水力学典型例题分析(上)

例题1在旋转锥阀与阀座之间有厚度为1δ，动力粘度为μ的一层油膜，锥阀高为h,上、下底半径分别为1r 和2r 。

试证明，锥阀以角速度ω旋转时，作用在锥阀上的阻力矩为：2222121212()()()r r r r r r h T πμω++-+=〔解〕证明：任取r 到r+dr 的一条微元锥面环带，在半径r 处的速度梯度是δωγ，切应力ωγτμδ=，假定锥面上的微元环形面积为dA ，则作用在锥阀微元环带表面上的微元摩擦力是dF=τdA微元摩擦力矩 dT=τdA ⨯r下面讨论dA 的表达式，设半锥角为θ,显然，由锥阀的几何关系可得 222121)(hr r r r Sin +--=θθππθSin rdr dA rdr dASin 22== ∴ dr r Sin rdA dT 32θδπμωτ== ()1122441232sin 2sin r r rrr r T dT r dr πμωπμωδθδθ-===⎰⎰ 将)(4241r r -进行因式分解，并将Sin θ的表达式代入化简整理上式可得 2222121212()()()2T r r r r r r h πμωδ=++-+ 例题2盛有水的密闭容器，其底部圆孔用金属圆球封闭，该球重，直径D=10cm ，圆孔直径d=8cm ，水深H 1=50cm 外部容器水面低10cm ，H 2=40cm ，水面为大气压，容器内水面压强为p 0求：(1)当p 0也为大气压时，求球体所受的压力；(2)当p 0为多大的真空度时，球体将浮起。

解：(1)计算p 0=p a 时，球体所受的水压力因球体对称，侧向水压力相互抵消，作用在球体上仅有垂直压力。

如解例题2(a)图，由压力体的概念球体所受水压力为()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=464622132213d H H D d H H D P γπγππ ())(205.0408.04.05.061.014.3980023↑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--⨯⨯=N(2)计算密闭容器内的真空度设所求真空度为Hm(水柱)高，欲使球体浮起，必须满足由于真空吸起的“吸力”+上举力=球重，如解例题2(b)图所示，即有平衡式6.19205.042=+d H πγ()()m d H 39.008.014.398004205.06.194205.06.1922=⨯⨯⨯-=-=γπ γKP ≥ p K ≥9800×=3822N/m2当真空度p K ≥3822N/m 2时，球将浮起。

例题3管道从1d 突然扩大到2d 时的局部水头损失为j h '，为了减小水头损失的数值，在1d 与2d 之间再增加一个尺寸为d 的管段，试问：(1)d 取何值时可使整体的损失为最小；(2)此时的最小水头损失j h 为多少〔解〕(1)根据已知的圆管突然扩大局部水头损失公式gV V h j 2)('221-=根据连续方程2211A V A V =，增加直径为d 的管段后，仍满足2211A V VA A V == 由此可得22112211)(,)(d d V V d d V V== (4-1) 在1d 与2d 之间加入直径为d 的管段后，水头损失j h 应该是两个突然扩大的局部水头损失之和，即gV V g V V h j 2)(2)(2221-+-= []V V V V V V V g2222122122221-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=))((2)()(2)(21211221212121V V V V V V V VV V gV将(4-1)式代入⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=21221214212121)()(2)(2)()(12d d d d d d d d d d gV h j 求导数 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=---32241321541214482d d d d d d d g V dd dh j⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=--22122132121)(12)4(2d d d d d d g V 当0=dd dh j 时，j h 取得极小值令0=dddh j ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-==--0)(12)(002212213d d d d d d 不合题意，舍去 22121)(1)(2d dd d +=2221222122d d d d d += 2221212dd d d d +=(4-2)(2)求j h 的极小值[]2221min )()(21v v v v gh j -+-=将211)(d d V V =及222)(ddV V =代入上式，则 222212min11221()()2jd d h V V V V g d d ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪=-+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭再将(4-2)式代入并整理可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=22221212222222212221min)12()2((21d d d d V d d d V g h j 利用(4-1)式，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=2212221221min)1(4)1(421V V V V V V g h jgV V V V V V g 2)(21)(41)(4121221221221-⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-='min21j j h h =加中间段所得的损失正是原来突然扩大不加中间段时损失的一半，由此可见，逐渐扩大比突然扩大的损失要小得多。

例题4比重S=，运动粘度ν=0.125cm 2/s 的油在粗糙度△=0.04mm 的钢管中流动，管径d=300mm ，流量Q=100l/s,试确定：(1)流动型态；(2)沿程阻力系数λ(3)粘性底层厚度δ(4)管壁上的切应力0τ 〔解〕首先判别流态 2000339533.010125.01.0444>=⨯⨯⨯⨯===-ππννd Q VdR e紊流(1)假定光滑紊流区，用布拉修斯公式计算λ值，即0233.03164.025.0==e R λ粘性底层厚度 0233.08.3225.0==eR dδ 粘性底层厚度 mm m R d e 9.110898.10233.0339533.08.328.323≈⨯=⨯==-λδ由于3.002.09.104.0<==∆δ，流动处于紊流光滑区，前述假定正确。

(2)沿程阻力系数λ= (3)粘性底层厚度δ=1.9mm (4)管壁处的切应力2*20)(8181AQ S V ρλλρτ== 89.4)3.01.04(100085.00233.081220=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=πτ2/m N 例题5两水池的水位差H=24m ，中间由四段管道连接，如图所示。

