定积分在几何中的应用(公开课一等奖)
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利用定积分求简单几何体的体积市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
1）．先求出 y f x
2）．代入公式 V
b
f
2
x dx
a
3．一个以y轴为中心轴旋转体体积
y
o
x11
第11页
x 轴旋转所得旋转体体积。
V＝
1
4xdx 2
0
y
y2 4x
o x=1 x
6
第6页
变式练习1、求曲线 y ex ，直线 x 0，x 1
与 x 轴围成平面图形绕
2
x 轴旋转一周所得旋
转体体积。
答案下方是一个 圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转 一周所成形状，尺寸如图所表示，试求其体积。
(2)求冷却塔容积（准确到10m3塔壁厚度不计， 取 3.14
）
x2 y2
Ｃ’
(1) 1
49 98
Ａ’
(2)V 8 x2dy 8 ( 1 y2 49)dy
12
12 2
Ｂ’
Ｃ Ａ
Ｂ
10
第10页
P89-90、例题4，5
课堂小结： 1.求体积过程就是对定积分概念深入了解过程， 总结求绕x轴旋转旋转体体积步骤以下：
3
(cm)3
9
第9页
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所表示,双曲线一部分 绕其中轴(双曲线虚轴)旋转所成曲面，其中A,A’是双曲 线顶点，C,C’是冷却塔上口直径两个端点，B,B’ 是下底 直径两个端点，已知AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔 高20m.
(1)建立坐标系，并写出该曲线方程．
3
第3页
• 在区间[a，b]内插入n－1个分点，使a＝x0＜x1＜x2＜… ＜xn－1＜xn＝1，把曲线y＝f(x)，a≤x≤b分割成n个垂直 于x轴“小长条”，如图甲所表示．设第i个“小长条”宽是 Δxi＝xi－xi－1，i＝1,2，…，n.这个“小长条”绕x轴旋转一 周就得到一个厚度是Δxi小圆片，如图乙所表示．当Δxi 很小时，第i个小圆片近似于底面半径yi＝f(xi)小圆柱，所 以第i个小圆台体积Vi近似为Vi＝πf2(xi)Δxi.
2）．代入公式 V
b
f
2
x dx
a
3．一个以y轴为中心轴旋转体体积
y
o
x11
第11页
x 轴旋转所得旋转体体积。
V＝
1
4xdx 2
0
y
y2 4x
o x=1 x
6
第6页
变式练习1、求曲线 y ex ，直线 x 0，x 1
与 x 轴围成平面图形绕
2
x 轴旋转一周所得旋
转体体积。
答案下方是一个 圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转 一周所成形状，尺寸如图所表示，试求其体积。
(2)求冷却塔容积（准确到10m3塔壁厚度不计， 取 3.14
）
x2 y2
Ｃ’
(1) 1
49 98
Ａ’
(2)V 8 x2dy 8 ( 1 y2 49)dy
12
12 2
Ｂ’
Ｃ Ａ
Ｂ
10
第10页
P89-90、例题4，5
课堂小结： 1.求体积过程就是对定积分概念深入了解过程， 总结求绕x轴旋转旋转体体积步骤以下：
3
(cm)3
9
第9页
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所表示,双曲线一部分 绕其中轴(双曲线虚轴)旋转所成曲面，其中A,A’是双曲 线顶点，C,C’是冷却塔上口直径两个端点，B,B’ 是下底 直径两个端点，已知AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔 高20m.
(1)建立坐标系，并写出该曲线方程．
3
第3页
• 在区间[a，b]内插入n－1个分点，使a＝x0＜x1＜x2＜… ＜xn－1＜xn＝1，把曲线y＝f(x)，a≤x≤b分割成n个垂直 于x轴“小长条”，如图甲所表示．设第i个“小长条”宽是 Δxi＝xi－xi－1，i＝1,2，…，n.这个“小长条”绕x轴旋转一 周就得到一个厚度是Δxi小圆片，如图乙所表示．当Δxi 很小时，第i个小圆片近似于底面半径yi＝f(xi)小圆柱，所 以第i个小圆台体积Vi近似为Vi＝πf2(xi)Δxi.
数学定积分公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
x0
2x
x0 2
x 2e
练习
计算（1）2 1 dx
e11 x
2
(2)0 1 x dx
(3) y(x) x5cos t 2dt,求y x4
e x 2
(4) lim
x t 2et2 dt
f (x)dx
b g(x)dx（a b).
a
a
b
b
(2) a f (x)dx a f (x) dx.
