笔算开平方新方法,带图片【原创】
笔算开平方法的计算
笔算开平方法的计算步骤如下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。
如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．下面有两个例子，由于这里书写不便，所以以附件形式写出例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而(1+1)2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：。
[教学]手算开平方详解
![[教学]手算开平方详解](https://img.taocdn.com/s3/m/23ce7902551810a6f42486ad.png)
[教学]手算开平方详解手算开平方以?6为例。
稍加估算就知道 0<?6-2<1/2三边平方得0< 10-4?6<1/4，此时10/4 >?6 > 10/4 -1/4/4，即2.5>?5>2.5-1/4/4再平方，0<196-80?6<1/16，此时196/80 >?6 >196/80 -1/16/80即2.45?2 >2.449218……每平方一次，小数点后的精确位数就乘2(灰色字是准确的数位)，这是相当好的，可是你将要面对恐怖的天文数字。
另一种优化的方法: 佩尔方程与渐近分数结合上面的方法虽然简单，可是数字大，而且算出来的不是渐近分数，如果用渐近分数能把计算过程中的数字减少一点。
以?5为例，考虑佩尔方程x^2-5y^2=1的所有正整数解(x,y)，x/y都是?5的渐近分数。
假设其中一组解是(x,y)，再设x'-?5y'=(x-?5y)n，同样地x'/y'也是?5的渐近分数。
上面两条结论的证明在此略去。
根据上面结论，而且不难找到9^2-5*4^2=1，于是(9-4?5)^2=161-72?5，?5约等于161/72=2.236111(161-72?5)^2=51841-23184?5, ?5约等于51841/23184=2.2360679779158 从连分数的性质可以估算出误差小于分母的平方的倒数。
如上面的51841/23184，误差小于1/231842=1.8605×10^-9但是这种方法的缺点是要解出佩尔方程。
其实解佩尔方程x^2-dy^2=1不需要狂试数，把?d化成连分数。
把二次根式展成连分数是挺容易的，在这里我不再作展开啦，有兴趣的话可以到网上找找看。
泰勒公式,跟牛顿二项式差不多,考虑函数x^(1/2),这里略。
迭代法假设我们已经有一个较好的初值x,x??n,设修正值为a,即(x+a)??n,x?+a?+2ax?n,忽略很小的a?，即x?+2ax?n，从而a?(n-x?)/(2x)，x+a?(n+x?)/(2x)把(n+x?)/(2x)的值从新代替x，将得到更好的精确值，下面证明0?|( (n+x?)/(2x) )?-n| < |x?-n|现在如果其中一个迭代值x>?n那么(n/x +x)/2<(x?/x +x)/2 =x又(n/x +x)/2??n (基本不等式)于是迭代数列是有下界的递减数列，也就是结论了。
本人讲一下笔算开平方你看一下
本人讲一下笔算开平方你看一下不过最好的是记住根号2，根号3，根号5等一些数值的值由于很多数值都能够合成成这些数的乘积方式[解题过程]述求平方根的办法，称为笔算开平办法，用这个办法能够求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：1．将被开方数的整数局部从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分红几段，表示所求平方根是几位数；2．依据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4)；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．假如所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；假如所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3＋4)×4＝256，阐明试商4就是平方根的第二位数)；6．用同样的办法，继续求平方根的其他各位上的数．徒手开n次方根的办法:原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,如今要试根的下一位,设为b,则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值用纯文字描绘比拟艰难,下面用实例阐明:本人们求2301781.9823406 的5次方根:第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);缺乏局部在两端用0补齐;23'01781.98234'06000'00000'00000'..........从高位段向低位段逐段做如下工作:初值a=0,差c=23(最高段)第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1差c=23-b^5=22,与下一段合成,c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781第3步:a=1(计算机言语赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234第4步:a=18,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,b取最大值7阐明:这里可运用近似公式预算b的值:当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7 以下各步都愈加能够运用此近似公式预算b之值差c=1508808527;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000第5步:a=187,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=2833590858436800000第6步:a=1872,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000 .............................最后结果为:18.724......。
