整数线性规划模型
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
线性规划与整数规划模式
线性规划与整数规划模式介绍在线性规划（Linear Programming）中，我们寻求一组决策变量的最优值，以使得对应的线性目标函数取得最大或最小值，同时满足一组线性约束条件。
然而，有些情况下，我们需要求解的决策变量只能取整数值，而不能取非整数值。
这就引入了整数规划（Integer Programming）。
线性规划和整数规划都是数学编程方法，主要用于优化问题的求解。
在现实生活中，我们经常遇到需要优化某个目标函数或满足一组约束条件的问题，例如资源分配、生产排程、运输问题等。
本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、模型建立方法以及求解算法。
线性规划基本概念在线性规划中，我们需要定义决策变量、目标函数和约束条件。
•决策变量：表示需要优化的变量，可以是任意实数值。
•目标函数：表示我们希望最大化或最小化的线性函数。
•约束条件：表示对决策变量的线性限制，可以是等式或不等式。
模型建立方法模型建立是线性规划的关键步骤，需要根据具体问题进行数学建模。
1.定义决策变量：确定需要优化的变量，并给出变量的取值范围。
2.建立目标函数：根据问题要求，将目标转化为线性函数。
3.建立约束条件：将问题的限制条件转化为一组线性不等式或等式。
4.确定问题类型：确定是最大化问题还是最小化问题。
5.完善模型：考虑特殊约束条件，如非负约束、整数约束等。
求解算法一般来说，线性规划可以使用各种方法进行求解，常见的算法包括：1.单纯形法（Simplex Method）：通过在可行域内移动到更优解的方式求解线性规划问题。
2.内点法（Interior Point Method）：通过在可行域内寻找内点的方式求解线性规划问题。
3.分支定界法（Branch and Bound）：将整数规划问题转化为多个线性规划子问题，通过不断分支和界定来搜索可行解空间。
4.割平面法（Cutting Plane Method）：通过添加额外的约束条件来逼近整数解的方法。
整数线性规划及0-1规划 图文
例3 选课策略
课号
课名
学分
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
4
数据结构
3
数学；计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
6
计算机模拟
3
计算机；运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学；计算机 微积分；线性代数
7 计算机编程
计算机
8
预测理论
运筹学
9
数学实验 运筹学；计算机
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
目标函数 选修课程总数最少
9
Min Z xi i1
x 1x2x3x4x52
x3x5x6x8x93 x4x6x7x92
小型 中型 大型
现有量
钢材（吨）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
利润（万元）
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
供应链网络设计中的整数线性规划模型构建与求解
供应链网络设计中的整数线性规划模型构建与求解一、引言供应链网络设计是指为了实现最佳成本、服务和质量目标，在给定的供应链网络中选择适当的位置、规模和资源配置，以实现最佳的供应链绩效。
整数线性规划（Integer Linear Programming，简称ILP）是一种数学优化方法，可以在满足约束条件的前提下，找到使目标函数最优化的整数解。
本文将讨论在供应链网络设计中如何构建和求解整数线性规划模型。
二、问题形式化在供应链网络设计中，我们需要考虑以下因素：1. 供应链网络中的位置：确定供应链网络中的仓库和生产设施的位置。
2. 生产能力：确定每个生产设施的产能。
3. 运输网络：确定仓库与生产设施之间的运输路径和费用。
4. 需求预测：确定各个市场的需求量及其对应的价格。
5. 成本约束：考虑生产、运输和库存等成本的限制。
6. 目标函数：以最小化总成本或最大化总利润为目标。
三、模型构建根据上述问题，我们可以构建以下整数线性规划模型：目标函数：最小化总成本或最大化总利润。
约束条件：1. 生产能力约束：每个生产设施的产量不得超过其产能上限。
2. 需求满足约束：市场需求必须得到满足，即供应量必须大于等于需求量。
3. 运输约束：运输路径上的运输量必须满足产能、需求和运输限制。
