数学建模投入产出模型

三 开放的I-O模型
1 实物型I-O模型
xi 部门i的总产量 xij 部门i提供给部门j的产品数 yi 对部门i的产品社会需求量 aij 生产一件产品 j需要消耗产品 i的件数 aij 投入系数or直接消耗系数 aij xij xj (i, j 1,...,n)
x1 y1 ( A I ) x y A (aij ) nn 投入矩阵 x 产出向量 y x y n n
投入产出数学模型
一 问题 ：
国民经济各个部门之间存在着关系，一个经济部门的生产依赖于其他 部门的产品或者半成品，如何在确定的经济环境下确定各经济部门的投入 产出水平以满足整个社会的经济需要。
U.S.A经济学家Leontief（列昂第夫）最早提出，
在 1936 发表《美国经济系统中的投入和产出的数量关系》
150 180 520 800 200 2200 420 8000 12000 15000 28000 140 100 440

850 1000 10620 55000 680
①建立该企业的I-O模型
②若下 个月的最终产品为
0 y 0 总产出 x ? 外购物料 L ? 1 40 0
1.3459 0.2504 0.3443 ( I A) 1 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167
x ( I A) 1 y y ( I A) x
若 ①最终产品
y (100,200,300)T x ( 287.96,457.76,494.91) y (300,200,300)T x (557.14,570.44,582.55)
... x1n y1 ... x2n y2
. . .
x1 x2
xn
. . .
社会纯收入 m1 , … ,mn
合计
z1 , … , zn
x1 , … , xn
服务业
n
... xnn yn
总产值
xij ：第i个部门的产品流入 (投入) 到第j个部门的数量 (价值量)
投入产出数学模型
2 基本平衡方程：
产品分配平衡方程： xi
lk 或
l
j 1
n
kj
Tk lk , 这里Tk 是第k种外购物料的损耗平衡 因子。 D (d kj ) k n , d kj lkj xj
ห้องสมุดไป่ตู้
Dx L 或 Dx T L
d kj : 生产单位j中产品消耗第k种外购物料的数量— 外购物料的直接消耗系 数 x ( I A) 1 y y ( I A) x L Dx
企 业 I-O 模 型
例：某企业 I-O表
企业内部消耗
产品Ⅰ 产品 Ⅱ 产品Ⅲ 1 2 3
合计
平衡 因子
最终 产品 20 10 1210
总产品
自 产 产 品 外 购 材 料
产品Ⅰ 吨 产品 Ⅱ 吨 产品Ⅲ 吨
480
140 750
620 750
10 10 5
650 770 1215
原料Ⅰ 吨
原料Ⅱ 水 电 煤 吨 吨 吨 吨
我国于70年代开始应用该模型编制国民经济预算 ， 1974 目的：①编制国民经济预算 ②经济结构分析等
二 模型假设:
H1: 国民经济划分为n个部门，每个部门生产一种或
一类产品
H2 : 每个生产部门的生产意味着将本部门和其它部门
的产品经过加工变成本部门的产品。在这个过程中
消耗的产品称“投入”，生产所得的最终产品 称为“产出”。对于每个部门而言，投入产出的关 系是不变的。
n
最终产品 总产品 y1 y2 yn

x x x
11 11
x … x x … x
12 12
1n 1n
x1 x2 xn

n1
x … x
n2

1n
1 2 n
l11
l
l
21
k1
l12 … l22 … lk2 …
l1n l2n lkn
企 业 I-O 模 型
三 数学模型: 1. x y x 或 x
因为 A 1 max aij max aij 1
j i 1 j i 1
n
n
所以 ( I A)
1

Ak (bij ) nn bij 0
k 1

i, j
所以 y 0有 x ( I A) 1 y 0 I O为可行的 又因为 V 0 由V T P T ( I A) P T V T ( I A) 1 0 所以 I O为有利。 证毕
n
A (aij ) nn
ij
(列的绝对值和)
A
2
max
i
a
ij
(行的绝对值和)

