线性代数课件-23几种特殊矩阵

0
0
bnn

四、对称矩阵与反对称矩阵
定义2·13 若n阶方阵A 中的元素满足 aij a ji (i,j=1,2, …n),则称A为n阶对称矩阵。
若n阶方阵B 中的元素满足bij b ji (i,j=1,2, …n),则称B为n阶反对称矩阵。
即 n阶对称矩阵
n阶反对称矩阵

a11
A


0 0
a12 a22 0
a1n

a2n
ann

b11
B

b21

bn1
0 b22 bn2
0
0
bnn

三角矩阵的性质： （1） 同阶上（下）三角矩阵的和、差、 积仍为上（下）三角矩阵。 （2） 数与上（下）三角矩阵的乘积仍为 上（下）三角矩阵。 （3）上（下）三角矩阵的转置为下（上） 三角矩阵

b1n
b2n
b3n

0
ຫໍສະໝຸດ Baidu

• 例如 1 2 A1 2 0 ,
1 1 2 A2 1 0 1
2 1 3
0 2 B1 2 0 ,
0 1 2


A2 1 0 1
2 1 0
a22 0
0
ann

对角矩阵
• 对角矩阵的性质： 1. 同阶对角矩阵的和、差、积仍为对角矩阵 2. 数t与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵 3. 对角矩阵的转置仍为对角矩阵且与原矩阵
相同
二、数量矩阵 定义2·11 若对角矩阵A中的对角线元素满足
aii a (i 1,2, , n),
a12 a22 a23 a2n
A


a13
a23
a33
a3n



a1n
a2n
a3n
ann

0
b12
b13 b1n
b12 0
b23 b2n
B



b13
b23
0

b3n



则称A为数量矩阵。
a 0 0
即 aE A


0
a

0


0 0 a
数量矩阵
性质：用数量矩阵左乘或右乘（如果可乘）一
个矩阵的结果，等于用一个数乘于该矩阵
即 若 A aEn为一数量矩阵，B为m×n矩阵
则 BA=BaE aBE aB
2. 只有当A、B是同阶方阵时A，B A B才成立 3. 当A、B是同阶方阵时，A有B BA
4. tA t A ； A B A B
§2·3 几种特殊的矩阵
a11 0 0
一、对角矩阵 A


0 0
a22 0
0
ann

a 0 0
三、三角矩阵
定义2·12 若n阶方阵A aij 中 的元素满足
aij 0, i＞ j(i, j 1,2,则,称n)A为上三角矩阵。
若n阶方阵 B 中bij的 元素满足
bij 0, i＜j
(i, j 1,2, , n) ，则称B为下三角矩阵.
即 上三角矩阵
下三角矩阵
二、数量矩阵
A

0
a

0


aE
0 0 a
三、三角矩阵 上三角矩阵
下三角矩阵
a11
A


0 0
a12 a22 0
a1n
a2n
ann

b11
B

b21

bn1
0 b22 bn2
注意：（1）当A为m×n矩阵时，当A 为n×m矩阵时
(2)A 中第i行第j列的元素=A中第j行第i列的元素 a ji
（3）一般情况下 (AB) AB
4、方阵的行列式 由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成 的行列式，称为方阵A的行列式。记为 A
• 注意： 1. 只有当A是方阵时，才有A的行列式
（2）矩阵乘法不满足交换率。即AB≠BA
（3）矩阵乘法不满足消去率 即：由AB=AC,且A ≠O,不能得出B=C
（4）由AB=O不能推出A=O或B=O
2、 方阵的幂 Ak AAA
k
注意（：1）只有当A为n阶方阵时，才有方幂的概念。
（2）（AB)k≠ Ak Bk
3、矩阵的转置 将矩阵A的行列互换得到的矩 阵，称为矩阵A的转置矩阵，简称转置。
上堂课主要内容：
1、矩阵的乘法： 设矩阵 ， ， A (aij )ms B (bij )sn
由元素
cij ai1b1 j ai2b2 j ais bsj
构成的矩阵 C (cij )mn 称为矩阵A与矩阵B的乘积。
记为 C=AB
注意：
（1）只有当A的列数=B的行数时，AB才有意义
四、对称矩阵与反对称矩阵
定义2·13 若n阶方阵A 中的元素满足 aij a ji (i,j=1,2, …n),则称A为n阶对称矩阵。
若n阶方阵B 中的元素满足bij b ji (i,j=1,2, …n),则称B为n阶反对称矩阵。
即 n阶对称矩阵
n阶反对称矩阵
a11 a12 a13 a1n
0

b3n




b1n
b2n
b3n

0

§2·3 几种特殊的矩阵
一、对角矩阵
定义2·10 若n阶方阵A中的元素满足
aij 0 (i j,i, j 1,2, , n),
则称A为对角矩阵。
a11 0 0
即
A


0 0
a11 a12 a13 a1n
a12 a22 a23 a2n
A


a13
a23
a33
a3n



a1n
a2n
a3n
ann

0
b12
b13 b1n
b12 0
b23 b2n
B



b13
b23
对称矩阵 反对称矩阵
对称矩阵与反对称矩阵的性质：
（1）同阶对称矩阵（反对称矩阵）的和、差仍为 对称矩阵（反对称矩阵）
（2）数与对称矩阵（反对称矩阵）的乘积仍为 对称矩阵（反对称矩阵）
（3）n阶方阵A为对称矩阵的充要条件是 A A