4. 成本约束：考虑各个方面的成本，如生产成本、运输成本和库存成本等。
5. 位置约束：每个生产设施和仓库的位置满足适当的限制条件。
四、求解方法求解整数线性规划模型可以采用以下方法：1. 分支定界法：将整数规划问题转化为一系列线性规划问题，通过分别求解这些线性规划问题来逐步逼近最优解。
2. 割平面法：根据整数规划模型的特殊结构，添加一些额外的线性约束条件，进而提高求解效率。
3. 分解协调法：将整数规划问题分解为多个子问题，通过协调子问题的优化目标和约束条件来求解整体问题。
4. 启发式算法：根据问题特点设计特定的启发式算法，例如遗传算法、模拟退火算法等，来近似求解整数规划问题。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
线性规划模型的目标是在给定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最优解。
其中，约束条件通常是线性等式或不等式，而目标函数是一个线性函数。
在实际应用中，线性规划模型可以用于生产计划、资源分配、运输问题等。
例如，一个工厂的生产计划中需要确定每种产品的产量，以最大化利润为目标，并且需要满足一定的生产能力和市场需求的约束条件。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，其目标函数和约束条件仍然是线性的，但变量需要取整数值。
整数规划模型常用于离散决策问题，如项目选择、设备配置等。
例如，一个公司需要决定购买哪些设备以满足生产需求，设备的数量必须是整数，且需要考虑成本和产能的约束。
三、动态规划模型动态规划是一种求解多阶段决策问题的数学方法。
该模型通常包含一个阶段决策序列和一个状态转移方程，通过递推求解最优解。
动态规划模型被广泛应用于资源分配、路径规划、项目管理等领域。
例如，一个工程项目需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总成本或最大化总效益。
在每个阶段，决策的结果会影响到下一个阶段的状态和决策空间，因此需要使用动态规划模型进行求解。
四、图论模型图论是研究图和网络的数学理论。
图论模型常用于解决网络优化、路径规划、最短路径等问题。
例如，一个物流公司需要确定最佳的送货路径，以最小化运输成本或最短时间。
可以将各个地点看作图中的节点，道路或路径看作边，利用图论模型求解最优路径。
五、回归分析模型回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法。
回归分析模型通常用于预测和建立变量之间的数学关系。
例如，一个销售公司需要预测未来销售额与广告投入、市场份额等因素的关系。
可以通过回归分析模型建立销售额与这些因素之间的数学关系，并进行预测和决策。
六、排队论模型排队论是研究排队系统的数学理论。
排队论模型常用于优化服务质量、降低排队成本等问题。
整数线性规划(ILP)
总结词
高效、易用
详细描述
Xpress-Optimizer采用了多种先进的算法和技术，能够在较短的时间内找到高质量的解。它还提供了友好的用户界面和易用的API接口，方便用户进行模型构建和求解。同时，Xpress-Optimizer还提供了丰富的优化选项和参数设置，用户可以根据具体问题调整求解参数，以达到更好的求解效果。
整数线性规划简介
整数线性规划简介
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目标函数
资源限制
约束条件可以包括资源限制，如劳动力、原材料、时间等。
数量限制
约束条件可以包括数量限制，如产品数量、订单数量等。
范围限制
约束条件可以包括范围限制，如温度、压力、时间范围等。
其他限制
约束条件还可以包括一些特定的限制条件，如逻辑关系、顺序关系等。
约束条件
连续变量
整数线性规划中的决策变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
Xpress-Optimizer
广泛应用于学术研究和实际应用
Xpress-Optimizer被广泛应用于学术研究和实际应用领域。由于其开源和跨平台的特性，Xpress-Optimizer吸引了大量的用户和开发者社区。它不仅被用于解决各种复杂的优化问题，还被用于研究和开发新的优化算法和技术。Xpress-Optimizer已经成为整数线性规划领域的重要工具之一。
第4章 线性整数规划
线性整数规划的概念 例：用集装箱装运甲、乙两种货物，每种货物每包的体积、 重量和收益见下表。集装箱体积为 24m3 ，允许的最大 重量 14 吨，问每个集装箱应装两种货物各多少包才能
使收益最大?
