直线的参数方程选修
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选修4-4 第五节几种常见的参数方程
x＝1＋2cos t， (0≤t≤π)，把它化为普通 y＝－2＋2sin t
方程，并判断该曲线表示什么图形．
所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 将它化为参
轴上，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1， 25 16 x＝4cos θ ， 故参数方程为 (θ 为参数)． y＝5sin θ
y2
x2
（x－1）2 （y＋2）2 1． 写出圆锥曲线 ＋ ＝1 的 3 5
例1
x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
解析：(1) 4x＋3y－50＝0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α ＝－ ，sin α ＝ . 5 5 3 x＝5－ u， 5 则参数方程的标准形式为： 4 y＝10＋ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在 直线 l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和 点 N(－2，6)的距离．
3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ，设直线的 4 3 3 4 则 tan α ＝ ，sin α ＝ ，cos α ＝ . 4 5 5
制作人：葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x＝x0＋tcosα ， 1． 经过点 M0(x0， y0)， 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y＝y0＋tsinα
(t 为参数)．
t0
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
三、例题讲解 例1 已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交于 例1.
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
三、例题讲解
x y 1 0 解：由 y x2 得：2 x 1 0 x
C. 45
0
D.135
0
130 27 和8 x 15 y 85 0, 切点为（ ， ） 17 17
练习： 1、直线{ x 2 2t y 3 2t (t为参数)上与点P(2,3)
(
距离等于 2的点的坐标是
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)
C
)
B(-3,4) D(-4,5)(0,1)
则 MA MB ( 1 1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2
3 5 3 5 4 2
（）如何写出直线的参数方程？ 1 l
①
（）如何求出交点 ，B所对应的参数1，t 2 ? 2 A t
(*)
由韦达定理得：1 x2 1，x1 x2 1 x
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解得：x1 ，x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , )，B( , ) 2 2 2 2
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
高二数学直线的参数方程
人教A版选修4－4第二讲参数方程
一、引入 1、数轴是怎样建立的？数轴上 点的坐标是怎么确定的？
2、在平面直角坐标系中，确定 一条直线的几何条件是什么？
二、新课
经过点M0（x0,y0),倾斜角为 ( ) 2 的直线L的普通方程为：
y y0 tan ( x x0 )
思考1：当点M在直线L上运动 时，点M满足怎样的几何条件？
增到了三千多万,而且还有人正在往这边聚过来丶不过因为这蛮古城本来就不大,即使是呆在城忠の其它地方,只要壹抬头,也能看到这个恐怖の天道台,也不用刻意赶到这边来,也近不了多少丶根汉被送出了擂台,人出现在了第壹天道台之上丶只不过他还是那副玩世不恭,不可 壹世の样子,半躺在那里喝着小酒,有些懒散の说："不管人亭还是兽亭,只要觉得自己还不错の话,就上来吧,本少壹并接着,要是嫌实力不够,想多凑几人本少也接着。""小子太狂妄了!""他真以为自己天下无敌了吗!""难道咱蛮古城就真の没有人吗!""上来几位高手呀!""三大 蛮神在何处,这时候不来相助吗!""再这样下去咱蛮古城の神威都要熄灭了!"根汉壹席嚣张の话,惹得下面の人亭和兽亭都对他相当不满,不过却也有不错の效果,壹下子就有三四百万道の信仰之力升腾起来,朝他这边汇聚过来丶有人觉得你嚣张不好,但是有些人可能就佩服嚣张 の人,嚣张也有嚣张の资本,自已击败了几位强者,又令这天道台开启,这本身就是壹种强大の实力丶壹边喝着小酒,壹边看着下面密密麻麻の人亭,兽亭,根汉是壹点反应也没有丶他早就不是当年の那个少年了,自称"本少"这个称呼,也有些年头没有这样自称了,以他现在の境界 和实力,在这里确实是有些无耻丶可是无耻就无耻嘛,只要能吸收到信仰之力,也顾不了这么多了丶
