结构力学第07章 位移法-3

X 0
解方程求多余未知力; 迭加作内力图; 用变形条件进行校核; 只用来求解超静定结构。
K F 0
解方程求独立结点位移; 迭加作内力图; 用平衡条件进行校核; 静定、超静定结构均可。
2、位移法典型方程（n个基本未知量） k11 Δ1+k12 Δ2+…+ k1n Δn+F1P= 0 k21 Δ1+k22 Δ2+…+ k2n Δn+F2P= 0 … +…+ … kn1 Δ1+kn2 Δ2+…+ knn Δn+FnP= 0 可写成矩阵形式
M M jj MP 取任意部分用平衡条件进行校核。
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力法、位移法对比
力法
基本未知量：多余未知力; 基本结构：一般为静定结 构，能求M 的超静定也可。 作单位和外因内力图; 由内力图自乘、互乘求系 数，主系数恒正。 建立力法方程（协调）:
位移法
基本未知量：独立结点位移; 基本结构：无位移超静定次 数更高的结构; 作单位和外因内力图; 由内力图的结点、隔离体平 衡求系数，主系数恒正。 建立位移法方程（平衡）:
(7-19)
[ k ]{Δ }+{FP}={ 0 }
(7-19)
其中，[ k ]称为结构刚度矩阵
k11 k12 k k 21 22 k kn1 kn 2
k1n k2 n knn
讨论：
1. 主系数、副系数（反力系数，刚度系数）、自 由项
主系数kii（主反力）：
（2）基本体系与原结构受力相同： 原结构上无附加人为约束，结点力为零。 基本体系上附加人为约束后令反力为零。
总结－基本体系法步骤:
1.
2. 3. 4. 5. 6. 7.
确定独立位移未知量数目，选取基本结构（加刚臂与链 杆约束节点位移）。
根据附加约束对结构的作用力与原结构的节点荷载一致 建立位移法基本方程。 让附加约束发生单位位移，作基本结构的Mi、MP图。 由上述弯矩图取结点、隔离体求kij、Fip 。 解位移法基本方程求节点位移。 按迭加法作最终弯矩图。
由反力互等，有： k12 = k21
- FP /2
将系数和自由项代入位移法典型方程 7i Δ1 - 6i/l Δ2 +FP l/8=0
-6i/l Δ1+15i/l2 Δ2 - FP /2=0
F l 9 P 解出： B 552 i 2 22 FP l 552 i
所设的Δ1 、 Δ2方向与实际位移方向一致。
计算系数和自由项：
Δ 1=1 k12 2 k21 1 2
4i
1
k11
k22 Δ 2=1
3i
3 M1 图 4
6 i/l
3
2i
6 i/l
M2 图 3 i /l 4 k12 = - 6i/l 0 k22=15i/l2
1
k11 =7i 3i 4i k21= - 6i/l
-6i/l
1
-6i/l
0
12i/l2
基本体系转化为原结构的条件是： 基本结构在给定荷载以及结点位移的共同 作用下，在附加约束中产生的总约束力应该等 于零。
（变形协调） （平衡条件） 原结构 若干根单跨杆 整体结构 放松 件的组合体 锁住 (还原)
以两个基本未知量的结构为例。 基本体系转化为原结构的条件： 基本结构在给定荷载和结点位 移Δ 1， Δ 2共同作用下，在附加约 束中产生的总约束反力F1，F2应等 于零。 即： F1 =0 F2 =0
Δ i=1时，附加约束i方向的反力（或反力 矩）。 恒为正，不为零。
• • • • •
副系数kij（i≠j）（副反力）： Δ j=1时，附加约束i方向的反力（或反力 矩）。 可正，可负，可为零。由反力互等定理 ： kij = kji 自由项FiP ： 荷载单独作用下，附加约束i方向上的反力 （或反力矩）。可正，可负，可为零。
3 i/l2
FP l/8
FP
1
F1P
2 F2P
k11=3i+4i=7i
k21= - 6i/l
3
MP图
4
k12= - 6i/l
k22=12i/l2+3i/l2=15i/l2 F1P= FP l/8
FP l/8
1
F1P=FP l/8 0 FP l/8 F2P= -FP /2 0
F2P= - FP /2
利用基本体系建立位移法基本方程。
分两步考虑： 第一步，控制附加约束，使结点位移全部为零，这时， 刚架处于锁住状态，即基本体系。施加荷载后，可求出基本 体系中的内力，同时，在附加约束上会产生约束力矩。 第二步，再控制附加约束，使基本结构发生结点位移， 这时，附加约束中的约束力将随之改变。如果控制结点，使 与原结构的实际值正好相等，则约束力即完全消失。这时基 本体系形式上虽然还有附加约束，但实际上它们已经不起作 用，基本体系实际上处于放松状态，与原结构完全相同。
求出Δ 1 、 Δ 2后，可用叠加法计算刚 架最后弯矩图。
M= Δ 1 M1 + Δ 2 M2 +MP
27/552· FP l FP 60/552· FP l
183/552· FP l
66/552· FP l
请注意：
（1）基本体系与原结构变形相同：
荷载作用下，附加刚臂产生与原结构相同 的转角Δ1 ，附加链杆产生与原结构相同的水平 线位移Δ2。
Δ1
A F1P B FP A D D C F2P A D
F1=F11+F12+F1P=0 F2=F21+F22+F2P=0
k11 B Δ1=1
k12
C
k21
B
Δ2=1 C
k22
M1 图
A F1P B C
D
F2P
A
M2 图
D
FP
A D
k11 Δ1+k12Δ2+F1P=0 k21 Δ1+k22Δ2+F2P=0 位移法典型方程。
1、位移法基本体系
如图： 结点 B 被完全固定。 杆 AB — 两端固定（ 刚结）的单跨梁； 杆 BC — 一端固定 （刚结）一端铰支的单 跨梁。
FP
实际为单跨超静定
杆的组合体。
基本结构
基本体系与原结构的区别在于：增加了人 为约束，把基本未知量由被动的位移变成为受 人工控制的主动的位移。
基本体系是用来计算原结构的工具与桥梁。 一方面，它可以代表原结构；另一方面它的计算 又比较简单。
B FP l/2
l/2
Δ1
Δ1
EI=常数 A
l
C
Δ2
D
（7-15）
B 基本结构 A
C
D
FP
B l/2 l/2
Δ1 Δ1
C
Δ2 B 基本结构
C
A
EI=常数
D
A
D
l
F1 =0
FP B Δ1
C
Δ2
F2 =0
B
F1=0 MBC MBA F2=0
FQCD
A
D
基本体系
FQBA
F11 B
F21 C
F12
B
CΔ2 F22