第五章 统计分布特征的描述集中趋势和离散趋势
研究生统计学 集中和离散趋势的描述
从频数分布可见 大多数观察值集 中在小值一端， 102名患者中有 79.41%的人的 发铜值在10μg/g 以下，呈正偏态 分布。
102名男性脑卒中患者发铜分布
发铜（μg/g） 2～ 4～ 6～ 8～ 10～ 12～ 14～ 16～ 18～ 20～ 22～ 24～ 26～ 合计
频数 3 9 38 31 6 5 2 1 2 1 1 2 1
所在组的频数
Px
L
i (n
x% fL) fm
(nx%fL) i; fm位数应用
• 确定医学参考值范围 (reference range)： 如95％参考值范围＝P97.5－P2.5； 表示有95％正常个体的测量值在此范围。
• 中位数M与四分位数间距一起使用，描述偏 态分布资料的特征。
Glg 1
flfg Xl
g 1
flg X n
X可为单个对数值或组中值
某医院神经科用火焰原子吸收光谱法测定了102名男性脑 卒中患者头发中微量元素铜（Cu）的含量（μg/g）,资 料如下，求平均含量。
2.3 5.7 6.7 7.2 7.7 8.4 9.1 9.6 12.6 25.2 3.3 6.1 6.7 7.2 7.8 8.5 9.1 9.8 12.8 25.6 3.4 6.2 6.8 7.3 7.8 8.6 9.2 9.8 13.4 26.4 4.0 6.3 6.8 7.4 7.8 8.6 9.3 9.9 13.8 4.1 6.3 6.9 7.5 7.8 8.7 9.4 10.1 15.3 4.2 6.4 7.0 7.5 7.9 8.7 9.4 10.2 15.6 4.4 6.5 7.1 7.5 8.0 8.8 9.4 10.6 17.4 5.1 6.5 7.1 7.6 8.1 8.8 9.5 10.9 18.5 5.4 6.5 7.1 7.6 8.2 8.9 9.6 11.0 18.7 5.5 6.5 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 11.6 20.3 5.7 6.7 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 12.5 23.2
定量资料统计描述——集中趋势与离散程度
度量单位不同资料之间离散度的比较； 均数相差悬殊的资料之间离散度的比较。
【例4-11】
某研究收集了100例7岁男孩的身高和体重的资料，身高均数为 123.10cm，标准差为4.71cm；体重均数为22.92kg，标准差为 2.26kg，比较这100例7岁男孩的身高和体重的变异度。
身高 CV
4.71 100 % 3.83 %
M X n1
当n为奇数时，
() 2
， 位置居中的观察值
当n为偶数时，
M
(X n ()
X n )/ ( 1)
2 ，计算出位次居中的两个观察值的均数
2
2
例:7名病人患某病的潜伏期分别为2,3,4,5,6,9,16天，求其中位数。
本例n=7,为奇数
M X 71 X 4 5(天 ) () 2
例:8名患者食物中毒的潜伏期分别为1,2,2,3,5,8,15,24小时，求其中位数。
本例n=8,为偶数
M
1
2
X 8
() 2
X 8
( 1) 2
1 2
X
4
X5
1 3 5 4(小时)
2
(二) 中位数的应用
中位数可用于各种分布的资料，在正态分布资料中，中位数等于 均数，在对数正态分布资料中，中位数等于几何均数。
中位数不受极端值的影响，因此，实际工作中主要用于不对称分 布类型的资料、两端无确切值(>100)或分布不明确的资料。
患者编号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 117 118 119 120 住院天数：1 2 2 2 3 3 4 4 5 ... 40 40 42 45
n=120，120*5%=6，为整数：
P5
数据分布特征的三个统计描述维度
数据分布特征的三个统计描述维度现如今生活处处有数据，而我们接触到的数据可以分为连续型数据或者离散型数据。
连续数据的取值范围是可以取连续值的区间，即连续值可以是区间内的任意值，一般都有度量单位。
离散数据的范围由有限数量的值或序列组成。
对数据集使用合适的描述性指标，可以帮助我们探索庞大无序的数据背后隐藏的事实。
描述数据集的三个维度是指对数据集中趋势的描述、对数据分散程度的描述和对数据分布形式的描述。
