平抛运动解题方法归类例析

平抛运动解题方法归类例析

一、平抛运动的研究方法

运动的合成与分解是研究曲线运动的基本方法. 根据运动的合成与分解，可以把平抛运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，然后研究两分运动的规律，必要时可以再用合成方法进行合成。

二、平抛运动规律

以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，则平抛运动规律如下表：

【典例精析1】：(双选)(2010 年广州一模)人在距地面高h、离靶面距离L处，将质量m 的飞镖以速度v0水平投出，落在靶心正下方，如图所示．只改变h、L、m、v0四个量中的一个，可使飞镖投中靶心

的是( )

A．适当减小v0 B．适当提高h

C．适当减小m D．适当减小L

[解析] 从题意中判断，要使飞镖投中靶心，可以在保持水平距离的条

件下相应提升出手高度，或者，如出手高度不变，则需减少其下落时间，减小v0只会使下落时间更长，故应适当减小水平距离L。质量对其运动无影响，综上，选BD。

【问题探究】：平抛物体落在水平面上时，物体在空中运动时间和水平射程分别由什么决定。

[解析]当平抛物体落在水平面上时，物体在空中运动的时间由高度h决定，与初速度v0无关，而物体的水平射程由高度h及初速度v0两者共同决定。

三、对平抛运动规律的进一步理解

1．速度的变化规律

水平方向分速度保持v x＝v0不变；竖直方向加速度恒为g，速度v y＝gt，从抛出点起，每隔Δt时间，速度的矢量关系如右图所示，这一矢量关系有三个特点；

(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0。

(2)任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv的方向均竖直向

下，大小均为Δv＝Δv y＝gΔt。

注意：平抛运动的速率并不随时间均匀变化，但速度随时间是

均匀变化的。

(3)随着时间的推移，末速度与竖直方向的夹角越来越大，但永

远不会等于90°。

2．位移的变化规律

(1)任意相等时间间隔内，水平位移不变，且Δx ＝v 0Δt 。

(2)任意相等的时间间隔Δt 内，竖直方向上的位移差不变，即Δy ＝g Δt 2。 【典例精析2】：从高为h 处以水平速度v o 抛出一个物体，要使物体落地速度与水平地面的夹角最大，

则h 与v o 的取值应为下列四组中的哪一组

（ ）

A ．h =30m ，v o =10m/s

B ．h =30m ，v o =30m/s

C ． h =50m ，v o =30m/s

D ．h =50m ，v o =10m/s

[解析]由右图看出： gh V y 22

= gh V y 2=

2t a n V gh

V V y =

=

θ 将以上各组数值代入计算得： A. 6tan =

θ B. 3

6tan =

θ C. 3

10

tan =θ D. 10tan =θ 故选择D

【典例精析3】：物体做平抛运动，在它落地前的1 s 内它的速度与水平方向夹角由30°变成60°，g ＝10 m/s 2。求：

(1)平抛运动的初速度v 0； (2)平抛运动的时间； (3)平抛时的高度。

[解析](1)假定轨迹上A 、B 两点是落地前1 s 内的始、终点，画好轨迹图，如图所示．

对A 点：tan30°＝gt

v 0. ①

对B 点：tan60°＝gt ′

v 0 ②

t ′＝t ＋1 ③ 由①②③解得t ＝1

2 s ，

v 0＝5 3 m/s 。

(2)运动总时间t ′＝t ＋1＝1.5 s. (3)高度h ＝1

2

gt ′2＝11.25 m

【典例精析4】：如图所示，为一平抛物体运动的闪光照片示意图，照片与实际大小相比缩小10倍.对照片中小球位置进行测量得：1与4闪光点竖直距离为1.5 cm ，4与7闪光点竖直距离为2.5 cm ，各闪光点之间水平距离均为0.5 cm.则

(1)小球抛出时的速度大小为多少?

(2)验证小球抛出点是否在闪光点1处，若不在，则抛出点距闪光点1的实际水平距离和竖直距离分别为多少?(空气阻力不计，g ＝10 m/s 2)

解析：(1)设1~4之间时间为T ， 竖直方向有：(2.5-1.5)×10-2×10 m ＝gT 2 所以T = 0.1 s

y

水平方向：0.5×10-2×3×10 m ＝v 0T 所以v 0=1.5 m/s

(2)设物体在1点的竖直分速度为v 1y 1~4竖直方向：1.5×10-2×10 m=v 1y T +

2

1gT 2

解得v 1y =1 m/s

因v 1y ≠0，所以1点不是抛出点（另外，也可以从闪光点1-4、4-7高度之比不等于1：3作出判断） 设抛出点为O 点，距1水平位移为x ，竖直位移为y ，有 水平方向 x =v 0t

竖直方向：⎪⎩

⎪

⎨⎧==gt v gt y y 122

1 解得t = 0.1 s ， x =0.15 m=15 cm y =0.05 m=5 cm

即抛出点距1点水平位移为15 cm ，竖直位移为5 cm 。 四、平抛运动的两个重要推论

推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则tan θ＝2tan φ。

证明：如右图所示，由平抛运动规律得

tan θ＝v y v x ＝gt v 0

，

tan φ＝y 0x 0＝12·gt 2v 0t ＝gt 2v 0，

所以tan θ＝2tan φ。

推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。

证明：如右图所示，tan φ＝y 0

x 0

tan θ＝2tan φ＝y 0

x 0/2

即末状态速度方向的反向延长线与x 轴的交点B 必为此时水平位移的中点。

注意：

(1)在平抛运动过程中，位移矢量与速度矢量永远不会共线。

(2)它们与水平方向的夹角关系为tan θ＝2tan φ，但不能误认为θ＝2φ。 【典例精析5】：以v 0的速度水平抛出一物体，当其水平分位移与竖直分位移相等时，下列说法错误的是( )

A ．即时速度的大小是5v 0

B ．运动时间是2v 0g

C ．竖直分速度大小等于水平分速度大小

D ．运动的位移是

2 2v 20

g