(3)若f (x)在[a, b]上连续，f (x) 0,
且 b f (x)dx 0,则在[a, b]上f (x) 0. a
(4)若f (x)在[a, b]上连续，f (x) 0,
且f (x) 0,则 b f (x)dx 0. a
（x)
x
f (t)dt
a
在[a,b]上可导，且（x) d
x
f (t)dt f (x)
(a x b).
dx a
证实: x (a,b),给x以增量x,且使x x (a,b)
则
（x x) (x)
x x
x
f (t)dt f (t)dt
a
a
x x
f
(t)dt
中值定理
f
(
)x(介于x与x
0
0 i1
f
(
i
Y
)
xi
lim
0
n i 1
i2
1 n
n
lim n i1
( i )2 1 nn
lim
n
1 n3
n
i2
i 1
lim
n
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
定积分的应用习题课公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
与两坐标轴和抛物线 y x2 1 所围图形的面积最小.
解 设切点为 ( x0 , y0 ) ,
则切线方程为 y (1 x02 ) 2x0( x x0 ) ，
即 y 2 x0 x x02 1 ，
在两坐标轴的截距为:
x02 1 2 x0
,
x02
1
所以,
AOB
( x02 1)2 4 x0
问要将水全部抽出,外力需做多少功?
解 建立坐标系如图，
功元素为
dW
(
x
2 1
x
2 2
)
dy
1
(
H
y)
(H y)( y y )dy ，
4
W
H
2 (H
y)( 3 y )dy
H
3
.
0
4
16
第15页
例13 将直角边各为a及2a直角三角形薄板垂直地 浸入水中, 斜边朝下, 直角边边长与水面平行(如图), 求薄板所受侧压力．
将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作功相等，问第n
次锤击时又将铁钉击入多少？
P287 5.
解 设木板对铁钉阻力为 f ( x) kx ,
第一次锤击时所作功为
1
k
W1
f ( x)dx ,
0
2
设n次击入总深度为h厘米, 所作总功为
Wn
h f ( x)dx kh2 ,
0
2
第13页
W1
1 0
解 建坐标系如图,
则x轴分力微元为:
m M dx
dFx
其中
G a2 sin
l
x
2
x
sin ，
，
定积分在几何中的应用市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型三 定积分旳综合应用 【例3】 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等旳实根，且
f′(x)＝2x＋2. (1)求y＝f(x)旳体现式； (2)求y＝f(x)旳图象与两坐标轴所围成图形旳面积．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
[规范解答] (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b. 又 f′(x)＝2x＋2，所以 a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程 f(x)＝0 有两个相等实根， 即 x2＋2x＋c＝0 有两个相等实根， 所以 Δ＝4－4c＝0，即 c＝1. 故 f(x)＝x2＋2x＋1.
1．7 定积分旳简朴应用
1．7.1 定积分在几何中旳应用
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1．会经过定积分求由两条或多条曲线围成旳图形旳面积． 2．在处理问题旳过程中，经过数形结合旳思想措施，加深对定积
分旳几何意义旳了解． 【关键扫描】
由多条曲线围成旳分割型图形旳面积旳求解是考察旳要点．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
方法点评 观察是解决问题的第一要素，在法一中观察到
25－x2dx 表示以 5 为半径的14圆的面积，使定积分值很快地
求出；与方法一不同，法二考虑到椭圆的参数方程，利用三角代
换求出了定积分
4 5
25－x2dx 的值．两种方法实际上都体现了
一般来说，利用定积分求曲边图形面积旳基本环节如下： 第一步：画出图形； 第二步：拟定图形范围，经过解方程组求出交点横坐标，拟定 积分上、下限； 第三步，拟定被积函数，尤其要注意分清被积函数旳上、下位 置； 第四步，写出平面图形面积旳积分体现式； 第五步，利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形旳面 积．
定积分在几何中的应用(公开课一等奖)
2
小结
1．本节课我们做了什么探究活动呢？ 2．定积分解决曲边形面积的步骤有哪些？ 3．这一过程中体会到哪些研究思路及方法呢？
作业
y x
y x2
变式训练
A
y x
将曲线绕x轴旋转，与直线相交
于两点，求曲线与直线围成的
S1
面积。
S2 y x 2
B
交点B1, 1
S S1 S2
10
[
1
(
x )dx]
2
(x 2)dx
3
0
1
9 2
变式训练
A
y x
交点B1,1和A4,2
S2 S1
S1 y x 2
B
S 2S1 S2
b
a [ f (x) g(x)]dx
例题精讲
例题 计算由曲线 y ，x直线
面积.
