2020年测量平差第五章

式中：
K
r1
[ka
kb
kr ]T
— 称为联系数向量
将对V求一阶导数，并令其为零，得： d 2V T P 2KT A 0
dV
即：V T P KT A
PTV AT K
PV AT K
或： V P1AT K QAT K
§5.1 条件平差原理
1.基础方程
AV W 0 — 条件方程（r个）

Lˆn

V1
V

V2

n1
Vn

上述方程可表示为： ALˆ A0 0
AV W 0 (W AL A0 )
为使V T PV min, 按求条件极值的拉格朗 日乘数法，构成新函数 ：
V T PV 2K T ( AV W )
1
1

1

Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 Lˆ4


360

0
W AL A0 [1 1
573216 1 1]1723605310288 360 12
1023320
③计算改正数和平差值 1
ˆ ˆPC [1 1 0
ˆ 0
V T PV r
36 6 1
0]
Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 Lˆ4


38
2321
f 1 1 0 0T
Qˆˆ f TQf (AQf )T Naa1AQf f TQf f TQAT Naa1AQf
a1v1 a2v2 anvn wa 0
将Lˆi Li Vi代入上式，可得： b1v1 b2v2 bn vn wb 0
r1v1 r2v2 rnvn wr 0
式中常数项为：
wa a1L1 a2L2 an Ln a0 wbb1L1 b2L2 bnLn b0 wr r1L1 r2L2 rnLn r0
V P1AT K QAT K —改正数方程（n个）
2.法方程
将基础方程中的第一式代入第二式，得：
AQAT K W 0
令：
Naa AQAT
NaaK W 0 解得： K N 1W
— 法方程（r个）
V P1AT K QAT K
最后求的观测量的平差值：Lˆ L V
§5.1 条件平差原理
二、按条件平差求平差值的计算步骤 1.根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条
件方程的个数等于多余观测数r。
2.根据条件式的系数，闭合差及观测值的协因数阵 组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r。
3.解算法方程，求出联系数K值。
4.将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差
W
AQ
Naa
-I
-AQ
0
K
-Naa-1AQ
-I
Naa-1
Naa-1AQ
0
V
Lˆ
备注
-QVV Q-QATNaa-1AQ
-QAT 0
QATNaa-1 QAT Naa-1AQ
0
0
（Naa=AQAT）
0 Q- QVV
§5.3 精度评定
三、平差值函数的中误差 1.问题的提出
水准网中的观测值是高差 — 平差求得的是观测高差的平差值。 但是,水准网平差后要求得到的是各待定点的平差高程。 测角网中的观测值是角度 —平差求得的是观测角度的平差值。 但是,测角网平差后要求得到的是各待定点的坐标、边长和方位角等。 而点的平差高程、坐标、边长和方位角等都是观测量平差值的函数。 那么如何计算平差值函数的中误差呢？
函数 VTPV = min的V 值，在数学中就是求函数的
条件极值问题。
§5.1 条件平差原理
一、基础方程及其解
设有r个平差值线性条件方程： ab11 LLˆˆ11 ab22 LLˆˆ22 bann LLˆˆnn ba00 00
r1Lˆ1 r2 Lˆ2 rn Lˆn r0 0
ˆˆ PC
ˆˆ
ˆ0
Qˆˆ 6
令：
L EL
或：
Z

W K V



A
L

A0



N
W 1
aa
QAT K

Lˆ L V
L
§5.3 精度评定
条件平差基本向量的协因数阵
L
W
K
V
Lˆ
L
Q
QAT -QATNaa-1
-QVV
Q-QATNaa-1AQ

573213

73
0305

1265125
1023317
1 V P1AT K
1
1
1
3

1
3


3
1
3
11
3
精品课件！
1
1
v1
AP1AT K W 0
1v2


9

0
4Ka 12 0
vv43

Ka 3

Lˆ1 Lˆ2

Lˆ3 Lˆ4


L1

L2

L3 L4

v1 v2 v3 v4

§5.2 条件方程
三、以坐标为观测值的条件方程
1.直角与直线型的的条件方程
则有：
§5.2 条件方程
将其代入
2.距离型的条件方程 条件方程： 线性化： 常数项：
§5.3 精度评定
随机模型：
D

ˆ 02Q

ˆ
2 0
P
1
一、单位权方差的估值公式
— r为自由度(也是多余观测数
)
二、协因数阵的计算
ˆ Hˆ C HA hˆ1
一般地,设平差值函数为：
§5.3 精度评定
其矩阵形式为：
—— 称为权函数式！
§5.3 精度评定
§5.3 精度评定
A