一、集中趋势描述1.算术平均数 Arithmetic Mean：所有数值的和除以数值的个数。
用于描述一组数据在数量上的平均水平。
计算公式：优缺点：算术平均数是能够充分运用已有信息的代表性数值，每个数值大小的改变都会引起其变化。
也因此容易受极值的影响，并且会掩盖数据的差异性。
示例：最近更新了2018年度深圳在岗职工的月平均工资，达到了9309元。
这就是一个算术平均值的实际应用。
还是要保持进步，争当排头兵而非吊车尾呀。
2.几何平均数 Geometric Mean：对各数值的连乘积开项数次方根。
一般用于当总成果为各个阶段（环节）的连乘积时，求各个阶段（环节）的一般成果。
计算公式：优缺点：几何平均数受极端值的影响比均值小。
但仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。
示例：连续作业的车间求产品的平均次品率。
一个产品的生产由三个环节组成。
每个环节都会产生一定的次品。
次品率依次为5%、2%、6%，求这个产品的平均次品率。
因为每个环节都是依次发生的，需要完成上一个环节的合格产品才能进入下一个环节，所以每个环节的不良率是一个产品关系。
依照上式结果可知，该产品整个生产环节的平均次品率为3.91%。
3.中位数 Median：将数值从小到大依次排列，最中间的数值为中位数。
若数值个数为奇数个时，为中间位置的数值；若数值个数为偶数个时，为中间两个数的算术平均数。
优缺点:不受极值影响，通过丢失一些信息来换取指数的稳定性。
但对极值缺乏敏感性，样本量较小时中位数不稳定。
集中趋势和离散趋势计量资料统计描述
有8份抗体血清的抗体效价分别为1： 5，1：10，1：20，1：40，1：80， 1：160，1：320，1：640， 求平均 抗体效价。
16
2.几何均数
意义：N个数值的乘积开N次方即为这N 个数
的几何均数。
表示：G = n x1x2...xn = ㏒-1∑ ㏒X
n
计算：
应用：原始数据分布不对称，经对数转换后 呈对称分布的资料。例如抗体滴度。
布 D.任何分布
3.正态分布曲线下，从均数u 到u +1.96的面积为； A.95% B.45% C. 97.5% D.47.5%
41
P22
1976年美国8岁男孩的平均身高为146厘米，标 准差为8厘米，问95%的人身高在什么范围内。 估计在该研究中有%多少的男孩平均身高在138 与154之间？又有多少在130到162之间？
即（156.41 cm , 171.27 cm )
例题：某市1982年100名7岁男童的身高
已知：x = 119.95cm, s = 4.72cm.
试问: (1) 估计该地7岁男童身高在110cm以下者 占该地7岁男童的百分比。
(2) 估计该地7岁男童身高在身高在130cm 以上者占该地7岁男童的百分比。
5
主要内容
频数表 集中趋势 离散趋势 正态分布 正常值范围估计
原始资料（变量与变量值，资料性质）
7
一. 频 数 表
频数：当汇总大量的原始数据时，把 数据按类型分组，其中每个组的数据个 数，称为该组的频数。
频数表（频数分布）：表示各组及它们 对应的组频数的表格称为频数表或频数 分布。
1998年100名18岁健康女大学生身高的频数分布
估计的方法： 1、正态分布法 2、百分位数法
正态分布的集中趋势和离散统计指标
正态分布的集中趋势和离散统计指标在统计学中，正态分布是一种非常重要且常见的概率分布，也被称为高斯分布。
它具有许多重要特性，其中包括集中趋势和离散统计指标。
在本文中，我们将探讨正态分布的集中趋势和离散统计指标，以及它们在实际应用中的意义和重要性。
1. 集中趋势指标正态分布的集中趋势指标是描述数据集中取值位置的统计量。
常见的集中趋势指标包括均值、中位数和众数。
其中，均值是所有数据值的平均数，是最常用的集中趋势指标之一。
在正态分布中，均值通常位于分布的中心位置，并且具有对称性。
除了均值，中位数和众数也是描述集中趋势的重要指标。
中位数是将数据集等分为两部分的数值，而众数则是数据集中出现最频繁的数值。
在实际应用中，集中趋势指标可以帮助我们理解数据分布的中心位置，判断数据的平均水平，并做出相应的决策。
在财务报表分析中，我们可以利用均值来评估企业的盈利水平，进而制定财务策略和规划预算。
在医学研究中，研究人员也常用中位数来描述疾病的发病率，以便做出治疗方案和预防措施。