笔算开平方的方法
笔算开立方（转贴）：今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。
当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。
因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。
在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。
它是这么写的：在这里，我“定义”a^b=a的b次方。
(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。
在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。
然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。
因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。
(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a+b)]如果每次计算后都能减掉1000a^3的话，那么剩下的任务就是找到最大的整数b'，使b'[300a^2+b'(30a+b')]<=b[300a^2+b(30a+b)]。
于是，我就设计了一个版式。
下面就开始使用这个版式来检验开立方笔算法。
例如：147^3=3176523一开始，如下图所示，将3176523从个位开始3位3位分开。
（3'176'523）第一步，我们知道，1^3 < 3 < 2^3，所以，第一位应该填1。
1^3 = 1，3 - 1 = 2，余2，再拖三位，一共是2176。
接下来这一步就比较复杂了。
因为我水平有限，我现在还不能把它改造得比较好。
依照“b[300a^2+b(30a+b)]”，所以：1^2*300=300，1*30=30，如图上所写。
第二位就填4，所以上图3个空位都填4。
然后(34*4+300)*4=1744，2176-1744=432，再拖三位得432523。
笔算开方公式
笔算开方公式（竖式）今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。
只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。
既然今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出了证明。
以下为完整过程，请广大数学爱好者斧正！1.手开方公式举例：上式意为65536的开平方为256。
手开方过程类似于除法计算。
为了方便表述，以下仍称类似位置的数为“被除数”、“除数”、“商”。
以65536为例，其具体计算过程如下：Step1：将被开方数(为了形象，表述成“被除数”，此例中即为65536)从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式，为了方便表述，以下每一个“,”称为一步。
Step2：从高位开始计算开方。
例如第一步为6，由于22=4<6<9=32，因此只能商2(这就是和除法不同的地方，“除数”和“商”的计算位必须相同)。
于是将2写在根号上方，计算开方余项。
即高位余项加一步低位，此例中，即为高位余项2和低位一步55，余项即为255。
Step3：将Step2得到的第一步开方得数2乘以20(原理在后面证明)作为第二步除数的高位。
即本步除数是4x(四十几)。
按照要求，本步的商必须是x。
因为45×5=225<255<46×6=276，所以本步商5。
Step4：按照类似方法，继续计算以后的各步。
其中，每一步的除数高位都是20×已求出的部分商。
例如第三步的除数高位就是25×20=500，所以第三步除数为50x。
本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最终计算结果。
2.字母表示和手开方公式的证明：既然要证明，必须先把公式一般化。
简言之，用字母而不是特殊值来表示计算过程和结果。
任意正整数均可表示成则正整数M开方计算得到的就是A。
根据手开方公式的思路，应该写成：不失一般性，对A进行推广。
前面A表示正整数，现在A可以表示任意实数。
不用计算器怎么开平方？徒手也可以
不用计算器怎么开平方？徒手也可以选自freecodecamp作者：Alexander Arobelidze机器之心编译参与：郭元晨、杜伟有时，在日常生活中，我们会遇到必须要计算平方根的任务。
如果手边没有计算器或智能手机怎么办呢？我们是否可以借助传统的纸笔采用长除法来计算呢？是的，我们可以，而且方法多种多样。
其中一些相对复杂，还有些可以提供更精确的结果。
本文作者想与大家分享的就是其中一种方法。
为了让这篇文章对读者们更友好，以下每一步都带有插图注释。
本文作者 Alexander Arobelidze。
步骤 1：将数字拆分成对首先，让我们组织一下工作区域，将空间分为三部分；然后，我们按照从右到左的顺序将数分为多个数字对。
例如，数字 7469.17 就变成了 74 69. 17。
或者，若数字只包含奇数个数位，如 19036，则数字会变成 1 90 36。
在以上这个例子中，2025 变成了 20 25。
步骤 2：找到最大的整数紧接着的一步中，我们需要找到一个最大的整数(i)，使得它的平方小于等于最左边的数字。
