结构力学第07章 位移法-3
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结构力学-位移法
则梁端结点转角为0；若柱子不平行，则梁端结
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
结构力学-第7章-位移法习题答案
1 2
ql
1 12
ql 2
/ l
7 12
ql
由位移法方程得出：
r11Z1
R1 p
0
Z1
7ql 4 348EI
作出最终 M 图
7-9 试不经计算迅速画出图示结构的弯矩图形。
(a)
B
θA A
(b)
C B
yB
B′
A
C
题 7-9 图 7-10 试计算图示有剪力静定杆的刚架，并绘出 M 图。
13EI l
, r12
r21
3EI l2
r22
18EI l2
R1 p
1 16
ql 2 , R2 p
ql
代入，解得
Z1
66 3600
ql3 EI
,
Z2
211 3600
ql 4 EI
（4）求最终弯矩图
(e)
50kN·m
80kN·m 10kN·m 20kN
A 2EI B EI C
EI
(b)
B
3EI
C
EI
EI
A
D
Δ l
l
解：（1）求 M1, M 2 , M 3, M p 图。
（2）由图可知：
r11
16i, r12
r21
6i, r23
r32
6i l
, r22
16i, r33
24i l
R1 p
0, R2 p
结构力学 7.位移法
也称“先拆后搭”
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
结构力学第七章位移法
几何不变体系
10
§7-3 位移法基本结构与未知量数目
二 位移法基本结构 1 附加刚臂 控制结点转动 2 附加链杆 控制结点线位移
ΔC C θC
ΔD θD
D
基本结构
将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体
11
三 位移法基本结构与未知量数目
ΔC
ΔD
Z1
θD
C θC
D
Z2 Z3
基本结构
结点角位移的数目=刚结点的数目=附加刚臂的数目 独立结点线位移的数目=附加链杆的数目
B
15i 16
6
0(2)
位移法方程实质上平衡方程 33
2i
3i/2Z2=1
A
D
2i
k 21
FQ BA
FQ CD
3i 2
B
C k22
FQBA
FQCD
3i
i2
3i/2
k 22
i
3i 4
3i 16
15i 16
B i
0
FQ BA
3i 4
C FQCD i
3i 2
M1
3i 4
A
FQ CD
3i 16
3i/2
D 3i/4 26
4
B
C F2P
3kN/m 3kN/m
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
▪ 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
▪ 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
10
§7-3 位移法基本结构与未知量数目
二 位移法基本结构 1 附加刚臂 控制结点转动 2 附加链杆 控制结点线位移
ΔC C θC
ΔD θD
D
基本结构
将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体
11
三 位移法基本结构与未知量数目
ΔC
ΔD
Z1
θD
C θC
D
Z2 Z3
基本结构
结点角位移的数目=刚结点的数目=附加刚臂的数目 独立结点线位移的数目=附加链杆的数目
B
15i 16
6
0(2)
位移法方程实质上平衡方程 33
2i
3i/2Z2=1
A
D
2i
k 21
FQ BA
FQ CD
3i 2
B
C k22
FQBA
FQCD
3i
i2
3i/2
k 22
i
3i 4
3i 16
15i 16
B i
0
FQ BA
3i 4
C FQCD i
3i 2
M1
3i 4
A
FQ CD
3i 16
3i/2
D 3i/4 26
4
B
C F2P
3kN/m 3kN/m
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
▪ 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
▪ 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
结构力学第7章位移法
第 7 章位移法一. 教课目标掌握位移法的基本观点；正确的判断位移法基本未知量的个数；熟习等截面杆件的转角位移方程；娴熟掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法认识位移法基本系统与典型方程的物理观点和解法。