2. 离散统计指标除了集中趋势指标外，正态分布还具有离散统计指标，用于描述数据的分散程度和波动性。
常用的离散统计指标包括标准差、方差和极差。
标准差是数据偏离均值的平均距离，是描述数据离散程度的重要统计量。
方差则是标准差的平方，用于衡量数据的波动性和离散程度。
另外，极差是描述数据取值范围的统计量，可以帮助我们了解数据的最大和最小取值之间的差异程度。
在实际应用中，离散统计指标可以帮助我们评估数据的波动性和风险程度，从而制定相应的风险管理和控制策略。
在金融投资中，我们可以利用标准差来衡量资产价格的波动性，进而评估投资风险并调整投资组合。
在生产制造中，研究人员也常用方差来评估生产过程的稳定性和一致性，以便提高生产效率和质量。
个人观点和理解对于正态分布的集中趋势和离散统计指标，我认为它们在数据分析和决策制定中起着至关重要的作用。
集中趋势指标可以帮助我们理解数据的中心位置，从而判断平均水平和典型取值。
集中趋势与离散趋势
允许用户自定义查询条件、筛选数据和调整图表 参数，以便更深入地探索数据的内在规律和关联 关系。
数据动画
将数据变化过程以动画形式展现出来，帮助用户 更直观地理解数据的变化趋势和动态特征。
06 总结与展望
CHAPTER
主要发现与结论
集中趋势描述
通过平均数、中位数和众数等指标，可以有 效地描述数据的集中趋势，反映数据分布的 中心位置。
众数
一组数据中出现次数最多的数。众数可能不唯一，也可能不存在。众数适用于分类数据和顺序数据，对于数值型 数据，如果数据分布的波动性较大，众数可能不能很好地代表数据的集中趋势。
03 离散趋势
CHAPTER
定义与概念
离散趋势
指一组数据中各数值之间的差异程度 或离散程度，是数据分布的另一个重 要特征。
直方图（Histogram）
将数据按照一定范围进行分组并用矩形条表示，通过矩形条的高度和宽度反映数据的分布 规律。
散点图（Scatter Plot）
用点的位置表示两个变量之间的关系，可通过观察点的分布情况和趋势线分析数据的集中 和离散趋势。
动态数据可视化在趋势分析中的应用
1 2 3
时间序列分析
通过动态展示数据随时间变化的情况，揭示数据 的长期趋势、季节波动和周期性规律。
• 关注数据质量和异常值处理：在实际数据分析中，异常值和数据质量问题是不 可忽视的。未来的研究可以关注如何有效地处理异常值和数据质量问题，以提 高集中趋势和离散趋势分析的准确性和可靠性。例如，可以采用稳健的统计方 法或者数据清洗技术对异常值进行处理，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
谢谢
THANKS
Tableau
功能强大的数据可视化工具，支持交互式数据分析和动态图表展示， 适用于大数据处理。
集中趋势和离散趋势PPT教案
数据分布的特征
集中趋势 (位置)
离散趋势 (分散程度)
偏态和峰度 （形状）
第1页/共94页
数据分布的特征和测度
数据的特征和测度
集中趋势
离散程度
分布的形状
众 数 Mode 中位数 Median 均 值 Mean
极差 四分位差 方差和标准差 离散系数
Range
偏态
Skewness
峰度
第31页/共94页
众数
(众数的不唯一性)
•无众数
原始数据:
8 一个众数 原始数据:
10 5 9 12 6 659855
多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
第32页/共94页
定类数据的众数
X i Fi Fi
第12页/共94页
调和平均数
(算例)
【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三 种蔬菜该日的平均批发价格
表 某日三种蔬菜的批发成交数据
蔬菜 名称
甲 乙 丙
批发价格(元) Xi
1.20 0.50 0.80
成交额(元) XiFi 18000 12500 6400
成交量(公斤) Fi
第20页/共94页
中位数
(概念要点)
1. 集中趋势的测度值之一
2. 排序后处于中间位置上的值
50%
50%
3. 不受极端值的影响 Me
4. 主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定 类数据
5. 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即
n
X i M e min
i 1
第21页/共94页
中位数