在这个例子中，最左边的数字是 20。
因为4² = 16 <= 20，并且5² = 25 > 20，所以符合上述条件的整数是 4。
让我们把 4 放入右上角，并把4² = 16 放入右下角。
步骤 3：减去那个整数现在我们需要从最左边的数字中减去那个整数的平方（等于16）。
差为 4，我们把它如上图形式写下来。
步骤 4：让我们来计算下一个数字对接下来，我们转向下一个数字对的计算（25）。
我们将其写在上一步的差（4）的旁边。
现在给右上角的数字（也是 4）乘以 2，结果是 8，我们将其写在右下角，并在后面跟上 _ x _ =。
步骤 5：找到合适的匹配现在要将每一个空白处都填上同样的整数(i)。
该整数必须是使得乘积小于等于左边数字的最大整数。
例如，如果我们选择数字6，那么第一个数字就是86（8 和6），同时我们必须给它乘以 6。
笔算开平方
怎樣用筆算開平方？上面我們學習了查表和用計算器求平方根的方法．或許有的同學會問：不用平方根表和計算器，可不可以求出一個數的平方根呢？的整數部分是兩位元數，且易觀察出其中的十位數是3．於是問題的關鍵在於；怎樣求出它的個位數a？為此，我們從a所滿足的關係式來進行分析．根據兩數和的平方公式，可以得到1156=(30+a)2＝302＋2×30a＋a2，所以1156-302＝2×30a＋a2，即256=(3×20+a)a，這就是說，a是這樣一個正整數，它與3×20的和，再乘以它本身，等於256．為便於求得a，可用下面的豎式來進行計算：根號上面的數3是平方根的十位數．將256試除以20×3，得4．由於4與20×3的和64，與4的積等於256，4就是所求的個位數a．豎式中的餘數是0，表示開方正好開盡．於是得到1156＝342,或上述求平方根的方法，稱為筆算開平方法，用這個方法可以求出任何正數的算術平方根，它的計算步驟如下：1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號分開(豎式中的11＇56)，分成幾段，表示所求平方根是幾位數；2．根據左邊第一段裏的數，求得平方根的最高位上的數(豎式中的3)；3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段陣列成第一個餘數(豎式中的256)；4．把求得的最高位數乘以20去試除第一個餘數，所得的最大整數作為試商(3×20除256，所得的最大整數是4，即試商是4)；5．用商的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商．如果所得的積小於或等於餘數，試商就是平方根的第二位數；如果所得的積大於餘數，就把試商減小再試(豎式中(20×3+4)×4=256，說明試商4就是平方根的第二位數)；6．用同樣的方法，繼續求平方根的其他各位上的數．如遇開不盡的情況，可根據所要求的精確度求出它的近似值．例如筆算開平方運算較繁，在實際中直接應用較少，但用這個方法可求出一個數的平方根的具有任意精確度的近似值．我國古代數學的成就燦爛輝煌，早在西元前一世紀問世的我國經典數學著作《九章算術》裏，就在世界數學史上第一次介紹了上述筆算開平方法．據史料記載，國外直到西元五世紀才有對於開平方法的介紹．這表明，古代對於開方的研究我國在世界上是遙遙領先的．。
数学计算方法手动开平方
数学计算方法手动开平方数学计算方法手动开平方开平方根相信大家都学过吧？这简直就是童年数学的噩梦，但是今天店铺要教大家一种简单的数学计算方法手动开平方，一起来看看吧！1、将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。
（在右边例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。
）3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的'右边写上第二段数组成第一个余数。
4．把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。
（右例中的试商即为[152/(2×20)]＝[3.8]＝3。
）5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。
如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。
（即3为平方根的第二位。
）6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。
用上一个余数减去上法中所求的积（即152－129＝23），与第三段数组成新的余数（即2325）。
这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数（2325），所得的最大整数为新的试商。
（2325/(23×20)的整数部分为5。
）7．对新试商的检验如前法。
（右例中最后的余数为0，刚好开尽，则235为所求的平方根。
）如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。
在《九章算术》里就已经介绍了上述笔算开平方法。
《九章算术》少广章：第十二题：今有积五万五千二百二十五步。
问为方几何？答曰：二百三十五步。
开方术曰：置积为实。
借一算。
步之。
超一等。
议所得。
以一乘所借一算为法。
而以除。
除已。
倍法为定法。
其复除。
折法而下。
复置借算步之如初。
求平方根（开平方）方法
求平方根（开平方）方法求平方根（开平方）1、从个位向左和向右每2位数分一节，左边是整数右边悬小数，最左和最右一节可能是2位也可能是1位数。
整数部分和小数部分各分出几节说明平方根就有几位整数和小数。
2、求出最高（左边第一节）节位平方根（整数），余数连接下一节2位数作为下一组的被除数。
3、用求出的平方根×20后试除被除数，能商几就用被除数--（平方根×20+商）x商。
这个商就是所求平方根的第2位数。
4、同上：将第二次的余数连接下一节2位数作为新的被除数。