二. 主要章节§7-1位移法的基本观点§7-2杆件单元的形常数和载常数—位移法的先期工作§7-3位移法解无侧移刚架§7-4位移法解有侧移刚架§7-5位移法的基本系统§7-6对称构造的计算＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法剖析（选学内容）§7-8小结§7-9思虑与议论三. 学习指导位移法解超静定构造的基础是确立构造的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不单能够解超静定构造，同时还能够求解静定构造，此外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。
四. 参照资料《构造力学(Ⅰ )-基本教程第 3 版》 P224～P257第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定构造的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。
力法把构造的剩余力作为基本未知量，将超静定构造转变成将定构造，依据位移条件成立力法方程求解的；而我们今日开始学的这一章位移法例是以构造的某些位移作为未知量，先想法求出他们，在据以求出构造的内力和其余位移。
由位移法的基来源理能够衍生出其余几种在工程实质中应用十分广泛的计算方法，比如力矩分派法和迭代法等。
所以学习本章内容，不单为了掌握位移法的基来源理，还未此后学习其余的计算方法打下优秀的基础。
别的，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章议论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的均衡条件成立位移法方程。
位移法方程有两种表现形式：①直接写均衡返程的形式（便于认识和计算）② 基本系统典型方程的形式（利于与力法及后边的计算机计算为基础的矩阵位移法相对照，加深理解）§ 7-1位移法的基本观点1.对于位移法的简例为了详细的认识位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225。
结构力学第7章位移法讲解
内力与位移的关系式；整体分析（组合）建立位 移法基本方程，解方程求出基本未知量; （4）由杆件的内力与位移关系式求出各杆件内力。
关于刚架的计算思路
A
P C
q
A
A
M AB
P A
A
M AB
A
C
B
B
第一种位移法的基本思路：
将结构拆成杆件，推导各杆件的内力和位 移的关系；再把杆件组装成结构，通过各 杆件在结点处的受力平衡列基本方程。
l
l
(1)
l FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
(2)
几种不同远端支座的刚度方程
（1）远端为固定支座
MAB
A
EI l
（2）远端为固定铰支座
MAB
A
EI l
（3）远端为定向支座
MAB
A
EI
l
MBA
M M
AB BA
4i A 2i A
M BA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A 2 B 2
A2 B2 l
以上两过程的叠加
A
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M AB M BA
4i A 2i A
B
2iB 6i
4iB 6i
FQAB
1
1
6i
M AB
3i
M BA
BA
8
8
关于刚架的计算思路
A
P C
q
A
A
M AB
P A
A
M AB
A
C
B
B
第一种位移法的基本思路：
将结构拆成杆件，推导各杆件的内力和位 移的关系；再把杆件组装成结构，通过各 杆件在结点处的受力平衡列基本方程。
l
l
(1)
l FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
(2)
几种不同远端支座的刚度方程
（1）远端为固定支座
MAB
A
EI l
（2）远端为固定铰支座
MAB
A
EI l
（3）远端为定向支座
MAB
A
EI
l
MBA
M M
AB BA
4i A 2i A
M BA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A 2 B 2
A2 B2 l
以上两过程的叠加
A
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M AB M BA
4i A 2i A
B
2iB 6i
4iB 6i
FQAB
1
1
6i
M AB
3i
M BA
BA
8
8
结构力学位移法
r31=r13= –9/8
r32=r23= –1/2
（5）计算自由项：R1P、R2P、R3P
4m
4m
5m
4m
2m
A
B
C
D
F
E
i=1
i=1
i=1
i=3/4
i=1/2
q=20kN/m
(1/8) × 20×42=40
(1/12) × 20×52=41.7
