北师大版八年级数学上册

根据勾股定理的逆定理，得∠AFE＝90°，
∴AF⊥EBaidu Nhomakorabea.
数学·人教版（RJ）
易错警示 根据 a2＋b2＝c2，判别直角三角形时，容易出现计算一条 短边及最长边的平方和，导致错误．
考点三 勾股定理的实际应用
例3 如图1－2，在公路AB旁有一座山，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠 站A的距离为300 m，与公路上另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB，为了安全起见， 爆破点C周围半径250 m范围内不得进入．在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要 暂时封锁？
北师大版八年级数学上册
第一章课件
知识归纳
1．勾股定理
定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那a2么＋b2＝c2
各种表达形式：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分
别为 a、b、c，则 c2＝a2＋b2 ，a2＝ c2－b2 ，b2＝ c2－a2 . 作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求 另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．
图1－4
图1－5 数学·人教版（RJ）
方法技巧 最短路径问题是勾股定理在立体几何中的应用，一般做法是把长方体(或其他几
何体)侧面展开，将立体图形问题转化为平面图形问题，再根据两点之间线段最短， 用勾股定理求解．
考点四 验证勾股定理
例5 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证 方法．如图1－6，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB ＝a，BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2＋b2＝c2.
图1－3
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[解析] 要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连接AF，再求出AF，但AF在盒子里面，不 符合题目要求．甲生和乙生的方案类似，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似， 只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发现 丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了．
所以根据勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形．
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B、C 是河岸边两点，A 为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°， ∠ACB＝45°，BC＝50 m，则河宽 AD 为( B )
A．25 2 m B．25 m
50 C. 3 3 m
D．25 3 m
图 1－10
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1．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，以直角边BC为直径作半
2．勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a、b、c 满足：a2＋b2＝c2 ，那么这个三角形是
直角三角形．
3．勾股数 满足 a2＋b2＝c2 的三个 正整数
，称为勾股数．
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考点攻略
考点一 应用勾股定理计算 例1 已知直角三角形的两边长分别为3,4，求第三边长的平方．
[解析] 因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长 为5.但这一理解的前提是3,4为直角边．而本题中并未加以任何说明，因而所求的 第三边可能为斜边，也可能为直角边．
由三角形的面积可知：12AB·CD＝12BC·AC，所以 500CD＝ 400×300，所以 CD＝240 m.
因为 240＜250，即点 C 到 AB 的距离小于 250 m，所以有危险， 公路 AB 段需要暂时封锁．
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方法技巧 转化思想是一种重要的数学思想，它的应用十分广泛，如通过作高可以 将非直角三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决，通过建模可以 将实际问题转化为数学问题来解决等．
解：(1)当两直角边长分别为 3 和 4 时，第三边长的平方为 32＋42＝25； (2)当斜边为 4，一直角边为 3 时，第三边长的平方为 42－32＝7.
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易错警示 应用勾股定理计算时，易出现下列两种错误：(1)忽视勾股 定理成立的条件，在非直角三角形中使用 a2＋b2＝c2；(2)当题
∴S1＋S2＋S3＋S4＝2.44.
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1．如图1－13所示，有一圆柱体，它的高为40 cm，底面周长为60 cm.在圆柱的下 底面A点处有一只蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最 短路径是________cm.
50
图1－13
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2．如图1－14，是一块长、宽、高分别是4 cm、2 cm和1 cm的长方体木块，一只蚂 蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃 食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________cm.
就可以了．
解：连接
AE，设正方形边长为
a，则
DF＝FC＝a2，EC＝a4.
在 Rt△ECF 中，有 EF2＝a22＋a42＝156a2.
在 Rt△FDA 中，有 AF2＝a22＋a2＝54a2.
在 Rt△ABE 中，有 BE＝a－14a＝34a，
∵AE2＝a2＋34a2＝1265a2，
∴AF2＋EF2＝AE2.
所以△ABC 是直角三角形，∠A 为直角．
3．如果一个三角形的三边长分别为 a＝m2－n2，b＝2mn， c＝m2＋n2(m>n)，求证：三角形是直角三角形．
证明：∵a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4＋2m2n2＋n4. c2＝(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4， ∴a2＋b2＝c2.