一、引入 1、数轴是怎样建立的？数轴上 点的坐标是怎么确定的？
2、在平面直角坐标系中，确定 一条直线的几何条件是什么？
二、新课
经过点M0（x0,y0),倾斜角为 ( ) 2 的直线L的普通方程为：
y y0 tan ( x x0 )
思考1：当点M在直线L上运动 时，点M满足怎样的几何条件？
增到了三千多万,而且还有人正在往这边聚过来丶不过因为这蛮古城本来就不大,即使是呆在城忠の其它地方,只要壹抬头,也能看到这个恐怖の天道台,也不用刻意赶到这边来,也近不了多少丶根汉被送出了擂台,人出现在了第壹天道台之上丶只不过他还是那副玩世不恭,不可 壹世の样子,半躺在那里喝着小酒,有些懒散の说："不管人亭还是兽亭,只要觉得自己还不错の话,就上来吧,本少壹并接着,要是嫌实力不够,想多凑几人本少也接着。""小子太狂妄了!""他真以为自己天下无敌了吗!""难道咱蛮古城就真の没有人吗!""上来几位高手呀!""三大 蛮神在何处,这时候不来相助吗!""再这样下去咱蛮古城の神威都要熄灭了!"根汉壹席嚣张の话,惹得下面の人亭和兽亭都对他相当不满,不过却也有不错の效果,壹下子就有三四百万道の信仰之力升腾起来,朝他这边汇聚过来丶有人觉得你嚣张不好,但是有些人可能就佩服嚣张 の人,嚣张也有嚣张の资本,自已击败了几位强者,又令这天道台开启,这本身就是壹种强大の实力丶壹边喝着小酒,壹边看着下面密密麻麻の人亭,兽亭,根汉是壹点反应也没有丶他早就不是当年の那个少年了,自称"本少"这个称呼,也有些年头没有这样自称了,以他现在の境界 和实力,在这里确实是有些无耻丶可是无耻就无耻嘛,只要能吸收到信仰之力,也顾不了这么多了丶
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
2 x=3t 2 参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标 y= 5+ 2 t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ .
x=2t 7.点（-3，0）到直线 (t为参数）的距离为_______. 2 t y= 2 x=2t 【解析】∵直线 的普通方程为x- 2 2 y=0， 2 y= t 2 |-3-0| ∴点(-3,0)到直线的距离为d= =1.
1+(-2 2) 2
答案：1
8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
பைடு நூலகம்
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 5 sinθ，得x2+y2- 2 5 y=0，
即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( 2 t)2 =5 ，
的直线 3
（C）过点（1，-2）且倾斜角为 2 的直线
3 （D）过点（-1，2）且倾斜角为 2 的直线 3
【解析】
x=-1+tsin10 6.直线 (t为参数)的倾斜角为( y=2-tcos10
) (D)170°
(A)10° 【解析】
第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程
![第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程](https://img.taocdn.com/s3/m/a11e7411ff00bed5b9f31dd5.png)
距离是________．
解析：直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x －1)2＋y2＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到 |2| 直线 l 的距离为 2 2＝ 2. 1 ＋－1
答案： 2
x＝1＋3t， 5．(2012· 湖南十二校联考)若直线的参数方程为 y＝2－ 3t
解析：由 y＝t－1，得 t＝y＋1，代入 x＝3t＋2，得 x ＝3y＋5， 即 x－3y－5＝0.
答案：x－3y－5＝0
x＝5cos θ， 2．(教材习题改编)曲线 y＝3sin θ
(θ 为参数)的左焦点
的坐标是________．
x2 y2 解析：化为普通方程为 ＋ ＝1，故左焦点为(－4,0)． 25 9
x＝2t＋2a， y＝－t
(t 为参数)，曲线
x＝2cos θ， C2： y＝2＋2sin θ
(θ 为
参数)．若曲线 C1，C2 有公共点，则实数 a 的取值范围 是________．
解析：将曲线 C1，C2 的参数方程化为普通方程， 得 C1：x＋2y－2a＝0，C2：x2＋(y－2)2＝4. 因为曲线 C1 与 C2 有公共点， |4－2a| 所以圆心到直线的距离 ≤2， 5 解得 2－ 5≤a≤2＋ 5.
[自主解答] ＝16.
