概率论与数理统计东华大学出版 答案第六章

第六章 数理统计基本概念与抽样分布第一节 数理统计基本概念习题Page2031、 设总体ξ分布为下述情形（1）(,)B k p ξ ；（2）ξ服从参数为λ的指数分布；（3）(,1)N ξμ ，14,ξξ 为取自总体4n =的样本，分别写出它们的样本空间和样本的联合分布律（或联合密度）。

解答：（1）因(,)B k p ξ ，所以{}(1),0,1,l lk l k P l C p p l k ξ-==-= ，故样本空间为1414{(,,)|,,0,1,,}X k k k k k == ，11441144{,,}{}{}P k k P k P k ξξξξ=====111444(1)(1)k k k k k k k k k k C p p C p p --=-⋅⋅- ，14,,0,1,,k k k = ；（2）因ξ1{(,X k =144}{}k P k ξ==11!ke k λλ-=（3）因)∞，故样本空间1{(,X k =1(,,f x 14,,)x x <<∞ 。

2、 (1)(2)()k x x x <<< ，取(1)(2)(),,,k x x x 得频数分别为12,,k n n n ，1()ki i n n ==∑，显然有样本均值_()11k i i i x n x n ==∑，样本方差_22()11()1k i i i S n x x n ==--∑。

（1） 求证：_222()11[()]1k i i i S n x n x n ==--∑；（2） 有一组25n =的样本观察值，其数据如下，试求_x 、22,s b 。

解答：（1）_22()11()1k i i i S n x x n ==--∑__22()()11(2())1k i i i i n x x x x n ==-⋅+-∑=2()11[1k i i i n x n =-∑ __2()12()]kki i i i i i x n x x n ==-+∑∑___22()11[2()]1k i i i n x x n x n x n ==-⋅+-∑_22()11[()]1k i i i n x n x n ==--∑。

（2）_11(8*05*17*33*42*6)285732i i x n x n =⋅=++++=++++∑∑，2221126252)3s =-⋅=， 2b =3、 设ξ2已知。

问下述样本（1）(23,)ξξ； （5）12解答：未知但2σ已知，因4、 1,2,,i n = ，使i y 成为较简单的整数以简化运算，求证：__222x yx b y as b s ⎧⎪=+⎨=⎪⎩。

其中：__1111,n n i i i i x x y y n n ====∑∑，__22221111(),()11n n xi y i i i s x x s y y n n ===-=---∑∑。

解答：因为,i i x a y b -=所以(1,,)i i x a by i n =+= ，_1111()n ni i i i x x a by n n ====+∑∑_11n i i a b y a b y n ==+=+∑；__2221111()(())11n n x i i i i s x x a by a b y n n ===-=+-+--∑∑ 2_21()1n i i b y y n ==--∑。

5、 设某工厂生产轴承，从某天的产品中随机抽取10根，测量直径如下（单位：mm ）：14.6、14.7、15.2、14.9、14.8、15.0、15.1、15.2、14.8、 14.7。

试用原始数据和作变换(14)*10y x =-后的数据分别求_x 和2x s ，并比较哪种方法计算方便。

解答：_1(14.614.715.214.914.815.015.115.214.814.7)14.910x =+++++++++=， 10222222222221(14.614.715.214.914.815.015.115.214.814.7)ii x==+++++++++∑2xs =12、8、7，得_9y =，2y s 6、 2(,)μσ，1,ξ,nξ __2(),(),()E D E S ξξ。

解答：22()S σ=。

（1）因ξ2)(1)kp p σ==-； （2）因()ξπλ ，则2__22(),(),()E D E S nnσλξμλξσλ======；（3）因2(,)N ξμσ ，则2__22(),(),()E D E S nσξμξσ===。

第二节 抽样分布与分位数Page2171、 在正态总体2(52,6)N 中随机抽取一个容量为36的样本，求样本平均值落在50.8和53.8之间的概率？解答：因从正态总体2(52,6)N 中抽取容量为36的样本，由6.2节的推论可知，其样本均值_2(52,6/36)N ξ =(52,1)N ，因此_52(0,1)N ξ- ，由此_{50.853.8}P ξ≤≤ _{1.252 1.8}P ξ=-≤-≤=(1.8)( 1.2)0.8599(10.8461)0.706Φ-Φ-=--=2、 设总体2(20,3)N ξ ，今从中抽取容量分别为10和15的两个独立样本，试问这两个样本的平均值之差的绝对值大于0.3的概率有多大？解答：由题意，令_表示样本容量为10的样本均值、_表示样本容量为15的样本均值，且么值时，η服从2χ分布？并给出自由度。

