《复变函数与积分变换》第一章__哈工大包革军版

theta = 0.9273
第1章 复数与复变函数
23
当
z0
时, 有
y tan Argz . x
y arctan x , z在第一、四象限 y arg z arctan , z在第二象限 x y arctan , z在第三象限 x
x+iy 等于 x+i0 为实数 x ;
求复变量的实部和虚部可用命令real() >> syms x y real; >> Re=real(z) Re = x
当复数的虚部为零、实部不为零 (即 x≠0, y=0 )时，复数 >> z=x+y*i; 而虚部不为零(即 y≠0 )的复数称为虚数. 在虚数中, 实部为零 (即x=0 )的称为纯虚数.
第1章 复数与复变函数
15
例 1.2
解:
求
1
ik
i i, i 1,
2
i 4 n 1 i , i
2
4 n 2
1,
i i i i ,
3
i 4 n 3 i ,
i 4 n 4 1.
i 4 i 2 i 2 1,
……
i 4 n 1,
第1章 复数与复变函数
o
Pz x iy
x
x
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则.
第1章 复数与复变函数
20
用 op 表示复数z=x+yi时, 这个向量在x轴和y轴上的
投影分别为x和y.
模： 把向量 op 的长度r 称为复数z的 模 或称为z的绝对值,
记做|z|.
y 使用函数命令abs() 可以求出复数的模. 使用函数命令abs() 可以求出复
（2）-5i是5i的共轭复数
z
>> syms x y real;
y >> z=x+y*i;
（3）8是8的共轭复数（从复数角度）
显然, z=x+iy 是 x-yi 的共轭复数, 即
>> conj(z) ans = x-i*y
o
z x iy
x
z z z.