已知水池水位保持不变，管长 l 1=l 2=l 3=l 4=100m ，管道直径d 1=d 2=d 4=100mm ，d 3=200mm ，沿程阻力系数,02.0,025.03421====λλλλ阀门局部阻力系数 ζ=30，其余局部阻力忽略不计。

试求： (1)管道中的流量 (2)如果关闭阀门，流量如何变化〔解〕将阀门处的局部水头损失折合成第3管段适当长度L e 上的沿程水头损失，则ζ g V 223=3λ2332e l v d g令 33d le λζ=，故 33λζd l e = 沿程水头损失 252282Q dg lg d V l h f πλλ=⋅⋅= 令 528d g lS πλ=，管道摩阻2SQ h f=先求出每条管道的摩阻值 7.206561.08.9100025.08852512111=⨯⨯⨯⨯==ππλd g l SS 333252530.280.02(10030)8()0.022065.679.80.2e l l g d λππ⨯⨯+⨯+===⨯⨯可见 S 1=S 2=S 4=10 S 3 (1)求管道通过的流量根据连续方程 Q 1=Q 4=Q 2+Q 3=Q (4-1) 2管与3管并联 2f h =3f h 233222Q S Q S =1032332QS S Q Q == (4-2) 将(4-2)式代入(4-1)式，得Q Q Q =+33101Q Q 76.03= (4-3) Q Q 24.02= (4-4) 在图示的复杂管道中421f f f h h h H ++=2422221Q S Q S Q S ++= 24221)24.0(Q S S S +⨯+=）（124.017.2065622++⨯=Q223.42503Q =s l Q /76.2323.4250324==所以sl Q Q s l Q Q sl Q Q /06.1876.0/70.524.0/76.233241======(2)当关闭了管中的阀门，流量如何变化阀门全部关闭后，成为三条管道串联，即 Q Q Q Q ===421 242221421Q S Q S Q S h h h Hf f f ++=++=因为 7.20656421===S S S 所以 27.206563Q H ⨯= 4210873.37.20656324-⨯=⨯=Qs l Q /68.19=可见，关闭阀门后，虽然2管的流量增大了，但1管和4管的流量减小，使得从水池A 到水池B 的输水能力降低了。

例题6梯形断面土渠，通过的流量Q=s m /3，底坡i=5501，边坡系数m=。

砂质粘土，粗糙系数n=，当渠道中水深为～1.0m 时不冲允许流速V ′=1.0m/s ，不淤允 许流速V ″=0.4m/s ，试按宽深比β=设计断面尺寸。

〔解〕当渠道中形成均匀流时 Q=ACRi面积 A=（b +m h ）h =（+）h=2h湿周 χ= b+2h21m +=+2h 25.11+=水力半径 R =χA =h h h 587.011.50.32= 谢才系数 C=n161RQ=A n 132R i =⨯2h ⨯025.01⨯32⨯5501=38h 38=587.3Q = 21.0587.375.0=h=0.56m b=βh= ⨯=0.84m 校核渠道允许流速 A= ⨯2= 2m =V A Q =797.0941.075.0=s m / '"V V V <<断面平均流速在允许流速范围之内。

例题7证明：当断面比能E s 及渠道断面形式，尺寸(b 、m)一定时，最大流量相应的水深是临界水深。

证明 22222gAQ h gV h E sαα+=+= （4---1）)(222h E gA Q s -=α（4---2）当E s 一定时，断面形式，尺寸一定，A=f(h)，上式为Q=F(h)，绘出Q ～h 关系曲线见6-3-4图。

由图可知，Q=F(h)取得极大值，将(4-2)式对h 取一阶导数，可得 ])(2[222A h E dhdAA g dh dQ QS --=α 令)(,0h F Q dhdQ==取得极大值，只能 ,0)(22=--A h E dh dA A S 因为,B dhdA=则0)(2=--A h E B s将(4-1)式代入上式，可得23Q A g Bα=(4-3)式即为水流作临界流时临界水深关系式，可见，当断面比能Es 一定，断面形状、尺寸一定时，最大流量时的水流作临界流，水深即为临界水深h s ，即kk B A gQ 32max=α （4-3） 5、某矩形断面渠道，底宽b=2m ，试确定： (1)流量Q=2m 3/s 时的临界水深及最小断面比能 (2)断面比能Es=1m 时的临界水深及最大流量 〔解〕(1)当Q=2m 3/s 时当Q 一定时，断面比能最小时的水深为临界水深 22222gAQ h gV h E sαα+=+= （5-1）将上式对h 取一阶导数，并令0=dhdE s，Es 取得极小值，此时临界水深满足 32332)(k k k k h b bbh B A g Q ===αgq gb Q hk2223αα==223321.020.459.82k qh m gα⨯===⨯ 最小断面比能7.025.045.0)45.02(8.9220.145.02222min=+=⨯⨯⨯⨯+=+=g V h E K k s α(2)当Es=1m 时 ，流量最大时的水深为临界水深，由(5-1)式可得 )(222h E A gQs -=α将上式对h 取一阶导数，并令0=dhdQ，Q 取得极大值，此时临界水深满足3232k kk mh b B A gQ ==α 223gbQ h mkα=(5-3)因为 22222kmk k k s gAQ h gV h E αα+=+= (5-4)联立求解(5-3)式和(5-4)式，可得s m Q m h k /43.3,67.03max ==k h =0.67m ，max Q =3.43m 3/s故临界水深为0.67m ，最大流量为3.43m 3/s 。