R1P=40–41.7= –1.7
R2P=41.7
R3P=0
位移法的基本思路概括为，先离散后组合的处理过程。所谓离散，就是把对整体结构的分析转化对单个杆件系在变形协调一致条件下的杆系分析。所谓组合，是要把离散后的结构恢复到原结构的平衡状态，也就是要把各个杆件组合成原结构，组合条件就是要满足原结构的平衡条件。
◆ 确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
◆确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
（6）建立位移法基本方程：
（7）解方程求结点位移：
（8）绘制弯矩图
A
B
C
D
F
E
M图（kN•m）
18.6
42.8
47.8
26.7
23.8
14.9
5
3.6
8.9
3.97
（9）校核
结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。
由于考虑了结点和杆件的联结以及支座约束情况，所以满足了结构的几何条件，即变形连续条件和支座约束条件
位移法基本结构
位移法中采用增加附加约束，以限制原结构的结点位移而得到的新结构，称为位移法的基本结构
● 在刚结点处附加刚臂，只限制刚结点的角位 移，不限制结 点线位移，用符号“▼”表示刚臂
r32=r23= –1/2
（5）计算自由项：R1P、R2P、R3P
4m
4m
5m
4m
2m
A
B
C
D
F
E
i=1
i=1
i=1
i=3/4
i=1/2
q=20kN/m
(1/8) × 20×42=40
(1/12) × 20×52=41.7
R1P=40–41.7= –1.7
R2P=41.7
R3P=0
位移法的基本思路概括为，先离散后组合的处理过程。所谓离散，就是把对整体结构的分析转化对单个杆件系在变形协调一致条件下的杆系分析。所谓组合，是要把离散后的结构恢复到原结构的平衡状态，也就是要把各个杆件组合成原结构，组合条件就是要满足原结构的平衡条件。
◆ 确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
◆确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
（6）建立位移法基本方程：
（7）解方程求结点位移：
（8）绘制弯矩图
A
B
C
D
F
E
M图（kN•m）
18.6
42.8
47.8
26.7
23.8
14.9
5
3.6
8.9
3.97
（9）校核
结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。
由于考虑了结点和杆件的联结以及支座约束情况，所以满足了结构的几何条件，即变形连续条件和支座约束条件
位移法基本结构
位移法中采用增加附加约束，以限制原结构的结点位移而得到的新结构，称为位移法的基本结构
● 在刚结点处附加刚臂，只限制刚结点的角位 移，不限制结 点线位移，用符号“▼”表示刚臂
07★结构力学A上★第七章★位移法
31
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
结构力学第七章-位移法
r11 Z1=1
i3 / h3 i1 / h1 i2 / h2 P P P 2 2 2 Σi / h Σi / h Σi / h
3i3/h3 r11 3i3 h32
P MP
3i1 3i2 3i3 3i r11 = 2 + 2 + 2 = ∑ 2 h1 h2 h3 h M=M1Z1+MP
21
R1P 3i Z1 = − = P/∑ 2 r11 h
A Q
F AB
B
单跨梁杆端力
F M AB = iθ A − iθ B + M AB F M BA = −iθ A + iθ B + M BA
单跨梁固端力
θA=1 θB=1
i i
9
载常数(要求记住) q l ql2/12 ql2/12 ql2/24 P l/2 Pl/8 l/2 l/2 Pl/8 3Pl/16 ql2/8
第7章 位移法
§7-1 位移法基本未知数的确定 §7-2 转角位移公式（超静定单跨梁的计算） §7-3 一个未知数结构的计算 §7-4 两个及多个未知数结构的计算 §7-5 对称性的利用 §7-6 支座移动温度变化作用下结构的计算 位移法有两种形式：基本体系法与直接平衡法. 基本体系法建立在基本体系的基础上，直接平衡法利用转角 位移公式对结点与杆件列平衡方程来计算。两者本质一样，但 形式不同。 基本体系法是一定要学的。本课程只讲基本体系法。 为什么一定要学基本体系法？ 因为：（1）基本体系法与力 法对应。（2）基本体系法与矩阵位移法对应。（3）刚度系数 在结构动力计算中要计算。
A
F QAB
B
F QBA
θA Δ
单跨梁荷载
单跨梁杆端力 ∆ F + M AB l B
结构力学第7章 位移法(27-30)
第 7 章 位移法
Displacement Method
第 7 章 位移法
