定积分在几何中的应用(公开课一等奖)

10 xdx ( x 2)dx 2 3
4
例题精讲 例题 计算由曲线
解法2
y x ，直线 y x 2 以及x轴围成图形的面积.
y x
S2 S1
将所求平面图形的面积分割成左右 两个部分。
S S1 S 2

2 0
xdx [ x ( x 2)]dx
2
3．这一过程中体会到哪些研究思路及方法呢？
作业
S 4dx x 2 dx
-2 -2
2
2
32 3
2 g ( x ) x 题4 求抛物线 与直线 f ( x) x 2 所围成的
图形的面积。
S ( x 2)dx x2 dx
1 1
2
2
9 2
S f ( x)dx g ( x)dx
x ，直线 y x 2 以及 x 轴围成图形的
作出y=x-2, 解方程组：
y x 的图象如图所示:
y x y x 2
所以直线y=x-2与 y x 交点为(4，2)
直线y=x-4与x轴的交点为(2，0)
因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：
S
4
0
1
4
拓展训练
思考：将取y为积分变量，把函 数y=x-2变形为 x y 2 ,
A
x y2
函数 y x 变形为 x y 2
x y2
S [( y 2) y ]dy
2 1
2
B
y y ( 2y ) 2 3
2
3
9 2 -1
2
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤： 1. 2. 3. 4. 作图象; 求交点,定出积分上、下限; 用定积分表示所求的面积; 用微积分基本定理求定积分.
当堂检测
1、求由曲线y＝x ，直线x=2以及x轴所围成图形的面积．
3
2、求抛物线y x2 -1和y 3围成的图形面积.
3、求由y sin x, y cos x, x 0, x

2
所围成的图形面积.
小结
1．本节课我们做了什么探究活动呢？ 2．定积分解决曲边形面积的步骤有哪些？
a a
b
b
[ f ( x) g ( x)]dx
a
b
请用定积分表示下列不同情形的图形面积
S [ f ( x) g ( x)]dx
a
b
y o a
y f ( x)
S1
S2
S
b x
b
a b
b f ( x)dx g ( x)dx a
y g ( x)
交点B 1, 1
S S1 S 2
1 2 10 [ ( x )dx] (x 2)dx 0 1 3
wk.baidu.com9 2
变式训练
y x
A
交点B1,1和A4,2
S 2S1 S2 2
9 2
1 0
S1 S1
B
S2
y x2
xdx ( x x 2)dx
x y2
2
1 2 1 3 ( y 2y y ) 2 3
2
0
10 3
变更积分元、化繁为简
变式训练
将曲线绕x轴旋转，与直线相交 于两点，求曲线与直线围成的 面积。
y x
y x2
变式训练
将曲线绕x轴旋转，与直线相交 于两点，求曲线与直线围成的 面积。
y x
A
S1
S2
B
y x2
定积分在几何中的应用
——求平面图形的面积
情境引入
“废井田，开阡陌” ——承认土地私有，允许土地买卖。
题1 求抛物线y=x2，直线x=2，y=0所围成的 图形的面积。
yx
2
S x 2 dx
0
2
x3 2 8 3 0 3
利用定积分几何意义求图形面积
2 y x 1 与 x 轴所围成的图形的面积 题2 求抛物线
[ f ( x) g ( x)]dx
a
y oa
y f ( x)
y g ( x)
b x
S
b a
b
a
b g ( x)dx f ( x )dx a
[ f ( x) g ( x)]dx
例题精讲
例题 计算由曲线 y 面积.
解法1
y x2
S ( x 1)dx
2 1
1
1
1
x ( x) 3
1 2
3
1
=
1
4 3
4 S 2 ( x 1)dx = 0 3
2 g ( x ) x 题3 求抛物线 与直线 f ( x) 4 所围成的
图形的面积。
g ( x) x 2
f ( x) 4
4 2
4
y x2
2 2 3 4 2 3 1 2 2 2 x x ( x 2 x) 2 3 3 2 0
10 3
分割图形求面积
例题精讲
例题 计算由曲线 y x ，直线 y x 2以及x轴围成图形的面积.
解法3
x y
2
S ( y 2 y )dy
2 0