1 ②矩阵性质： 2 3
A B A B (用定义证明 ) 若 A 1 lim
k
Ak 0 ( T k T
n k 1
k
)
A 1 I A可逆.注意： ( I - A )( Ak ) I Ak )
企 业 I-O 模 型
分析：
640 x x T 760 视为模型中的 x 1210 1 0.632 0.208 y1 1 x ( I A) y 0 0 0.920 y2 0 0 1 y3 0.234 0.237 0.430 0 x1 1.250 0.263 L D x 3.438 0.553 6.612 x2 18 . 750 19 . 737 23 . 140 x3 0.219 0.132 0.364 974.1 1117 . 3 0 711.2 当 y 0 时, x 868.2 L 12182 .0 1400 1400 .0 62863 780.0 650 x 770 1215 20 T 10 5
a P
i 1
n
ij i
(V P AT P )
四 模型的可行和有利问题
1 定义：
①若在I-O模型中 y 0 x 0 则称模型为可行的 ( 价值型 )
②若对 V 0 P 0
则称模型为有利的 ( 实物型 )
2 判别准则：
①矩阵范数：
A max
1 j
a
i 1 n j 1
n
x
j 1
n
ij yi
(i 1,...,n)
产值平衡方程： x j
x
i 1
ij z j
aij xij x j ：生产单位第 j种产品消耗第 i种产品的数量 (直接消耗系数 ) x Ax y 1 x ( I A ) y —— 投入产出数学模型 ( I A) x y
n n j 1 ij i i j 1 ij
yi Ti xi
Ti 第i种物 (产) 品的损耗平衡因子
x Ax y x ( I A) 1 y y ( I A) x
2.
A (aij ) nn
aij
xij xj
x : x T
l
j 1
n
kj
y ( B I ) 1 x x (B I ) y
消耗部门
农业
制造业
服务业
最终产品
总产量
例： 生产部门
农 业 制造业 服务业
15 30 20
20 10 60
30 45 /
35 115 70
100 200 150
0.15 0.10 0.20 0.85 0.10 0.20 直接消耗系数矩阵 A 0.30 0.05 0.30 I A 0.3 0.95 0.3 0.20 0.30 0.00 0 . 2 0 . 3 1. 0
y ( I A) x
x1 其中：x x n y1 y y n A (aij ) nn
补充： 完全消耗系数 bij 直接消耗系数 间接消耗系数 aij bik akj
k 1 n
B A BA 所以 B A( I A) 1 ( I ( I A))(I A) 1 ( I A) 1 I B ( I A) 1 这样，投入产出模型的 另一种表达形式
投入产出数学模型
三 数学模型 ：
1 投入产出表：实物型、价值型
投入—产出表
作为消耗部门 生产部门 农 工 业 业 . . . 1 2
*
最终 产品 总产出 新 创 造 价 值
农业 工业 … 服务业 1 2 … n
* 附：
劳动报酬
v1 , … , vn
x11 x21
xn1
x12 x22
xn 2
. . .
2 价格—价值系统
Pj 产品j的价格 V j 单位产品j增值 显然有 : V j Pj V T PT PT A V T PT ( I A) V T x PT ( I A) x PT y 即V T x PT y 揭示了I O模型与伴随价格 价值系统之间的联系 V T x 可解释为国民经济产生 的价值 PT y 可解释为国民经济产生 的收入 V1 P 1 V 增值向量 P _ 价格向量 V P n n
②若给出投入x，则可计算出最终产品y
企 业 I-O 模 型
一 问题：一个大型企业由若干个部门组成，企业与外部及企业内部
各个部门之间存在着关系，如何在确定的经济环境下确定企业与外部 的关系及企业内部各部门的投入产出水平以满足整个企业的生产需要。
二 企业I-O表:
企业内部消耗 1 2 … n
企 业 自 产 产 品 外 购 物 料 1 2
③ 判别定理：
若投入系数矩阵 A (aij ) (直接消耗系数矩阵) 满足
i, j aij 0 n n a 1 j (or a 1 ij ij j 1 i 1
则 I-O模型为可行的 ( 价值型 ) I-O模型为有利的 ( 实物型 ) 证明：
i )