由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2
π 因为直线l过点P(2,2)，倾斜角α＝ ，所以直线l的参数 3 π x＝2＋tcos3， 方程为 y＝2＋tsinπ， 3 1 x＝2＋2t， 即 y＝2＋ 3t 2
(t为参数)．
1 x＝2＋2t， 把直线l的参数方程 y＝2＋ 3t 2
去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方 法从整体上消去参数． 2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y
湘教版选修4《直线的参数方程》评课稿
湘教版选修4《直线的参数方程》评课稿一、教材分析1.1 教材内容本文评价的教材为湘教版选修4《直线的参数方程》课程教材。
该教材主要介绍了直线的参数方程及其在几何中的应用，包括直线的定义、参数方程的定义与性质、直线的平行及垂直关系等内容。
1.2 教材结构该教材共分为四个模块，首先介绍了直线的定义和基本性质，然后详细介绍了直线的参数方程的定义与性质，接着讲解了直线的平行及垂直关系，并结合实际问题进行了一些例题分析，最后通过总结和复习巩固所学知识。
二、教材评价2.1 教材优点2.1.1 知识结构合理教材从直线的定义出发，逐步引入参数方程的概念，并通过示例与练习，帮助学生深入理解直线的参数方程的含义和计算方法，适合学生的认知水平，能够有效培养学生的抽象思维和解决实际问题的能力。
2.1.2 示例丰富多样在参数方程的解法和应用过程中，教材提供了丰富的示例，涵盖了直线方程的各个应用场景，如平面图形的交点、直线的平移等，能够帮助学生灵活运用参数方程解决实际问题。
2.1.3 突出实践运用教材通过一些实际问题的引入，将参数方程与实际生活和工程问题相结合，激发学生的学习兴趣，增强学生对数学在实际生活中的认识和应用能力。
2.2 教材不足2.2.1 缺乏拓展探究在直线的参数方程的学习过程中，教材没有设置足够的拓展探究内容，如直线与圆的参数方程的关系、参数方程的应用于其他几何图形等，有待进一步完善，以提高学生的综合应用能力。
2.2.2 缺乏综合实践题教材的练习题主要围绕参数方程的计算和应用展开，缺乏一些综合实践题，如将参数方程应用到三角函数的性质中，解决实际生活中的问题等，需要增加这方面的题目来提高学习的综合应用能力。
2.3 教材改进建议2.3.1 添加拓展探究内容在教材中可以增加一些与直线参数方程相关的拓展探究内容，如直线与圆的参数方程的关系、参数方程的应用于其他几何图形等，以提高学生的综合应用能力和对数学的兴趣。
2.3.2 增加综合实践题在教材的练习题中，可以增加一些综合实践题，如将参数方程应用到三角函数的性质中，解决实际生活中的问题等，以提高学习的综合应用能力和思维能力。
选修4-4直线的参数方程优秀课件
设直线 l的倾斜角为 ，定点 M 0、动点 M的坐标 分别为 ( x0 , y0 )、 ( x, y )
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
AB的中点坐标为( (A)（3，-3） (C)（ 3，-3）
) (B)（- 3，3） (D)（3，- 3）
【解析】
1 x=1- 2 t 5.以t为参数的方程 表示( y=-2+ 3 t 2
3
)
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线 （B）过点（-1，2）且倾斜角为
2 2
整理，得 t 2 -3 2t+4=0 .
由于Δ=( 3 2 )2-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得 又直线l过点
P(3,பைடு நூலகம்)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2= 3 2 .