货物 甲 乙 每包体积 (m3) 5 4 每包重量 (吨 ) 2 5 收益 (元/包) 1000 1500
线性整数规划的概念
二、线性整数规划的数学模型
在线性规划模型：
max S CX AX b s .t . X 0
中，若增加自变量取整数约束条件，则可得到线性整数 规划的数学模型：
max S CX AX b s.t . X 0且为整数
解：①解原问题的松弛问题P0： max S 40 x1 90 x2
9 x1 7 x2 56 s.t .7 x1 20 x2 70 x , x 0 1 2
分枝定界法 可用图解法求解。最优解为xl=4.809，x2=1.817，S=355.89 根据松弛问题的最优解可以确定原问题的目标函数值的 上界为S =355.89或 S =355，下界为 S =0（由于目标函数的 系数均为整数且大于0）。 ②将P0分解为两个子问题Pl和P2(分枝)
P3 的最优解为 x1=4 ， x2=2 ， S=340 ，因已得到一个整数 解，即原问题的一个可行解，故原问题目标函数下界 为：S=340。 P4的最优解为x1=1.428，x2=3，S＝327.12，S4 327
分枝定界法
因S4 S，故没有必要继续对 P4分枝，应将 P4剪掉(称为剪枝 )。
线性整数规划的概念
三、整数规划的解法概述
由于对变量的整数约束限制了通常的连续型方法的应 用，因此，人们在刚接触整数规划问题时，往往会产 生两种原始的求解设想： ①因为纯整数规划的可行解是有限的，因此，可采用一 一比较的方法(穷举法)找出最优解； ②先不考虑整数约束，解相应的连续型问题 ( 松弛问题 ) ， 然后用“四舍五入”的办法凑得一个较好的整数解作 为最优解。 这两种设想往往是行不通的。穷举法效率太低，只有 当可行解较少时才能行得通，当可行解很多时，需要 花很长的时间。凑整法不一定能得到问题的最优解。
整数规划模型
整数规划模型整数规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题。
在整数规划中，决策变量必须是整数。
这种模型广泛应用于工程、科学、运筹学和管理等领域。
整数规划模型的一般形式如下：\[\text{maximize} \quad c^Tx\]\[\text{subject to} \quad Ax \leq b\]\[x_j \text{整数} , j = 1,2,...,n\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是n维向量，表示决策变量；A是m×n维矩阵，表示约束条件的系数矩阵；b是一个m维向量，表示约束条件的上界。
整数规划模型的目标是找到一个满足约束条件的决策变量向量x，使得目标函数值最大或最小。
由于决策变量必须是整数，所以整数规划模型要比普通的线性规划模型更复杂。
整数规划模型可以应用于许多实际问题。
例如，一个公司要决定生产哪种产品以最大化利润，但每种产品有一定的生产限制，需要整数规划模型来确定生产量；一个配送中心要决定如何分配物流资源以最小化成本，但每个分配决策都必须是整数，需要整数规划模型来求解。
求解整数规划模型可以使用多种算法。
例如，分支定界算法通过将问题分解为一个个子问题，并通过剪枝策略来减少搜索空间，最终找到最优解；约简与延迟约束算法通过线性松弛将整数规划转化为一个松弛线性规划问题，并通过迭代加入约束条件来逼近整数解。
整数规划模型的求解过程需要注意一些问题。
首先，由于整数规划是一个NP难问题，没有通用的多项式时间算法可以解决所有情况。
其次，整数规划模型可能有多个最优解，求解算法可能只能找到其中一个最优解。
最后，整数规划模型的求解过程可能需要大量的计算资源和时间。
总之，整数规划模型是一种重要的数学模型，可以用于解决各种实际优化问题。
但由于其复杂性和求解困难，需要合理选择算法和求解策略来获得满意的结果。
0-1型整数线性规划模型理论
0-1型整数线性规划模型理论(1) 0-1型整数线性规划0-1型整数线性规划是一类特殊的整数规划,它的变量仅取值0或1.其模型如下:T min ..01(1,2,,)j f s t x j n =⎧⎨=⎩c xAx =b 取或 其中()T 12,,,,n c c c =c ()T 12,,,,n x x x =x (),ij m na ⨯=A ()T 12,,,.mb b b =b 称此时的决策变量为0-1变量,或称二进制变量.在实际问题中,如果引进0-1变量,就可以把各种需要分别讨论的线性(或非线性)规划问题统一在一个问题中讨论了.(2) 求解0-1型整数线性规划的分支界定法Matlab 指令x = bintprog(f,A,b): 求解0-1型整数线性规划,用法类似于linprog.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq): 求解下述线性规划问题:T min ,z =f x ≤Ax b ,≤Ax b ,⋅≤Aeq x beq ,x 分量取0或1.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0): 指迭代初值x0,如果没有不等式约束,可用[]代替A,b 表示默认,如果没有等式约束,可用[]代替Aeq 和beq 表示默认;用[x,fval]代替上述各命令行中左边的x,则可得到最优解处的函数值fval.例如：求解0-1型整数线性规划模型:1min ni i Z x ==∑()()()12345356894679123471256758129232200..20002001(1,2,,9)j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x j ⎧-++++≤-⎪-++++≤-⎪⎪-+++≤-⎪⎪--+≤⎪-≤⎪⎨--+≤⎪⎪-≤⎪-+≤⎪⎪--+≤⎪⎪==⎩或用Matlab 软件编程可解得1236791x x x x x x ======,其他变量为0,共六门课,满足所给条件, Matlab程序代码如下：c = ones(1,9);a =[-1,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0;0,0,-1,0,-1,-1,0,-1,-1;0,0,0,-1,0,-1,-1,0,-1;-1,-1,2,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,-1,0, 0;-1,-1,0,0,2,0,0,0,0;0,0,0,0,0,1,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0,0,1,0;-1,-1,0,0,0,0,0,0,2];b = [-2;-3;-2;0;0;0;0;0;0];A = [5 4 4 3 4 3 2 2 3];x = bintprog(c,a,b)f = A*x运行结果：Optimization terminated.x =111111f =20。