未分组资料时，中位数位次＝ N 1
集中趋势和离散趋势课件
03
实时数据分析
在实时数据分析中，快速准确地计算集中趋势和离散趋势对于及时做出
决策具有重要意义。研究者们正在研究如何利用新的计算方法提高实时
数据分析的效率和准确性。
对决策的影响研究
决策支持
集中趋势和离散趋势的计算结果可以为决策提供重要支持，如市场预测、风险 评估等。研究者们正在研究如何更好地利用这些结果为决策提供依据。
新的计算方法
随着统计学的发展，新的计算方 法不断涌现，如机器学习算法、 人工智能技术等，这些方法可以 更快速、准确地计算集中趋势和
离散趋势。
算法优化
针对现有计算方法的不足，研究 者们正在不断优化算法，提高计 算效率和准确性，以满足日益增
长的数据处理需求。
可解释性研究
为了更好地理解计算结果，研究 者们正在研究如何提高计算方法 的可解释性，使非专业人士也能
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
集中趋势和离散趋势的 应用
在数据分析中的应用
描述数据分布情况
通过计算数据的集中趋势和离散 趋势，可以了解数据的分布情况 ，从而更好地理解数据的特点和
规律。
识别异常值
通过离散趋势分析，可以识别出数 据中的异常值，这些异常值可能对 数据分析结果产生重大影响，需要 特别关注。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
集中趋势和离散趋势 课件
目录
CONTENTS
• 集中趋势 • 离散趋势 • 集中趋势和离散趋势的应用 • 集中趋势和离散趋势的比较 • 集中趋势和离散趋势的未来发展
REPORT
第五章数据分布特征的描述习题参考答案
第五章数据分布特征的描述习题参考答案一、名词解释集中趋势指标：集中趋势指标是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势指标就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。
这个代表值或中心值就是集中趋势指标。
数值平均数：数值平均数是将总体各单位数量标志值通过一定的数学公式计算出来所得到的集中趋势指标。
具体有算术平均数、调和平均数和几何平均数三种。
位置平均数：位置平均数是通过查找位置，所找到位置对应的数值作为集中趋势指标。
具体有众数和中位数两种。
离中趋势指标：离中趋势指标又称标志变动度，是反映总体各单位数量标志值差异程度的综合指标，用来反映总体各单位数量标志值的变动范围和离散程度。
极差：极差也称全距，是总体各单位数量标志值的最大值与最小值之差，反映总体各单位数量标志值的变动范围，常用R表示。
平均差：平均差是总体各单位数量标志值与其算术平均数离差绝对值的算术平均数。
常用“A.D”表示。
它综合反映了总体各单位数量标志值的变动程度。
方差：方差是总体各单位数量标志值与其算术平均数离差平方的算术平均数，通常以2σ表示。
标准差：标准差是方差的平方根，也是测度数量标志值的差异程度的指标。
标准差又称均方差，一般用σ表示。
离散系数：离散系数通常指标准差系数，是一组数据的标准差与其相应的算术平均数之比，是测度数据离散程度的相对指标。
偏态：偏态是指数据分布的偏斜方向和程度。
峰度：峰度是指次数分布曲线顶峰的尖平程度，是次数分布的又一重要特征。
二、单项选择题1~5：D C D C C 6~10：B C C D A三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1~5:√××××6~10:√√×四、简答题1、计算和应用集中趋势指标时应注意哪些问题？答：众数是一种位置代表值，易理解，不受极端值的影响。
任何类型的数据资料都可以计算，但主要适合于作为定类数据的集中趋势测度值，即使资料有开口组仍然能够使用众数。
【个人精编】数据集中趋势和离散程度笔记
数据的集中趋势和离散程度笔记一、知识点梳理知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。
（1）平均数算术平均数（简称为平均数）：121()n xx x x n（公式一）①一般地，如果在一组数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，……，x k 出现f k 次，（f 1，f 2，…f k 为正整数），则这组数据的平均数：当n 个数据中某些数据反复出现时，用该公式较简洁； f 1+f 2+…+f k =n （数据的总个数）。