y 2 ，过点P(2，1)的直线交双曲 12.（14分）已知双曲线 x - =1 2
的直线 3
（C）过点（1，-2）且倾斜角为 2 的直线
3 （D）过点（-1，2）且倾斜角为 2 的直线 3
【解析】
x=-1+tsin10 6.直线 (t为参数)的倾斜角为( y=2-tcos10
) (D)170°
(A)10° 【解析】
(B)80°
(C)100°
二、填空题（每小题8分，共24分）
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 5 sinθ，得x2+y2- 2 5 y=0，
即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( 2 t)2 =5 ，
2014年人教A版选修4-4课件 3.直线的参数方程
例 1. 已知直线 l: xy10 与抛物线 yx2 交于 A, B 两点, 求线段 AB 的长和点 M(1, 2) 到 A, B 两点的距离之积. 解: ∵M(1, 2) 在直线 l 上, 其倾斜角为 135. ∴直线 l 的参数方程为 x 1 t cos135, y 2 t sin135. (t 为参数) 将其代入抛物线的方程并整理得 t 2 2t 2 0. t1 t2 2 , t1t2 2. (1) |AB||t1t2| (t1 t2 )2 4t1t2
x 1 t cos 45, 练习(补充). 已知直线的参数方程 y t sin 45. (t 为参数), 回答下列问题, 并比较 t 与线段长度的值: (1) t10 时点 M0 的坐标; (2) t21 时点 A 的坐标及线段长 |AM0|; (3) t32 时点 B 的坐标及线段长 |BM0|, |AB|. 解: (1) t10 时, x1, y0. 得点 M0 的坐标为 M0(1, 0). 2. (2) t21 时, x 1 2 , y 2 2 点 A 的坐标为 (1 2 , 2 ). 2 2 2 2 2 | AM0 | (1 1) ( 0)2 2 2 1 t2.
x 1 t cos 45, 练习(补充). 已知直线的参数方程 y t sin 45. (t 为参数), 回答下列问题, 并比较 t 与线段长度的值: (1) t10 时点 M0 的坐标; y (2) t21 时点 A 的坐标及线段长 |AM0|; (3) t32 时点 B 的坐标及线段长 |BM0|, |AB|. M0 A O 1 x 解: (1) t10 时, x1, y0. B 得点 M 的坐标为 M (1, 0). 0 , x 1 2, 0 y 2. (3) t32 时 2. (2) 点 t2B 1时 , x 1 (12 y 的坐标为 , 2 , 2 2 ). 2 2 2 | t3 |. 2 2 2 |点 BM | ( 1 2 1 ) ( 2 0 ) 0 A 的坐标为 (1 , ). 2 2 2 2 )2 | AB | (1 2 2 1 2 2 )2 ( 2 2 | AM0 | (1 1) ( 2 0)2 2 2 3 | t3 t2 |. 1 t2.
福建省晋江市季延中学人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程
13
代入方程得： 4 t'2－ 4 t'＋1＋ 9 t'2＋ 12 t'＋4－9＝0
13
13
13
13
t'2
8 13
t'
4
0;
t1'
t
' 2
8 13
,
t1't
' 2
4;
t1'
t
' 2
(t1' t2' )2
4t1't
' 2
4
17 .
例1
y
解：因为把点M的坐标代入
直线方程后,符合直线方程,
A
M(-1,2)
例2 过 M (2,1) 作直线 l, 交椭圆 x2 y2 1 于A,B 两点, 16 4
如果点 M为线段 AB 中点,求直线 l 的方程.
例2 过 M (2,1) 作直线 l, 交椭圆 x2 y2 1 于A,B 两点, 16 4
如果点 M为线段 AB 中点,求直线 l 的方程.
(册)
思考：
求
直
线
x y
1 2t 2 3t
与 圆x2
y2
9所 交 弦 长 。
分析：此处的t的系数平方和不等于1，且－
3<0因此t不具有参数方程标准式中t的几何意
义。要先化为标准式。
解：
x
1
y 2
2 ( 13t ) 13 3 ( 13t )
令t'＝－ 13t
13
方程可化为
x
1
y 2
2 t' 13 3 t'
例2 已知两点 A(1, 3), B(,1) 和直线 l : y x,
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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π 解：∵直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝ ， 6 3 x＝－4＋ 2 t， ∴可设直线 l 的参数方程为 y＝ t . 2 3 2 1 2 代入圆方程，得(－4＋ t)t＋9＝0. 设 A、B 对应的参数分别 t1 和 t2， 由韦达定理得 t1＋t2＝4 3，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝2 3. 解得 t1＝3 3，t2＝ 3，代入直线参数方程 3 x＝－4＋ 2 t， y＝1t， 2 1 3 3 5 3 得 A 点坐标( ， )，B 点坐标(－ ， )． 2 2 2 2
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2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)(2)
x＝1＋tcos 解：(1)直线的参数方程为 y＝1＋tsin 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t. 2
π 6， π 6，
3 x＝1＋ 2 t (2)把直线 代入 x2＋y2＝4， y＝1＋1t 2 3 2 1 2 得(1＋ 2 t) ＋(1＋2t) ＝4，t2＋( 3＋1)t－2＝0， t1t2＝－2，则点 P 到 A，B 两点的距离之积为 2.