典型的整数线性规划问题
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3为非负整数
IP 结果输出
IP可用LINDO直接求解
max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3<600 280x1+250x2+400x3<60000 end gin 3
(LP)
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 632.2581
VARIABLE VALUE
REDUCED COST
X1 64.516129
0.000000
X2 167.741928
0.000000
X3 0.000000
0.946237
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
约束 条件
每人最多入选泳姿之一
4
xij 1, i 1,5
j 1
每种泳姿有且只有1人
5
xij 1, j 1,4
i 1
模型求解 输入LINDO求解
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54
SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 <=1 …… x41+x42+x43+x44 <=1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 …… x14+x24+x34+x44+x54 =1
整数规划模型的构建及求解方法
整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻找能够使目标函数最大或最小的整数解。
在实际应用中，整数规划模型常被用于决策问题的求解，如生产计划、物流调度、资源分配等。
本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。
一、整数规划模型的构建方法1.确定决策变量：首先需要确定问题中的决策变量，即可用整数来表示的变量。
这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以是不同产品的生产数量。
2.定义目标函数：目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的指标。
根据问题的具体要求，可将目标函数设定为各个决策变量的线性组合或非线性函数。
例如，生产计划问题中，目标函数可以是利润的最大化或成本的最小化。
3.确定约束条件：约束条件用于限制决策变量的取值范围，以满足问题的实际限制。
约束条件可以是等式或不等式。
例如，在物流调度问题中，约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。
4.完善模型：为了更准确地描述问题，还需要考虑一些特殊约束条件和问题的具体要求。
例如，某些决策变量可能需要满足某种关系或限制条件，或者需要指定某些变量的取值范围。
二、整数规划模型的求解方法1.穷举法：穷举法是最简单直接的求解方法，即将所有可能的整数解都列举出来，并计算对应的目标函数值，最后选取最优解。
然而，穷举法由于计算复杂度高，只适用于问题规模较小的情况。
2.分支定界法：分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。
通过将整数规划问题分解成若干个子问题，并为每个子问题设定上下界，不断迭代求解，最终找到最优解。
这种方法可以高效地搜索整数解空间，但对于规模较大的问题，计算时间可能会很长。
3.割平面法：割平面法是一种逐步划分解空间的方法。
它通过添加割平面来修正原始线性规划松弛的解，使其成为整数解。
这种方法能够快速收敛到最优解，并且具有较好的计算效率。
4.分枝定界法：分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。
线性规划整数规划0-1规划
mn
Min f =
i=1 j=1
cij
xij
n
s.t. xij =ai i = 1,2,…,m
j=1
m
xij bj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
只要在模型中的产量限制约束（后n 个不等式约束）中引入n个松弛变量 xm+1j j = 1,2,…,n即可，变为：
xi2 1100
i1
x23x13 C
2
xi3 200
乙
4
x2i 1100
x14 x24 D
i1
2
xi4 100
i 1
j1
x ij 0(i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3 ,4 )
min f 21x11 25x12 7x13 15x14
51x21 51x22 37x23 15x24
足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
数学模型：
mn
min
z
cij x ij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
s .t .