y以及x 2轴围成图x 形的
解法1 作出y=x-2, y x 的图象如图所示:
解方程组：
y
x
y x2
所以直线y=x-2与 y x 交点为(4，2)
直线y=x-4与x轴的交点为(2，0)
因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：
1. 作图象; 2. 求交点,定出积分上、下限; 3. 用定积分表示所求的面积; 4. 用微积分基本定理求定积分.
当堂检测
1、求由曲线y＝x3，直线x=2以及x轴所围成图形的面积．
2、求抛物线y x2 -1和y 3围成的图形面积.
3、求由y sin x, y cos x, x 0, x 所围成的图形面积.
1
4
20 xdx 1 ( x x 2)dx
9 2
拓展训练
思考：将取y为积分变量，把函
小结
1．本节课我们做了什么探究活动呢？ 2．定积分解决曲边形面积的步骤有哪些？ 3．这一过程中体会到哪些研究思路及方法呢？
作业
y x
y x2
变式训练
A
y x
将曲线绕x轴旋转，与直线相交
于两点，求曲线与直线围成的
S1
面积。
S2 y x 2
B
交点B1, 1
S S1 S2
10
[
1
(
x )dx]
2
(x 2)dx
3
0
1
9 2
变式训练
A
y x
交点B1,1和A4,2
S2 S1
S1 y x 2
B
S 2S1 S2
b
a [ f (x) g(x)]dx
例题精讲
例题 计算由曲线 y ，x直线
面积.
y以及x 2轴围成图x 形的
解法1 作出y=x-2, y x 的图象如图所示:
解方程组：
y
x
y x2
所以直线y=x-2与 y x 交点为(4，2)
直线y=x-4与x轴的交点为(2，0)
因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：
1. 作图象; 2. 求交点,定出积分上、下限; 3. 用定积分表示所求的面积; 4. 用微积分基本定理求定积分.
当堂检测
1、求由曲线y＝x3，直线x=2以及x轴所围成图形的面积．
2、求抛物线y x2 -1和y 3围成的图形面积.
3、求由y sin x, y cos x, x 0, x 所围成的图形面积.
1
4
20 xdx 1 ( x x 2)dx
9 2
拓展训练
思考：将取y为积分变量，把函
定积分的简单应用 公开课一等奖课件
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
y
1
的草图, 所求面积为图 1.7 1 中阴影部分的面积 .
解方程组
y x2 B
C
D A
1
y2 x
y x,
2
o
x
y x2
图1.7 1
得交点的横坐标为 x 0及x 1.
1
因此, 所求图形面积为 S S曲边梯形 OABC S曲边梯形 OABD
1 0
2 x dx x dx x 0 3
1 2
3 2
1 3 2 1 1 x . 3 0 3 3 3 0
1
例2
计算由直线y
x 4,曲线y 2x以及 x轴所围图形的面积 S.
y
4 2
y x4
S2 S1
y 2x
分析 首先画出草图 o 5 10 x 图1.7 2,并设 法 把 图1.7 2 所求图形面积问题转 化为求曲边梯形的面积 问题.与例1不同的是, 还需把所求图形的面积 分成两部分 S1和 S 2 . 为了确定出被积函数和 积分的上、下限 ,需 要求出直线 y x 4 与曲线 y 2x 的交点 的横坐标， 直线y x 4与x轴的交点 .
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
定积分的应用(体积、旋转体的侧面积)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
解：如图建立坐标系，
ytan
R
则底圆的方程为 x2 y2 R2 。 x x[ R,R] ，用过点 x且垂直于 x轴
y
o
y
的平面去截楔形，截得的截面是直角三角形，R x
故截面积为 A( x) 1 y ytan 1(R2 x2 )tan ，
2
2
V
R
A( x)dx
R 1(R2 x2 )tandx 2 R3tan.