1 0
1 0
1 0
0 1
0 1
0 1
§5.3 精度评定
例（补）已知：
L1 573216
Lˆ和ˆ 求： ˆ PC
§5.1 条件平差原理
令：
a1 a2 an
A
rn

b1
b2

bn



r1
r2

rn

wa
W


wb

r1

wr

a0
A0
r1

b0


r0

Lˆ
n1


Lˆ1 Lˆ2


§5.2 条件方程
★极条件的线性化：
§5.2 条件方程
解：n 9，t 4，r n t 5
三个图形条件： 一个圆周条件：
一个极条件：
§5.2 条件方程
解：n 8，t 4，r n t 4
三个图形条件：
一个极条件：
§5.2 条件方程
测角网条件方程小结（独立网）：
精品课件！
§5.3 精度评定
2.求观测量平差值函数的中误差：
①求单位权中误差 1
3

V T PV 3 3 3 3
1
3 36
1 3

1 3
②求观测量平差值函数的协因数
ˆPC PA Lˆ1 Lˆ2 168058'39''
1.求观测量的平差值：
L

L2 LL43



730308

1265128
1023320
PA 382321
①列立条件方程式
Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 Lˆ4 360 0 P E
②组成并解算法方程 1
值 Lˆ L V 。
5.为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新 列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。
§5.1 条件平差原理
三、例题
解：n 3，t 2，r n t 1
Lˆi Li Vi
§5.1 条件平差原理
§5.1 条件平差原理
解：n 4，t 2，r n t 2
1
1
1
1
1
1

1 1 0 0
1

1

1
1
0

0
1

1[0.25][1
1
1
1]
1

1
1
1 0
1 1
1 0

10

11

10
③求观测量平差值函数的中误差
A)dSb

(Sc

Sb
cos
A)dSc ]
由图5-10知： SbSc sin A Sbhb （2倍三角形面积） Saha
Sb Sc cos A Sa cos C，Sc Sb cos A Sa cos B
代入上式，得：
dA

1 ha
(dSa
cos CdSb

cos
BdS c )
2.角度改正数与边长改正数的关系式
在图5-10中：S
2 a

Sb2

Sc2
2SbSc
cos
A
微分得：2SadSa (2Sb 2Sc cos A)dSb (2Sc 2Sb cos A)dSc 2SbSc sin AdA
dA

1 SbSc sin
A [SadSa

(Sb

Sc
cos
§5.0 概 述
通过第四章的学习，我们知道条件平差的数学模型如下：
条件平差 数学模型
函数模型
随机模型 平差准则
A Lˆ
rn n1
A0
r1

0
r1
AV W 0
条件方程
(W AL A0 )
D
nn


2 0
Q
nn


2 0
P 1 nn
V T PV min
条件平差就是要求在满足r个条件方程条件下，求

v2 h2 (vS6 cos ACDvS2 cos ADCvS3 )
A

v3 h3 (vS4 cos ABDvS1 cos ADBvS3 )
代入下式即可：
v1 v2 v3 w 0
其中： w 1 2 3
1、2、3可由余弦定理求得。
2.解决问题的基本思想
根据

2 i


Q2
0 ii
知：
要计算平差值函数的中误差，首先要求出

2 0
；
ˆ 然后，根据协因数传播律求出平差值函数 的协因数 Qˆˆ ；
最后，根据Qˆˆ 求得平差值函数的中误差 ˆ 。
§5.3 精度评定
如在例5-2中,为求C点平差高程可建立如下平差值函数式：
§5.2 条件方程
1.以角度改正数表示的图形条件方程 ˆ1 ˆ2 ˆ3 360 0 v1 v2 v3 w 0
w 1 2 3 360
ˆ1 ˆ2 ˆ3 0
v1 v2 v3 w 0
w 1 2 3
§5.1 条件平差原理
解：n 4，t 2，r n t 2
§5.1 条件平差原理
§5.2 条件方程
一、测角网条件方程
圆周条件只有一个！
图形条件不只列 三个，但独立的 只有三个！
§5.2 条件方程
各边均与D有关，即以D为极，故称为极条件。 在中点多边形测角网中，ai、bi、ci通常按顺时针编号，且ci以 中点为顶点，称为圆周角或间隔角；ai称为求距角；bi称为传 距角。这样，在列极条件时规律性很强！
几何 多余
条件方程数
模 型 观 测 图形条件 圆周条件 极条件
三角形
1
1
0
0
大地四边形
4
3
中点多边形 n
n
0
1
1
1
Hale Waihona Puke Baidu
§5.2 条件方程
二、测边网条件方程
几何模型
多余观测
条件方程数 （图 形 条 件）
三角形
0
0
大地四边形
1
1
中点多边形
1
1
列立测边网图形条件基本思想： 第一步：根据边长求出网中内角，列出角度间应满足的条件； 第二步：建立边长改正数与角度改正数的关系式； 第三步：以边长改正数代替角度改正数即可。
或vA

ha (vSa
cos CvSb
cos BvSc )
§5.2 条件方程
3.以边长改正数表示的图形条件方程（以图5-8为例）
B
vA


ha (vSa
cos CvSb
cos BvSc
)
C

v1 h1 (vS5 cos ABCvS1 cos ACBvS2 )