教学内容 7-1 等截面杆件的形常数和载常数 7-2 位移法的基本概念
7-3 无侧移刚架的计算
7-4 有侧移刚架的计算
7-5 对称结构的计算
7-1 等截面杆件的形常数和载常数
知识点：
等截面梁的形常数 等截面梁的载常数
（1）结构的独立结点位移
（2）结构拆成杆件，做杆件分析—荷载、变形
（3）平衡方程，求解
（4）回代，求杆端弯矩
小结
7-1 等截面杆件的形常数和载常数
知识点： 等截面梁的形常数
等截面梁的载常数 重点： 记忆等截面梁的形常数和载常数。
7-2 位移法的基本概念
知识点： 整体分析、杆件分析
力法解常见超静定结构
m AB 15kN m
mBC ql 2 9kN m 8
(3) 列杆端转角位移方程
MAB
EI
P
B MBA
MBC B
q
EI
设i
EI 6
M AB 2i B 15
M BC 3i B 9
M BA 4i B 15
(4) 位移法基本方程（平衡条件）
4I0 4m
B 5I0
3I0
3I0 F 4m
M
F BA
E 4m 5m
（1）基本未知量B、C （2）固端弯矩
F M BC
F M CB 41.7kN m
20kN/m
A 4I0 4m B 5I0 C 4I0
D
3I0
E 4m 5m F 4m
各杆刚度取相对值计算，设EI0=1，则
iBA iBE
Displacement Method
第 7 章 位移法
教学内容 7-1 等截面杆件的形常数和载常数 7-2 位移法的基本概念
7-3 无侧移刚架的计算
7-4 有侧移刚架的计算
7-5 对称结构的计算
7-1 等截面杆件的形常数和载常数
知识点：
等截面梁的形常数 等截面梁的载常数
（1）结构的独立结点位移
（2）结构拆成杆件，做杆件分析—荷载、变形
（3）平衡方程，求解
（4）回代，求杆端弯矩
小结
7-1 等截面杆件的形常数和载常数
知识点： 等截面梁的形常数
等截面梁的载常数 重点： 记忆等截面梁的形常数和载常数。
7-2 位移法的基本概念
知识点： 整体分析、杆件分析
力法解常见超静定结构
m AB 15kN m
mBC ql 2 9kN m 8
(3) 列杆端转角位移方程
MAB
EI
P
B MBA
MBC B
q
EI
设i
EI 6
M AB 2i B 15
M BC 3i B 9
M BA 4i B 15
(4) 位移法基本方程（平衡条件）
4I0 4m
B 5I0
3I0
3I0 F 4m
M
F BA
E 4m 5m
（1）基本未知量B、C （2）固端弯矩
F M BC
F M CB 41.7kN m
20kN/m
A 4I0 4m B 5I0 C 4I0
D
3I0
E 4m 5m F 4m
各杆刚度取相对值计算，设EI0=1，则
iBA iBE
结构力学 第七章 位移法
表示等截面直杆杆端力与杆端位移及杆上荷载间关系的表达式
B A
Δ
6i F M AB l 6i F M BA 2i A 4i B M BA l 6i 6i 12i F F QAB A B 2 FAB l l l M AB 4i A 2i B
B
4i
1
2i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ =1
B B
3i
3i l
l
2
1 θ =1
B
3i
i
l
0
A
－i
0
三 等截面直杆的载常数 由荷载作用所引起的杆端力（固端力）
单跨超静定梁简图
q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
mAB
B
mBA
ql 2 12
Pl 8
ql 2 12
Pl 8
位移法方程实质上平衡方程
Z1
D i A 2i E
Z2
C 2i
i EI l
4m
EI
i B
A
B
4m
2m
2m
位移法基本体系
解：1 确定位移法基本体系 2 列位移法方程 k11Z1+ k12Z2+ F1P=0 k21Z1+ k22Z2+ F2P=0
３ 计算系数和自由项 Z1=1
4i 4i D i8i A 2i 8i 2i E 2i i B C
M AB 2i B
M BC ql 2 4i B 12
ql 2 ql 2 ql 2 4i 96i 12 24
结构力学中的位移法ppt课件
MBA
M B AM BC 0.........1 ..a .)....(
1i0 B 1i 540 .......1 .) ..(...
MBC6iB
MDC0.75 i MBC
B B
QBA
B
23
C
QCD
x0
QAB
QDC
QBA + QCD =0…………...(2a)
MAB
MDC
6iB3.7i 52 40....2.)...(
B
A31iMAB61iMBA
7
MBA MBA
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
MAB4iA MBA2iA
2iB 4iB
（4）由杆件的单元刚度方程求出杆件内力，画内力图。
关于刚架的结点未知量
A
P C
A
q
B
A
M AB
P A
A
M AC
A
C
B
.