2
5 2a3
14
x a (t sin t)
y
a
(1
cos
t)
(a 0)
y
2a
x x2 ( y)
绕 y 轴旋转而成旳体积为
o
a 2 a x
Vy
2a
0
x22 ( y)
d
y
2a
0
x12
(
y)
d
y
x
x1 (
y)
2a
2
(t
sin t)2 a sin t d t
0
a
2
(t
sin
t)2
t
3a cos2 t sin t 2 3a sin2 t cost 2 d t
12 a2 2 sin4 t cos t d t 0
12
a2
1 5
sin 5
t
2
0
12 a2
5
26
作业
习 题 九 （P199）
6 ；9 ；12 ；13 ；15 ；
R
R2
3
(二)旋转体的体积
尤其 , 当考虑连续曲线段 y f (x) (a x b)绕 x 轴
轴旋转一周围成旳立体体积时, 有
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1
4
拓展训练
思考：将取y为积分变量，把函 数y=x-2变形为 x y 2 ,
A
x y2
函数 y x 变形为 x y 2
x y2
S [( y 2) y ]dy
2 1
2
B
y y ( 2y ) 2 3
2
3
9 2 -1
2
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤： 1. 2. 3. 4. 作图象; 求交点,定出积分上、下限; 用定积分表示所求的面积; 用微积分基本定理求定积分.
x ，直线 y x 2 以及 x 轴围成图形的
作出y=x-2, 解方程组：
y x 的图象如图所示:
y x y x 2
所以直线y=x-2与 y x 交点为(4，2)
直线y=x-4与x轴的交点为(2，0)
因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：
S
4
0
[ f ( x) g ( x)]dx
a
y oa
y f ( x)
y g ( x)
b x
S
b a
b
a
b g ( x)dx f ( x )dx a
[ f ( x) g ( x)]dx
例题精讲
例题 计算由曲线 y 面积.
解法1
4 2
4
y x2
2 2 3 4 2 3 1 2 2 2 x x ( x 2 x) 2 3 3 2 0
10 3
分割图形求面积
例题精讲
例题 计算由曲线 y x ，直线 y x 2以及x轴围成图形的面积.
解法3
x y
2
S ( y 2 y )dy
2 0
S 4dx x 2 dx
-2 -2
2
2
32 3
2 g ( x ) x 题4 求抛物线 与直线 f ( x) x 2 所围成的
图形的面积。
S ( x 2)dx x2 dx
1 1
2
2
9 2
S f ( x)dx g ( x)dx
定积分在几何中的应用
——求平面图形的面积
情境引入
“废井田，开阡陌” ——承认土地私有，允许土地买卖。
题1 求抛物线y=x2，直线x=2，y=0所围成的 图形的面积。
yx
2
S x 2 dx
0
2
x3 2 8 3 0 3
利用定积分几何意义求图形面积
2 y x 1 与 x 轴所围成的图形的面积 题2 求抛物线
当堂检测
1、求由曲线y＝x ，直线x=2以及x轴所围成图形的面积．
3
2、求抛物线y x2 -1和y 3围成的图形面积.
3、求由y sin x, y cos x, x 0, x
2
所围成的图形面积.
小结
1．本节课我们做了什么探究活动呢？ 2．定积分解决曲边形面积的步骤有哪些？
10 xdx ( x 2)dx 2 3
4
例题精讲 例题 计算由曲线
解法2
y x ，直线 y x 2 以及x轴围成图形的面积.
y x
S2 S1
将所求平面图形的面积分割成左右 两个部分。
S S1 S 2
2 0
xdx [ x ( x 2)]dx
2
a a
b
b
[ f ( x) g ( x)]dx
a
b
请用定积分表示下列不同情形的图形面积
S [ f ( x) g ( x)]dx
a
b
y o a
y f ( x)
S1
S2
S
b x
b
a bห้องสมุดไป่ตู้
b f ( x)dx g ( x)dx a
y g ( x)
y x2
S ( x 1)dx
2 1
1
1
1
x ( x) 3
1 2
3
1
=
1
4 3
4 S 2 ( x 1)dx = 0 3
2 g ( x ) x 题3 求抛物线 与直线 f ( x) 4 所围成的
图形的面积。
g ( x) x 2
f ( x) 4
3．这一过程中体会到哪些研究思路及方法呢？
作业
x y2
2
1 2 1 3 ( y 2y y ) 2 3
2
0
10 3
变更积分元、化繁为简
变式训练
将曲线绕x轴旋转，与直线相交 于两点，求曲线与直线围成的 面积。
y x
y x2
变式训练
将曲线绕x轴旋转，与直线相交 于两点，求曲线与直线围成的 面积。
y x
A
S1
S2
B
y x2
交点B 1, 1
S S1 S 2
1 2 10 [ ( x )dx] (x 2)dx 0 1 3
9 2
变式训练
y x
A
交点B1,1和A4,2
S 2S1 S2 2
9 2
1 0
S1 S1
B
S2
y x2
xdx ( x x 2)dx
4
拓展训练
思考：将取y为积分变量，把函 数y=x-2变形为 x y 2 ,
A
x y2
函数 y x 变形为 x y 2
x y2
S [( y 2) y ]dy
2 1
2
B
y y ( 2y ) 2 3
2
3
9 2 -1
2
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤： 1. 2. 3. 4. 作图象; 求交点,定出积分上、下限; 用定积分表示所求的面积; 用微积分基本定理求定积分.
