 其 中 S 是 旋 转 抛 物 面 S
（本题满分 20 分）
ò 五、计算 l
x x2 +
y2 dy -
y x2 + y2
dx 其中 l 是由 y = x2
-1与 y =
x + 1 所围成区域的边界，沿逆时针
方向。（本题满分 10 分）
òò 六、计算 4zxdydz - 2 yzdzdx + (z - z2 )dxdy ，其中 S 是 yoz 平面上的曲线 z = e y（ 0 £ y £ 2 ） S
x®a+
x®b-
分别就以下三种情形：（1） a ， b 有限；（2） a = -¥ ， b = +¥ ；（3） a 有限， b = +¥ ，证明：存在一
点x Î (a, b) 使得 f ' (x ) = 0
òò 四、（本题满分 20 分）计算
S
ççèæ
dydz x
+
dzdx y
+
dxdy z
÷÷øö
¶2u ¶x 2
=
¶ [j 2 (u) ¶y
¶u ] ¶y
（本题满分 10 分）
ò 三、设
f
(x)
在[0,1]
上连续。证明：
lim
t ®0+
1
0t
tf
2
(x) + x2
dx
=
p 2
f (0)
（本题满分 20 分）
å¥ sin x sin nx
四、证明函数项级数
在 (0,+¥) 上一致收敛。
n=1 n + x
=
1 ln 2 2
四、（本题满分 15 分）设 y = f (x) 在[- a2 + b2 + c2 , a2 + b2 + c2 ] 上连续，
òò ò 证明：
f (ax + by + cz)dS = 2p 1 f (u -1
a2 + b2 + c2 )du 其中 S 为单位球面：x2 + y 2 + z 2 = 1
求证：存在x Î (a, c) 使得：
(a
f (a) - b)(a - c)
+
(b
f (b) - c)(b -
a)
+
(c
-
f (c) a)(c - b)
=
1 2
f
' ' (x ) 成立.
¥
¥
å å 五、（本题满分 15 分）设对所有 x Î (0,+¥) ，级数 an xn 都收敛，且 n!an 收敛.
1
大值 ，证明：
f (0) +
f (1)
£1
4
三、（本题满分 15 分）设函数 f (x) 在[0,1] 上连续可导，且 f (0) = f (1) = 0
ò ò 证明：
1 f (x) f ' (x)dx £ 1
1
[
f
'
(
x)]2
dx
0
40
å 四、（本题满分 20 分）证明：函数项级数
¥
(-1)n+1
绕 oz 轴旋转一周所成的曲面的下侧。（本题满分 20 分）
1
四川大学 2001 年攻读硕士学位研究生入学考试题 一、求极限（每小题 8 分，共 16 分）
1.
lim 1p
n®¥
+ 3p
+L+ n p+1
(2n
- 1) p
（其中
p
是自然数）
2.
çæ limç
1
2n
+
2
2n
+L +
n
2n
÷ö ÷
n®¥ççè n + 1
=
max{a1, a2 ,L, an}
二、（本题满分 20 分）设 f (x) 在[0,1] 上连续可微，且满足 f (0) = 0 ， 0 < f ' (x) £ 1
ò ò （1）证明： çèæ
1
f
0
( x)dx ÷øö 2
³
1 f 3 (x)dx
0
（2）举一个满足条件且使（1）中等号成立的例子
三、（本题满分 20 分）设 f (x) 在有穷或无穷的区间 (a, b) 中的任意一点处可导，且 lim f (x) = lim f (x) ，
ò （5） (2xy3 - y2 cos x)dx + (1 - 2 y sin x + 3x2 y2 )dy ，其中 L 是 2x = py2 从原点 O(0,0) 到点 L p
A( 2 ,1) 的一段曲线.