§8-2 等截面杆件的计算
6
一、由杆端位移求杆端弯矩
杆端力和杆端位移的正负规定
MAB
EI
① 杆端转角θA、θB ，弦转角
β＝Δ/l 都以顺时针为正。
A
MAB
A
MAB
1
l
B
MBA
A 4I0 B 5I0 C 4I0
3I0
D
3I0
E
F
4m
结构力学第七章位移法
结构力学第七章位移法1.引言结构力学是研究结构受力、变形和稳定性的力学分支。
在结构力学中，位移法是一种重要的分析方法，用于求解结构的变形和应力分布。
2.位移法的基本原理位移法是基于以下两个基本原理：（1）弹性体的受力状态可通过满足平衡条件来确定；（2）位移场的连续性条件，即位移场在结构内部要处处连续，边界上要满足给定的边界条件。
3.位移法的基本步骤位移法的基本步骤如下：（1）建立结构的受力模型，包括结构的材料性质、几何形状和边界条件等；（2）选取适当的位移函数形式，以确定位移场；（3）利用平衡方程和满足位移场连续性条件的边界条件，求解未知的位移和受力分布；（4）利用位移和受力分布计算结构的变形和应力分布。
4.位移法的应用位移法广泛应用于各种结构的力学分析，特别是对于复杂的非线性和不规则结构，位移法是一种常用的分析方法。
以下是一些常见的应用：（1）梁的挠曲分析：位移法可以用来求解梁的挠曲问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到梁的弯曲形状和弯矩分布。
（2）柱的稳定性分析：位移法可以用来求解柱的稳定性问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到柱的稳定性临界载荷和稳定形状。
（3）桁架结构的分析：位移法可以用来求解桁架结构的强度和刚度，通过选取合适的位移函数形式，可以得到桁架结构的内力和变形。
（4）地基基础的分析：位移法可以用来求解地基基础的变形和应力分布，通过选取合适的位移函数形式，可以得到地基基础的沉降和周边土体的应力分布。
5.位移法的优缺点位移法作为一种结构力学的分析方法，具有以下优点：（1）位移法适用于各种结构的力学分析，可以求解复杂的非线性和不规则结构问题；（2）位移法具有较强的适用性和灵活性，可以根据实际情况选取不同的位移函数形式；（3）位移法的计算步骤相对简单，易于实现。
然而，位移法也存在一些缺点：（1）位移法需要选取适当的位移函数形式，这对分析结果的准确性有较大影响；（2）位移法的计算过程较为繁琐，需要手动推导和求解方程组，耗费时间和精力。
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基本体系转化为原结构的条件是： 基本结构在给定荷载以及结点位移的共同 作用下，在附加约束中产生的总约束力应该等 于零。
（变形协调） （平衡条件） 原结构 若干根单跨杆 整体结构 放松 件的组合体 锁住 (还原)
以两个基本未知量的结构为例。 基本体系转化为原结构的条件： 基本结构在给定荷载和结点位 移Δ 1， Δ 2共同作用下，在附加约 束中产生的总约束反力F1，F2应等 于零。 即： F1 =0 F2 =0
B FP l/2
l/2
Δ1
Δ1
EI=常数 A
l
C
Δ2
D
（7-15）
B 基本结构 A
C
D
FP
B l/2 l/2
Δ1 Δ1
C
Δ2 B 基本结构
C
A
EI=常数
D
A
D
l
F1 =0
FP B Δ1
C
Δ2
F2 =0
B
F1=0 MBC MBA F2=0
FQCD
A
D
基本体系
FQBA
F11 B
F21 C
F12
B
CΔ2 F22
X 0
解方程求多余未知力; 迭加作内力图; 用变形条件进行校核; 只用来求解超静定结构。
K F 0
解方程求独立结点位移; 迭加作内力图; 用平衡条件进行校核; 静定、超静定结构均可。
2、位移法典型方程（n个基本未知量） k11 Δ1+k12 Δ2+…+ k1n Δn+F1P= 0 k21 Δ1+k22 Δ2+…+ k2n Δn+F2P= 0 … +…+ … kn1 Δ1+kn2 Δ2+…+ knn Δn+FnP= 0 可写成矩阵形式
由反力互等，有： k12 = k21
- FP /2
将系数和自由项代入位移法典型方程 7i Δ1 - 6i/l Δ2 +FP l/8=0
-6i/l Δ1+15i/l2 Δ2 - FP /2=0
F l 9 P 解出： B 552 i 2 22 FP l 552 i