z x iy
第1章 复数与复变函数
12
复数的四则运算
设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复数, 如果x1=x2,y1=y2, 则称z1和z2相等,
记为z1=z2.
注意 复数不能比较大小.
复数z1=x1+iy1 和 z2=x2+iy2 的加、减、乘、除 运算定义如下： (1) 复数的和与差
z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 )
16
例 1.3
解:
计算
2i 3 3-i 3i-1
2i 3 3-i 3i-1
2i( 3 i) 3( 3i+1) = ( 3-i)( 3 i) ( 3i-1)( 3i+1)
2 3i-2 3 3i 3 2 3i-2 3 3i 3 = = + 3+1 -3-1 4 4 1 1 = （2 3i-2+3 3i 3） = （5 3i +1） 4 4
力学》(1799-1825, 5卷本)和
2).
的星云假说. 以他的名字命
ace方程有广泛的应用.
；我们不知道的，是无限的.
第1章 随机事件与 概率
6
第1章 复数与复变函数
§1.1 §1.2
复数运算及几何表示 复平面上的点集
§1.3
复变函数
第1章 复数与复变函数
7
主 要 内 容
本章首先引入复数的概念及表示式、 复数的运算、平面点集的概念.然后讨论 复变函数的极限连续性.
(x^2+y^2)^(1/2)
第1章 复数与复变函数
21
辐角：
如果点P不是原点(即
z 0 ), 那么把 x 轴的正向与向量
的夹角 q 称为复数 z 的辐角, 记做 Arg z. 对每个
z , 0
OP 都有无穷多个辐角, 因为用q0表示复
y
数z的一个辐角时,
q q 0 2k k 0, 1, 2,
3. 分配律
4. z1 z2 z1 z2 ;
5. z z .
z1 z1 z1 z2 z1 z2 ; . z2 z2
第1章 复数与复变函数
18
1.1.2 复数的几何表示 1. 复平面 给定一复数z=x+yi, 在坐标平面XOY上存
y y
z x iy
>> Im=imag(z) Im = yi都是虚数, 4+5i, -3
例如：
3+0i=3是实数, 而-3i是纯虚数.
第1章 复数与复变函数
11
共轭复数
复数 x-iy 称为复数 x+yi 的 共轭复数 (其中x, y均为实数), 记做：
复数的共轭可用conj()来实现 比如（1）2+3i是2-3i的共轭复数
( x, y)
在惟一的点P(x,y)与z=x+yi对应. 反之, 对XOY
平面上的点P(x,y), 存在惟一的复数z=x+yi与它 对应. 建立起了平面上全部点与全体复数间一一对应关系，
o x x
因此可以用XOY平面上的点表示复数z.
这时把XOY平面平面称为复平面. 有时简
称为z平面. 或用拉丁字母С表示 (complex number,复数）
第1章 复数与复变函数
14
例 1.1
解:
z1 3 4i , z2 1 i ,
求
z1 z2
与
z1 . z2
(3 4i )( 1 i ) z1 3 4i ( 1 i )( 1 i ) z2 1 i
( 3 4) (4 3)i 7 1 i. 2 2 2 7 1 z1 i . 2 2 z2
第1章 复数与复变函数
1
复变函数与积分变换及应用背景
克莱恩 ）(1908-1992) 《古今数 M.Kline （莫里斯· 学思想》(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)的作者, 美国数学史家) 指出:
Morris Kline (1908-1992) , 纽约大学Courant数学
第1章 复数与复变函数
13
(2) 复数的积
z1 z2 ( x1 +y1i)( x2 y2i)
( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )
(3) 复数的商
z1 ( x1 +y1i) ( x1 +y1i) ( x2 -y2i) = z2 ( x2 y2i ) ( x2 y2i) ( x2 -y2i) ( x1 x2 +y1 y2 ) i ( x2 y1 -x1 y2 ) = x2 2 y2 2 z1 z2 z2 z2
z x >> syms xr y real;
>> z=x+y*i;
>> abs(z)
2
y2 ,
y Pz x iy >> syms x y real;
>> z=x+y*i; >> abs(z) =
o x
x
ans =
z x y , x z , y z .ans
(x^2+y^2)^(1/2)
第1章 复数与复变函数
19
显然, 实数与x轴上的点一一对应, 而x轴以外的点都对应一个 虚数, 纯虚数
iy y 0
与y轴上的点(除原点)对应.
因此, 称x轴为实轴, y轴为虚轴. 今后把复平面上的点和复数z不加区别, 即“点z”和“复数z” 是同一个意思. 有时用C 表示全体复数或复平面. y 2. 平面向量 y 复数z也可以用以原点为起点 而以点P为终点的向量表示(如图).
频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行 (1768.3.21-1830.5.16)
法国数学家和物理学家 .他致力于 处理要方便得多.
分析. 随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的
传导问题, 1822年出版名著《热的分
成了一种在数学物理问题中有普遍意
开辟了Fourier分析这样一个近代数学
的是辐角主值, 单位是弧度. 有时, 在进行说明后, 把主辐角定义为满足 >> x=3;y=4;z=x+y*i;
当z=0时, Argz没有意义, 即零向量没有确定 >> theta=angle(z) 的方向角；但当z=0时, |z|=0.
>> x=sym('x','real');y=sym('y' 0 q 2 的辐角, 这时上式仍然成立 .
第1章 复数与复变函数
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复数运算的性质 1. 交换律
z1 z2 z2 z1 ;
2. 结合律
z1 z2 z2 z1 .
( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ); z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3 . z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .
第1章 复数与复变函数
8
1.1 复数运算及几何表示
1 复数概念及四则运算 2 复数的几何表示
3 共轭复数
4 乘除、乘方与开方 5 复球面与无穷远点
第1章 复数与复变函数
9
1.1.1. 复数概念及四则运算
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程
x2 ，引入等式
第1章 复数与复变函数
5
(9) de Laplace 变换应用于控制问题. rre Simon 在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace
(1749.3.23-1827.3.5)
国数学家和天文学家 曾经变换之比. 变换与输出量的.Laplace
任过Napoleon的内政部长.
界的任何事情, 他都感兴趣.
i 2 1.
由该等式所定义的数称为
i 1.
虚数单位
第1章 复数与复变函数
10
称形如 x+iy 或 x+yi 的表达式为复数，其中 x和y是任意两个实数. 把这里的x和y分别称为复 数 x+iy (或 x+yi )的 实部和虚部 , 并记做 Imaginary; Real; 虚虚实实?
y . Im z. x 和 Re z 来实现 imag() 例如
(5) 应用于计算渗流问题.
例如：大坝、钻井的浸润曲线.
(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度.
例如：热炉中温度的计算.
第1章 复数与复变函数
4
(7) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控
制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术 领域． (8) Joseph Fourier 变换应用于频谱分析和信号处理等.(傅里叶变换）
(17
青年时代 (1865.12.8-1963.10.17) 在复数域必有n个根. 异常 , 曾被 法国数学家. 他在1896 年应
1795 用复变函数理论证明了当 x=1时 , , 1796 Riemann 函数 ( z ) 0, 习 从而证
明了素数定理.
第1章 复数与复变函数
3
(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等. 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算, 从而研究机翼的造型问题.
的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪, 几乎象微积分 的直接扩展统治了十八世纪那样. 这一丰饶的数学分支,
从技术观点来看 ,十九世纪最独特的创造是单复变函数 研究所的教授 . 他的著作包括《数学: 确定性的丧
失》等.
一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学
中最和谐的理论之一.
第1章 复数与复变函数
就是z的辐角的一般表达式.

y
Pz x iy
q
o
x
x
第1章 复数与复变函数
22
满足
q
的复数z的
辐角
称为主辐角
(或称辐角的主值), 记做argz, 则
Argz arg z 2k
1, 2, . k 角0, , 但是只能对数值量进行运
使用函数命令angle()可以
2
(1) 代数方程
x2 1 0
在实数范围内无解.
为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数 的概念, 从而建立了复变函数理论. 函数理论证明了 代数基本定理 .
Gauss 应用复变
Ca
(2) 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函 复系数n次代数方程 伟大 数的积分. J. Hadamard （阿达马）说: 实域中两个 Jacques Hadamard z n a1 z n1 an1 z an 0 和物理学 真理之间的最短路程是通过复域. (3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动 等问题的研究.