水力学典型例题分析(上)

例题1

在旋转锥阀与阀座之间有厚度为1δ，动力粘度为μ的一层油膜，锥阀高为h,上、下底半径分别为1r 和2r 。

试证明，锥阀以角速度ω旋转时，作用在锥阀上的阻力矩为：

2222

121212()()()r r r r r r h T πμω++-+=

〔解〕证明：

任取r 到r+dr 的一条微元锥面环带，在半径r 处的速度梯度是

δ

ωγ

，切应力ωγτμδ=，

假定锥面上的微元环形面积为dA ，则作用在锥阀微元环带表面上的微元摩擦力是dF=τdA

微元摩擦力矩 dT=τdA ⨯r

下面讨论dA 的表达式，设半锥角为θ,显然，由锥阀的几何关系可得 2

2

2121)(h

r r r r Sin +--=

θ

θ

ππθSin rdr dA rdr dASin 22=

= ∴ dr r Sin rdA dT 3

2θ

δπμωτ=

= ()

1

1

2

2

44123

2sin 2sin r r r

r

r r T dT r dr πμωπμωδθδθ

-=

=

=

⎰⎰ 将)(4

24

1r r -进行因式分解，并将Sin θ的表达式代入化简整理上式可得 2

222121212()()()2T r r r r r r h πμωδ

=

++-+ 例题2

盛有水的密闭容器，其底部圆孔用金属圆球封闭，该球重，直径D=10cm ，圆孔直径d=8cm ，水深H 1=50cm 外部容器水面低10cm ，H 2=40cm ，水面为大气压，容器内水面压强为p 0

求：

(1)当p 0也为大气压时，求球体所受的压力；

(2)当p 0为多大的真空度时，球体将浮起。

解：

(1)计算p 0=p a 时，球体所受的水压力

因球体对称，侧向水压力相互抵消，作用在球体上仅有垂直压力。

如解例题2(a)图，由压力体的概念球体所受水压力为

(

)()⎥

⎦⎤⎢⎣

⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=464622132213d H H D d H H D P γπγππ ())(205.0408

.04.05.061.014.3980023↑=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⨯--⨯⨯=N

(2)计算密闭容器内的真空度

设所求真空度为Hm(水柱)高，欲使球体浮起，必须满足由于真空吸起的“吸力”+上举力=球重，如解例题2(b)图所示，即有平衡式

6.19205.04

2

=+d H πγ

()

()m d H 39.008

.014.398004

205.06.194205.06.192

2=⨯⨯⨯-=-=γπ γ

K

P ≥ p K ≥9800×=3822N/m

2

当真空度p K ≥3822N/m 2

时，球将浮起。

例题3

管道从1d 突然扩大到2d 时的局部水头损失为j h '，为了减小水头损失的数值，在1d 与2d 之间再增加一个尺寸为d 的管段，试问：(1)d 取何值时可使整体的损失为最小；(2)此时的最小水头损失j h 为多少

〔解〕(1)根据已知的圆管突然扩大局部水头损失公式

g

V V h j 2)('2

21-=

根据连续方程2211A V A V =，增加直径为d 的管段后，仍满足2211A V VA A V == 由此可得

22

112211)(,)(d d V V d d V V

== (4-1) 在1d 与2d 之间加入直径为d 的管段后，水头损失j h 应该是两个突然扩大的局部水头损失之和，即

g

V V g V V h j 2)

(2)(2

221-+

-= []

V V V V V V V g

2222122

122221-+-+=

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-+-+=))((2)()(2)(21211221212121V V V V V V V V

V V g

V

将(4-1)式代入

⎥⎦⎤⎢

⎣

⎡--++=

2122121421212

1)()(2)(2)()(12d d d d d d d d d d g

V h j 求导数 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++-=---322

4

1

321541214482d d d d d d d g V dd dh j

⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡++-=--22122132121)(12)4(2d d d d d d g V 当

0=dd dh j 时，j h 取得极小值

令

0=dd

dh j ，则

⎪⎩

⎪

⎨⎧=++-==--0)(12)(002212

213d d d d d d 不合题意，舍去 22

121)(1)(

2d d

d d +=

2

2

212

2

212

2d d d d d += 22

21

212d

d d d d +=

(4-2)

(2)求j h 的极小值

[]

2221min )()(21

v v v v g

h j -+-=

将211)(

d d V V =及222)(d

d

V V =代入上式，则 22

22

12min

11221()()2j

d d h V V V V g d d ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪=-+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭

再将(4-2)式代入并整理可得

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--+-=22

2212

12222222212221min

)12()2((21d d d d V d d d V g h j 利用(4-1)式，则 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+-=2212221221min

)1(4)1(421V V V V V V g h j

g

V V V V V V g 2)(21)(41)(4121221221221-⨯=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+-=

'min

2

1j j h h =

加中间段所得的损失正是原来突然扩大不加中间段时损失的一半，由此可见，逐渐扩大比突然扩大的损失要小得多。

例题4

比重S=，运动粘度ν=0.125cm 2

/s 的油在粗糙度△=0.04mm 的钢管中流动，管径d=300mm ，

流量Q=100l/s,试确定：

(1)流动型态；(2)沿程阻力系数λ(3)粘性底层厚度δ(4)管壁上的切应力0τ 〔解〕首先判别流态 2000339533

.010125.01

.0444

>=⨯⨯⨯⨯==

=

-ππνν

d Q Vd

R e

紊流