cos x＝1＋t· 提示：根据直线参数方程的定义，易得 y＝5＋t· sin 1 x＝1＋2t， y＝5＋ 3t. 2
π 3 π 3
，即
2 x＝－1－ 2 t 2．已知直线 l 的参数方程为 y＝2＋ 2t 2 l 的斜率为何值？
(t 为参数)，则直线
[读教材· 填要点] 1．直线的参数方程 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α. (t 为参数)． 2．直线的参数方程中参数 t 的几何意义 (1)参数 t 的绝对值表示 参数t所对应的点M到定点M0的
(t 为参数)， 则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________．
[命题立意]
本题主要考查直线的参数方程的应用，以及直
线与圆的位置关系．
π [解析] 因为 0≤θ≤2，所以曲线 C1 的普通方程为 x2＋y2＝ 2 2 2 2 5(x≥0，y≥0)，把直线的参数方程代入，得到(1－ 2 t) ＋(－ 2 t) 2 1－ 2 t≥0， ＝5，且 － 2t≥0， 2
4 x＝1＋5t， 所以直线 l 的参数方程为 y＝1＋3t 5
(t 为参数)．
因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上． 4 由 1＋5t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点的距离公式， 可得|PN|＝ 1＋22＋1－62＝ 34.
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
)(6,-12π )
(B)(6,6π ) (D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x=6(cos2+2sin2)=6 ， y=6(sin2-2cos2)=-12
故点(6,-12π)为所求.
1 x=1+ t 2 4.直线 (t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则 y=-3 3+ 3 t 2
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
2 x=3t 2 参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标 y= 5+ 2 t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ .
x=2t 7.点（-3，0）到直线 (t为参数）的距离为_______. 2 t y= 2 x=2t 【解析】∵直线 的普通方程为x- 2 2 y=0， 2 y= t 2 |-3-0| ∴点(-3,0)到直线的距离为d= =1.
1+(-2 2) 2
答案：1
8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
2 2
整理，得 t 2 -3 2t+4=0 .
由于Δ=( 3 2 )2-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得 又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2= 3 2 .
y 2 ，过点P(2，1)的直线交双曲 12.（14分）已知双曲线 x - =1 2
(B)(6,6π ) (D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x=6(cos2+2sin2)=6 ， y=6(sin2-2cos2)=-12
故点(6,-12π)为所求.
1 x=1+ t 2 4.直线 (t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则 y=-3 3+ 3 t 2
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
2 x=3t 2 参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标 y= 5+ 2 t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ .
x=2t 7.点（-3，0）到直线 (t为参数）的距离为_______. 2 t y= 2 x=2t 【解析】∵直线 的普通方程为x- 2 2 y=0， 2 y= t 2 |-3-0| ∴点(-3,0)到直线的距离为d= =1.
1+(-2 2) 2
答案：1
8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
2 2
整理，得 t 2 -3 2t+4=0 .
由于Δ=( 3 2 )2-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得 又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2= 3 2 .
y 2 ，过点P(2，1)的直线交双曲 12.（14分）已知双曲线 x - =1 2
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
)
(A)(6,0) (C)(6,-12π )
(B)(6,6π ) (D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x=6(cos2+2sin2)=6 ， y=6(sin2-2cos2)=-12
故点(6,-12π)为所求.