òò （6） xdydz + ydzdx + zdxdy ，其中 S 为上半球面 z = R2 - x2 - y2 的下侧. S
n=0
n=0
ò å å 证明：
+¥ 0
¥
(
n=0
an
xne-x
)dx
=
¥
n!an
n=0
1
四川大学 2006 年攻读硕士学位研究生入学考试题
一、（本题满分
10
分）求极限
lni®m¥çççèæ
n
-
1 ÷ö
1
en
- 1 ÷÷ø
二、（本题满分 15 分）设函数 f (x) 在[0,1] 上二阶可导，且满足 f ' ' (x) £ 1， f (x) 在区间 (0,1) 内取到最
S
1
四川大学 2004 年攻读硕士学位研究生入学考试题
一、（本题满分 20 分）设 a1 > 0 ， a2 > 0 ，…， an > 0 ，
1
定义
f
Leabharlann Baidu
(x)
=
ççèæ
a1x
+
a2x
+L + n
anx
÷÷øö x
证明：（1） lim x®0
f
(x)
=
n
a1a2 Lan
（2） lim x® +¥
f
(x)
x
=
a cosq
、
y
=
a sinq
、
z
=
h 2p
q
上所取的.
（10 分）
1
四川大学 2003 年攻读硕士学位研究生入学考试题
一、（每小题
10
分，共
20
分）设
lim
n®+¥
xn
=
a ，设
yn
=
x1
+ 2x2
+ 3x3 + L + n(n + 1)
nxn
。
证明：1.若 a 为有限数，则 lim n®+¥
n =1
1 nx
在 (0,+¥) 上不一致收敛，但在 (0,+¥) 上有连续的
导函数.
òò xdydz + ydzdx + zdxdy
五、（本题满分 15 分）计算曲面积分
3
S (x2 + y2 + z2)2
x2 其中 S 是椭球面 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1（ z ³ 0 ）的上侧。
1
四川大学 2007 年攻读硕士学位研究生入学考试题 一、（每小题 7 分，共 21 分）计算下列极限
x2 + y2 = a2 z （ a > 0 ）取 0 £ z £ 1部分，下侧为正.
1
四川大学 2002 年攻读硕士学位研究生入学考试题
一、设
x1
>
0，
xn+1
=
3(1 + xn ) 3 + xn
（ n = 1,2,L），证明{xn} 有极限，并求出极限值.（15 分）
二、设 y = f (x) 在[0,+¥) 一致连续，且对任意 x Î[0,1] ， lim f (x + n) = 0 （ n 为正整数）， n®¥
证明： lim f (x) = 0 （15 分） x®¥
三、设在[a, b] 上，有 f ' ' (x) > 0 ，证明
（1）对任何 x0 , x Î[a, b] ，有 f (x) ³ f (x0 ) + f ' (x0 )(x - x0 )
å å （2）对任何 x1, x2 ,L, xn Î[a, b] ，有
三、（本题 15 分）设
f
(
x,
y)
在
R
2
上的可微函数，且有
lim (xf
r ®+¥
'x
+
yf
'
y
)=
a
>0
（r
=
证明： f (x, y) 在 R2 上必有最小值.
x2 + y 2 ），
四、（本题 14 分）设 u = u(x, y) 具有二阶连续偏导数，证明存在常数使得在变换 s = x + ay ，t = x + by
( x,
y)
¹
(0,0) 处有 x
¶f ¶x
+
y
¶f ¶y
=
nf
六、设 g(x) 在[0,1] 上连续， g(1) = 0 ，作 fn (x) = g(x)xn ，
{ fn (x)}在[0,1] 上一致收敛. （15 分）
ò 七、计算积分 (x2 - yz)dx + ( y2 - xz)dy + (z 2 - xy)dz AmB 此积分是从点 A(a,0,0) 至点 B(a,0, h) 沿着螺线
yn
=
a 2
2.
若a
=
+¥ ，则 lim n®+¥
yn
=
+¥
+¥
ò 二、（每小题 10 分，共 20 分）设 f (x) 在[0,+¥) 上单调递减且 f (x)dx 收敛. 0 1.证明： lim xf (x) = 0 ； x®+¥ ò+¥ 2.若 x ® +¥ 时 f (x) ® 0 且 f ' (x) 连续，证明 xf ' (x)dx 也收敛. 0
下，可将微分方程
四川大学 2000 年攻读硕士学位研究生入学考试题 一、求下列极限（每小题 10 分，满分 20 分）
x
ò (1 - cost)dt
1.
lim
x®0
0
1 x3
3
å 2.
p lim sin n®¥ n
n
cos kp n
k=1 2 + sin kp
n
二、设函数 u
=
u(x,
y) 由方程 u
=
y
+
xj(u) 确定，求证