傅里叶级数

解: 奇对称，奇半波对称
包含奇次正弦项。
x(t)
A
2Bk 0 2 D2k 0
4 2 Dk [ T0
4A k
T0 / 2
T0
-A
t

0
2A A si nk 0 tdt] (1 cos k ) k
(k为奇数) (k为偶数为0)
1 1 x( t ) (sin 0 t sin3 0 t sin5 0 t ) 3 5
1 4
1 2
.
0
1
2 Ak
1 3
. . . .
1 2
2 3
0 203 0
k0
0
0 203 0
k0
双边谱
单边谱
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
抽样函数sinc(x)
sin( x) sin c( x) x
抽样函数为偶函数，整个波形大概呈正弦规律变化，随 着x的绝对值增大其幅度呈衰减趋势，在x=0处函数取得 最大值1，波形与x轴相交于： x , 2 , 3 ...
x( t ) 2 Dk sink 0 t
k 1
T0 /2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
2 2 Dk T0
4 x( t ) sin kw0 tdt T0 T0 /2
T0 /2
T0 /2Hale Waihona Puke Baidu
x(t ) sin kw tdt
0 0
3.半波对称:
T0 ) 偶半波对称：仅含偶次谐波分量。 x ( t ) x ( t 2 T0 奇半波对称：仅含奇次谐波分量。 x ( t ) x ( t ) 2 镜像对称
相位谱 k
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4-8 已知某信号的傅立叶表示如下,试画出其幅度谱 和相位谱
x( t ) ( 3.5 j1.5)e ( 2.5 j 2)e
c1 3.5 2 1.5 2 3.8
jw0 t
( 3.5 j1.5)e ( 2.5 j 2)e
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
A A sin( k/4) ck sin( k/4) Sinc (k/4) k 4 k/4
其双边频谱图如下：
例4-7 在例4-2中，当 T0 4T1 ，A=4时：
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
幅度谱
ck
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.4 波形对称性与傅立叶级数
•任意实周期函数有：
x( t ) c0 2 (Bk cosk0 t Dk sink0 t )
k 1

偶函数项
三种对称：
奇函数项
(全波对称）
偶函数 ：x(t )=x (-t)
奇函数 ：x (t )= - x (-t) 半周期对称：
奇谐
偶谐
T0 T0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.双重对称:既有全波对称，又有半波对称。
例如:周期三角函数是偶函数
f(t) E
t
-T0/2 T0/2
E 4E 1 1 x( t ) 2 (cos 0 t cos 3 0 t cos5 0 t .....) 2 9 25
0
k0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
周期复指数信号的频谱图的特点
引入了负频率变量，没有物理意义，只 是数学推导； ck一般是复函数， 当ck是实函数时，可用ck的正负表示0和π 相位， 幅度谱和相位谱合一；
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
作业：P162
4.3[x3(t)]
4. 6
x( t ) c0 2 Ak cos(kw0 t k )
k 1

频谱： 将周期信号中所含各次谐波的振幅2Ak，相位θk 随频率kw0的变化关系，称为信号x(t)的频谱特性，简称 频谱。其中振幅2Ak随频率kw0的变化关系称为振幅谱， 相位θk随频率kw0的变化关系称为相位谱。
2、双边频谱：将ck 随kw0的变化关系图，称为双边谱。
8
1 1 od{ x( t )} (sin 0 t sin3 0 t sin5 0 t ) 3 5
x(t ) Ev{ x(t )} od{ x(t )}
4
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
作业：P162
4.7
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.5 周期信号的频谱与功率谱 一、信号的频谱:振幅谱,相位谱.
有奇次谐波的余弦项。
E/2 -E/2
-T0/2
T0/2 t
2E k 2 Bk sin k 2
x(t )
2E

(cos0t cos30t cos50t )
1 3 1 5
例4-6判断波形对称性及傅立叶级数中包含哪些谐波成份
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
利用波形对称性可以简化傅立叶级数的运算 例4-4 试求下图所示方波的傅立叶级数
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
•任意周期函数有：
x(t ) c0 2 (Bk cos k0t Dk sin k0t )
k 1

偶函数项

奇函数项
x(t ) c0 2 (Bk cos k0t Dk sin k0t )
k 1
x( t )
k 3
c e
k
3
jkwo t
1 1 1 其中 c0 1, c1 c1 , c2 c 2 , c3 c 3 4 2 3 其三角函数的傅立叶级数为:
x(t ) 1 cos2t cos4t cos6t
ck
1
1 2
2 3
. . . . . .
1、单边频谱：将 2 Ak e j k 随kw0的变化关系图，称为单边谱。
ck Ak e
j k
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
*单边谱和双边谱 2 Ak
ck
0 203 0
k0
0 203 0
k0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4-6 在例4-1中，信号x(t)的表达式如下:
T0 x( t ) x( t ) 2
(半波对称）
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
1.偶对称：此时x(t)的傅立叶级数中只含有直流项 和余弦项： x( t ) c0 2 Bk cos k 0 t
证明：
2 2 Dk T0
T0 /2
T0 /2
k 1
T0 /2
x(t ) sin kw tdt 0
0
2 2 Bk T0
4 x( t ) cos kw0 tdt T0 T0 /2
T0 /2
T0 /2
x(t ) cos kw tdt
0 0
1 2 c0 x( t )dt x( t )dt T0 T0 /2 T0 0 2.奇对称：此时x(t)的傅立叶级数中只含有正弦项
1
jw0 t
j 2 w0 t
j 2 w0 t
1 tan1 (1.5 / 3.5) 0.4
c2 2.5 2 3.2
2 2
ck
3 .8 . . 3 .2. .
0
2 tan (2 / 2.5) 0.67 k
k0
0 .4
0 20
.
.
0
0
.2
0.67 .
例4-5 求下图所示信号的傅立叶级数
x( t )
2
-T0/2 T0/2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4A
0 -2
t
分析：x(t)为非奇非偶函数，由周期函数的傅立叶级数可 知，任意函数均可化为奇部和偶部两部分，其中： 偶部： 奇部：
x( t ) x( t ) Ev{ x( t )} 2 x( t ) x( t ) od{ x( t )} 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
Ev{x(t)}
x( t )
2 0 -2
x( t ) x( t ) 2
t
1 -1
t
x( t )
2 0 -2
od{x(t)}
t
1 -1
x(t ) x( t ) 2 t
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
1 1 Ev{ x( t )} 2 (cos 0 t cos 3 0 t cos5 0 t .....) 9 25
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例如周期锯齿波是奇函数
f(t) E/2 0 -T0/2 T0/2 t
-E/2
E 1 1 x( t ) (sin 0 t sin2 0 t sin3 0 t ....) 2 3
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
对称方波(双重对称) ：偶函数且奇谐函数,只