xij b j , j 1,2, , n
i1
xij 0, i 1,2, , m ; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
解 令 x i , j 为在第 j 节车上装载第 i 件包装箱的
数量（i 1,2,L 7; j 1,2）；ni 为第i 种包装箱需 要装的件数；wi 为第i 种包装箱的重量；ti 为第i 种 包 装 箱 的 厚 度 ； cl j 为 第 j 节 车 的 长 度 （cl j 1020）；cw j 为第 j 节车的载重量； s 为特 殊限制（s 302.7）。
3整数规划模型
决策变量：用表示按第种模式切割的原料钢管的根 数，显然它们应当是非负整数。
目标函数：以切割后剩余的总余料量最少为目标， 则由表3.1可得
z1=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有
z2=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7
下面分别在这两种目标下求解。
用Lindo软件求解
例3.2 合理下料问题
某钢管零售商从钢管厂家进货，将钢管按照顾客的要求 切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m.
1）现有一客户需要50根4m、20根6m和15根8m的钢 管，应如何下料最节省？
1）问题的分析。
首先，应当确定哪些切割模式是可行的。所谓一个 切割模式，是指按照客户需要在原料上安排切割的一 种组合。例如：我们可以将19m的钢管切割成3根4m的 钢管，余料为7m；或者将19m的钢管切割成4m、6m 和8m的钢管各1根，余料为1m。显然，可行的切割模 式是很多的。
解 设购买远程、中程、短程客机的数量分别为x1、x2 和x3架，问题的数学模型为 max z 420x1 300x2 230x3, s.t. 6300x1 5000x2 3500x3 75000,
x1 x2 x3 30, 54 3 x1 3 x2 x3 40, x1, x2 , x3 0, x1, x2 , x3均为整数。
3 整数规划模型
在一个数学规划模型中，如果它的某些决策变量或 全部变量要求取整数时，就称这个数学规划模型为整 数规划模型。整数规划模型可分为整数线性规划模型 与整数非线性规划模型。整数规划又分为整数规划、 混合整数规划及0-1规划。
整数线性规划问题
实 例
1
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单，其中必带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、150、250、450、760、190（单位毫升）。尚有10件可带可不带物品，如果不带将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目的地的价格（单位美元）。这些物品的容量及价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案把物品放在三个旅行包里。
单价
销地
厂址
生产能力
建设费用
销量
设： xij 表示从工厂i 运往销地j 的运量(i=1.2…m、j=1.2…n), 在Ai 建厂 又设 yi＝ （i=1.2…m） 不在Ai 建厂 模型：
（3）0－1整数规划问题
现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由于种种原因，有三个附加条件： 若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大？
一位旅行者出发前准备在自己的背包里 携带必需的物品,已知可供选择的物品有n种, 第j种物品的重量为 公斤,其价值为 ,若 背包所带物品的总重量不得超过b公斤,问他 应如何选择所带物品，以使总价值最大。
物品
1 2 … j … n
方式
数学模型表示为： 设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数
混合整数规划问题
某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建设费用为fi (i=1.2…m), 又有n个地点B1,B2, … Bn 需要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地方建厂，即满足各地需要，又使总建设费用和总运输费用最省？
管理运筹学 第三章 整数线性规划
注意在分枝定界求解过程中，为了最优整数解，我们要不断 缩小其最优目标函数值上界与下界的距离，故通过分枝要使得其 上界越来越小，而其下界则越来越大。 在例题中，通过对上下界的修改，上下界距离有所缩小，但 并不相等，所以还要继续分枝。
(5)在线性规划2和线性规划3中选择一个上界最大的线性规划， 即 线 性 规 划 3 ， 进 行 分 枝 。 线 性 规 划 3 的 最 优 解 为 x1=3 ， x2=2.86，把x2分成x2≤2和x2 ≥3两种情况，这样线性规划3分 解为线性规划4和线性规划5，如下： 线性规划4： s.t. 线性规划5： s.t.