②一般地，如果一组数据都在某个数a 上下波动时，就可以采用把原来每个数据都减去a ，得一组新数据，再算得这组新数据的平均数'x ，这样原来数据的平均数是：x ＝a ＋'x （公式三）平均数定义公式和两个简化计算公式都很重要，应根据具体情况，恰当选用。
特别的：一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，①若每个数据都扩大a 倍，即ax 1，ax 2，…，ax n ，则平均数也扩大a 倍，即a x ； ②若每个数据都增加b ，即x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b ，则平均数增加b ，即x ＋b ； ③若每个数据都扩大a 倍后又都增加b ，则平均数也扩大a 倍后增加b ，即a x ＋b ． 当数据组中数据较大又在某个数值左右波动或数据之间存在某种倍数关系时，利用这些规律求平均数比较直接、简便。
加权平均数在计算数据的平均数时，往往根据其重要程度，分别给每个数据一个“权”，由此求出平均数叫做加权平均数。
恒量各个数据“重要程度”的数值叫做权。
相同数据的个数叫做权，这个“权”含有所占分量轻重的意思。
ω1越大，表示x 1的个数越多，于是x 1的“权”就越重。
若n 个数x 1，x 2，…，x n 的权是分别是ω1，ω2，…，ωn ，则x ＝nnn x x x ωωωωωω++++++ 212211① 当ω1＝ω2＝…＝ωn ，即各项的权相等时，加权平均数就是算术平均数。
集中趋势、离散趋势的描述
频数 (2) 1 3 6 8 17 20 17 12 9 5 2 1 101
1´2.45 3´2.75 L1´5.75 409.75 X 4.06(mmol/L) 1 3L 1 101
2014-12-2 延安大学医学院计量资料统计描述 29
2、知识点：
①均数应用于呈正态分布或近似正态分布的计量资 料。 ②当资料呈正态分布时，均数位于分布的中心。 ③每个观察值都加一个常数A，则均数为原均数加
2014-12-2
延安大学医学院计量资料统计描述
23
二、平均水平（集中趋势）指标
统计上使用平均数（average）这一指标体
系来描述一组变量值的集中位置或平均水平。
常用的平均数有:
算术均数
几何均数 中 位 数
2014-12-2
众 数 调和均数
延安大学医学院计量资料统计描述
24
（一）算术均数
算术均数：简称均数（mean）
13.5
19.5
25.5
31.5
37.5
43.5.
血清转氨酶（mmol/L）
图2-2 115名正常成年女子血清转氨酶的频数分布
115名正常成年女子血清转氨酶（mmol/L）含量分布
转氨酶含量 12～ 15～ 18～ 21～ 24～ 27～ 30～ 33～ 36～ 39～ 42～45
2014-12-2 延安大学医学院计量资料统计描述
10
4．划记并统计频数
逐一划记
L X U
2014-12-2
延安大学医学院计量资料统计描述
11
101名正常成年女子的血清总胆固醇（mmol/L）频数分布
组 段
(1) 2.30～ 2.60～ 2.90～ 3.20～ 3.50～ 3.80～ 4.10～ 4.40～ 4.70～ 5.00～ 5.30～ 5.60～5.90 合 计
集中和离散趋势的描述
集中和离散趋势的描述
集中趋势描述了数据集中在哪个位置，而离散趋势描述了数据在这个位置周围是如何分布的。
集中趋势主要有以下几种描述方法：
1. 均值：均值是数据集中趋势最常用的描述方法，它是所有数据值的总和除以数据个数。
2. 中位数：中位数是将数据按照大小排序后，居于中间位置的数值。
它不受极端值的影响，更能准确地描述数据的集中趋势。
3. 众数：众数是数据集中出现最频繁的数值。
它在描述离散数据时特别有用。
离散趋势主要有以下几种描述方法：
1. 极差：极差是数据的最大值与最小值之间的差异，反映了数据的全局离散情况。
2. 方差：方差是每个数据值与均值之差的平方的平均值。
它用来度量数据集中的每个数据与均值的离散程度。
3. 标准差：标准差是方差的平方根。
它提供了数据分布的平均偏离程度，可以帮助评估数据的离散性。
4. 四分位数：四分位数是将数据按大小排序后分成四个等份，每个等份包含25%的数据。