x ，直线 y x 2 以及 x 轴围成图形的
作出y=x-2, 解方程组：
y x 的图象如图所示:
y x y x 2
所以直线y=x-2与 y x 交点为(4，2)
直线y=x-4与x轴的交点为(2，0)
因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：
S
4
0
[ f ( x) g ( x)]dx
a
y oa
y f ( x)
y g ( x)
b x
S
b a
b
a
b g ( x)dx f ( x )dx a
[ f ( x) g ( x)]dx
例题精讲
例题 计算由曲线 y 面积.
解法1
4 2
4
y x2
2 2 3 4 2 3 1 2 2 2 x x ( x 2 x) 2 3 3 2 0
10 3
分割图形求面积
例题精讲
例题 计算由曲线 y x ，直线 y x 2以及x轴围成图形的面积.
解法3
x y
2
S ( y 2 y )dy
2 0
S 4dx x 2 dx
-2 -2
2
2
32 3
2 g ( x ) x 题4 求抛物线 与直线 f ( x) x 2 所围成的
图形的面积。
S ( x 2)dx x2 dx
1 1
2
2
9 2
S f ( x)dx g ( x)dx
定积分在几何中的应用
——求平面图形的面积
情境引入
“废井田，开阡陌” ——承认土地私有，允许土地买卖。
题1 求抛物线y=x2，直线x=2，y=0所围成的 图形的面积。
yx
2
S x 2 dx
0
2
x3 2 8 3 0 3
利用定积分几何意义求图形面积
2 y x 1 与 x 轴所围成的图形的面积 题2 求抛物线
当堂检测
1、求由曲线y＝x ，直线x=2以及x轴所围成图形的面积．
3
2、求抛物线y x2 -1和y 3围成的图形面积.
3、求由y sin x, y cos x, x 0, x
2
所围成的图形面积.
小结
1．本节课我们做了什么探究活动呢？ 2．定积分解决曲边形面积的步骤有哪些？
10 xdx ( x 2)dx 2 3
4
例题精讲 例题 计算由曲线
解法2
y x ，直线 y x 2 以及x轴围成图形的面积.
y x
S2 S1
将所求平面图形的面积分割成左右 两个部分。
S S1 S 2
2 0
xdx [ x ( x 2)]dx
2
a a
b
b
[ f ( x) g ( x)]dx
a
b
请用定积分表示下列不同情形的图形面积
S [ f ( x) g ( x)]dx
a
b
y o a
y f ( x)
S1
S2
S
b x
b
a bห้องสมุดไป่ตู้
b f ( x)dx g ( x)dx a
y g ( x)
y x2
S ( x 1)dx
2 1
1
1
1
x ( x) 3
1 2
3
1
=
1
4 3
4 S 2 ( x 1)dx = 0 3
2 g ( x ) x 题3 求抛物线 与直线 f ( x) 4 所围成的
图形的面积。
g ( x) x 2
f ( x) 4
3．这一过程中体会到哪些研究思路及方法呢？
作业
x y2
2
1 2 1 3 ( y 2y y ) 2 3
2
0
10 3
变更积分元、化繁为简
变式训练
将曲线绕x轴旋转，与直线相交 于两点，求曲线与直线围成的 面积。
y x
y x2
变式训练
将曲线绕x轴旋转，与直线相交 于两点，求曲线与直线围成的 面积。
y x
A
S1
S2
B
y x2
交点B 1, 1
S S1 S 2
1 2 10 [ ( x )dx] (x 2)dx 0 1 3
9 2
变式训练
y x
A
交点B1,1和A4,2
S 2S1 S2 2
9 2
1 0
S1 S1
B
S2
y x2
xdx ( x x 2)dx