且由例3.16可知它们分别服从(0,20)N a 、(0,100)N b ，要使η服从2χ分布，只要可，此时，可知2(2)ηχ。

5、 设总体2(0,0.3)N ξ ，从中抽取容量为10的样本，求满足1021{}0.05ii P ξλ=>=∑的最6、 设1,,n ξξ 为取自2()m χ总体的样本，求样本均值_ξ的期望与方差。

解答：由定理6.1及其推论知：2__(),()E D nσξμξ==，因1,,n ξξ 为取自2()m χ总体的样8、 设1,,,n n m ξξξ+ 是取自2(0,)N σ的容量为n m +的样本，令（1）1nη=，（2）21221ni i n mj j n m n ξηξ=+=+=∑∑，问12,ηη分别服从什么分布。

2()n χ，且21()ni i ξσ=∑(,)n m 。

9、 设 解答：因111,,ξξ 为2(11,0.3)N 的一个样本，而由定理6.4知：222(1)(1)n S n χσ-- 。

所以，222221010{0.144}{0.144}{16}0.100.30.3S P S P P χ⋅>=>⋅=>=。

10、设1,,n ξξ 为来自2(,)N μσ总体的一个样本，令_2211()1ni i S n ξξ==--∑，求22(),()E S D S 。

解答：由定理6.4可知：η=222(1)(1)n S n χσ-- ，而()1E n η=-，()2(1)D n η=-，因此，222()()1E S E n σησ==-，22422()()11D S D n n σση⎛⎫==⎪--⎝⎭。

11、设1,,n ξξ 为来自2(,)N μσ总体的一个样本，_ξ与2S 是它的样本均值与样本方差；又设1n ξ+与1,,n ξξ 相互独立。

且服从2(,)N μσ，试证：1lnx α=，因此1111lnln2.9960.05x α===，1111ln ln 2.9960.05x α===。

13、查表求下列分布的上侧α分位数： （1）0.01μ，0.95μ；（2）20.025(13)χ，20.99(20)χ，20.10(70)χ；（3）0.10(12)t ，0.95(17)t ，0.52(20)t ，0.01(60)t ；（4）0.01(12,15)F ，0.975(12,15)F 。

解答：因表中不一定恰好有我们所需要的数值，因此可通过线形内插法求出它的近似解。

即：若有11(,())x f x 、22(,())x f x ，假定12x x <，现要求12x x x <<的函数值()f x ，则：2112121()()()()()f x f x f x f x x x x x -=+⋅--，或利用该式计算()f x 对应的x 。

即可得：（1）0.01 2.33 2.322.32(0.010.0102) 2.326670.00990.0102u -=+-=-，0.950.05 1.65 1.64(1.64(0.050.0505)) 1.6450.04950.0505u u -=-=-+-=--。

（2）220.0250.99(13)24.736,(20)8.260χχ==，因表中没有自由度为70的值，因此利，因此：α今，即 （3，因表中（4(15,12)，复习题1、 总体抽取求样本均值_x ，样本方差2S 和标准差S 。

解答：_11111(81403106226)460n k i i i i i x x n x n n ====⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=∑∑，_k得：__111168168168(200)166100k i i i x y n y n ==+=+⋅=+-=∑，_2222111304[()](37441004)1999k xyi i i S S n y n y n ===⋅-⋅=-⋅=-∑ 4、 设1,,n ξξ 为(,4)N μ的一个样本，_ξ是样本均值，试问样本容量n 取多大才能使下式成立：（1）_||0.1E ξμ-≤； （2）_{||0.1}0.95P ξμ-≤≥。

解答：因1,,n ξξ 为(,4)N μ的一个样本，因此_4(,)N nξμ_(0,1)，得2_(||)()||)2x E x dx ξμη-==-=22)22x x d =0.975Φ≥，1537n ≥。

5、 设26)ξ，求参数c ，使c 相互独立，且均服从(0,1)N 。

要使22123456(()())c c ηξξξξξξ=+++++服从2χ分布，由2χ的定义可知：c =且此时，2(2)c ηχ。

6、 设1,,n ξξ 为2(,)N μσ的样本，利用（6.11）给出（1）211()ni i ξμησ=-=∑；（2） 221()ni i ηξμ==-∑的密度函数。

解答：因1,,n ξξ 为2(,)N μσ的样本，所以(0,1)i N ξμσ- 1,,i n = ，且相互独立，因此21()n ηχ ，即1η得密度函数为：11222,0()2()20, 0n x nx e x n f x x η--⎧⎪>⎪=⎨Γ⎪⎪<⎩。

因221ηση=，所以2211122222222222()1,0,01()()2()2()220, 00, 0n y y n n nn y e y e x x y n f y f n x x σσηησσσσσ----⎧⎧⎪⎪>>⎪⎪===⎨⎨ΓΓ⎪⎪⎪⎪<⎩<⎪⎩。