所设的Δ1 、 Δ2方向与实际位移方向一致。
利用基本体系建立位移法基本方程。
分两步考虑： 第一步，控制附加约束，使结点位移全部为零，这时， 刚架处于锁住状态，即基本体系。施加荷载后，可求出基本 体系中的内力，同时，在附加约束上会产生约束力矩。 第二步，再控制附加约束，使基本结构发生结点位移， 这时，附加约束中的约束力将随之改变。如果控制结点，使 与原结构的实际值正好相等，则约束力即完全消失。这时基 本体系形式上虽然还有附加约束，但实际上它们已经不起作 用，基本体系实际上处于放松状态，与原结构完全相同。
Δ i=1时，附加约束i方向的反力（或反力 矩）。 恒为正，不为零。
• • • • •
副系数kij（i≠j）（副反力）： Δ j=1时，附加约束i方向的反力（或反力 矩）。 可正，可负，可为零。由反力互等定理 ： kij = kji 自由项FiP ： 荷载单独作用下，附加约束i方向上的反力 （或反力矩）。可正，可负，可为零。
M M jj MP 取任意部分用平衡条件进行校核。
力法、位移法对比
力法
基本未知量：多余未知力; 基本结构：一般为静定结 构，能求M 的超静定也可。 作单位和外因内力图; 由内力图自乘、互乘求系 数，主系数恒正。 建立力法方程（协调）:
位移法
基本未知量：独立结点位移; 基本结构：无位移超静定次 数更高的结构; 作单位和外因内力图; 由内力图的结点、隔离体平 衡求系数，主系数恒正。 建立位移法方程（平衡）:
求出Δ 1 、 Δ 2后，可用叠加法计算刚 架最后弯矩图。
M= Δ 1 M1 + Δ 2 M2 +MP
27/552· FP l FP 60/552· FP l
183/552· FP l
66/552· FP l
请注意：
（1）基本体系与原结构变形相同：
荷载作用下，附加刚臂产生与原结构相同 的转角Δ1 ，附加链杆产生与原结构相同的水平 线位移Δ2。
(9)
其中，[ k ]称为结构刚度矩阵
k11 k12 k k 21 22 k kn1 kn 2
k1n k2 n knn
讨论：
1. 主系数、副系数（反力系数，刚度系数）、自 由项
主系数kii（主反力）：
Δ1
A F1P B FP A D D C F2P A D
F1=F11+F12+F1P=0 F2=F21+F22+F2P=0
k11 B Δ1=1
k12
C
k21
B
Δ2=1 C
k22
M1 图
A F1P B C
D
F2P
A
M2 图
D
FP
A D
k11 Δ1+k12Δ2+F1P=0 k21 Δ1+k22Δ2+F2P=0 位移法典型方程。
（2）基本体系与原结构受力相同： 原结构上无附加人为约束，结点力为零。 基本体系上附加人为约束后令反力为零。
总结－基本体系法步骤:
1.
2. 3. 4. 5. 6. 7.
确定独立位移未知量数目，选取基本结构（加刚臂与链 杆约束节点位移）。
根据附加约束对结构的作用力与原结构的节点荷载一致 建立位移法基本方程。 让附加约束发生单位位移，作基本结构的Mi、MP图。 由上述弯矩图取结点、隔离体求kij、Fip 。 解位移法基本方程求节点位移。 按迭加法作最终弯矩图。
计算系数和自由项：
Δ 1=1 k12 2 k21 1 2
4i
1
k11
k22 Δ 2=1
3i
3 M1 图 4
6 i/l
3
2i
6 i/l
M2 图 3 i /l 4 k12 = - 6i/l 0 k22=15i/l2
1
k11 =7i 3i 4i k21= - 6i/l
-6i/l
1
-6i/l
0
12i/l2
1、位移法基本体系
如图： 结点 B 被完全固定。 杆 AB — 两端固定（ 刚结）的单跨梁； 杆 BC — 一端固定 （刚结）一端铰支的单 跨梁。
FP
实际为单跨超静定
杆的组合体。
基本结构
基本体系与原结构的区别在于：增加了人 为约束，把基本未知量由被动的位移变成为受 人工控制的主动的位移。
基本体系是用来计算原结构的工具与桥梁。 一方面，它可以代表原结构；另一方面它的计算 又比较简单。
3 i/l2
FP l/8
FP
1
F1P
2 F2P
k11=3i+4i=7i
k21= - 6i/l
3
MP图
4
k12= - 6i/l
k22=12i/l2+3i/l2=15i/l2 F1P= FP l/8
FP l/8
1
F1P=FP l/8 0 FP l/8 F2P= -FP /2 0
F2P= - FP /2