第二个等份即为中位数，而第一个和第三个等份则为上下四分位数。
四分位数能够提供更详细的数据分布信息。
以上这些描述方法都可以帮助人们更好地理解数据的集中和离散趋势，从而做出更准确的分析和决策。
数据的集中趋势和离散程度知识点
数据的集中趋势和离散程度知识点文章一：《啥是数据的集中趋势？》朋友们，咱今天来聊聊数据的集中趋势。
比如说，咱班这次考试的成绩。
要是大部分同学都考了 80 分左右，那 80 分就可能是这个成绩数据的集中趋势。
再比如，咱去菜市场买菜。
一堆苹果，大多数都在半斤左右，那半斤就是这堆苹果重量数据的集中趋势。
像平均数、中位数和众数，都是能帮咱找到数据集中趋势的好帮手。
就拿平均数来说，一家人一个月的水电费，把所有费用加起来除以天数，得到的那个数就是平均数，能大概反映出这家人每天用水电的平均情况。
数据的集中趋势能让咱一下子就明白一堆数据的中心在哪儿，是不是挺有用？文章二：《走进数据的集中趋势》亲爱的小伙伴们，今天咱们来探索一下数据的集中趋势。
想象一下，学校运动会上，大家跑步的时间。
如果很多同学都在2 分钟左右跑完，那 2 分钟差不多就是跑步时间这个数据的集中趋势啦。
还有，大家一起收集树叶，看看树叶的大小。
要是多数树叶的面积都差不多，那这个差不多的大小就是树叶面积数据的集中趋势。
咱举个例子哈，一个班级同学的身高，把所有人的身高加起来除以人数，得到的那个数就是平均身高。
这个平均身高就能让咱知道这个班同学大概的身高水平。
再比如说，一组数字 3、5、5、7、8，这里面 5 出现的次数最多，那 5 就是众数，也是这组数据的集中趋势之一。
所以说，了解数据的集中趋势能帮咱快速抓住重点，是不是很有意思？文章三：《数据的集中趋势，你懂了吗？》朋友们好呀！今天咱们要说的数据的集中趋势，其实不难理解。
比如说，咱们去超市买零食，看各种零食的价格。
要是大部分零食都在 5 块钱左右，那 5 块钱就是这些价格数据的集中趋势。
再比如，咱们统计一个月里每天的气温。
如果有好多天的气温都在 25 度上下，那 25 度就可能是这个气温数据的集中趋势。
就拿咱班同学的零花钱来说吧，把大家的零花钱都加起来，再除以人数，算出来的那个数就是平均零花钱。
通过这个平均零花钱，咱能大概知道同学们零花钱的一般情况。
第五章数据分布特征的描述
第五章数据分布特征的描述数据分布特征的描述是对数据集中不同数值的分布情况进行统计和描述的过程。
通过对数据的分布特征进行分析，可以更加深入地了解数据的结构和性质，从而为后续的数据处理和分析提供基础。
数据分布特征的描述可以从以下几个方面展开：1.中心位置中心位置是描述数据集中心趋势的统计指标，常用的方法有均值、中位数和众数。
均值是所有数据的总和除以数据的个数，可以反映数据的平均水平；中位数是将数据按顺序排列后的中间值，可以反映数据的中间水平；众数是数据集中出现次数最多的数值，可以反映数据的典型水平。
2.离散程度离散程度是描述数据集中数据分散程度的统计指标，常用的方法有标准差、方差和四分位距。
标准差是各个数据与均值之差的平方和的平均数的平方根，可以反映数据的离散程度；方差是各个数据与均值之差的平方和的平均数，可以反映数据的离散程度；四分位距是将数据按顺序排列后，第一四分位数和第三四分位数之差，可以反映数据的离散程度。
3.偏态和峰态偏态和峰态是描述数据分布形态的统计指标。
偏态是描述数据分布偏离对称分布的程度，可以分为正偏态、负偏态和无偏态；峰态是描述数据分布峰度的陡峭程度，可以分为高峰态、低峰态和正常峰态。
4.分布形状分布形状是描述数据集中数据分布方式的统计指标。
常见的分布形状有正态分布、均匀分布、指数分布、泊松分布等。
分布形状的了解可以帮助我们判断数据是否符合一些特定的概率分布模型。
除了上述指标，还可以通过绘制直方图、箱线图、散点图等图形来描绘数据分布情况，以便更加直观地了解数据的特征。
总结起来，数据分布特征的描述可以通过中心位置、离散程度、偏态和峰态、分布形状等多个统计指标来反映不同数值的分布情况，通过这些描述可以更加全面地了解数据的结构和性质，为后续的数据处理和分析提供基础。
集中趋势和离散趋势的描述
对某医院120 120名细菌性痢疾治愈者的住院天数 例 对某医院120名细菌性痢疾治愈者的住院天数 统计，试求第5百分位数和第99百分位数。 统计，试求第5百分位数和第99百分位数。 99百分位数 住院天数： 住院天数： 2 2 2 3 3 4 4 5 ⋯ 40 1 序