图1－6
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[解析] 观察图形会发现易证△ABC≌△C′D′A，得∠CAC′＝90°，于是梯形 BCC′D′的面积既等于12(C′D′＋BC)·BD′，又等于 S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′， 于是定理得证．
证明：由题意可知四边形 BCC′D′为直角梯形， 因为 Rt△ABC≌Rt△AB′C′， 所以∠BAC＝∠B′AC′， ∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°. 所以 S 梯形 BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′， 12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2，
图1－2 数学·人教版（RJ）
[解析] 要判断公路 AB 段是否需要封锁，则需要比较点 C 到 AB 的距离与 250 m 的大小关系，可以借助勾股定理和三角形的面 积计算点 C 到 AB 的距离．
解：作 CD⊥AB 于 D，因为 BC＝400 m，AC＝300 m，∠ACB ＝90°，根据勾股定理，得 AC2＋BC2＝AB2，即 3002＋4002＝AB2， 所以 AB＝500 m.
所以AB2＝22－1.32＝2.31. 因为4－2.6＝1.4,1.42＝1.96,2.31＞1.96，所以卡车 可以通过． 答：卡车可以通过
图1－16
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第二章 过关测试
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即 a2＋b2＝c2.
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1．如图1－7，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC边
长的平方和为( )
C
A. 74 B. 75 C. 64 D．70
图1－7 数学·人教版（RJ）
2．如图1－8所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸的两个格点( 即正方形的顶点)，在这个6×6的方格中，找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的 直角三角形，这样的点有________个．
解：∵ a2＝196，b2＝1265，c2＝1， ∴a2＋c2＝b2， ∴三角形是直角三角形．
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2．在△ABC 中，AC＝2a，BC＝a2＋1，AB＝a2－1，其中 a＞1， △ABC 是不是直角三角形？如果是，哪一个角是直角？
解：因为 AC2＋AB2＝4a2＋a4－2a2＋1＝a4＋2a2＋1. BC2＝(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1， 即 AC2＋AB2＝BC2.
6
图1－9
图1－8
[解析] 如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、A2；当∠B为直角时， 满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条 件的点共有6个．
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1． 已知三角形的三边为 a＝34，b＝54，c＝1，这个三角形是 直角三角形吗？
解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，如图1－4 所示：
则AE＝AB＋BE＝4(cm)，EF＝3 cm，连接AF，在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝42 ＋32＝25，∴AF＝5(cm)．连接BF，
∵AF<AB＋BF， ∴丙的方法比甲的好．
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圆，则这个半圆的面积是________．
881π
图1－11
2．如图1－12，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积
分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋
S4＝ ________.
2.44
图1－12
[解析] 由勾股定理的几何意义可知：S1＋S2＝1, S2＋S3＝1.21, S3＋S4 ＝1.44，
目给出两条边长而没有给出图形时，可能考虑不周而漏解．
考点二 直角三角形的判别
例 2 如图 1－1，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 EC＝14BC，请说明：AF⊥EF.
图 1－1
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[解析] 要说明 AF⊥EF，可说明△AEF 是直角三角
形，只要根据勾股定理的逆定理说明 AF2＋EF2＝AE2
按丁生的办法，将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，如图1－5所示： 则BF＝BC＋CF＝3＋2＝5(cm)，AB＝2 cm，连接AF，在Rt△ABF中，AF2＝BF2＋AB2＝ 52＋22＝29≈5.392， ∴AF＝5.39 cm.连接AC， ∵AF<AC＋CF， ∴丁的方法比乙的好． 比较丙生与丁生的计算结果，知丙生的说法正确．
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如图1－15所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长 方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.6米，请问这辆送家具的 卡车能否通过这个通道？
图1－15
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解：如图1－16所示，过直径的中点O，作直径的垂线交 下底边于点D.
如图1－16所示，在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC ＝OB＝2.6×＝1.3(米)，
5
图1－14
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[解析] 因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大小比较， 再从各个路线中确定最短的路线．
(1)展开前面、右面．由勾股定理得 AB2＝(2＋4)2＋12＝37； (2)展开前面、上面．由勾股定理得 AB2＝(1＋4)2＋22＝29； (3)展开左面、上面．由勾股定理得 AB2＝(2＋1)2＋42＝25. 所以最短路径的长为 AB＝5 cm.
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例4 李老师让同学们讨论这样一个问题，如图1－3所示，有一个长方体盒子，底面 正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长方体盒子下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到 上底面的F点处的食物，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？
过了一会，李老师问同学们答案，甲生说：先由A点到B点，再走对角线BF；乙生说： 我认为应由A先走对角线AC，再走C到F点；丙生说：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成 长方形AEFD，利用勾股定理求AF的长；丁生说：将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方 形ABFG，利用勾股定理求AF的长．你认为哪位同学的说法正确？并说明理由．(参考数 据：29≈5.392)