5、将前面已有两位数组成的平方根×20后试除新的被除数，能商几就用：（前两位平方根×20+商）×商。
这个商就是所求平方根的第3位数。
6、反复采用上述计算方法，直到余数是0为止。
通过试商，如果发商大或商小了就减小或增大数字就行了。
总之求出的平方根必须与题目相符。
例：1求465124的平方根解：分节为：46 ’ 51 ’ 2446的平方根（整数部分）是66×6＝3646-36＝101000+51=10516×20＝1201051÷120最多能商81051 -（6×20+8）×8＝1051-1024=272700+24=272468×20＝13602724÷1360最多可以商2 （68×20＋2）×2＝27242724--2724＝0600+80+2=682 465124的平方根是682 例：2求15625的平方根解：分节为：1 ’ 56 ’ 251的平方根是11×1＝11×20＝2056÷20最多能商256 --（1×20+2）×2＝56--44=121200+25+122512×20＝2401225÷240最多可以商5 （12×20＋5）×5＝12251225--1225＝0100+20+5＝125 15625的平方根是125。
笔算开平方的方式(原创资料)
笔算开平方的方式（原创资料）那个问题能够说是老掉牙的问题，此刻有科学的计算工具了，谁还用那个呢，现今的数学书籍上也大体再也不提那个问题了。
可是，当你在日常生活中偶然碰到要把某个数开平方，又没有带计算工具，用那个方式仍是挺方便的。
下面简单介绍对有理数开平方的一样方式。
1.正整数开平方的方式：（1）把被开方数从右向左每隔两位用撇号分开，最后剩下一名时算作一段。
（如写成22＇14＇64＇36，如2146436写成2＇14＇64＇36）；（2）从左侧第一段(如22)求得算术平方根的第一名数字(如4) ；（3）从第一段减去这第一名数字的平方(如22-42=6)，再把被开方数的第二段写下来，作为第一个余数(如614)；（4）把所得的第一名数字(如4)乘以20，去除第一个余数所得的商的整数部份(如614÷(4×20)=的整数部份7)作为试商（注：若是那个整数部份大于或等于10，就改用9作试商，若是第一个余数小于第一名数字乘以20的积，那么得试商0）；（5）把第一名数字的20倍加上试商的和，乘以那个试商所得值不大于第一个余数时（如（4×20+7）×7=609≤614），那个试商确实是算术平方根的第二位数字（注：若是所得的积大于余数时，就要把试商减去1再试，直到积小于或等于余数为止）；（6）用第一个余数减去第一名数字的20倍加上试商的和乘以该试商所得值的差（如614-609=5），往后用一样的方式，继续求算术平方根的其他列位数字。
例：求√开方竖式如下4 7 0 6√ 22＇14＇64＇36168 7│ 6 14│ 6 09940 6│ 5 64 36│ 5 64 36∴√=4706.2.纯小数的开平方：求纯小数的算术平方根，也能够用整数开平方的方式来计算，但在用撇号分段时要从小数点起向右每隔两位用撇号分开，若是小数点后的最后一段只有一名，就添上一个0补成两位。
例：求√（精准到）开方竖式如下0. 2 3 2√＇38＇80＇44 3│1 38│1 2946 2│ 9 80│ 9 2456∴√≈.3.混小数的开平方：求混小数的算术平方根，一样能够用整数开平方的方式来计算，但在用撇号分段时要从小数点起向左把整数部份每隔两位用撇号分开，从小数点起向右把小数部份每隔两位也用撇号分开。
数学计算方法手动开平方
数学计算方法手动开平方展开全文1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。
（在右边例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。
）3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
4．把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。
（右例中的试商即为[152/(2×20)]＝[3.8]＝3。
）5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。
如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。
（即3为平方根的第二位。
）6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。
用上一个余数减去上法中所求的积（即152－129＝23），与第三段数组成新的余数（即2325）。
这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数（2325），所得的最大整数为新的试商。
（2325/(23×20)的整数部分为5。
）7．对新试商的检验如前法。
（右例中最后的余数为0，刚好开尽，则235为所求的平方根。
）如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。
在《九章算术》里就已经介绍了上述笔算开平方法。
《九章算术》少广章：第十二题：今有积五万五千二百二十五步。
问为方几何？答曰：二百三十五步。
开方术曰：置积为实。
借一算。
步之。
超一等。
议所得。
以一乘所借一算为法。
而以除。
除已。
倍法为定法。
其复除。
折法而下。
复置借算步之如初。
以复议一乘之。
所得副。
以加定法。
以除。
以所得副从定法。
复除折下如前。
若开之不尽者为不可开，当以面命之。
若实有分者，通分内子为定实。
乃开之，讫，开其母报除。
笔算开平方的方法
笔算开平方的方法
第一步: 分组
先将要开平方的这个数(也就是被开方数)对它进行分组,两位,两位地分,每两位算一组,若分到最后,只剩一位,也算一组,且从右边开始分,如象下面: 34分成一组; 346分成两组( 3′46 ); 4238也分成两组(42′38); 52364 (5′23′64)分成三组,组与组之间用“′”符号隔开.当然,如果只有一位,也是一组.