1 x=1+ t 2 4.直线 (t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则 y=-3 3+ 3 t 2
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 5 sinθ，得x2+y2- 2 5 y=0，
即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( 2 t)2 =5 ，
)
(A)直线经过点（7，-1） (B)直线的斜率为 3
4
(C)直线不过第二象限 (D)|t|是定点M0（3，-4）到该直线上对应点M的距离 【解析】选D.直线的普通方程为3x-4y-25=0,由不是标准式，
故|t|不具有上述几何意义，故选D.
x=6(cos+sin) 3.当φ =2π 时，圆的渐开线 上的点是( y=6(sin-cos)
答案:(x+1)2+y2=2
x=1-t 9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为 (t是参数)， y=2+t
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
2-3直线的参数方程-课件(人教A版选修4-4)
经过点
3 A－3，－2，倾斜角为
α 的直线 l 与圆 x2＋y2＝25
相交于 B，C 两点． (1)求弦 BC 的长； (2)当 A 恰为 BC 的中点时，求直线 BC 的方程； (3)当|BC|＝8 时，求直线 BC 的方程； (4)当 α 变化时，求动弦 BC 的中点 M 的轨迹方程．
【错解】 把直线方程代入圆的方程，化简得 t2－6t＋2＝0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2，那么 t1＋t2＝6，t1· t2＝2， 由于|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，从而|MA|· |MB|＝|t1· t2|＝2，|AB|＝|t2－t1| ＝ t1＋t22－4t1t2＝ 62－4×2＝2 7.
∴方程必有相异两实根 t1，t2，且 t1＋t2＝3(2cos α＋sin α)， 55 t1 · t2＝－ 4 . (1)|BC|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 92cos α＋sin α2＋55. (2)∵A 为 BC 中点，∴t1＋t2＝0， 即 2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 3 故直线 BC 的方程为 y＋2＝－2(x＋3)， 即 4x＋2y＋15＝0.
， x＝1＋tcos 75° 方法：把原方程化为标准形式，即 ， y＝1＋tsin 75°
可以看出
直线的倾斜角为 75° .
特别提醒
x＝x0＋at b 过点 M(x0， y0)， 斜率为 k＝a的直线的参数方程为 y＝y0＋bt
(t 为参数)，这种形式称为直线的一般式参数方程，其中的参数 t 不是有向线段的数量轨迹是以 －2，－4 为圆心，以 4 为半径的圆．
易错盘点
(对应学生用书 P23)
易错点
不能正确运用直线参数方程参数 t 的几何意义 t x＝2－2， 已知过点 M(2，－1)的直线 l： y＝－1＋ t 2
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
答案:(x+1)2+y2=2
x=1-t 9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为 (t是参数)， y=2+t
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
【解析】
答案：
三、解答题（共40分）
x=-3+t 10.（12分）化直线l的参数方程 (t为参数)为普通方 y=1+ 3t
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
AB的中点坐标为( (A)（3，-3） (C)（ 3，-3）
) (B)（- 3，3） (D)（3，- 3）
【解析】
1 x=1- 2 t 5.以t为参数的方程 表示( y=-2+ 3 t 2
3
)
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线 （B）过点（-1，2）且倾斜角为
的直线 3
（C）过点（1，-2）且倾斜角为 2 的直线
3 （D）过点（-1，2）且倾斜角为 2 的直线 3
【解析】
x=-1+tsin10 6.直线 (t为参数)的倾斜角为( y=2-tcos10
) (D)170°
(A)10° 【解析】
(B)80°
(C)100°
二、填空题（每小题8分，共24分）
)
(A)(6,0) (C)(6,-12π )
(B)(6,6π ) (D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x=6(cos2+2sin2)=6 ， y=6(sin2-2cos2)=-12
故点(6,-12π)为所求.
1 x=1+ t 2 4.直线 (t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则 y=-3 3+ 3 t 2
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一、课题引入
我们知道，一个定点M0(x0,y0)和倾斜角α(α≠π/2)可以惟 一确定一条直线：
(1) e (cos,sin)
y
(2) M0M ( x, y) ( x0, y0 ) ( x x0, y y0 )
又 M0M // e
r
l
e
M
存在惟一实数t R，使得 M0M te
M0 α
4.经过抛物线 y2 2 px( p 0)外的一点 A(-2,-4),且倾斜角为 450 的直线l与抛物线分别交于M1, M 2 , 如果 AM1 , M1M 2 , AM2 成等比数列,求p的值.