分枝定界法是先求解整数规划的线性规划问题。如果其最优 解不符合整数条件，则求出整数规划的上下界，用增加约束条件 的办法，把相应的线性规划的可行域分成子区域（称为分枝）， 再求解这些子区域上的线性规划问题，不断缩小整数规划的上下 界的距离，最后得整数规划的最优解。
“ 分枝”为整数规划最优解的出现创造了条件， 而“定界”则提高了搜索的效率。
(6)进一步修改整数规划最优目标函数值z*的上下界。 由于线性规划 1 分枝为线性规划 2 和线性规划 3 ，线性规 划3又分枝为线性规划4和5，也就是线性规划1分枝为线性规 划 2、 4、 5，故从线性规划 2， 4，5中进一步修改整数规划 最优目标函数值的上下界。 因为线性规划2的最优目标函数值为13.90，线性规划4 的最优目标函数值为 14，而线性规划 5无可行解，可得整数 规划最优目标函数值的上界可修改为14，即 z =14， 取线性 规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值的最大值。 又因为在线性规划2中可知存在整数规划可行解x1=2， x2=3，其目标函数值为13，在线性规划4中可知存在整数规 划可行解 x1=4 ， x2=2 ，其目标函数值为 14 ，而线性规划 5 无可行解，可知整数规划最优目标函数值的下界可修改为 14， z=14，也取线性规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值 的最大值。
线性 整数规划模型
g j (x) 0, j 1,...,l
整数规划问题的分类
• 整数线性规划(ILP) 目标和约束均为线性函数 • 整数非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数
• 纯(全)整数规划(PIP) 决策变量均为整数 • 混合整数规划(MIP) 决策变量有整数，也有实数
• 0-1规划 决策变量只取0或1
优化建模
优化建模
1. 优化模型的基本概念
优化建模
优化模型和算法的重要意义
最优化: 在一定条件下，寻求使目标最大(小)的决策
最优化是工程技术、经济管理、科学研究、社 会生活中经常遇到的问题, 如: 结构设计 资源分配 生产计划 运输方案
解决优化问题的手段 • 经验积累，主观判断 • 作试验，比优劣 • 建立数学模型，求解最优策略
数学规划
g j (x) 0, j 1,...,l x D n
连 • 线性规划(LP) 目标和约束均为线性函数
续 优
• 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数
化 ✓ 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性
• 整数规划(IP) 决策变量(全部或部分)为整数
离 散
✓ 整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP)
如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求 最大/最小值、四舍五入、取整函数等 3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变 量的个数 （如x/y <5 改为x<5y） 4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值 5、模型中使用的参数数量级要适当 (如小于103)
优化建模
需要掌握的几个重要方面
约束条件可行解只满足约束与最优解取到最优值目标函数局部最优解localoptimalsolution整体最优解globaloptimalsolution线性规划lp目标和约束均为线性函数非线性规划nlp目标或约束中存在非线性函数二次规划qp目标为二次函数约束为线性整数规划ip决策变量全部或部分为整数整数线性规划ilp整数非线性规划inlp纯整数规划pip混合整数规划mip一般整数规划01整数规划数学规划优化线性规划非线性规划二次规划连续优化整数规划问题求解的难度增加优化模型实例506472目标函数约束条件例21线性规划模型lp模型求解图解法6472目标函数z2400z3600常数等值线在b2030点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数可行域为直线段围成的凸多边形目标函数的等值线为直线最优解一定在凸多边形的某个顶点取得
线性规划与整数规划
线性规划与整数规划线性规划（linear programming）是一种优化问题的数学建模方法，它的目标是在给定的约束条件下，找到一个线性函数的极值。
线性规划的解决方法与整数规划（integer programming）有很大的联系，整数规划是线性规划的一种特殊形式，在选择决策变量时，限制其取值为整数。
线性规划和整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