第二步: 试商
先从左边第一组开始试商, (也就是看哪一个数的平方接近第一组这个数)把这个数写在上面,把这个数的平方写在第一组数的下面,两数减得的差又写在下面,在把第二组拖下来.
第三步: 20倍试商
用第一次的商乘以20写在左边(相当于除式的除数的位置)但把个位空起来,(一会儿商几就写几,)然后仿照除法的商法进行试商, (两数相减).下面可依照第二步, 第三步进行,一直到所需要的答案为止. 例: 将3025和52364开平方。
人教版数学七年级下册-如何用笔算开平方
怎样用笔算开平方？上面我们学习了查表和用计算器求平方根的方法．或许有的同学会问：不用平方根表和计算器，可不可以求出一个数的平方根呢？先一起来研究一下，怎样求1156，这里1156是四位数，所以它的算数平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析．根据两数和的平方公式，可以得到1156=(30+a)2＝302＋2×30a＋a2，所以1156-302＝2×30a＋a2，即256=(3×20+a)a，这就是说，a是这样一个正整数，它与3×20的和，再乘以它本身，等于256．为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：根号上面的数3是平方根的十位数．将256试除以20×3，得4．由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到 。
1156＝342,115634上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11＇56)，分成几段，表示所求平方根是几位数；2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4)；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3+4)×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数)；6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．。
笔算开平方
笔算开平方有的时候如果身边没有计算器，但是你想要算一个数的平方根的时候，是不是不知道该怎么办呢，以前高中的时候，看到我们一个数学老师在黑板上用笔算开平方，当时觉得很新鲜，但由于当时学习较紧，也没有去研究这个问题，后来，我在网上搜到一些关于笔算开平方的方法，现在总结一下，拿来和大家共享一下：例如我们来笔算开2的平方，其笔算方法草图如下：我们首先看2能那个整数开方，明显是1，所以，我们在草稿纸上写上2开平方的第一位整数是1，然后后面是小数部分，我们在2后面添加一些0，然后将这些0从第一位小数开始每两个为一组，用“’”符号将它们分成若干组，2用1开平方后得到余数1，将1写在下面，然后把后面的两个0写下来，这时就是100，我们假如称100这个数为“再余数”，再将得到的平方根1数来乘以20，得到20，现在要设想一个数A，这个数A要满足这样一个关系：当它加上20后得到的和再乘以它本身所得到的积要最大地接近上面的“再余数”，但不能超出它，即：100 /[ (20+A) ×A）]，由此，我们可以知道，A＝4，即100 /[ (20+4) ×4）]＝96……4，现在把得到的第二个根A＝4写上去，将余数4写在下面，再写下两个0，再用相同的方法依次求剩下的平方根，当然，到后面得到的平方根越多，笔算量就越大。
不过，如果在没有计算器的情况下，我们就可以用这种方法来求平方根了。
下面也有其它的一些方法：上面我们学习了查表和用计算器求平方根的方法．或许有的同学会问：不用平方根表和计算器，可不可以求出一个数的平方根呢？先一起来研究一下，怎样求，这里1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析．根据两数和的平方公式，可以得到1156=（30+a）2＝302＋2×30a＋a2，所以1156－302＝2×30a＋a2，即256=（3×20+a）a，这就是说，a是这样一个正整数，它与3×20的和，再乘以它本身，等于256．为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：根号上面的数3是平方根的十位数．将256试除以20×3，得4．由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到1156＝342，或上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求平方根是几位数；2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4）；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如求的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．[思路分析]我讲一下笔算开平方你看一下不过最好的是记住根号2，根号3，根号5等一些数值的值因为很多数值都可以分解成这些数的乘积形式[解题过程]述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分成几段，表示所求平方根是几位数；2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4)；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3＋4)×4＝256，说明试商4就是平方根的第二位数)；6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．