40 42 45 号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ 117 118 119 120
2.35 + 4.78 + ⋯ + 3.91 X= = 4.03(mmol/L) 101
（2）加权法(利用频数表） 加权法(利用频数表）
f1 X 1 + f 2 X 2 + f3 X 3 + ⋯ + f k X k X= = f1 + f 2 + f3 + ⋯ + f k
∑ ∑
409.75 X = fX 101 = 4f06(mmol / L) .
百分数： 为整数： （1）第5百分数：n=120， ×5% = 6，为整数： ） 百分数 ， 120
1 1 P5 = X ( 6 ) + X ( 7 ) = (3 + 4) = 3.5( 天 ) 2 2
住院天数： 住院天数： 2 2 2 3 3 4 4 5 ⋯ 40 1 序 （2）第99百分位数： 99百分位数： 百分位数
G = lg
−1
f )= ∑ f lg X ) =−1 (150.2778lglgX(2.1779) = 150.6 ( lg G = lg ( 69 ) ∑f
−1 −1
∑ ∑f
三、中位数与百分位数 例：大鼠存活天数： 大鼠存活天数： 4，10，7，50，3，15，2，9，13，>60，>60 10， 50， 15， 13，>60， 平均存活天数? 平均存活天数? （一）中位数（median） 中位数（median） 是将n个变量值从小到大排列， 是将n个变量值从小到大排列，位置居于 中间的那个变量值。 中间的那个变量值。
第五章数据分布特征的描述
某公司下属18个企业，计划完成相对数如下
产值计划完 成程度 （%） 80—90 90—100 100—110 110—120 合计 组中值 （%） 85 95 105 115 —— 企业数 （个） 2 3 10 3 18 计划产值 (万元） 800 2500 17200 4400 24900 实际产值 （万元）xf 680 2375 18060 5060 26175
105~110 110~115 115~120 120~125 125~130 130~135 135~140 合计
14 8 M0 5 123 ( 个 ) 120 (14 8 ) (14 10 )
按成绩分 组（分） 60以下 60—70 70—80 80—90 90—100 合计
只有在总体单位充分多，且又有明显的集中趋 势时才可能确定众数。在较小的总体范围内， 确定众数没有意义。 可能没有众数或有几个众数 主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值 型数据
无众数 原始数据: 8
一个众数 原始数据: 6
10
5
9 12
6
第五章 统计分布特征的描述集中趋势和离散趋势
即如果以总体单位某一标志的平均数为中心线， 则总体各单位的标志值主要分布于中心线及其上下 附近，而远离中心线的标志值较少。
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（三）平均指标的种类
数值平均数：根据统计数列中的各项数据计 算出的平均数。主要有：算术平均数、 调 和平均数、几何平均数。
知道不足就应该马上改进，知道了统计漏洞就应该马上着手改革，这才是正途所在。否则，前期该 做的辛苦统计工作也许一样没少，却在最后数学计算的时候如此粗糙，“不精确”也好，“敏感” 也罢，在民众看来实际都意味着“统计失败”。而且，经过公众连续不断的质疑和批评仍然我行我 素不思改进，那么我们真的只能摇头感叹：有一种无聊叫统计平均工资。
(4)计量单位表示不同。
强度相对指标一般为复名数，有时为无名数；平 均指标则为单名数。
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（二）、算术平均数的计算 1.简单算术平均数 计算公式:
N
XX1X2 XN i1Xi
N
N
适用条件:未分组的原始资料
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例1：
某企业一生产班组共5人，他们在2000年9月的月工 资分别为1700元，1900元，1500元，1850元，2200 元。则他们的月平均工资为：
(2)相对权数
n
X
Xi
fi
n
i1
fi
i1
1.4520%1.5530%1.6520%1.7520%1.8510%
1.62(米)
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例3：某班英语成绩整理如下,求学生英语平均成绩.