一、线性规划线性规划的数学模型可以用如下形式表示：$max\,C^TX$$s.t.\,AX \leq B$$X \geq 0$其中，$C$是一个列向量，$X$是一个列向量，$A$是一个矩阵，$B$是一个列向量。
在上述模型中，$C^TX$表示我们要优化的目标函数，即我们希望最大化或最小化的线性函数。
目标函数的系数在矩阵$C$中定义。
约束条件由不等式$AX \leq B$表示。
约束矩阵$A$的每一行代表一个约束式，而约束向量$B$确定每个约束条件的边界。
最后一个条件$X \geq 0$表示决策变量$X_i$必须非负。
线性规划问题的解可以通过线性规划算法求解，如单纯形算法、内点法等。
这些算法能够有效地求解线性规划问题，但是当问题涉及到整数变量时，线性规划就无法得到整数解，这时就需要使用整数规划来解决。
二、整数规划整数规划是对线性规划的一种扩展，它的决策变量被限制为整数。
整数规划的数学模型可以用如下形式表示：$max\,C^TX$$s.t.\,AX \leq B$$X_i \in Z$其中，$X_i \in Z$表示决策变量$X_i$必须为整数。
整数规划相比于线性规划更加困难，因为整数规划的解空间更大。
对于非线性整数规划问题，甚至可能没有有效的解决方法。
求解整数规划问题的方法也有很多，比如分支定界法、割平面法、动态规划等。
这些方法能够在有限的时间内找到整数规划问题的近似解。
然而，由于整数规划问题是NP难问题，当问题规模较大时，求解时间呈指数增长。
三、线性规划与整数规划的应用线性规划和整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
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优化模型是一类既重要又特殊的数学模型，而优化建模 方法是也一种特殊的数学建模方法。优化模型一般有下 面三个要素：
(1) 决策变量，它通常是该问题要求解的那些未知量。 （2）目标函数，通常是该问题要优化（最大或最小）的 那个目标的数学表达式，它是决策变量的函数。 （3）约束条件，由该问题对决策变量的限制条件给出。
优化模型从数学上可表示成如下一般形式：
opt
z f (x)
(opt表示最优化(optimize)的意思)
i 1, 2,3, , me
s.t. hi ( x) 0
(Ⅰ)
( Ⅱ)
g ( x) 0
j
j me 1, me 2, , me m
如果 f ( x), hi ( x), g j ( x) 均为线性函数，则上述模型称为线性规划 （Linear Programming,简记为LP），否则称为非线性规划(NLP)
化为
min f=- 80 X1- 45 X2
sub.to 0.2 X1+0.05 X2≤4 15 X1+10 X2 ≤ 450 X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
程序如下： c=[-80,-45];a=[0.2,0.05;15,10];b=[4,450]; vlb=[0,0];vub=[]; [x,lam]=lp(c,a,b,vlb,vub) （参数vlb,vub给出变量的上下边界的约束） x = 14.0000 24.0000 lam = 100.0000 4.0000 0 0 说明：x解为最优解，lam说明约束条件发挥了作用。
优化模型
教学目的： 1. 初步认识优化模型的基本形式及掌握线性规 划模型的建模及求解。 2. 通过实例建模并求解,熟练掌握一些数学软件 的使用。
教学内容:
1. 简单介绍优化模型的基本概念和基本类型。
2. 重点介绍优化模型中的线性规划模型。
3. 线性规划模型建模实例及求解的实现。 4. 布置本次课的练习与上机实验内容。
ห้องสมุดไป่ตู้
（2）用EXCEL—Solver实现
①模型中的数据直接输入EXCEL工作表中。其中决策变量初 始的值可以任意给出，它们是可变的，软件最后将给出最优 解的值。SUMPRODUCT是EXCEL的一个内置函数，表示两个向 量或矩阵对应元素乘积的和。
②引用工具——规划求解（需要工具—加载宏安装）
（3）用Matlab实现------- lp 线性优化函数 线性优化问题即目标函数和约束条件均为线性函数的问题。 其标准形式为：
15x1+10x2 ≤ 450,（Ⅱ） x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,
模型求解： （1）图解法（用于决策变量是2维）
x2
0.2x1+0.05x2=4
15x1+10x2=450 x1
线性规划问题的目标函数(关于不同的目标值是一族平行直线) 目标值的大小描述了直线离原点的远近,并且最优解一定在可 行解集的某个极点上达到 (穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿 过的凸多边形的顶点).