徒手开n次方根的方法:原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:我们求2301781.9823406 的5次方根:第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;23'01781.98234'06000'00000'00000'..........从高位段向低位段逐段做如下工作:初值a=0,差c=23(最高段)第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1差c=23-b^5=22,与下一段合成,c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234第4步:a=18,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234, b取最大值7说明:这里可使用近似公式估算b的值:当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7 以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值差c=1508808527;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000第5步:a=187,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=2833590858436800000第6步:a=1872,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000 .............................最后结果为:18.724......。
怎样笔算开方
怎样笔算开方？数学2010-02-03 10:46:24 阅读677 评论0 字号：大中小订阅怎样笔算开方？在没有计算器也没有任何资料的情况下，需要笔算开方怎么算呢？下面就简单地介绍一下：第一步：先分节。
把被开方数分节，从小数点向两边分，每两位数一节。
（从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数，，从小数点起向右每隔两位一节）用“，”号将各节分开；如625分节为6’25，5625分节为56’25，11278分为1’12’78，等等，一个数可分为几节，开方后就有几位。
由于有小数点与无小数点的笔算方法是一样的，所以下面就以整数开方为例来说明。
第二步：在被开方数的上方画一个根号，就开始算了，比如9’61这个数，上面打上根号，先看第一节9，3×3=9所以在根号上与9对齐的位置“商”3，3×3=9把9写在下面减去，就像除法那样在961下面减。
减完后还余下61,为了明白这里的原理，你可以借助于图形去理解，你画一个正方形，边长是两位数，十位是3，个位暂时还不知道,3×3=9 减去就是在左下角挖去一个900的正方形，还余下61就是挖去后剩下的像“7”字形的面积。
也可以看作是由两个全等的长方形与一个小正方形组成的.再不明白你就想一想(30+?)的平方展开式中的后两项.第三步：把“商”3乘以20，3×20=60考虑(60+?)×?=61 61×1=61 好了,在根号上方与第二节对齐处写1, 61×1=61 从下面减去得0,这样就完了,961开方是31.那么,这一步的原理又是什么呢?你再观看图形，注意左下角挖去一个900的正方形后还剩下的像“7”字形的面积,把它掰直成”1”字形的长方形,再看这个长方形的长是(2×30+?),也就是(3×20+?),宽是?,它的面积是61，那么不就是考虑(60+?)×?=61吗.再以625开方来练习一下,先分节为6’25,打上根号,先看第一节6,由于3平方不够,只能在第一节上面“商”2,2平方是4,像做除法那样在下面减4,余下225,2×20=40.考虑(40+?)×?=225 (40+5)×5=225 好，在第二节上面“商”5，下面减225得0，完了，625开方是25。
关于开平方及开立方的手动算法
关于开平方及开立方的手动算法关于开平方及开立方的手动算法序言计算器已经被取缔了，然而题目的计算量仍然存在，尤其是那些该死的开平方和开立方的运算，真是世风日下，人心不古，时代变了，我无话可说……然而，我们不能坐以待毙，万一正规考试中出题人真得很阴险地让你开平方或者开立方，在没有计算器的情况下不就挂掉了吗？为了负隅顽抗到底，我费劲八力的研发出了开方的手动算法，仅供列位参考。
一、开平方的手动算法此方法是在高一学万有引力和航天时，因需要大量开平方运算又不能用计算器，而被逼无奈研发的。
开平方的整个过程分为以下几步：（一）分位分位，意即将一个较长的被开方数分成几段。
具体法则是：1、分位的方向是从低位到高位；2、每两个数字为一段；3、分到最后，最高位上可以不满两个数字，但不能没有数字。
如：43046721分位后是43｜04｜67｜2112321分位后是1｜23｜21其中，每段中间的竖线在熟练了以后可不必写。
分位以后，其实就能看出开方后的结果是几位数了，如43046721分位后是四段，那么开方结果就是四位数。
（二）开方开方的运算过程其实与做除法很类似，都有一个相乘以后再相减的过程。
这里以43046721为例。
