计算流体力学part1(基础知识1)

（8） （9）
一、向量分析初步
1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积
练习：试证
①
②
v v v v ( a × b ) ⋅ (c × d ) v v v v v v v v = ( a ⋅ c )(b ⋅ d ) − ( a ⋅ d )(b ⋅ c ) v v v v ( a × b ) × (c × d ) v v v v v v v v = b a ⋅ (c × d ) − a b ⋅ (c × d )
一、向量分析初步
6、哈密尔顿算子（hamilton operatoz）
Note: ∇是一个矢性微分算子，因此它在计算中具有矢性和微分 的双重性质。作为微分只作用于右边，如∇ϕ ,微分运算规则同样 适用；作为矢量 ∇ ⋅∇ = ∇ 2 = ∆( Laplace算子), ∇ × ∇＝0 。计算时， 先作微分运算，后矢量运算。 v v v 例：试证： ∇ ⋅ ( f υ ) = f ∇ ⋅υ + υ ⋅∇f
在直角坐标系中：
∂ϕ v ∂ϕ v ∂ϕ v gradϕ = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
（12）
一、向量分析初步
性质1：方向导数等于梯度在该方向上的投 影，即：
v v ∂ϕ v v v = G ⋅ l = G cos(G ⋅ l) ∂l ∂l ∂ϕ = gradlϕ ∂l
或：
（13）
性质2：数量场中每一点 p 处的梯度，垂直于过 该点的等值面，且指向函数 ϕ ( p ) 增大 最快的方向。
v k az v v (b × c ) z
（7）
一、向量分析初步
1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积 二重向量积的分解式
v v v v v v v v v a × (b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) v v v v v v v v v ( a × b ) × c = b ( a ⋅ c ) − a (b ⋅ c )
v v v v ①在直角坐标系中：A = P( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z )k
v i v ∂ rotA = ∂x P
v j ∂ ∂y Q
v k ∂ ∂z R
（21）
一、向量分析初步
u r u r rot A ≠ 0 有旋运动， rot A = 0 无旋运动。应当指出，流体微团 是否作有旋运动，需视微团是否围绕着通过流体微团的瞬时 轴旋转，而并非决定于流体微团轨迹的几何形状。
v v ∂Ax ∂Ay ∂Az divA = ∇ ⋅ A = + + ∂x ∂x ∂x v v v i j k v v ∂Az ∂Ay v ∂Ax ∂Az v ∂Ay ∂Ax v ∂ ∂ ∂ =( − − − rotA = ∇ × A = )i + ( )j +( )k ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Ax Ay Az
密度，即
v v ∆Γ v n ⋅ rotA = rotn A = lim ∆S → M ∆S
一、向量分析初步
6、哈密尔顿算子（hamilton operator）
v ∂ v ∂ v ∂ + j +k 记∇=i 称之为哈密尔顿算子 ∂x ∂y ∂z ∂ϕ v ∂ϕ v ∂ϕ v gradϕ = ∇ϕ = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
v ∆φ divA = lim = lim Ω→ M ∆V Ω→ M
∫∫
S
v v A ⋅ ds ∆V
（16）
一、向量分析初步
4、向量场的通量及散度
u r ① div A 是一数量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，也就 是在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处源的 u r u r u r u r div div div div 强度。 A > 0正源， A < 0 负源， A = 0 无源。 A ≡ 0 的场称之 u r 为无源场（如不可压流体div A = 0 ，对单位体积流团来说，流进＝ 流出） v ∂Ax ∂Ay ∂Az ②在直角坐标下， divA = （17） + + ∂x ∂y ∂z v v v v ( A = Ax i + Ay j + Az k )
流体微团速度为：
( x, y, z ) 确定，也可用向径确定： v