分析： 1. 求什么？ 生产多少桌子？ x1 生产多少椅子？ x2 2. 优化什么？ 收益最大 Max f=80 x1+45 x2 3. 限制条件？ 原料总量 0.2 x1 +0.05 x2 ≤4 劳力总数 15 x1 +10 x2 ≤450
模型：以产值为目标取得最大收益.
设：生产桌子 x1张, 椅子 x2张,(决策变量) 将目标优化为：max f=80x1+45x2 对决策变量的约束： 0.2x1+0.05x2≤4 （Ⅰ）
Min
cx
x Rn
Sub.to: Ax=b
x0
m n ）， b Rn , c Rn
，
其中 A Rmn , m n （通常
均为数值矩阵。
max f=80 X1+45 X2 sub.to 0.2 X1+0.05 X2≤4 15 X1+10 X2 ≤ 450 X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
3.2 线性规划模型的解的几种情况 线性规划问题
有可行解
无可行解
有最优解
无最优解
3.3 求解一般方法： (1)图解法：对于只含2个变量的线性规划问题，可通 过在平面上作图的方法求解。步骤如下： ①在平面上建立直角坐标系；
②图示约束条件，找出可行域；
③图示目标函数，即为一直线；
④将目标函数直线沿着其法线方向向可行解域边界平移， 直至与可行解域第一次相切为止，这个切点就为最优点
1. 引言 在工程技术、经济管理、科学研究和日常生活等 诸多领域中，人们经常遇到的一类决策问题：在一系 列客观或主观限制条件下，寻求所关注的某个或多个 指标达到最大（或最小）的决策。例如，生产计划要 按照产品工艺流程和顾客需求，制定原料、零件、部 件等订购、投产的日程和数量，尽量降低成本使利润 最高；运输方案要在满足物资需求和装载条件下安排 从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用 最低。 它们的特点就是：在若干可能的方案中寻求某种意义 下的最优方案。数学上称为最优化问题,而研究处理这 种问题的方法叫最优化的方法。
2.优化模型的基本类型
问题求解的难度增加
上图是优化模型的简单分类和求解难度
3. 线性规划
(目标函数和约束条件都是线性函数)
3.1线性规划问题几个概念：
线性规划问题有解：指能找出一组满足约束条件的向量，并 称这组为问题的可行解。
线性规划问题无解：指不存在可行解或最优趋向无限大。 可行域：指全部可行解组成的集合。 最优解：指可行域中使目标函数值达到最优的可行解。
(2)用EXCEL—Solver,Matlab,LINDO/LINGO软件实现
3.4线性规划模型的实例 例1 家具生产的安排 家具公司生产桌子和椅子，用于生产的劳力共计450个工 时，木材共有4立方米,每张桌子要使用15个工时，0.2立方木 材售价80元。每张椅子使用10个工时，0.05立方木材售价45 元。问为达到最大的收益，应如何安排生产？
（4）用LINDO/LINGO实现 我们可以直接在下面的窗口输入LP模型（图（4）—1）
图（4）—1 输入简单的优化模型
输入后，用鼠标单击LINDO软件工具栏中的图标 ，或从菜 单中选择Solve│Solve(Ctrsl+S)命令，则LINDO开始编译这 个模型，编译没错误马上开始求解，求解时会显示如图 （4）—2所示LINDO求解器运行状态窗口（里面的 “Objective”就是最优解，即：2200）。