分位后是43｜04｜67｜21运算时从高位到低位，先看前两位43，由于62最接近43而不超过43，因而商（这里找不到合适的字眼，因而沿用除法时的字眼）6，然后做减法（如下图）：6———————————————4 3｜0 4｜6 7｜2 13 6————————7 0 4这里一次落两位，与除法不同。
下面的过程是整个算法中最复杂的部分，称为造数，之所以用这个词是因为算出最后要减掉的数的过程较为麻烦。
首先，将已商数6乘以2：6×2=12这里的12不是真正的12，实际上是120，个位上的0之所以空出来是为了写下一个要商的数。
我们不妨假设下一个要商的数为A，我们下面要考虑的问题就是：从0-9中找一个A，使得：12A×A最接近但不超过上面余下的数704。
笔算开平方的方法
笔算开立方（转贴）：今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。
当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。
因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。
在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。
它是这么写的：在这里，我“定义”a^b=a的b次方。
(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。
在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。
然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。
因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。
(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a+b)]如果每次计算后都能减掉1000a^3的话，那么剩下的任务就是找到最大的整数b'，使b'[300a^2+b'(30a+b')]<=b[300a^2+b(30a+b)]。
于是，我就设计了一个版式。
下面就开始使用这个版式来检验开立方笔算法。
例如：147^3=3176523一开始，如下图所示，将3176523从个位开始3位3位分开。
（3'176'523）第一步，我们知道，1^3 < 3 < 2^3，所以，第一位应该填1。
1^3 = 1，3 - 1 = 2，余2，再拖三位，一共是2176。
接下来这一步就比较复杂了。
因为我水平有限，我现在还不能把它改造得比较好。
依照“b[300a^2+b(30a+b)]”，所以：1^2*300=300，1*30=30，如图上所写。
第二位就填4，所以上图3个空位都填4。
然后(34*4+300)*4=1744，2176-1744=432，再拖三位得432523。
笔算开平方、开立方、甚至开nn;1次方根的探讨.doc
笔算开平方、开立方、甚至开n (n>1) 次方根的探讨我们可以用竖式进行除法计算，同样也可以用竖式进行开平方、开立方、甚至开n (n>1)次方的计算。
1、 笔算开平方的具体步骤：（附例说明）例1、计算41.524第一步：从小数点起两位、两位向左、向右分节，试找平方根的首位（首位尽可能大，并且平方后与被开方数第一节作差非负）。
第二步：顺次下移被开方数的后继两位数，找平方根的第二位数字（平方根第一位乘以20加上要商数字的和作为除数）。
第三步：再下移被开方数的后继两位数字，不足补零相应地给平方根点上小数点，试找平方根的第三位数字（平方根前两位数乘以20加上要商数字的和作新除数）。
2 2 2 2 2. 941.425'' 41.425'' 41.425''4 4 41 42 1 2 4 42 12 484 844041 449 40414041（1） （2） （3）这样做到最后刚好整除，便结束运算。
否则可继续做下去，到要精确的数位。
2、笔算开平方的理论证明ba b ab a b ab a b a +=++∴++=+102010020100)10(22222 )0,0(>>b a用竖式演算： a 10 + b2220100b ab a ++2100ab a +20 222020b ab b ab ++由于a 可以取大于10的整数，故找到平方根的第一位数字后，可类似地次找到其它数位上的数。
3、笔算开立方的理论证明b a b ab b a a b ab b a a b a +=+++∴+++=+10303001000303001000)10(3322332233用竖式演算：b a +103332231000a303001000b ab b a a +++ 2230300b ab a ++ 3223223030030300b ab b a b ab b a ++++4、笔算开立方的具体步骤：（附例说明）例2、计算3584.40707第一步：从小数点起向左、向右三位、三位分节，试找立方根的第一位（要求立方根的第一位尽可能大，并且立方后与被开方数第一节作差非负）。
开平方的计算
在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。
而在解题时用的最多的是利用分解质因数来解决。
如化简√1024，因为1024=2^10,所以。
√1024=2^5=32；又如√1256=√（2^3*157）＝2*√(2*157）＝2√314.如果想用笔算求算术平方根，在初二代数中讲完平方根后，有一个附录，讲得很详细。