成绩 90以上 80~90 70~80 60~70 60以下 合计
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一、平均指标的概念和作用
▪ ㈠概念：平均指标是指将同质总体内各 单位的数量差异抽象化，反映总体一般 水平或集中趋势的统计指标
▪ 所谓集中趋势，指一组数据向某一中心 值靠拢的倾向，测度集中趋势，也就是 寻找数据的一般水平的代表值或中心值。
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2、作用
（1）使范围不同的总体具有可比性。 （2）反映总体各单位的一般水平这一综合特征，抽
(4)计量单位表示不同。
强度相对指标一般为复名数，有时为无名数；平 均指标则为单名数。
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（二）、算术平均数的计算 1.简单算术平均数 计算公式:
N
XX1X2 XN i1Xi
N
N
适用条件:未分组的原始资料
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例1：
某企业一生产班组共5人，他们在2000年9月的月工 资分别为1700元，1900元，1500元，1850元，2200 元。则他们的月平均工资为：
1.75
4
1.8－1.9
1.85
2
合计
——
20
比重（％） 20 30 20 20 10 100来自(2)相对权数n
X
Xi
fi
n
i1
fi
i1
20 25 %21 25 %22 10 %23 40 %21 .65
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例2：组距式数列（等距数列） 某班学生身高情况表
按身高分组（米） 组中值 人数（人）
1.4－1.5
1.45
4
1.5－1.6
1.55
6
1.6－1.7
1.65
4
1.7－1.8
位置平均数：将各单位标志值排序后，取得 某一位置的标志值作为反映一般水平的代表 值。有:众数、中位数。
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二、算术平均数（Arithmetic Mean）
㈠基本公式
算术平均数 总 总体 体单 标位 志总 总量 量 例如：
平均工资=企业工资总额/工人数， 平均成绩=成绩总分/学生人数
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
第一节 集中趋势的测定：平均指标
一、平均指标的概念和作用 二、算术平均数 三、调和平均数 四、几何平均数 五、众数 六、中位数 七、各种平均数之间的相互关系
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注意区分算术平均数和强度相对数；
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算术平均数和强度相对指标的区别：
(1)含义不同：
强度相对指标是指两个性质不同但有一定联系的 总量指标之比；
而平均指标则用来反映同质总体内各单位某一数 量标志的一般水平。
(2)作用不同：
强度相对指标表明现象程度发展的强度、密度或 普遍程度；
象掉了个体差异。 （3） 反映总体分布的集中趋势。
即如果以总体单位某一标志的平均数为中心线， 则总体各单位的标志值主要分布于中心线及其上下 附近，而远离中心线的标志值较少。
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（三）平均指标的种类
数值平均数：根据统计数列中的各项数据计 算出的平均数。主要有：算术平均数、 调 和平均数、几何平均数。
民族 汉 汉 回 汉 汉 回 回 满 汉 汉 汉 汉 回 汉 汉 回 汉 汉 满 满
年龄 21 21 23 23 22 21 20 23 23 21 23 23 22 21 23 23 20 20 20 20
身高 1.52 1.43 1.58 1.51 1.69 1.75 1.81 1.65 1.65 1.76 1.48 1.43 1.58 1.61 1.71 1.52 1.46 1.82 1.58 1.73
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例1：单项式数列 某班学生年龄情况表
按年龄分组（岁） 人数（人）
比重（％）
20
5
25
21
5
25
22
2
10
23
8
40
合计
20
100
分组
频数
频率
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求学生的平均年龄 解:(1)绝对权数
n
X i fi
X
i 1 n
fi
i 1
20 5 21 5 22 2 23 8 21 .65 (岁) 5528
第五章 统计分布特征的描述： 平均指标和变异指标
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第五章 统计分布特征的描述
第一节 集中趋势的测度：平均指标 第二节 离散趋势的测度：变异指标
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精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
N
20
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㈢加权算术平均数 计算公式:
m
XX1f1f 1 X2 f2 f2 fm Xmfmi 1 m X fiifi
m
Xi
i 1
fi
m
fi
i 1
i 1
式中：X 为算术平均数; f为i 第 组i的次数； 为m组 数；X i 为第i组的标志值或组中值。
适用条件: 分组资料
而平均指标则表明同类现象在一定时间、地点条 件下所达到的一般水平。
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(3)计算方法不同。
强度相对指标的分子与分母分别来自不同的总体， 一般没有直接的依存关系，且有的强度相对指标 分子分母可以对换，即强度相对指标可以计算正 指标或逆指标；
而平均指标的分子是总体总量指标，分母则是同 一总体内的总体单位总量，两者具有密切的关系， 且平均指标的分子分母不能互换。
政治面貌
中共党员
中共党员
团员
团员
团员
中共党员
团员
团员
中共党员
团员
中共党员
团员
中共党员
团员
团员
团员
中共党员
团员
中共党员
团员
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班级平均年龄：
N
Xi1Xi 2 12 12 3 2 02 02.6 1(岁 5)
N
20
班级平均身高：
N
Xi 1X i 1.5 2 1.4 3 1.5 8 1.5 8 1.7 3 1.61 (米 3 ) 5
x x
n 17001900150018502200
5 1830(元)
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例2：
某某班学生基本情况调查表
姓名 张三 李四 王五 贾六 刘七 杨小 孙非 王继 赵可 武思 兰第 拉达 向乐 项于 可人 梁草 保安 马宝 姜清 林 2020可 /12/2
性别 男 女 男 女 男 男 男 男 女 男 女 女 男 女 男 女 男 男 女 男