v v v v v dR ∆R R(t + ∆t ) − R(t ) V= = lim = lim dt ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆x v ∆y v ∆z v i + lim j + lim k = lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t v v v dx v dy v dz v = i+ j + k = vx i + v y j + vz k dt dt dt
（11）
一、向量分析初步
3、数量场的梯度
y 若在数量场 ϕ ( x,ur, z ) 中的一点 p 处，存在着矢量 G ，其方向为函数 在点 p 处变化率最大的方向，其模 也正好是这个最大变化率的数值， ur ur 则称矢量 G 为函数在点 p 处的梯度， gradϕ =， G gradϕ 记作 即：
v v v v v a = a (t ) = ax i + a y j + az k
一、向量分析初步
2、向量函数对于数变量的导数
v v da (t ) ∆a (t ) = lim ∆t →0 ∆t dt ∆ax (t ) v ∆a y (t ) v ∆az (t ) v = lim i+ j+ k ∆t →0 ∆t ∆t ∆t dax (t ) v da y (t ) v daz (t ) v = i+ j+ k dt dt dt
5、向量场的环量及旋度
v v 流体微团速度： υ = υ0 + ω × δ r + [ε ] ⋅ δ r v v v
v v 1 ω = rotυ 2 ②斯托克斯公式（环量和旋度之间的关系）
∫
l
v v v v A ⋅ dl = ∫∫ rotA ⋅ ds
S
（22）
r ③旋度矢量沿任一方向 n 上的投影，就等于该方向上的环量面
一、向量分析初步
4、向量场的通量及散度
v v ds 的流量为：dQ = υ ds = υ ⋅ ds 通量：设流速场v ( M ) ，穿过面元 n
在单位时间内，穿过 S 的流量为：
v Q = ∫∫ υn ds = ∫∫ υ ⋅ ds
S
v
v v v ds = nds n为ds的外法线方向。
u S r 对任一向量场 A ( M ) ，沿其中某一有向曲 面 S 的曲面积分： v r φ = An ds = A ⋅ ds （14） S S u r 叫做矢量场 A ( M )向正侧穿过曲面 S 的通量。 特别当 S 为封闭曲面时
一、向量分析初步
2、向量函数对于数变量的导数
一个流体微团在空间的位置可用坐标
u r v v R(t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k 经过时间 ∆t ，流团运动到新的位置 ： u r v v v R(t + ∆t ) = x(t + ∆t )i + y (t + ∆t ) j + z (t + ∆t )k
一、向量分析初步
2、向量函数对于数变量的导数
向量函数：
v v v ∆a (t ) = a (t + ∆t ) − a (t ) v = [ ax (t + ∆t ) − ax (t )] i v + a y (t + ∆t ) − a y (t ) j v + [ az (t + ∆t ) − az (t )] k v v v = ∆ax (t )i + ∆a y (t ) j + ∆az (t )k
∆S → M
Γ=
∫
l
v v A⋅ d l
（19）
lim
∆S
= lim
∫
∆S → M
∆S
（20）
r 存在，则称之为矢量场在点 M 处沿方向 n 的环量面密度（亦即环量 对面积的变化率）。 u r r r Note：环量面密度与法矢 n 有关，即与 ∆l 有关，也就是与面元 ∆ S 有关；环量面密度是一标量。
流体运动的基本方程
§1－1 预备知识 §1－2 流体运动的基本方程 §1－3 相对坐标系中流体运动的基本 方程 §1－4 正交曲线坐标中流体运动的基 本方程
§1－1 预备知识
一、向量分析初步
1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积
点积：（数量积）
v v v v v v v v (a = ax i + a y j + az k , b = bx i + by j + bz k )
一、向量分析初步
5、向量场的环量及旋度
u r u r 旋度：若在矢量场 A 中的一点 M 处存在这样的一个矢量 R ， u r 使得矢量场在点 M处沿 R 方向的环量面密度为最大，这个最 u r u r u r 大的数值正好就是 R ，则称矢量 R 为矢量场 A 在点 M 处的旋 u u r r u r 度，记作 rot A ，即 rot A = R ，简言之，旋度矢量在数值和方 向上表出了最大的环量面密度。 矢量场中的旋度相当于标量场中的梯度。
一、向量分析初步
1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积
二重向量积：
v v v a × (b × c )
r ——是一向量，方向垂至于向量 a 和 r r 向量 b × c 所构成的平面