5.直线 xy
t t
cos
sin a
(t为参数）与圆xy
4 2 cos 2 sin
(为参数）相切，则直线倾斜角为(
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
（3）
AB、MA
MB
与t1，t
有什么关系
2
？
（1） M1M2 t1 t2
（2） t t1 t2 2
课堂练习
1.一条直线的参数方程是
x
1
1 2
t
(t为参数），
y
5
3t 2
另一条直线的方程是x-y-2 3 0,则两直线的交点
与点（1，-5）间的距离是
o
P
3.经过点M (2,1)作直线交双曲线x2 -y2 =1于A, B两点, 如果点M为线段AB的中点,求直线AB的方程.
O
x
（1）
直
线
x y
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
x 1
2t 2 （t为参数）
（2） 直 线x
y
1
0的 一 个 参 数 方 程 是
y
2 t
2
。
直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
t
表示参数t
对应的点M
到定点M
的距离。
0
当M 0M与e同向时，t 取正数；
当M 0M与e异向时，t 取负数； 当点M 与M 0重合时，t 0.
例1. 已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于A, B两点, 求线段AB的长和点M (-1,2)到A, B两点的距离之积.
解
：
由
xy求 y解x2 1如本果题0 在呢得学？：x习2 直x 线1 的0 参数(方*) 程之前,你会怎样
)
A. 或 5
66
B. 或 3
44
C. 或 2 D. 或 5
33
66
6.如直线 xy
4 bt
at
(t为参数）与曲线x2
y2 4x
或 2
1 0相切，则这条直线的倾斜角等于 3 3
由韦达定理得：x1 x2 1，x1 x2 1
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
由(*)解得：x1
1 2
5
，x2
1 2
5y1 3 2 Nhomakorabea5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1 5 , 3 5 )，B( 1 5 , 3 5 )
我们知道，一个定点M0(x0,y0)和倾斜角α(α≠π/2)可以惟 一确定一条直线：
(1) e (cos,sin)
y
(2) M0M ( x, y) ( x0, y0 ) ( x x0, y y0 )
又 M0M // e
r
l
e
M
存在惟一实数t R，使得 M0M te
M0 α
4.经过抛物线 y2 2 px( p 0)外的一点 A(-2,-4),且倾斜角为 450 的直线l与抛物线分别交于M1, M 2 , 如果 AM1 , M1M 2 , AM2 成等比数列,求p的值.
5.直线 xy
t t
cos
sin a
(t为参数）与圆xy
4 2 cos 2 sin
(为参数）相切，则直线倾斜角为(
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
（3）
AB、MA
MB
与t1，t
有什么关系
2
？
（1） M1M2 t1 t2
（2） t t1 t2 2
课堂练习
1.一条直线的参数方程是
x
1
1 2
t
(t为参数），
y
5
3t 2
另一条直线的方程是x-y-2 3 0,则两直线的交点
与点（1，-5）间的距离是
o
P
3.经过点M (2,1)作直线交双曲线x2 -y2 =1于A, B两点, 如果点M为线段AB的中点,求直线AB的方程.
O
x
（1）
直
线
x y
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
x 1
2t 2 （t为参数）
（2） 直 线x
y
1
0的 一 个 参 数 方 程 是
y
2 t
2
。
直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
t
表示参数t
对应的点M
到定点M
的距离。
0
当M 0M与e同向时，t 取正数；
当M 0M与e异向时，t 取负数； 当点M 与M 0重合时，t 0.
例1. 已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于A, B两点, 求线段AB的长和点M (-1,2)到A, B两点的距离之积.
解
：
由
xy求 y解x2 1如本果题0 在呢得学？：x习2 直x 线1 的0 参数(方*) 程之前,你会怎样
)
A. 或 5
66
B. 或 3
44
C. 或 2 D. 或 5
33
66
6.如直线 xy
4 bt
at
(t为参数）与曲线x2
y2 4x
或 2
1 0相切，则这条直线的倾斜角等于 3 3
由韦达定理得：x1 x2 1，x1 x2 1
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
由(*)解得：x1
1 2
5
，x2
1 2
5y1 3 2 Nhomakorabea5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1 5 , 3 5 )，B( 1 5 , 3 5 )