以下的介绍不知能否讲清楚：比如求√37625.(如图）①将37625从个位起，向左每两位分一节：3,76,25②找一个最大的数，使它的平方不大于第一节的数字，本题中得1(1的平方为1,而2的平方为4,大于3,所以得1）.把1写在竖式中3的上方。
③将刚才所得的1平方写在竖式中3的下方,并相减，然后将76移写在本行（如图）④将前面所得的1乘20,再加一个数a,写在竖式的左方（如图），并同时把a 写在竖式的上方对准6。
而这个所谓的a，是需要试验的，使它与（20+a）的积最大且不超过276.本题中所得的a为9⑤用9乘29,再用276减去，所得的差写在下方⑥继续反复运用步骤④和⑤。
如果后面的数字不足，则补两个0,继续运算。
如果最后的余数是0,则该数的算术平方根是有理数；如果被开方数是小数，小数部分在分节的时候是从十分位起，每两位小数分一节。
（附图中的虚线方框为制图时所产生，又竖式中最后的余数应是2779）手算开平方和开立方的方法2011-01-14 17:58手算开平方和开立方的方法1)开平方Extracting Square Root写出被开方数，从小数点起向左和向右每隔两位分段，并在段的上方打点作记号。
左边加一竖线，右边加一个左括号。
从左段起求最大平方数，将方根写在括号右边，同时也写在竖线左边。
然后在第一段下边写平方数，减去此平方数。
写出减的结果，并将被开数第二段移下来，两者合并作为新被除数。
此时竖线左边第二行（对齐新被除数）写出刚刚得的根乘2后再乘10的积作为新的除数（预留出个位的空白），将它去试除新被除数，所得的商填到除数的个位空白处，最终一起去除被除数，此时落实的商写在括号后已得根的后面。
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笔算开平方新方法
原创码字者：小程936（转载请注明出处）
序
本人在网上搜索多时，只找到一个开平方算法，奇难无比，极不方便运算。
因此我想，为何不自己发明一个简便的算法？说干就干，然而却毫无头绪。
只好从基本做起，先研究加减算法，再研究乘除算法，不负所望，发明了连加速算法，负数标准笔算法，堆谷乘法，笔算归除法，笔算归商除法，剥皮除法，补退商法及一些浅适应速算法。
再研究开平方算法时，思如泉涌，不一会就找到了新方法。
（下面一节不重要，看不懂直接跳过）首先我们知道(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
去掉a的平方，再除以二，得ab+(b^2)/2 (1)式
接下来就是估b了，用一式除a，值减一，试商
求出一位b后将b并入a，再求第二位b，以此类推，可求无限位精度。
开平方
建议先看图片，看不懂再看如下说明。
第一步，以小数点为起点将数二位分节。
如53785.85693分节则为5 37 85 . 85 69 3
第二步，从第一节提出一个最大平方数并减去它。
如第一节为45，可提出36，减去36，得余数9 。
商为6 （36的平方根），记在45上面。
第三步，将余数及后几节数整体除二。
（除2等于乘5，多练几次除二，争取可以直接在原数下写结果）
第四步，（从第二步余数的个位向右推一位，对齐做个位）用第三步的结果除以商，与除法一样运算。
将得到的值记在第二节上，用余数减去值的平方之半（个位向右移一位），结果记在下面。
不够减则说明商的第二位估大了，换值重试。
第五步，（个位向右移一位）用第四步的结果除以商（商写了几位就是几位数，不是第几节上的商），与除法一样运算。
将得到的值记在第三节上，用余数减去值的平方之半（个位向右移一位），结果记在下面。
不够减则说明商的第三位估大了，换值重试。
以后的步数以此类推。
习题
1.将上面六图中的习题抄写在纸上，仔细研究运算方法，并尝试写出一份算法说明。
2.求下列各数平方根。
（保留小数两位，以下四舍五入）
836 5941 8360
0.2255 0.034821 20.259
0.005184 45.3249 2360.78819
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附录
1.平方及折半平方表
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 4 9 16 25 36 49 64 81
0.5 2.0 4.5 8.0 12.5 18.0 24.5 32.0 40.5
2.互联网上的算法，极为复杂。
转载自/
笔算开平方
对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可
例求316.4841的平方根.
第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.
第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而(1+1)2=4>3.
第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.
第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.
第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.
第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：
3.开平方算法也能够在算盘上使用哦，有条件的同学不妨试一试，其中除法既可用商除法也可用归除法哦\^O^/
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